初中數(shù)學(xué)邏輯推理強(qiáng)化練習(xí)8

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.把正方體的六個(gè)面染成3面紅，2面藍(lán)，1面黃，正方體可以旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后相同的

兩種染色方法看成是同一種染色方法，那么一共有（）種不同的染色方法.

A.2B.3C.4D.至少5種

2.在一年的某月里，周五、周六出現(xiàn)的天數(shù)比周日多，周一、周二、周三、周四出現(xiàn)

的天數(shù)不超過(guò)周日，則該月份一定不是（）

A.三月B.四月C.六月D.十一月

3.把2,4,7,K四張牌分發(fā)給四人，每人按牌面數(shù)字分（K記13分）記分，然后收

回重洗，再分發(fā)和記分，…，若干次后，發(fā)現(xiàn)四人累計(jì)各得16,17,21和24分.已

知得16分者最后一次得2分，則他第一次所得分?jǐn)?shù)是（）分.

A.2B.4C.7D.13

4.如圖，已知△兩的邊長(zhǎng)分別為1,6,2,正六邊形網(wǎng)格由24個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角

形組成，以這些正三角形的頂點(diǎn)畫A/IBC,使得相似比為=

5.書架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊(cè)，在這四冊(cè)教材中隨機(jī)抽取2冊(cè)，恰

好組成一套教材的概率是（）.

A.-B.-C.1D.-

3325

6.在象棋中，“兵”在過(guò)河后，可以向左、向右或往前行進(jìn)一步，但是永遠(yuǎn)不能往后方

移動(dòng).如圖，“兵”已經(jīng)過(guò)河了，可以向右、向上行進(jìn).那么"兵'’從現(xiàn)在的位置走到“將”

的位置，且要使路程之和最短，有幾種行走的路線（）

A.16B.20C.24D.32

7.已知4名運(yùn)動(dòng)員體重（以千克為單位）都是整數(shù)，他們兩兩合稱體重，稱得的重量

分別為99,113,125,130,144千克，其中有兩人沒(méi)有合稱過(guò)，那么這兩人體重較大

的是（）千克.

A.78B.66C.52D.47

8.邊長(zhǎng)為整數(shù)，周長(zhǎng)為20的三角形共有（）個(gè).

A.4B.6C.8D.12

二、填空題

9.如圖所示，DEIIFGIIHIIIBC,圖中梯形的個(gè)數(shù)為個(gè).

10.把紅、黃、藍(lán)、白四種顏色的球各10個(gè)放到一個(gè)袋子里.至少取個(gè)球，

可以保證取到兩個(gè)顏色相同的球

11.某計(jì)算機(jī)用戶計(jì)劃用不超過(guò)500元的資金購(gòu)買單價(jià)分別為60元，70元的單片軟

件和盒裝磁盤，根據(jù)需要軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購(gòu)方式共有

種.

12.老虎狐貍和兔子賽跑賽完后，老虎說(shuō)：“我第一狐貍說(shuō)："我第二.”兔子說(shuō)：

“我不是第一.”它們中僅有一個(gè)說(shuō)了謊，那么第二名是—.

13.有一個(gè)8x9的矩形方格紙，要將它沿方格線剪成若干個(gè)矩形（包括正方形），使得

組成每個(gè)矩形的小正方形都是完整的.分別將每個(gè)小矩形中的所有小正方形涂上藍(lán)色

或白色，使其中兩種顏色的小正方形個(gè)數(shù)正好相等，設(shè)這些矩形中藍(lán)色的小正方形數(shù)

分別是4,生,…，品，且0<4<%<一<,，試求p的最大值，并在圖中畫出p為最大

值的一種剪法.

14.在一張冬景照片上，人們分別戴著帽子、系著圍巾和戴著手套.只戴帽子的人數(shù)

等于只系圍巾和只戴手套的人數(shù)之和；只有4人沒(méi)有戴帽子；戴著帽子和系著圍巾，

但沒(méi)有戴手套的有5人；只戴帽子的人數(shù)兩倍于只系圍巾者；未戴手套有8人，未系

圍巾有7人；三樣?xùn)|西都用的人數(shù)比只戴帽子的人數(shù)多一個(gè).那么：

（1）有人同時(shí)用上了帽子、圍巾和手套；

（2）有人只戴了手套；

（3）有人只系了圍巾；

（4）有人既戴了帽子，又戴了手套，但沒(méi)有系圍巾；

（5）有人戴著手套.

15.現(xiàn)有145本書，分給若干同學(xué)，不管怎樣分，都至少有1個(gè)同學(xué)分到5本或5本

以上，則同學(xué)的人數(shù)最多有個(gè).

16.已知%,今,…,心都是正整數(shù)，且±+&+…+x4n=58.若+…+流的最大值

為A,最小值為8,則A+8=.

三、解答題

17.設(shè)A*?,4,4,4,A是平面上6個(gè)點(diǎn)，其中任意3點(diǎn)不共線.

（1）如果這些點(diǎn)之間至少連有13條線段，證明：必存在4點(diǎn)，它們每?jī)牲c(diǎn)之間都有

線段連接；

（2）如果這些點(diǎn)之間只連有12條線段，證明（1）的結(jié)論不成立.

18.在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為中心遙為半徑的圓的內(nèi)部共有多少個(gè)格點(diǎn)？（格

點(diǎn)指的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）

19.（1）從10本不同的書中取3本書，分別送給3位朋友，每人恰好一本，共有多少

種不同的方法？

（2）從10本不同的書中任取3本書送給1位朋友，共有多少種不同的方法？

20.實(shí)際問(wèn)題:

各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有多少個(gè)？

問(wèn)題建模：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們先研究下面的數(shù)學(xué)模型。

在1?〃這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于〃，有

多少種不同的取法？

為了找到解決問(wèn)題的方法，我們把上面數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單化.

探究一：

在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于4,

有多少種不同的取法？

第一步：在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

4,根據(jù)題意，有卜列取法：1+4,2+3,2+4,3+2,3+4,4+1,4+2,4+3；而1+4與

4+1,2+3與3+2,…是同一種取法，所有上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有

旺2土2土3=4=少種不同的取法.

44

第二步：在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)相同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

4,有下列取法：3+3,4+4,因此有2種不同的取法.

綜上所述，在1?4這4個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于4,有土+2種不同的取法.

4

探究二：

在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于5,

有多少種不同的取法？

第一步：在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

5,根據(jù)題意，有下列取法：1+5,2+4,2+5,3+4,3+5,4+2,4+3,4+5,5+1,

5+2,5+3,5+4；而1+5與5+1,2+4與4+2,…是同一種取法，所有上述每一種取法

都重復(fù)過(guò)一次，因此共有這±句土=6=以］■種不同的取法.

44

第二步：在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)相同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于

5,有下列取法：3+3,4+4,5+5因此有3種不同的取法.

綜上所述，在1?5這5個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于5,有—+3種不同的取法.

4

探究三：

在1?6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6,

有多少種不同的取法？（仿照探究二寫出探究過(guò)程）

探究四：

在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,

有種不同的取法.

探究五：

在1?〃（〃為偶數(shù)）這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于〃，有種不同的取法.

探究六：

在1?〃（〃為奇數(shù)）這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之

和大于〃，有種不同的取法.

問(wèn)題解決：

□各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為20的三角形有個(gè)；

「各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，最大邊長(zhǎng)為31的三角形有個(gè).

21.已知直線y=-2x+10交y軸于點(diǎn)4交x軸于點(diǎn)8,二次函數(shù)的圖象過(guò)4B

兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)C,8c=4,且對(duì)于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)P/（也，

y/),Pi(必y2),當(dāng)x/>X2N5時(shí)，總有y/〉分

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若直線乙：y—tnx+n(〃彳10),求證：當(dāng)機(jī)=—2時(shí)，h//h；

(3)￡為線段BC上不與端點(diǎn)重合的點(diǎn)，直線出y=-2x+q過(guò)點(diǎn)C且交直線ZE于點(diǎn)

F,求/XAfiE與△CEF面積之和的最小值.

22.將1,2,3,4,5,6,7,8,9,10任意排列在一個(gè)圓周上,證明：其中必有3個(gè)連續(xù)的數(shù)之和

不小于18.

參考答案：

I.B

【解析】

【分析】

【詳解】

3紅面有兩種情形：(1)如圖(a),3紅面有一個(gè)公共頂點(diǎn)，此時(shí)余下三面任選一面染黃,

二面染藍(lán)，由于旋轉(zhuǎn)的關(guān)系，可以看成同一種染色方法.

(2)如圖(6),紅面中有2個(gè)面是對(duì)面，如上、下底面染紅，4個(gè)側(cè)面中有一個(gè)面染紅，

余下3側(cè)面中2藍(lán)面或相鄰或相對(duì)，有2種不同染法，合計(jì)共有3種不同染色方法.故選

2.A

【解析】

【分析】

【詳解】

每個(gè)月的后28天，周一至周日出現(xiàn)的天數(shù)相同，因此在這28天之外只能出現(xiàn)周五和周

六，故這個(gè)月有30天

3.C

【解析】

【分析】

【詳解】

由題設(shè)知每次四人得分總和等于2+4+7+13=26.

又若干次后，四人得分累計(jì)總和等于16+17+21+24=78,可見(jiàn)發(fā)牌次數(shù)為78+26=3次.

又得16分者最后一次得2分，則前兩次共得16-2=14分，而2,4,7,13中只有兩次均

取7分才可能其和得14分，故得16分者第一次得7分所以選C.

4.C

答案第1頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

作圖知與△。所相似的三角形，而相似比不同的三角形只有如圖所示的三種，故選C.

卷翳薯

5.A

【解析】

【分析】

【詳解】

解將4冊(cè)書記為上，，上2,下I,下2,則基本事件共有6個(gè)：

｛上”上2）,｛上下J,｛上下2%｛上2,下J,｛上2,下2%｛下I,下2｝，其中組成一套教材的事件有4

A7

個(gè)：｛上”下J,｛上I，下?｝,｛上2,下J,｛上2,下2人故所求概率等于3=5.故選4

63

或者可簡(jiǎn)單地寫為；從4本書中任取2本書（不論順序）有g(shù)x4x3=6種情況，其中取出

42

2冊(cè)是一套教材的共有2x2=4種不同取法，故所求概率等于所以選/.

63

6.B

【解析】

【分析】

“兵”從現(xiàn)在的位置走至『‘將”的位置，總共會(huì)走3次右和3次上，依據(jù)圖表，運(yùn)用列舉法算

即可求解.

【詳解】

解：兵”從現(xiàn)在的位置走到“將”的位置，總共會(huì)走3次右和3次上，路線如下圖所示，

逐一列舉如下：

答案第2頁(yè)，共14頁(yè)

1!15;1291

111

111

111

11

1148：

1;111

111

111

11______1

13：10子

111

111

111

k____?______

/丘、123

則行走的路線的種數(shù)有：1-2-3-4-5-6；1-2-7-4-5-6；1-2-7-8-5-6；1-2-7-8-9-6；1-

10-7-4-5-6；1-10-7-8-5-6；1-10-7-8-9-6；1-10-11-8-5-6；1-10-11-8-9-6；1_10_1I-

12-9-6；13-10-7-4-5-6；13-10-7-8-5-6；13-10-7-8-9-6；13-10-11-8-5-6；13-10-11-

8-9_6：13_10-11_12_9_6；13_14_11_8_5_6；13_14_11_8_9_6；13_14-11-12_9_6；13-14-

15-12-9-6；共20種，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查用列舉法計(jì)算.解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，有序列舉，不重不漏；

7.B

【解析】

【分析】

【詳解】

解不妨設(shè)4人體重分別為a,b,c,d千克，有aNbNcNd,兩兩合稱應(yīng)有6個(gè)重量，其

中a+b最大，〃+c,第二大，力+d第二小，c+d最小，而

a+c>a+d>h+d,a+c>h+c>h+d,即a+d與。+c都位于a+c與b+4之間，又因?yàn)?/p>

(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)=(a+d)+(6+c),則可得已稱得的5個(gè)重量中，應(yīng)有2

對(duì)重量和相等.易見(jiàn)113+130=99+144=243,即4人體積和為243千克，于是未合稱兩

人體積和為243-125=118千克.按大小關(guān)系得

a+b=\44,a+c=\30,c+d=99,b+d=113,從而a+d為118或125.但

a—d=(a+〃)—(6+1)=144—113=31為奇數(shù)，故a+4為奇數(shù)，所以a+d=125.未合稱

兩人體積之和為6+c=118.又6—c=(a+')—(a+c)=144—130=14,解得

b=66,c=52.故選B.

答案第3頁(yè)，共14頁(yè)

8.C

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)三角形三邊長(zhǎng)為a,b,c(aN62c).由a+b+c=20=aN7,又

b+c>a,2a<a+b+c=20=>a<10,貝i]7WqW9,可歹U出

(a,4c)=(9,9,2),(9,8,3),(9,7,4),(9,6,5),(8,8,4),(8,7,5),(8,6,6),(7,7,6)共8組，故選C.

9.6

【解析】

【分析】

【詳解】

以8c為下底的梯形有3個(gè)，以用為下底的梯形有2個(gè)，以FG為下底的梯形有1個(gè)，綜

上所述，圖中有3+2+1=6(個(gè))梯形.

10.5

【解析】

【分析】

取出的球的個(gè)數(shù)比顏色的種類多1個(gè)即可；

【詳解】

解：只有4種顏色，取5個(gè)球肯定有顏色相同的；

故答案為：5

【點(diǎn)睛】

本題考查了抽屜原理的應(yīng)用；抽屜原理：把多于〃個(gè)的物體放到〃個(gè)抽屜里，則至少有一

個(gè)抽屜里的東西不少于兩件.

11.7

【解析】

【分析】

【詳解】

解先買了3片軟件和2盒磁盤，余下500-(3x60+2x70)=180(元).若不買軟件，則可

買磁盤0盒、1盒或2盒；若買1片軟件，則可買磁盤0盒或1盒；若買2片軟件，則不

可能再買磁盤；若買3片軟件，也不能再買磁盤，故共有3+2+1+1=7種選購(gòu)方法.

答案第4頁(yè)，共14頁(yè)

12.兔子

【解析】

【分析】

【詳解】

如果老虎說(shuō)謊了，那么狐貍和兔子講的是真話，推知狐貍第二，兔子第三，老虎第一，與

老虎說(shuō)謊矛盾，所以老虎說(shuō)的是真話.如果狐貍說(shuō)謊了，那么老虎和兔子講的是真話，推

知老虎第一，狐貍第三，兔子第二，與題意相符.如果兔子說(shuō)謊了，那么兔子第一，與老

虎說(shuō)的是真話矛盾.

綜上所述，說(shuō)謊的是狐貍，得第二名的是兔子.

13.p的最大值是8.畫圖見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)槊總€(gè)小矩形中兩種顏色的小正方形的個(gè)數(shù)相等，所以q+4+~+ap=；x9x8=36.

又qNl,a2>2,ap>p,于是有36=q+%+…+%,21+2+…+p,所以p48.

如圖，可得P=8的一種剪法，所以p的最大值是8.

%

第%

勿%勿

%為

%

%冬

彩彩

%

14.311410

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖，按題目中條件順序依次可列方程：

(1)A=C+F；(2)C+E+F=4；(3)8=5；(4)A=2C；(5)4+B+C=8；(6)

A+G+尸=7；(7)D=A+1.

可求出A=2,8=5,C=1,￡)=3,E=2,F=1,G=4.

答案第5頁(yè)，共14頁(yè)

于是，題目中各空白區(qū)應(yīng)填入的數(shù)依次是n3,DI,J1,04,Q10.

帽子

【解析】

略

16.494.

【解析】

【分析】

【詳解】

因?yàn)榘?8寫成40個(gè)正整數(shù)的和的方法只有有限種，因而一定存在一種寫法使得這40個(gè)數(shù)

的平方和達(dá)到最大值，也存在一種寫法使得這40個(gè)數(shù)的和達(dá)到最小值.

（1）設(shè)與+々+…+匕（）=58（x”X2,…,心都為正整數(shù)），且使得+…+篇取得最大值

A,不妨設(shè)西4…

若3>i,則因（石一1）+（々+1）=玉+々，且（石_爐+（&+i）2=片+4+

2（々一5）+2>片+4，所以，用藥-1,x2+l,看，飛代替斗,孫…,匕0，它們的和

仍為58,但它們的平方和卻增加了，這與冷々，…已使+…+溢取最大值矛盾，

故々=1.同理%=%=3=X39=1，于是“=58-39=19,故X；+X；+…+x：o的最大值為

A=l2+l2+---+l2+192=400.

（2）設(shè)與+々+…+$=58（芭,鄉(xiāng),…,％都為正整數(shù)），且使x；+x；+…+溢取最小值8,

不妨設(shè)％4占4…4%.我們證明：對(duì)任意lMi</440,有04勺一士41,用反證法.假

設(shè)存在x,.，七（14i<J440）,使Xj-x：22,因?yàn)椋?+1）+（丐一1）=%+馬，且由

Xj-Xj-]±1,得（占+]）-+（%—1）=X?+Xy—2^Xj—x.-1）<,

答案第6頁(yè)，共14頁(yè)

所以，用x,+l和Xj-1分別代替x,和Xj,其他的數(shù)不變，它們的和仍為58,但它們的平方

和卻減少了，這與x；+x；+…+x*已取得最小值矛盾.

于是，當(dāng)x；+x；+…+只)取最小值時(shí)，％,占，…，%中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)1，即

知馬，…，:%至多取兩種不同數(shù)值.設(shè)再，孫…中有左個(gè)等于。+1,其余40-。個(gè)等于

a,于是%(。+1)+(40-幻。=58(a44439),40a+A:=58(0<A:<39),

故“，人分別是58除以40所得的商和余數(shù)，即a=l,%=18,所以XI=々=3=々2=1，

毛3=%4=3=%=2時(shí)，52+君+~+40取最小值8=12+]2+—+12+22+22+―+22

=22+18x2?=94.

綜上所述，得4+8=400+94=494.故應(yīng)填494.

17.(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

【詳解】

證明：(1)證法一從6點(diǎn)出發(fā)的線段數(shù)之和為2x13=26條，由抽屜原理知其中必有一

'26-1'

點(diǎn)，從它出發(fā)的線段至少有+1=5條，不妨設(shè)是A，它與4，A，A，A，A6都連有線

O4

段，于是4,4,4,A，A.之間還連有13-5=8條線段，除A及從A出發(fā)的5條線段外，在

余下的5點(diǎn)之間，從各點(diǎn)出發(fā)的線段數(shù)的總和為2x8=16.再由抽屜原理，其中必有一

點(diǎn)，向其余4點(diǎn)至少連有乎+1=4條線段，不妨設(shè)人與怎兒,&&都連有線段，于是

在A，4，A，A,之間還連有8-4=4條線段，不妨設(shè)4與A連有線段，于是A，4，A，4每?jī)?/p>

點(diǎn)之間連有線段.

證法二如果6點(diǎn)中每?jī)牲c(diǎn)連一線段，那么6點(diǎn)間共連有Jx6x5=15條線段，故由已知條

件知，6點(diǎn)中恰有2對(duì)點(diǎn)之間無(wú)線段相連.

若這2對(duì)點(diǎn)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，不妨設(shè)A與4,4與4沒(méi)有線段相連，則A，A4,4，A這四點(diǎn)

中每?jī)牲c(diǎn)連一線段.

若這2對(duì)點(diǎn)沒(méi)有公共頂點(diǎn)，不妨設(shè)A與4,A與4沒(méi)有線段相連，則A，A，A，A這四點(diǎn)中

答案第7頁(yè)，共14頁(yè)

每?jī)牲c(diǎn)連有線段.

證法三同上知至少有2對(duì)點(diǎn)之間沒(méi)有連線段，不妨設(shè)A與4沒(méi)有連線段，因一共連有13

條線段，而A與4至多與其余4點(diǎn)4AA連有8條線段，故怎心&&之間至少連有

13-8=5條線段.若演4,A，4中每2點(diǎn)之間連有線段，則結(jié)論成立，否則這四點(diǎn)之間恰

有g(shù)x4x3-5=l對(duì)點(diǎn)之間沒(méi)有連線，不妨設(shè)人與人沒(méi)有線段相連，于是A和4與

4，A,，A，A都連有線段，這時(shí)A，4,A，4中每?jī)牲c(diǎn)都連有線段，結(jié)論也成立.

（2）如圖，6個(gè)點(diǎn)之間恰連有12條線段，其中不存在4點(diǎn)每?jī)牲c(diǎn)之間都連有線段.

18.滿足題目要求的格點(diǎn)共有21個(gè).

【解析】

【分析】

【詳解】

設(shè)A（x,y）是任意滿足題目要求的一個(gè)格點(diǎn)，則|。4|=歷了＜（遙了,于是，可把這個(gè)問(wèn)

題分為6類情形:x2+y2=k,k=0,1,2,3,4,5.

當(dāng)f+y2=o時(shí),(x,y)=(0,0),只有1個(gè)解;

當(dāng)f+y2=l時(shí),(x,j)=(-l,0),(1,0),(0,-1),(0,!),共有4個(gè)解;

當(dāng)f+V=2時(shí),(x,y)=(-1,1),(1.D,(1,-1),(-1,-1),共有4個(gè)解;

當(dāng)V+丁=3時(shí)，沒(méi)有解;

當(dāng)V+V=4時(shí),(x,y)=(-2,0),(2,0),(0,-2),(0,2),共有4個(gè)解;

當(dāng)丁+丁=5時(shí),(X,y)=(-2,-1),(-2,1),(-1,-2),(-1,2),(2,-1),(2,1),(1,-2),(1,2)，共有8個(gè)

解.

綜上，由加法原理，滿足題目要求的格點(diǎn)共有1+4+4+0+4+8=21（個(gè)）.

19.（1）不同的送書方法共有720種；（2）不同的送書方法共有120種.

答案第8頁(yè)，共14頁(yè)

【解析】

【分析】

【詳解】

（1）從10本書中取1本送給第一位朋友有10種選擇，再?gòu)挠嘞?本書中取1本送給第二

位朋友，有9種選擇，最后從余下的8本書中取1本書送給第三位朋友有8種選擇，故由

乘法原理知，不同的送書方法共有崗＞=10x9x8=720（種）.

（2）同（1）,我們知道從10本書中依次取出3本書（每次取一本書）共有編=10x9x8

種取法.當(dāng)取出的3本書是AB,C時(shí)，它們?nèi)〕龅拇涡蚨加邢铝蠥；=3x2xl=6種不同的

順序：ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.而將它們送給一位朋友是相同的情況，故不同的

送書方法共有奪=竽衿=120（種）.

A33X2X1

20.探究三：見(jiàn)詳解；探究四：—+—=16；探究五：5+1.探究六：

424

出*;問(wèn)題解決：口110;D256；

4

【解析】

【分析】

探究三：仿照探究二，即可寫出答案；

探究四：仿照探照二，即可寫出答案；

探究五：根據(jù)探究一、三的結(jié)果總結(jié)規(guī)律，即可知，1?〃，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，兩個(gè)數(shù)不同時(shí)

有日種，兩個(gè)數(shù)相同時(shí)有？中，總計(jì)不同的取法有：-^―

探究六：根據(jù)探究二、四的結(jié)果總結(jié)規(guī)律，根據(jù)題意可得，1?〃，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)兩個(gè)數(shù)不

同時(shí)有占1種，兩個(gè)數(shù)相同時(shí)有空中，總計(jì)不同的取法有：3匚；

424

問(wèn)題解決：

□20是偶數(shù)，將20直接代入探究五所得的代數(shù)式，即可得到答案；

□31是奇數(shù)，將31直接代入探究六所得的代數(shù)式，即可得到答案；

【詳解】

解：探究三：第一步：在I?6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)

之和大于6,根據(jù)題意，有下列取法：1+6,2+6,2+5,3+6,3+5,3+4,4+6,4+5,

答案第9頁(yè)，共14頁(yè)

4+3,5+6,5+4,5+3,5+2,6+5,6+4,6+3,6+2,6+1；而1+6與6+1,2+5與5+2,...

是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有12t3爐+4+5=9=￡種

24

不同的取法；

第二步：在1?6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)相同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于6,

有一卜列取法：4+4,5+5,6+6,因此有7=3種不同的取法；

綜上所述，在1?6這6個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大

于6,有色+°=12種不同的取法.

42

探究四：在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,

第一步：在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,

根據(jù)題意，有下列取法：1+7,2+6,2+7,3+5,3+6,3+7,4+5,4+6,4+7,5+3,5+4,

5+6,5+7,6+2,6+3,6+4,6+5,6+7,7+1,7+2,7+3,7+4,7+5,7+6；而1+7與

7+1,2+6與6+2,…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復(fù)過(guò)一次，因此共有

1+2+3+3+4+5+67"-1工以才向3口宣并

=12=種不同的取法；

2------------4

第二步：在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)相同的數(shù)，使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大于7,

有下列取法：4+4,5+5,6+6,7+7,因此有三士=4種不同的取法；

綜上所述，在1?7這7個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)數(shù)之和大

于7,有二1+211=16種不同的取法.

42

探究五：在1?〃（〃為偶數(shù)）這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)

數(shù)之和大于〃，取法：

兩數(shù)不同時(shí)，取法有或，兩數(shù)相同時(shí)，取法有：g,

則總的取法有：田+巳=豆包二1;

424

探究六：在1?〃（〃為奇數(shù)）這〃個(gè)自然數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)（可重復(fù)），使得所取的兩個(gè)

數(shù)之和大于〃，取法:

兩數(shù)不同時(shí)，取法有一，兩數(shù)相同時(shí)，取法有：等,

n2-ln+1(n+1)2

則總的取法有:----1---=-----

424

問(wèn)題解決:

答案第10頁(yè)，共14頁(yè)

①20為偶數(shù)，則直接將〃=20代入探究五的公式中，有三角形的個(gè)數(shù)為

(〃+1)2-1(20+1>-1…

--------=----------=110;

44

②31為偶數(shù)，則直接將〃=31代入探究六的公式中，有三角形的個(gè)數(shù)為

5+1)2(31+1)2.

------=-------=25b;

44

故答案為：探究三結(jié)果見(jiàn)詳解，二二+四=16,("+D-T,婦121,mo；256；

4244

【點(diǎn)睛】

此題考查了三角形的三邊關(guān)系以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.此類題一般先是從較小的量入手，

采用列舉法得到結(jié)果，再在各個(gè)結(jié)果中尋求一個(gè)普遍