初二數學(下)應知應會的知識點

二次根式

1.二;欠根式：一般地，式子而，(a之0)叫做二次根式注意：(1)若aNO這個條件不成立，則金不

是二次根式；(2)冊是一個重要的非負數，即；冊>0.

2.重要公式：(1)(而『=a(a>0),⑵必=同=卜書;注意彳蜘a=(6)2(a>0).

11[-a(a<0)

3.積的算術平方根：加(a>0,b>0),積的算術平方根等于積中各因式的算術平方根的積;

注意：本章中的公式，對字母的取值范圍一般都有要求

4.二欠根式的乘法法則：VaVb=Vab(a>0,b>0).

5.二次根式匕徽大小的方法：

(1)利用近似值比大??；

(2)把二次根式的系數移入二次根號內，然后比大??；

(3)分別平方，然后比大小.

6.商的算術平方根:(a>0,b>0),商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術

平方根

7.二欠根式的除法法則:

⑴魯顯2b>0)；

(2)VaH-Vb=7a-e-b(a>0,b>0)；

(3)分母有理化：化去分母中的根號叫做分母有理化；具體方法是：分式的分子與分母同乘分母的有理化

因式，使分母變?yōu)檎?

8.常用分母有理化因式：冊與8，Va-8與金+瓜,mVa+nVb與mVa-nVb,它們

也叫互為有理化因式.

9.最簡二次根式：

(1)滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，①被開方數的因數是整數，因式是整式，②被

開方數中不含能開的盡的因數或因式；

(2)最簡二次根式中，被開方數不能含有小數、分數，字母因式次數低于2,且不含分母;

(3)化簡二次根式時，往往需要把被開方數先分解因數或分解因式；

(4)二次根式計算的最后結果必須化為最簡二次根式.

10.二欠根式化簡題的幾種類型：⑴明顯條件題；⑵隱含條件題；(3)討論條件題.

11.同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數相同，這幾個二次根式叫做同類二

次根武

12.二次根式的混合運算：

(1)二次根式的混合運算包括加、減、乘、除、乘方、開方六種代數運算，以前學過的，在有理數范圍內

的一切公式和運算律在二次根式的混合運算中都適用；

(2)二次根式的運算一般要先把二次根式進行適當化簡，例如：化為同類二次根式才能合并；除法運算有

時轉化為分母有理化或約分更為簡便；使用乘法公式等.

四邊形幾何A級概念：(要求深亥底里解'熟練運用'主要用于幾何證明)

1.四邊形的內角和與外角和定理：A幾何表達式舉例：

(1)四邊形的內角和等于360°；/\(1)VZA+ZB+ZC+ZD=360°

(2)四邊形的外角和等于360°.-------X

DLU??

(2),.?Zl+Z2+Z3+Z4=360°

BC

2.多邊形的內角和與外角和定理：幾何表達式舉例：

(1)n邊形的內角和等于(n-2)180°；略

(2)任意多邊形的外角和等于360°.

3.必亍四邊形的性質：幾何表達式舉例：

⑴兩組對邊分別平行；(1)???ABCD是平行四邊形

(2)兩組對邊分別相等；，AB〃CDAD/7BC

因為ABCD是平行四邊形=>.(3)兩組對角分別相等；(2)???ABCD是平行四邊形

(4)對角線互相平分；，AB=CDAD=BC

(5)鄰角互補.

⑶???ABCD是平行四邊形

.-.ZABC=ZADC

ZDAB=ZBCD

DC

(4)???ABCD是平行四邊形

???OA=OCOB=OD

AB(5)???ABCD是平行四邊形

.?.ZCDA+ZBAD=180°

4.甘亍四城的判定：幾何表達式舉例：

(1)：AB〃CDAD〃BC

(1)兩組對邊分別平行

(2)兩組對邊分別相等二四邊形ABCD是平行四邊形

(3)兩組對角分別相等■ABCD是平行四邊形.(2)：AB=CDAD=BC

(4)一組對邊平行且相等...四邊形ABCD是平行四邊形

⑸對角線互相平分

⑶

5.碰的雌幾何表達式舉例:

(1)具有平行四邊形的所有通性;(1)

因為ABCD是矩形=>.，(2)四個角都是直角；(2)：ABCD是矩形

(3)對角線相等..,.ZA=ZB=ZC=ZD=90°

DC(3)：ABCD是矩形

⑵.,.AC=BD

AB

6.覿的芋惋:幾何表達式舉例：

(1)平行四邊形+一個直角,(1)???ABCD是平行四邊形

(2)三個角都是直角n四邊形ABCD是矩形.XVZA=90°

對角線相等的平行四邊形

(3)...四邊形ABCD是矩形

(2)VZA=ZB=ZC=ZD=90°

...四邊形ABCD是矩形

⑶.........

7.新緲皿幾何表達式舉例：

因為ABCD是菱形(1)............................

(1)具有平行四邊形的所有通性;⑵：ABCD是菱形

=?(2)四個邊都相等；.,.AB=BC=CD=DA

(對角線垂直且平分對角.

3)⑶：ABCD是菱形

/.AC±BDZADB=ZCDB

8.菱形的判定:幾何表達式舉例：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等,(1);ABCD是平行四邊形

(2)四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱?.,DA=DC

(3)對角線垂直的平行四邊形...四邊形ABCD是菱形

形(2),.,AB=BC=CD=DA

...四邊形ABCD是菱形

⑶???ABCD是平行四邊形

?.?AC±BD

...四邊形ABCD是菱形

9.正方形的性質：幾何表達耕例:

因為ABCD是正方形

'(I)具有平行四邊形的所有通性；(2)TABCD是正方形

=<(2)四個邊都相等，四個角都是直角;.\AB=BC=CD=DA

(對角線相等垂直且平分對角.

3)ZA=ZB=ZC=ZD=90°

⑶「ABCD是正方形

□..\AC=BDAC±BD

AB(1)AB(2)(3)

10.正方形期IJ定：幾何表達式舉例：

(1)平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角'⑴：ABCD是平行四邊形

(2)菱形+一個直角,=四邊形ABCD是又?.,AD=ABZABC=90°

(3)矩形+一組鄰邊等四邊形ABCD是正方形

正方形⑵：ABCD是菱形

D__________c(3)\-ABCD是頤又?.,/ABC=90°

又；AD=AB四邊形ABCD是正方形

...四邊形ABCD是正方形

AB

11.等腰梯形的顫：幾何表達式舉例：

'(1)兩底平行，兩腰相等；(1)???ABCD是等腰梯形

因為ABCD是等腰梯形(2)同一底上的底角相等；???AD〃BCAB=CD

,3)對角線相等.⑵???ABCD是等腰梯形

.\ZABC=ZDCB

A______DZBAD=ZCDA

(3)??,ABCD是等腰梯形

BC.\AC=BD

12.等螂弟形的判定：幾何表達式舉例：

(1)梯形+兩腰相等(1)；ABCD是梯形且AD〃BC

(2)梯形+底角相等四邊形ABCD是等腰梯形又?.,AB=CD

(3)梯形+對角線相等...四邊形ABCD是等腰梯形

⑶：皿卬是梯形且AD〃BC(2)；ABCD是梯形且AD〃BC

A_______D

K,.,AC=BD又?；/ABC=/DCB

\AABCD四邊形是等腰梯形...四邊形ABCD是等腰梯形

BC

13.田談等分線段定理與推論：幾何表達式舉例：

X(1)如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其⑴..........

它直線上截得的線段也相等；(2)；ABCD是梯形且AB〃CD

(2)經過梯形一腰的中點與底平行的直線必平分另一腰；(如圖)又；DE=EAEF〃AB

(3)經過三角形一一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊；.CF=FB

(如圖)(3)；AD=DB

A

又：DE〃BC

----XT(2)(3)

.\AE=EC

ABBC

14.三角形中位線定理：幾何表達式舉例：

A

三角形的中位線平行第三邊，并且等于,.,AD=DBAE=EC

它的一半.

ADE//BC且DE=，BC

BC2

15.梯形中位線定理：幾何表達式舉例：

梯形的中WF行于兩底,并且等于兩DC,/ABCD是梯形且AB〃CD

底和的一半.XVDE=EACF=FB

；.EF〃旭〃CD

且EF=，(ABVD)

2

幾何B級概念：(要求理解、會講'會用，主要用于填空和選擇題)

-基本概念：四邊形，四邊形的內角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，

菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線

二定理：中心對稱的有關定理

XI.關于中心對稱的兩個圖形是全等形.

X2.關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.

X3.如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱.

三公式：

1.S菱形=Lab=ch.(a、b為菱形的對角線，c為菱形的邊長,h為c邊上的高)

2

2.S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高)

3.S梯形=,（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）

2

四常識：

※上若n是多邊形的邊數，則對角線條數公式是：幽二2

2

2.規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.

平行四邊形

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.

4.常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；僅是

中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、

圓…….注意：線段有兩條對稱軸.

X5.梯形中常見的輔助線:

X6.幾個常見的面積等式和關于面積的真命題:

新人教版八年級下冊數學知識點總結歸納期末總復習

一、第十六章二次根式【知識回顧】：

1.二次根式：式子W(a20)叫做二次根式。

2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：⑴被開方數中不含開方開的

盡的因數或因式；⑵被開方數中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同類二次根式：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數相同，則

這幾個二次根式就是同類二次根式。

4.二次根式的性質：(1)(1)(后)J0(&20)；(2)

/_ra(a>0)

=\c^=

0(a=0)；

-a(6f<0)

5.二次根式的運算：（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式

能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方

數是代數和的形式，那么先解因式，［變形為積的形式，再移因式到根號外面,

反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面.（2）二次根式的加減

法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式.（3）二次根式的

乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積

（商）的被開方數并將運算結果化為最簡二次根式.寂=?（a20,b

[by/h

20）；（b>0,a>0）.（4）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換

廠3

律及結合律，等法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根

式的運算

二、第十七章勾股定理歸納總結

1.勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那

<^a2+b2=c2

應用:

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在AABC中，NC=90。，則>,

b-dc1-a1,a—\lc2—b2）

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關系，求直角三角形的另兩邊。

2、勾股定理逆定理：如果三角形三邊長a,b,c滿足d+A2=c2那么這個三角

形是直角三角形。

應用：勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方

法。

（定理中a,6,C及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若

三角形三邊長a,b,c滿足（？+。2=匕2,那么以a,6,c為三邊的三角形是直

角三角形，但是6為斜邊）

3、勾股數

①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即4+從=/中,

a,6,c為正整數時，稱a,b,c為一組勾股數

②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；

7,24,25等

4.直角三角形的性質

（1）直角三角形的兩個銳角互余。可表示如下：ZC=90°=>ZA+ZB=90°

（2）在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°

I=>BC=-AB

f2

ZC=90°J

（3）,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

ZACB=90°]

>=>CD=-AB=BD=AD

2

D為AB的中點J

5、常用關系式由三角形面積公式可得：AB.CD=AC.BC

6、直角三角形的判定（1）、有一個角是直角的三角形是直角三角

形。（2）、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形

是直角三角形。

7、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。（1）

三角形共有三條中位線，并且它們又重新構成一個新的三角形。（2）要會區(qū)

別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊,

并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直

線平行。數量關系：可以證明線段的倍分關系。

常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：

結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。

結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形。

結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。

結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。

結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相

等。

8、命題、定理、證明

1、命題的概念判斷一件事情的語句，叫做命題。理解：命題的定義包

括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）這個句子必須對某件

事情做出判斷。

2、命題的定義包括兩層含義：（1）命題必須是個完整的句子；（2）

這個句子必須對某件事情做出判斷。

3、命題的分類（按正確、錯誤與否分）真命題（正確的命題）命

題假命題（錯誤的命題）.所謂正確的命題就是：如果題設成立，那么

結論一定成立的命題。所謂錯誤的命題就是：如果題設成立，不能證明結論

總是成立的命題。

4、公理人們在長期實踐中總結出來的得到人們公認的真命題，叫做公

理。

5、定經過證明被確認正確的命題叫做定理。我們把題設、結論正好相

反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它

的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）

6、證明判斷一個命題的正確性的推理過程叫做證明。

7、證明的一般步驟（1）根據題意，畫出圖形。（2）根據題設、結論、

結合圖形，寫出已知、求證。（3）經過分析，找出由已知推出求證的途徑,

寫出證明過程。

第十八章四邊形四邊形

1.四邊形的內角和與外角和定理：（1）四邊形的內角和等于360。；（2）

四邊形的外角和等于360°.

2.多邊形的內角和與外角和定理：（l）n邊形的內角和等于（n-2）180。；

（2）任意多邊形的外角和等于360。.

1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.

LC

2.平行四邊形的性質

角：平行四邊形的鄰角互補，對角相等；

A^--X

邊：平行四邊形兩組對邊分別平行且相等；

對角線：平行四邊形的對角線互相平分；

面積：①6=底'高=211；

3.平行四邊形的判定方法：

①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③一組平行且相等的四邊形是平行四邊形；

④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

3.⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

二、3.特殊的平行四邊形

(-)轆

1、矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形

2、矩形的性質

①邊：對邊平行且相等；②角：對角相等、鄰角互補；③對角線：對角線互相平分且

3、矩形的判定：

⑴平行四邊形+一個直角

AR

(2)三個角都是直角=四邊形ABCD球形.

(3)對角線相等的平行四邊形Jr-----------

(二)鄭___________

1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。?B

2、菱形的性質：

①邊：四條邊都相等；②角：對角相等、鄰角互補；③對角線：對角線互相垂直平分且每

條對角線平分每組對角；D

3、菱形的判定方法：A

(1)平行四邊形+一組鄰邊等]A4p\c

⑵四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形\/

(3)對角線互相垂直的平行四邊形JY

(三)正方形

1、定義：有一組鄰邊相等旦有一個直角的平行四邊形叫做正方形

2、正方形的性質：

①邊：四條邊都相等；②角：四角都是直角；③對角線：對角線互相垂直平分且相等，每

條對角線平分每組對角。

3、正方形的判定方法：

⑴平行四邊形+一組鄰邊等+一個直角'

(2)菱形+一個直角，=＞四邊形ABCD是正方形.

(3)矩形+一組鄰邊等

(四)三角形中位線定理：

三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.

如圖:VDE是AABC的中位線

，DE〃BC,DE=-BC

2

(五)幾種特殊四邊形的面積問題

①設矩形ABCD的兩鄰邊長分別為a,b,則§如形=ab.

②設菱形ABCD的一邊長為a,高為h,則S菱形=ah；若菱形的兩對角線的長分別為匕，c,

則S”影

③設正方形ABCD的一邊長為。，則S正方形=/；若正方形的對角線的長為匕，則

S正方形

14.三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的

一半.15.梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底

和的一半.一基本概念：四邊形，四邊形的內角，四邊形的外

角，多邊形，平行線間的距離，平行四邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱,

中心對稱圖形，梯形,等腰梯形,直角梯形,三角形中位線,梯形中位線,二定

理：中心對稱的有關定理※1.關于中心對稱的兩個圖形是全等形.派2.關

于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.

X3.如果兩個圖形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這

兩個圖形關于這一點對稱,三公式：1.S菱形=ab=ch.（a、b為菱形的

對角線，c為菱形的邊長，h為c邊上的高）2.S平行四邊形=ah.a為平

行四邊形的邊，h為a上的高）3.S梯形=（a+b）h=Lh.（a、b為梯形

的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）四常識：XI.若n是多邊形的邊

數，則對角線條數公式是：.2.規(guī)則圖形折疊一般''出一對全等，一對相似”.

3.如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關系.4.常見圖形中，僅

是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形……；

僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形……；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、

菱形、正方形、正偶邊形、圓…….注意：線段有兩條對稱軸.

第十九章一次函數

一.常量、變量：在一個變化過程中，數值發(fā)生變化的量叫做變量；

數值始終不變的量叫做常量。

二、函數的概念：函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個

變量x與y,并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，

那么我們就說x是自變量，y是x的函數.

三、函數中自變量取值范圍的求法：（1）用整式表示的函數，自變量

的取值范圍是全體實數。（2）用分式表示的函數，自變量的取值范圍是使分

母不為0的一切實數。（3）用奇次根式表示的函數，自變量的取值范圍是

全體實數。用偶次根式表示的函數，自變量的取值范圍是使被開方數為非負

數的一切實數。（4）若解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各部分

的取值范圍，然后再求其公共范圍，即為自變量的取值范圍。（5）對于與

實際問題有關系的，自變量的取值范圍應使實際問題有意義。

四、函數圖象的定義：一般的，對于一個函數，如果把自變量與函數

的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么在坐標平面內由這些點組成的圖

形，就是這個函數的圖象.五、用描點法畫函數的圖象的一般步驟1、列表

（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值。）注意：列表時自變量由小到

大，相差一樣，有時需對稱。2、描點：（在直角坐標系中，以自變量的值為

橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點。3、連線：（按

照橫坐標由小到大的順序把所描的各點用平滑的曲線連接起來）。

六、函數有三種表示形式：（1）列表法（2）圖像法（3）解析

式法

七、正比例函數與一次函數的概念：一般地，形如y=kx（k為常數，且k

NO）的函數叫做正比例函數.其中k叫做比例系數。一般地，形如

y=kx+b（kzb為常數,且kWO）的函數叫做一次函數.當b=0

時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數，是一次函數的特例.

八、正比例函數的圖象與性質：（1）圖象:正比例函數y=kx（k是常數,

kNO））的圖象是經過原點的一條直線，我們稱它為直線丫=4o（2）性質:

當k>0時，直線y=kx經過第三，一象限，從左向右上升，即隨著x的增大y

也增大；當k<0時，直線y=kx經過二，四象限，從左向右下降，即隨著x的

增大y反而減小。

九、求函數解析式的方法：待定系數法：先設出函數解析式，再根據條

件確定解析式中未知的系數，從而具體寫出這個式子的方法。1.一次函數

與一元一次方程：從“數”的角度看x為何值時函數y=ax+b的值為0.2.

求ax+b=O（a,b是常數，aWO）的解，從“形”的角度看，求直線y=ax+b與

x軸交點的橫坐標3.一次函數與一元一次不等式：解不等式ax+b>

0（a,b是常數，aWO）.從“數”的角度看，x為何值時函數y=ax+b的值

大于0.4.解不等式ax+b>O（a,b是常數，aWO）.從“形”的角度看，

求直線y=ax+b在x軸上方的部分（射線）所對應的的橫坐標的取值范圍.

十、一次函數與正比例函數的圖象與性質：一次函數概念如

>y=kx+b（k、b是常數，kWO）,那么y叫x的一次函數.當b=0時，一次

函數y=kx（kWO）也叫正比例函數.圖像是一條直線，性質：k>0時，y

隨x的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。籯<0時，y隨x的增大（或減?。┒鴾p小

（或增大）.直線y=kx+b（kWO）的位置與k、b符號之間的關系.（1）k>0,

b>0圖像經過一、二、三象限；（2）k>0,b<0圖像經過一、三、四象限;

（3）k>0,b=0圖像經過一、三象限；（4）kV0,b>0圖像經過一、二、

四象限；（5）kvO,b<0圖像經過二、三、四象限；（6）k<0,b=0圖

像經過二、四象限。一次函數表達式的確定求一次函數