例1〔福建理科第21題〕函數(shù)f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m〔Ⅰ〕求f(x)在區(qū)間[t,t+1]上的最大值h(t);〔Ⅱ〕是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？假設(shè)存在，求出m的取值范圍；，假設(shè)不存在，說明理由。解：〔Ⅰ〕略〔II〕∵函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，∴令f(x)=g(x)∴g(x)－f(x)=0∵x>0∴函數(shù)(x)=g(x)－f(x)=－8x+6lnx+m的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)?！弋?dāng)x∈(0,1)時(shí)，〉0，是增函數(shù)；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，〈0，是減函數(shù)；當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí)，〉0，是增函數(shù)；當(dāng)x=1或x=3時(shí)，=0?！鄕極大值1m－7,x極小值3m+6ln3－15.∵當(dāng)x→0時(shí)，(x)→，當(dāng)x時(shí)，(x)∴要使(x)=0有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，必須且只須∴7<m<15－6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為〔7，15—6ln3〕.〔分析草圖見下列圖1〕圖1圖2圖3引申1：如果〔Ⅱ〕中“有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)〞變?yōu)椤坝星抑挥幸粋€(gè)不同的交點(diǎn)〞怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3或m<7時(shí)，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有一個(gè)不同的交點(diǎn)〔分析草圖見圖2和圖3〕。引申2：如果〔Ⅱ〕中“有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)〞變?yōu)椤坝星抑挥袃蓚€(gè)不同的交點(diǎn)〞怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3或m=7時(shí)，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)〔分析草圖見圖4和圖5〕。圖4圖5從上題的解答我們可以看出，用導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問題，有以下幾個(gè)步驟：①構(gòu)造函數(shù)(x)=f(x)－g(x)②求導(dǎo)③研究函數(shù)(x)的單調(diào)性和極值〔必要時(shí)要研究函數(shù)圖象端點(diǎn)的極限情況〕④畫出函數(shù)(x)的草圖，觀察與x軸的交點(diǎn)情況，列不等式⑤解不等式得解解題的關(guān)鍵是會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想來研究問題。下面用這幾個(gè)步驟來完成2006年四川卷第21題。例2〔四川卷第21題〕函數(shù)其中是的f(x)的導(dǎo)函數(shù)?！并瘛硨?duì)滿足的一切的值，都有求實(shí)數(shù)ｘ的取值范圍；〔Ⅱ〕設(shè)，當(dāng)實(shí)數(shù)ｍ在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)ｙ＝f(x)的圖像與直線ｙ＝3只有一個(gè)公共點(diǎn)。解：〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕①當(dāng)時(shí)，的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，令(x)=f(x)-3=，==列表：〔(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增〈-4又∵(x)的值域是，且在上單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是〔分析草圖見圖6〕圖6當(dāng)然，題目并不是千篇一律的，也有些變式，但是根本方法沒有變化。如：2006年福建文科卷21題。例3〔福建文科卷第21題〕是二次函數(shù)，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。 〔I〕求的解析式； 〔II〕是否存在實(shí)數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？假設(shè)存在，求出的取值范圍；假設(shè)不存在，說明理由。解：〔Ⅰ〕f(x)=2(過程略)〔II〕方程等價(jià)于方程 設(shè) 那么當(dāng)是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)?！惨妶D7〕圖7方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根， 所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。從上面的探討，我們可以看出，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們除了要加強(qiáng)數(shù)學(xué)根底知識(shí)的學(xué)習(xí)，還要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法來研究問題，只有這樣，我們才能以不變應(yīng)萬變，才能提高我們的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。練習(xí)對(duì)于公比為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，是否存在一個(gè)等差數(shù)列，其中存在三項(xiàng)，使得這三項(xiàng)也是此等比數(shù)列中的項(xiàng)，并且項(xiàng)數(shù)也相同？證明你的結(jié)論。解：設(shè)等比數(shù)列，那么，設(shè)等差數(shù)列通項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，等比數(shù)列通項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)，由，由，設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，顯然，即為單調(diào)遞增函數(shù)，故至多與軸有一個(gè)交點(diǎn)，即方程至多有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，假設(shè)，那么；假設(shè)，那么；故在為減函數(shù)；在為增函數(shù)；因此的圖象在上與軸至多一個(gè)交點(diǎn)，在上亦至多一個(gè)交點(diǎn)，從而在上與軸至多有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程至多有兩個(gè)根；綜合以上可知，方程組至多有兩根，即這兩個(gè)