總量指標和相對指標統(tǒng)計數(shù)據(jù)集中趨勢的描述統(tǒng)計數(shù)據(jù)離中趨勢的描述數(shù)據(jù)分布形態(tài)的描述Z-分數(shù)與相關定理第3章數(shù)據(jù)特征的描述

統(tǒng)計資料經過加工整理形成分布數(shù)列后，我們對它的變化規(guī)律已有了一個直觀的了解。然而，要作進一步的統(tǒng)計分析僅靠這些直觀了解是遠遠不夠的，我們還需要尋找一些能充分度量統(tǒng)計分布數(shù)量特征的統(tǒng)計指標，以便對不同的研究對象進行分析研究。對統(tǒng)計資料的度量包括：對統(tǒng)計資料的簡單描述和比較（總量指標、相對指標）；集中趨勢的度量（平均指標）；離中趨勢的度量（變異指標）。3統(tǒng)計指標（按表現(xiàn)形式）總量指標——數(shù)量指標相對指標平均指標—質量指標統(tǒng)計指標（按反映的特征）數(shù)量指標（外延指標）反映客觀現(xiàn)象總體規(guī)模和水平，說明總體的外延范圍的大小或數(shù)量的多少，數(shù)量指標的數(shù)值大小必然會隨總體范圍變化而變動。質量指標——（內涵指標）反映客觀現(xiàn)象總體的一般水平或相對水平，說明總體的數(shù)量對比關系，其數(shù)值大小與總體范圍大小的變動沒有直接關系。3.1.1總量數(shù)據(jù)的描述1.總量指標的概念和作用表明現(xiàn)象在一定時間、地點、條件下的總規(guī)?；蚪^對水平的指標絕對數(shù)的形式表示；大小與總體范圍大小直接相關；認識現(xiàn)象的起點，計算相對指標、平均指標的基礎。3.1總量指標和相對指標2.總量指標的計量單位（1）實物單位

實物單位指以事物的自然屬性和特點進行計量的單位。

自然屬性單位：臺、棵、輛…

度量衡單位：

重量、長度等，公斤、米…

標準實物單位：糧食、能源（標準噸）等；

復合單位：

特點：使用價值明確；不同使用價值不能匯總

（2）價值單位

以貨幣作為價值尺度進行計量的單位。

特點：

不同使用價值可以匯總使用價值不明確(1)按反映總體的特征（內容）——總體總量和標志總量總體總量即總體單位總數(shù)表示總體本身的規(guī)模大小標志總量即總體各單位某一數(shù)量標志值總和。表示所研究現(xiàn)象的總水平。

總體單位總量與標志總量的區(qū)分，不是固定不變的，而是隨著研究目的和研究對象的不同而變化的。如：某地區(qū)工業(yè)企業(yè)職工總數(shù)以該地區(qū)每個工業(yè)企業(yè)職工為總體單位時——總體總量以該地區(qū)每個工業(yè)企業(yè)為總體單位時——標志總量3.總量指標的分類(2)按反映的時間狀況——時期指標和時點指標時期指標——流量反映總體在一段時期內活動過程的總量，指標數(shù)值可以累計相加，數(shù)值大小和時間的長短有直接關系；時點指標——存量是反映總體在某一時刻（瞬間）狀況的總量數(shù)值不能累計相加，數(shù)值的大小和時間間隔的長短沒有直接關系。試判斷下列指標中哪些是時期指標在校學生人數(shù)、招生人數(shù)、畢業(yè)生人數(shù)、出生人數(shù)、死亡人數(shù)、遷移人數(shù)、從業(yè)人數(shù)、失業(yè)人數(shù)3.1.2相對指標1.概念相對指標又稱相對數(shù)，是兩個有聯(lián)系的指標對比的比率。作用最常用的對比分析方法；使一些不能直接對比的現(xiàn)象有了共同對比的基礎；是經濟管理和考核評價企業(yè)經濟活動狀態(tài)的重要指標。2.種類（1）計劃完成相對指標10是實際完成數(shù)與計劃任務數(shù)的比率。（2）結構相對數(shù)（又稱比重）：

統(tǒng)計分組的基礎上，利用總體的部分數(shù)值與總體的全部數(shù)值的對比，來反映社會經濟現(xiàn)象的內部結構以及分布狀況分組為基礎分子分母不能互換，各組結構相對數(shù)之和為1或100%

（3）比例相對數(shù)：是在總體分組的基礎上，各組成部分之間的數(shù)量對比的比值，反映總體內部的比例關系（結構性的比例）。分子和分母可以互換；其單位可以是百分數(shù)、倍數(shù)，也可以用幾比幾形式；與結構相對數(shù)對比。

（4）比較相對數(shù)：

相同時間不同空間同類現(xiàn)象數(shù)值的對比，用以比較不同國家、不同地區(qū)、不同單位之間的經濟勢力強弱和工作優(yōu)劣。

（5）強度相對數(shù)：

是性質不同但又有聯(lián)系的兩個現(xiàn)象的總量指標對比的比值，用來反映現(xiàn)象的強度，密度和普遍程度。例如人口密度、每萬人擁有醫(yī)院病床數(shù)、人均綠地面積等均為強度相對數(shù)。

強度相對指標的分子與分母都是總量指標，其計量單位通常是復合計量，如人口密度（人/平方公里）、動力裝備程度（千瓦/人），每千人商業(yè)網點（個/千人）等，而其它相對指標都是沒有單位的，。對于少數(shù)分子與分母計量單位相同的強度相對指標，則用百分數(shù)或千分數(shù)表示，如資金利稅率、百元工資收儲率等。

強度相對指標常帶有“人均……”，但不是平均指標。區(qū)別正、逆指標——分子分母互換（6）動態(tài)相對數(shù)：是不同時間、同一空間的同一現(xiàn)象的數(shù)值對比，可以反映現(xiàn)象發(fā)展變化的相對程度（即發(fā)展速度）?；冢河靡员容^的標準時期；報告期：被比較的時期。

3.計算和應用相對指標應注意的問題（1）正確選擇對比基礎（2）指標對比要有可比性（3）相對數(shù)與絕對數(shù)結合運用每增長百分之一的絕對指標＝基期水平×1％（4）多種相對數(shù)綜合運用3.2數(shù)據(jù)集中趨勢的描述——平均指標統(tǒng)計數(shù)據(jù)的集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向。對集中趨勢的描述歸納起來有兩大類：一類是數(shù)值平均數(shù)，它是根據(jù)全部數(shù)值計算得到的代表值；另一類是位置平均數(shù)，是根據(jù)數(shù)據(jù)所處位置直接觀察或根據(jù)與所處位置有關的部分數(shù)據(jù)計算確定的代表值。3.2.1數(shù)值平均數(shù)1.算術平均數(shù)基本公式

例：平均工資=工資總額/職工人數(shù)平均成本=總成本/產量均值削弱了個體數(shù)值的差異，從整體上揭示了偶然性中的必然性；均值具有唯一性；具有良好的數(shù)學性質，是統(tǒng)計推斷的重要指標。（1）簡單算術平均數(shù)——未分組時

5名學生的考試成績分別為（分）：

70、80、80、85、85，他們的平均成績是多少？（70+80+80+85+85）/5=80（分）（2）加權算術平均數(shù)

——當數(shù)據(jù)已分組，形成了變量數(shù)列：工人日產量（件）x工人人數(shù)（人）f

1011121314

70100380150100合計800加權平均數(shù)（件）權數(shù)（權重）

——權衡輕重（影響）作用的數(shù)（變量）。權數(shù)的兩種形式——絕對數(shù)（次數(shù)）f；

——相對數(shù)（比重）比重權數(shù)更能夠直接體現(xiàn)權數(shù)的實質：（3）調和平均數(shù)（倒數(shù)平均數(shù)）計算算術平均數(shù)，有時只掌握了各組變量值之和的資料，為了符合基本公式，應該首先經過除法運算求得分母數(shù)據(jù)，再計算平均數(shù)。這樣計算平均數(shù)的方法稱為“調和平均法”，得到的平均數(shù)稱為“調和平均數(shù)”。工人日產量（件）x工人日總產量（件）xf1011121314

7001100456019501400合計9710調和平均數(shù)的計算形式“倒數(shù)的算術平均數(shù)的倒數(shù)”（件）(4)算術平均數(shù)的特點和數(shù)學性質特點：算術平均數(shù)受變量值和變量值出現(xiàn)次數(shù)的共同影響；算術平均數(shù)靠近出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值；算術平均數(shù)受極端變量值的影響；數(shù)學性質：

1.各變量值與算術平均數(shù)的離差和為零

2.變量值與算術平均數(shù)的離差平方和最小說明以算術平均數(shù)以外的任何數(shù)為中心，其離差都大于以平均數(shù)為中心的離差。相對數(shù)的算術平均數(shù)符合相對數(shù)本身公式

2.幾何平均數(shù)集中趨勢的測度值之一

N個變量值乘積的N次方根主要用于計算平均速度、平均比率

當標志總量等于各個標志值的乘積，而不是之和時，計算平均數(shù)就采用幾何平均數(shù)。例某企業(yè)生產某種產品要經過三道工序，各工序的合格品率分別為95%、96%和98%。該產品三道工序的平均合格品率為多少？三道工序的平均合格品率為96.32%.思考平均廢品率為多少？

【例】一位投資者持有一種股票，近四年的年收益率分別為4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。計算該投資者在這四年內的平均收益率。3.2.2位置平均數(shù)

1.眾數(shù)(Mode)眾數(shù)是指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的變量值（數(shù)據(jù)）。眾數(shù)是一種位置平均數(shù)，且不受極端值的影響。

只有在總體單位充分多，且又有明顯的集中趨勢時才可能確定眾數(shù)。在較小的總體范圍內，確定眾數(shù)沒有意義?？赡軟]有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)主要用于定類數(shù)據(jù)，也可用于定序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)定類數(shù)據(jù)的眾數(shù)某城市居民關注廣告類型的頻數(shù)分布廣告類型人數(shù)(人)比例頻率(%)商品廣告服務廣告金融廣告房地產廣告招生招聘廣告其他廣告112519161020.5600.2550.0450.0800.0500.01056.025.54.58.05.01.0合計2001100【例】根據(jù)第二節(jié)數(shù)據(jù)，算眾數(shù)解：這里的變量為“廣告類型”，這是個定類變量，不同類型的廣告就是變量值。我們看到，在所調查的200人當中，關注商品廣告的人數(shù)最多，為112人，占總被調查人數(shù)的56%，因此眾數(shù)為“商品廣告”這一類別，即

Mo＝商品廣告組距式數(shù)列的眾數(shù)用于組距式數(shù)列眾數(shù)的值與相鄰兩組頻數(shù)的分布有關

MoMoMo相鄰兩組的頻數(shù)相等時，眾數(shù)組的組中值即為眾數(shù)。相鄰兩組的頻數(shù)不相等時，眾數(shù)采用下列近似公式計算：該公式假定眾數(shù)組的頻數(shù)在眾數(shù)組內均勻分布2.中位數(shù)(Me)（1）中位數(shù)概念中位數(shù)是根據(jù)變量值的位置來確定的平均數(shù)。將變量值按大小順序排序，處于中間位置的變量值（或數(shù)據(jù)）即中位數(shù)，用Me表示。由于中位數(shù)是位置代表值，所以不會受極端值的影響，具有較高的穩(wěn)健性。

主要用于定序數(shù)據(jù)，也可用數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不能用于定類數(shù)據(jù)各變量值與中位數(shù)的離差絕對值之和最小，即（2）中位數(shù)的計算未分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分組數(shù)據(jù)的中位數(shù)（1）在單項式變量數(shù)列中確定中位數(shù)。

先計算累計次數(shù)，仍用（n＋1）/2的方法，確定中位點次，該位次所在組對應的標志值就是中位數(shù)。編制累計次數(shù)表；根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組；采用下列近似公式計算中位數(shù)：（2）組距數(shù)列中確定中位數(shù)其中為中位數(shù)所在組的下限；為中位數(shù)所在組的上限；為總次數(shù)；為中位數(shù)組前一組的向上累計次數(shù)；為中位數(shù)組后一組的向下累計次數(shù)；為中位數(shù)組的次數(shù)；為中位數(shù)組的組距該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內均勻分布按成績分組（分）學生人數(shù)（人）向上累計60以下60—7070—8080—9090—10021519153217365154合計54——3.四分位數(shù)四分位數(shù)是通過3個點將全部數(shù)據(jù)等分為4部分，其中每部分包括25%的數(shù)據(jù)。很顯然，第二個四分位數(shù)就是中位數(shù)，因此通常所說的四分位數(shù)是指處在25%位置上的數(shù)值（下四分位數(shù)QL）和處在75%位置上的數(shù)值（上四分位數(shù)QU）。與中位數(shù)的計算方法類似，根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算四分位數(shù)時，首先對數(shù)據(jù)進行排序，然后確定四分位數(shù)所在的位置。3.2.3平均指標的比較和應注意的問題1.中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)的關系對稱鐘形分布情形下：非對稱左偏分布情形下：非對稱右偏分布情形下：左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)對稱分布

均值=

中位數(shù)=

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

均值2.計算和應用平均指標應注意的問題同質性與分組結合與變異指標結合反映總體單位變量值的離中趨勢（或差異程度，均衡性、穩(wěn)定性）衡量平均數(shù)的代表性。

變異指標越大，平均數(shù)代表性越??；變異指標越小，平均數(shù)代表性越大。3.3數(shù)據(jù)離中趨勢的描述——變異指標1、全距(極差)：最大的變量值與最小的變量值之差，用R表示。未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：R

=最高組上限－最低組下限3.3.2極差與四分位差一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差離散程度的最簡單測度值易受極端值影響未考慮數(shù)據(jù)的分布7891078910全距是數(shù)據(jù)離勢的不敏感量度◎全距信息含量不大全距只是量化了數(shù)據(jù)集中最大最小兩個極端值之間距離，反映不出所有測量值對于中心的離散程度。但由于計算簡便，常用來檢查產品質量的穩(wěn)定性和進行質量控制，如極差控制圖。2.四分位差上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之差，稱為四分位差，也稱為內距或四分間距，四分位差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度，其數(shù)值越小，說明中間的數(shù)據(jù)越集中，數(shù)值越大，說明中間的數(shù)據(jù)越分散。四分位差不受極值的影響。此外，由于中位數(shù)處于數(shù)據(jù)的中間位置，因此四分位差的大小在一定程度上也說明了中位數(shù)的代表程度。3、平均差各變量值與其均值離差絕對值的平均數(shù)能全面反映一組數(shù)據(jù)的離散程度數(shù)學性質較差，實際中應用較少計算公式為：未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：4.方差Variance和標準差S.D

測度標志變異最重要，最常用的指標。

標準差＝方差的平方根。

方差——變量值與平均數(shù)的離差平方的平均數(shù)。方差和標準差的數(shù)學性質：（1）每個變量值加上一個常數(shù)，方差和標準差不變。（2）若每個變量值擴大一個常數(shù)倍，方程和標準差也同比例變化。（3）同一數(shù)列的標準差不小于平均差；組內方差的平均數(shù)是各組方差的加權算術平均數(shù)。組間方差是各組平均數(shù)的方差（4）分組條件下，總方差可以分解成組內方差平均數(shù)和組間方差兩部分，即：其中，全距、四分位差、平均差和標準差有計量單位，是標志變異的絕對指標。而且指標的大小不僅取決于變量值的差異程度，還取決于變量值水平的高低。因而，對于具有不同水平的數(shù)列，或不同量綱的數(shù)列，都不能直接用全距、平均差、和標準差來比較平均數(shù)代表性的大小。只能用相對形式——變異系數(shù)——進行比較。3.3.5離散系數(shù)與異眾比率標志變異指標與其相應的均值之比消除了數(shù)據(jù)水平高低和計量單位的影響測度了數(shù)據(jù)的相對離散程度用于對不同組別數(shù)據(jù)離散程度的比較意義是單位平均數(shù)上的差異異眾比率1. 離散程度的測度值之一非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重計算公式為：

4.用于衡量眾數(shù)的代表程度3.4數(shù)據(jù)分布形態(tài)的測定偏態(tài)和峰態(tài)是數(shù)據(jù)分布的重要特征。偏態(tài)也稱為偏度，指變量圍繞其均值的非對稱方向和程度。峰態(tài)也稱為峰度，指數(shù)據(jù)分布曲線的凸起或平坦程度。偏度和峰度主要用于判斷總體的分布是否接近于正態(tài)分布。測量偏度和峰度最常用的方法是計算偏度系數(shù)和峰度系數(shù)，而這兩個系數(shù)的計算需要理解“矩”概念。3.4.1k階矩矩又叫做動差。統(tǒng)計學上常常用矩來測度數(shù)據(jù)分布的形態(tài)。若以a值為變量x的中點，所有變量值與a之離差的k次方的平均數(shù)為變量關于a的k階矩：對分組資料，各階矩公式為:當a=0時，即變量以原點為中心，稱上式為k階原點矩。則一階原點矩為算術平均數(shù)，二階原點矩為平方平均數(shù)。當a=時，即變量以均值為中心，稱上式為k階中心矩，用mk表示。根據(jù)算術平均數(shù)的性質和方差的定義可知，一階中心矩為0，二階中心矩為方差，即：3.4.2偏態(tài)的測定1.由中心矩測定偏態(tài)只有奇數(shù)階中心矩才能正的離差和與負離差之和能被抵消，才能用于分布的形態(tài)的測度，三階中心矩最為簡單，故常用三階中心矩來測度偏態(tài)。

由于中心矩是有計量單位的數(shù)，所以利用m3測定偏態(tài)的方法，是將三階中心矩除以標準差的三次方σ3，所得的系數(shù)通常稱為偏度或偏度系數(shù)，用SK表示，其計算公式為：當分布對稱時，SK=0；當SK為正值時，表示正離差值較大，可以判斷為右偏分布或正偏分布；當SK為負值時，表示負離差數(shù)值較大，可以判斷為左偏分布或負偏分布。SK的絕對值越大，表示偏斜的程度越大。3.4.3峰態(tài)的測定峰態(tài)是以正態(tài)分布曲線為標準來衡量其尖峭程度的，通常分為正態(tài)、尖頂與平頂三種。當頻數(shù)分布曲線較正態(tài)分布曲線更為隆起、更瘦更高的，稱為尖頂峰度；分布曲線較正態(tài)分配曲線更為平坦、更胖更矮的，稱為平頂峰度。測定峰態(tài)往往以四階中心矩為基礎。將四次中心矩除以標準差的四次方，所得到的相對數(shù)就是峰態(tài)的測度值，一般稱為峰度系數(shù)，簡稱峰度，用Kurt表示,其計算公式為：當Kurt＝3時，頻數(shù)分布曲線為正態(tài)曲線；當Kurt＜3時，為平頂曲線；當Kurt＞3時，為尖頂曲線，如果Kurt的數(shù)值越大于3，則頻數(shù)分布曲線的頂端越尖峭。如果Kurt的數(shù)值越小于3，則頻數(shù)分布曲線之頂端越平坦，待到Kurt接近于1.8時，頻數(shù)分布趨向一條水平線，即各組包括相同頻數(shù)，因而分布形態(tài)成為矩形分布；當Kurt的數(shù)值在