烏魯木齊市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（8小題每題5分共40分）1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z和表示的點關(guān)于虛軸對稱，則復(fù)數(shù)z＝()A． B．C． D．2．已知集合,且,那么m的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢三百六十，乙持錢二百八十，丙持錢二百，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅六十五錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持360錢，乙持280錢，丙持200錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共65錢，要按照各人帶錢多少的比例進行交稅，問三人各應(yīng)付多少錢？下列說法錯誤的是（

）A．甲應(yīng)付錢 B．乙應(yīng)付錢C．丙應(yīng)付錢 D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少4．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則（

）A． B． C． D．5．以為焦點且與直線有公共點的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是（

）A． B．C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．的值是（

）A． B． C． D．8．等比數(shù)列的前n項和為，已知，，則=（

）A． B． C． D．二、多選題（共4小題每題五分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。）9．如圖，為圓錐的底面圓O的直徑，點是圓上異于A，C的動點，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓錐的側(cè)面積為.B．三棱錐體積的最大值為1.C．的取值范圍.D．若，為線段上的動點，則的最小值.10．拋物線的焦點為，點都在拋物線上，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線方程為B．是的重心C．D．11．已知函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．若對都有成立，則B．若使得有解，則C．若且使得，則D．若使得，則12．某國產(chǎn)殺毒軟件的比賽規(guī)則為每個軟件進行四輪考核，每輪考核中能夠準確對病毒進行查殺的進入下一輪考核，否則被淘汰．已知某個軟件在四輪考核中能夠準確殺毒的概率依次是且各輪考核能否通過互不影響，則（）A．該軟件通過考核的概率為B．該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為C．該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為D．在此次比賽中該軟件平均考核了輪三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13．已知單位向量滿足，則．14．已知正四棱錐的底面邊長為2，現(xiàn)用一平行于正四棱錐底面的平面去截這個棱錐，截得棱臺的上、下底面的面積之比為1：4，若截去的小棱錐的側(cè)棱長為2，則此棱臺的表面積為.15．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為；在極坐標系（以原點為坐標原點，以軸正半軸為極軸）中曲線的方程為，則與的交點的距離為16．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，則的概率為．四、解答題（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，.（1）若且，求角的大??；（2）若為銳角三角形，且，，求面積的取值范圍.18．已知公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）在平面直角坐標系中，設(shè)，，，記以，，，四點為頂點的四邊形面積為，求．19．某校為了解高一期末數(shù)學(xué)考試的情況，從高一的所有學(xué)生數(shù)學(xué)試卷中隨機抽取份試卷進行成績分析，得到數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖（如圖所示），其中成績在的學(xué)生人數(shù)為6．（1）估計所抽取的數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)；（2）用分層抽樣的方法在成績?yōu)楹瓦@兩組中共抽取5個學(xué)生，并從這5個學(xué)生中任取2人進行點評，求分數(shù)在恰有1人的概率．20．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.21．（1）已知直線l過點，它的一個方向向量為．①求直線l的方程；②一組直線，，，，，都與直線l平行，它們到直線l的距離依次為d，，，，，（），且直線恰好經(jīng)過原點，試用n表示d的關(guān)系式，并求出直線的方程（用n、i表示）；（2）在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線，，，，的直線簇，使它同時滿足以下三個條件：①點；②，其中是直線的斜率，和分別為直線在x軸和y軸上的截距；③.22．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意，都有．答案解析1．A【解析】試題分析：.考點：復(fù)數(shù)的基本運算.2．A【解析】試題分析：有意義，則，所以，，因為，所以，即，所以的最大值是，故選A．考點：1、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)；2、集合的子集；3、集合的補集運算．3．C【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和計算方法，準確運算，即可求解.【解析】由題意可得，所以甲付（錢），乙付（錢），丙付（錢），所以選項C中的說法錯誤.故選：C.4．C【分析】根據(jù)題意知函數(shù)為奇函數(shù)，化簡可得，據(jù)此可求出值.【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，即，所以可得，即，，即，，.故選：C5．C【分析】由題意得橢圓的方程為，離心率為，根據(jù)直線與橢圓有公共點，聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，得到離心率取得最大值，即可求得橢圓的方程.【解析】設(shè)橢圓的方程為，根據(jù)題意，可得，則，所以，所以橢圓的離心率為，因為直線與橢圓有公共點，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，解得或（舍去），所以的最小值為，此時離心率取得最大值，所以橢圓的方程為.故選：C.6．C【分析】求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，然后令，，由此構(gòu)造不等式組求解即可.【解析】解：因為函數(shù)，所以，且，由得，解得.在區(qū)間，上單調(diào)遞減，，解得.故選：C.7．B【分析】由半角公式計算．【解析】．故選：B．8．D【解析】試題分析：，因此由，選D．考點：等比數(shù)列通項9．CD【分析】對于選項A：直接利用扇形的面積公式求解；對于選項B：直接求出三棱錐體積的最大值；對于選項C：先求出的范圍，由,即可求出的范圍；對于選項D：將△SAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與△ABC共面,判斷出.利用余弦定理求出最小值.【解析】在Rt△SOC中,,則圓錐的母線長,半徑r=OC=1.對于選項A：圓錐SO的側(cè)面積為.故選項A錯誤；對于選項B：當時,△ABC的面積最大,此時，則三棱錐體積的最大值為:.故選項B錯誤；對于選項C：當點B與點A重合時,為最小角;當點B與點C重合時,,達到最大值.又因為點B與A,C不重合,則.又,可得,故選項C正確；對于選項D：因為,所以.又,所以△SAB為等邊三角形，∴.將△SAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與△ABC共面,得到△S1AB,則△S1AB為等邊三角形,.如圖：.因為,,∴；故選項D正確.故選：CD10．ABD【分析】把點代入可得拋物線的方程，結(jié)合向量運算可得是的重心，利用拋物線的定義可得，利用三角形面積公式及，可得.【解析】對于A，由在拋物線上可得，即拋物線方程為，正確；對于B，分別取的中點，則，，即在中線上，同理可得也在中線上，所以是的重心，正確；對于C，由拋物線的定義可得，所以.由是的重心，所以，即，所以，不正確；對于D，，；同理,，所以，正確.故選：ABD.11．ACD【分析】根據(jù)二次不等式恒成立可判斷A，利用二次不等式有解問題可判斷B，根據(jù)二次方程根的分布可判斷CD.【解析】A選項：由題意，解得，故A正確；B選項：由開口向上，故只需或，解得，B錯誤；C選項：由題可知方程有兩個不相等的正實根，則，解得，C正確；D選項：由題可知，解得，D正確．故選：ACD.12．ABD【分析】設(shè)事件，2，3，表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知可得，，，，再利用互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式以及對立事件的概率公式一一計算可得．【解析】解：設(shè)事件，2，3，表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知得，，，，該軟件通過考核的概率為；該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為，故選項B正確；該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為，故選項C不正確；設(shè)在此次比賽中，該軟件考核了輪，∴的可能取值為1，2，3，4，，，，，∴，故選項D正確．故選：ABD13．【分析】轉(zhuǎn)化為，利用向量數(shù)量積的運算律展開，結(jié)合為單位向量，即得解【解析】因為，所以，所以．故答案為：14．【解析】根據(jù)棱臺的上、下底面的面積之比為1：4，利用相似比得到棱臺的上、下底面的邊長之比為1：2，再根據(jù)截去的小棱錐的側(cè)棱長為2和正四棱錐的底面邊長為2，得到棱臺的底面邊長和斜高，代入公式求解.【解析】如圖所示：因為棱臺的上、下底面的面積之比為1：4，所以棱臺的上、下底面的邊長之比為1：2，因為截去的小棱錐的側(cè)棱長為2，所以正四棱錐的側(cè)棱長為4，又因為正四棱錐的底面邊長為2，即，所以，作，則，，所以此棱臺的表面積為，故答案為：15．【解析】試題分析：由得，，∴曲線的普通方程為得，曲線的方程為，即，得，∴曲線的直角坐標方程為，∵圓的圓心為，∵圓心到直線的距離，又，所以弦長，則與兩交點的距離為，故答案為．考點：參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓的位置關(guān)系；點的極坐標和直角坐標的互化．16．【分析】由，求得，結(jié)合長度比的幾何概型的計算公式，即可求解.【解析】因為，由，解得，則，可得的概率為.故答案為：.17．（1）；（2）.【分析】（1）先根據(jù)正弦定理化簡得，再代入條件化簡得，（2）根據(jù)正弦定理以及三角形面積公式得面積為，再根據(jù)銳角三角形確定B角范圍，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求取值范圍.【解析】（1）由于，由正弦定可得，即，，，故，，又，所以，即由于，所以，由于是三角形的內(nèi)角，故.（2）由，所以，，所以面積為由于為銳角三角形，所以，即，解得，所以，，所以.即面積的取值范圍是.18．（1）（2）【解析】（1）由，，成等比數(shù)列求得公差，可得通項公式；（2）求出四邊形面積，可得，由等差數(shù)列前項和公式可得．【解析】（1）設(shè)的公差為，則，，，依題意，，即，化簡得：，又，故．．（2）由題知，四邊形為直角梯形，故，故．19．（1）75；（2）【解析】試題分析：（1）最高矩形中點橫坐標既是眾數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣原理及直方圖可知所抽取人中，第五組應(yīng)抽取抽取人，列舉出人抽取二人所有情況，共種，其中符合條件的共有種，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.試題解析：（1）由頻率分布直方圖可知：樣本的眾數(shù)為75．（2）由頻率分布直方圖可得：第三組的頻率：，所以，∴第四組的頻數(shù)：：第五組的頻數(shù)：；用分層抽樣的方法抽取5份得：第四組抽?。?；第五組抽?。海洺榈降谒慕M的三位同學(xué)為，抽到第五組的兩位同學(xué)為，則從5個同學(xué)中任取2人的基本事件有：，共10種．其中分數(shù)在恰有1人有：，共6種．∴所求概率：．考點：1、頻率分布直方圖的應(yīng)用；2、分層抽樣及古典概型概率公式.20．（1）證明見解析；（2）60°.【解析】（1）直角梯形及已知線段長可得，由勾股定理知，由面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)，根據(jù)線面垂直的判定即可證平面；（2）取中點F，過點F作，與交于點O，連接，，由二面角的定義知是二面角的平面角，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)及線段長即可求的大小.【解析】（1）證明：在直角梯形中，由，，得因為，，所以，即因為平面平面，平面平面，平面所以平面，又平面，所以因為，，平面，平面所以平面（2）取中點F，過點F作，與交于點O，連接，因為，平面，所以平面所以是二面角的平面角，在中，由，，所以在中，由，，所以二面角的大小是60°.21．（1）①；②，；（2）不存在.【分析】（1）根據(jù)直線的方向向量可得直線的斜率,結(jié)合點斜式即可求得直線方程;根據(jù)直線平行且過原點,可得直線的方程,由平行線間距離公式可得n與d的關(guān)系式,設(shè)出直線的方程,根據(jù)點到直線距離公式可求得直線方程.（2）假設(shè)存在這樣的直線簇.先求得,的表達式,進而表示出.通過迭加法求得,即可證明當時,與不能成立.【解析】（1）①直線l方向向量為所以直線的斜率為直線l過點,由點斜式方程可得即直線l的方程為：；②直線且經(jīng)過原點,直線的方程為：由題意知直線到l的距離為,根據(jù)平行線間距離公式可得則設(shè)直線的方程為：由題意知：直線到直線l的距離為,所以直線的方程為：；（2）假設(shè)存在滿足題意的直線簇．由①知的方程為：,,分別令,得,,由,即,,迭加得．由③知所有的同號,僅討論的情形,由,所以顯然,當時,與矛盾！故滿足題意的直線簇不存在．22．（1）時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)在上單