第二章等式與不等式

2.2不等式

2.2.3一元二次不等式的解法基礎(chǔ)知識情境與問題汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”。剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù)。

不難看出，要判斷甲、乙兩車是否超速，就是要得到它們車速的取值范圍，也就是要解不等式

即v2－10v－600>0和___________________.

v2－10v－2000>0一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式稱為一元二次不等式，其中a，b，c是常數(shù)，而且a≠0。一元二次不等式中的不等號也可以是“<”“≥”“≤”等。如何求一個一元二次不等式的解集呢?讓我們從簡單的一元二次不等式開始探討。首先來看一元二次不等式x(x－1)>0.①嘗試與發(fā)現(xiàn)任意選定一些數(shù)，看它們是否是不等式①的解，由此給出解這個不等式的方法。注意到只有兩個同號的數(shù)相乘，結(jié)果才能是正數(shù)，也就是說，ab>0當(dāng)且僅當(dāng)a>0b>0a＜0b＜0或因此，不等式①可以轉(zhuǎn)化為兩個不等式組x>0x－1>0x＜0x－1＜0或解得x>1或x＜0，因此，不等式①的解集為(－∞，0)∪(1，＋∞).用類似的方法可以求得不等式(x＋1)(x－1)<0②的解，但此時的依據(jù)是：ab<0當(dāng)且僅當(dāng)或____________a＜0b＞0a＞0b＜0因為不等式②可以轉(zhuǎn)化為兩個不等式組x＋1＜0x－1>0x＋1＞0x－1＜0或不難解得x∈?或______________，因此不等式②的解集為____________－1＜x＜1(－1，1)一般地，如果x1＜x2，則不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2),不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).典例精析例1求不等式x2－x－2>0的解集.解：因為

x2－x－2=(x＋1)(x－2),所以原不等式等價于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集為(－∞，－1)∪(2，＋∞).回到情境與問題中的不等式，v2－10v－600>0可以化為(v＋20)(v－30)＞0，因此甲車的車速v＞30；而v2－10v－2000>0可以化為______________________，因此乙車的車速____________。由此可見，乙車肯定超速了。上述我們介紹的一元二次不等式的解法，使用的主要工具是因式分解。當(dāng)然，這種方法只有在一元二次不等式是特殊類型時才比較方便，那么一般情況該怎么辦呢?(v＋40)(v－50)＞0v＞50嘗試與發(fā)現(xiàn)通過代入數(shù)值驗證的方法，猜測以下一元二次不等式的解集，由此總結(jié)求一元二次不等式解集的一般方法:(1)x2＜－1；(2)x2>－2；(3)x2<9.

?R典例精析例2求下列不等式的解集：(1)x2＋4x＋1≥0；(2)x2－6x－1≤0；(3)－x2＋2x－1<0；(4)2x2+4x+5>0.

(3)原不等式可化為x2－2x+1>0，又因為x2－2x+1=(x－1)2，所以上述不等式可化為(x－1)2＞0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以原不等式的解集為(－∞，1)∪(1，＋∞).(4)原不等式可以化為

因為

不難看出，這個不等式恒成立，即原不等式的解集為R.由上可知，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)?x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2＜k的形式，然后根據(jù)k的正負(fù)等知識，就可以得到原不等式的解集。一元二次不等式的解法(1)因式分解法如果x1<x2，則不等式____________________的解集是(x1，x2)；不等式____________________的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)。(2)配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總是可以變?yōu)開________________________的形式，再由k值情況，可得原不等式的解集，如下表：(x－x1)(x－x2)<0

(x－x1)(x－x2)>0

(x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k

用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是什么？提示：用配方法解一元二次不等式的關(guān)鍵是熟練掌握二次三項式的配方技巧。典例精析

基礎(chǔ)自測D

B

3.①x2＋x＋1<0，②－x2－4x＋5≤0，③x＋y2＋1>0，④mx2－5x＋1>0，⑤－x3＋5x≥0，⑥(a2＋1)x2＋bx＋c>0(m，n∈R)．其中關(guān)于x的不等式是一元二次不等式的是__________.(請把正確的序號都填上)解析：①②是；③不是；④不一定是，因為當(dāng)m＝0時，它是一元一次不等式；⑤不是，因為未知數(shù)的最高次數(shù)是3；⑥是，盡管x2的系數(shù)含有字母，但a2＋1≠0，所以⑥與④不同，故答案為①②⑥。①②⑥

4．不等式組0≤x2－2x－3<5的解集為_____________________.解析：由x2－2x－3≥0得x≤－1或x≥3；由x2－2x－3<5得－2<x<4.∴－2<x≤－1或3≤x<4.∴原不等式的解集為(－2，－1]∪[3,4)．(－2，－1]∪[3,4)

5．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，則k的取值范圍是_________.解析：x＝1是不等式k2x2－6kx＋8<0的解，把x＝1代入不等式，得k2－6k＋8<0，解得2<k<4.(2,4)

典例剖析解不含參數(shù)的一元二次不等式解下列不等式：(1)x2＋x＋1>0；(2)(3x－1)(x＋1)>4.思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解。歸納提升：一元二次不等式的解題策略1．因式分解法：不等式的左端能夠進(jìn)行因式分解的可用此法，它只能適應(yīng)于解決一類特殊的不等式。2．配方法：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通過配方總可以化為(x－h(huán))2>k或(x－h(huán))2<k的形式，然后根據(jù)k值的正負(fù)即可求得不等式的解集。對點(diǎn)訓(xùn)練解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)4x2－12x＋9>0.典例剖析分式不等式的解法解下列不等式：思路探究：(1)解分式不等式的關(guān)鍵是把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，特別注意不能直接去分母。(2)當(dāng)分式不等式的右邊不為0時，要先移項、通分、合并同類項，再進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化。對點(diǎn)訓(xùn)練A

(－∞，－1)∪(3，＋∞)

典例剖析一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系不等式ax2＋bx＋2>0的解集為{x|－1<x<2}，則不等式2x2＋bx＋a>0的解集為(

)A

思路探究：解答本題需從一元二次不等式的解集與不等式對應(yīng)的一元二次方程根的情況的關(guān)系著手。對點(diǎn)訓(xùn)練A典例剖析忽略二次項系數(shù)為負(fù)求一元二次不等式－x2＋5x－4>0的解集。錯因探究：解一元二次不等式時易忽略二次項系數(shù)的符號，特別是當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)，利用因式分解法解不等式時，容易寫錯解集。解析：原不等式等價于x2－5x＋4<0，即等價于(x－1)(x－4)<0，所以原不等式的解集為{x|1<x<4}。誤區(qū)警示：若一元二次不等式的二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)，通常先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再求解。將二次項系數(shù)化為正數(shù)時，可以將不等式兩邊同乘以－1，也可以移項，具體解題時，一定要注意不等號的方向。二次項系數(shù)含參數(shù)時，要嚴(yán)格分系數(shù)為正、系數(shù)為0、系數(shù)為負(fù)三種情況進(jìn)行討論，缺一不可，若認(rèn)為當(dāng)系數(shù)為0時，為一元一次不等式，故不討論，這是不可以的。因為只要題中沒有明確說明為一元二次不等式，就必須討論這種情況。典例剖析用分類討論思想解含參不等式對于含參數(shù)的一元二次不等式，若二次項系數(shù)為常數(shù)，則可先考慮分解因式，再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對判別式進(jìn)行分類討論，分類要不重不漏。解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．思路探究：本題考查含參數(shù)的一元二次不等式的求解，可通過分解因式、分類討論求解。解析：原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0。當(dāng)a<0時，a<a2，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)a＝0時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠0，x∈R}；當(dāng)0<a<1時，a2<a，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝1時，a2＝a，原不等式的解集為{x|x≠1，x∈R}；當(dāng)a>1時，a<a