福建省南平市重點中學2024屆高三質量檢測試題數(shù)學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國古代數(shù)學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當該量器口密閉時其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．42．若非零實數(shù)、滿足，則下列式子一定正確的是（）A． B．C． D．3．函數(shù)在的圖象大致為A． B．C． D．4．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．5．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－16．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或7．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．集合的子集的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．810．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[3211．已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．12．已知F為拋物線y2＝4x的焦點，過點F且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，則||FA|﹣|FB||的值等于（）A． B．8 C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對于都有，且周期為2，當時，，則________________________.14．小李參加有關“學習強國”的答題活動，要從4道題中隨機抽取2道作答，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的概率為_____.15．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為______.16．記等差數(shù)列和的前項和分別為和，若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）證明：．18．（12分）已知的內角的對邊分別為，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若的周長是否有最大值？如果有，求出這個最大值，如果沒有，請說明理由.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，且n、、成等差數(shù)列，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列，求的值.20．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調查名工人，求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望．21．（12分）為了打好脫貧攻堅戰(zhàn)，某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調研，力爭有效地改良玉米品種，為農(nóng)民提供技術支援，現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計，獲得莖葉圖如圖（單位：厘米），設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米，否則為矮莖玉米．（1）求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù)；（2）根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：抗倒伏易倒伏矮莖高莖（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82822．（10分）已知都是大于零的實數(shù)．（1）證明；（2）若，證明．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【題目詳解】由圖可知，該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【題目點撥】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長方體表面積的求解，屬綜合基礎題.2、C【解題分析】

令，則，，將指數(shù)式化成對數(shù)式得、后，然后取絕對值作差比較可得．【題目詳解】令，則，，，，，因此，.故選：C.【題目點撥】本題考查了利用作差法比較大小，同時也考查了指數(shù)式與對數(shù)式的轉化，考查推理能力，屬于中等題．3、A【解題分析】

因為，所以排除C、D．當從負方向趨近于0時，，可得.故選A．4、C【解題分析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【題目詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.5、D【解題分析】

利用向量模的運算列方程，結合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【題目詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【題目點撥】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.6、C【解題分析】分析：解決該題的關鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關系，從而得到公比所滿足的等量關系式，解方程即可得結果.詳解：根據(jù)題意有，即，因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以，而，故選C.點睛：該題應用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結果.7、C【解題分析】

求出導函數(shù)，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質可得結論．【題目詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【題目點撥】本題考查導數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．8、C【解題分析】

將點A坐標代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實軸長和虛軸長，進而求得離心率.【題目詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實軸，所以，得離心率,故選C.【題目點撥】此題考查雙曲線的標準方程和離心率的概念，屬于基礎題.9、D【解題分析】

先確定集合中元素的個數(shù)，再得子集個數(shù)．【題目詳解】由題意，有三個元素，其子集有8個．故選：D．【題目點撥】本題考查子集的個數(shù)問題，含有個元素的集合其子集有個，其中真子集有個．10、A【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【題目詳解】因為函數(shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【題目點撥】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域為a,b，則函數(shù)fgx11、A【解題分析】

由已知可得，根據(jù)二倍角公式即可求解.【題目詳解】角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則，.故選：A.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式，考查計算求解能力，屬于基礎題.12、C【解題分析】

將直線方程代入拋物線方程，根據(jù)根與系數(shù)的關系和拋物線的定義即可得出的值．【題目詳解】F（1，0），故直線AB的方程為y＝x﹣1，聯(lián)立方程組，可得x2﹣6x+1＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．由拋物線的定義可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．故選C．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用，且周期為2，可得，得.【題目詳解】∵，且周期為2，∴，又當時，，∴，故答案為：【題目點撥】本題考查函數(shù)的周期性與對稱性的應用，考查轉化能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

從四道題中隨機抽取兩道共6種情況，抽到的兩道全都會的情況有3種，即可得到概率.【題目詳解】由題：從從4道題中隨機抽取2道作答，共有種，小李會其中的三道題，則抽到的2道題小李都會的情況共有種，所以其概率為.故答案為：【題目點撥】此題考查根據(jù)古典概型求概率，關鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).15、【解題分析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達式，進而由三角函數(shù)值域求得最大值.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當函數(shù)最大，最大值為故答案為：【題目點撥】本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值，屬于簡單題.16、【解題分析】

結合等差數(shù)列的前項和公式,可得,求解即可.【題目詳解】由題意,,,因為,所以.故答案為:.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的前項和公式及等差中項的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），．（Ⅱ）見解析【解題分析】

（1）由，分和兩種情況，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由題，得，利用等比數(shù)列求和公式，即可得到本題答案.【題目詳解】（Ⅰ）解：由題，得當時，，得；當時，，整理，得．數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，，；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，，故．故得證．【題目點撥】本題主要考查根據(jù)的關系式求通項公式以及利用等比數(shù)列的前n項和公式求和并證明不等式，考查學生的運算求解能力和推理證明能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）有最大值，最大值為3.【解題分析】

（Ⅰ）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（Ⅱ）由正弦定理可得，則，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質計算可得；【題目詳解】（Ⅰ）由得再由正弦定理得因此，又因為，所以.（Ⅱ）當時，的周長有最大值，且最大值為3，理由如下：由正弦定理得，所以，所以.因為，所以，所以當即時，取到最大值2，所以的周長有最大值，最大值為3.【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函數(shù)的性質的應用，屬于中檔題.19、（1）證明見解析，；（2）11202.【解題分析】

（1）由n，，成等差數(shù)列，可得，，兩式相減，由等比數(shù)列的定義可得是等比數(shù)列，可求數(shù)列的通項公式；（2）由（1）中的可求出，根據(jù)和求出數(shù)列，中的公共項，分組求和，結合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，可得答案.【題目詳解】（1）證明：因為n，，成等差數(shù)列，所以，①所以.②①－②，得，所以.又當時，，所以，所以，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.（2）根據(jù)（1）求解知，，，所以，所以數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.又因為，，，，，，，，，，，所以.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的定義，考查分組求和，屬于中檔題.20、（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【題目詳解】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為．（2）被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，，，的分布列如下：故【題目點撥】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù)，求離散型隨機變量分布列，根據(jù)分布列求解期望，關鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.21、（1）190（2）見解析（3）可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認為抗倒伏與玉米矮莖有關．【解題分析】

（1）排序后第10和第11兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；（2