2005年普（湖北卷）數學試題卷（文史類）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個備選項中，只有一項是符合題目要求的.1．設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q= ，則P+Q中元素的個數是 （） A．9 B．8 C．7 D．62．對任意實數a，b，c，給出下列命題： ①“”是“”充要條件； ②“是無理數”是“a是無理數”的充要條件③“a>b”是“a2>b2”的充分條件；④“a<5”是“a<3”的必要條件. 其中真命題的個數是 （） A．1 B．2 C．3 D．43．已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超過5，則k的取值范圍是 （） A．[－4，6] B．[－6，4] C．[－6，2] D．[－2，6]4．函數的圖象大致是 （）5．木星的體積約是地球體積的倍，則它的表面積約是地球表面積的 （） A．60倍 B．60倍 C．120倍 D．120倍6．雙曲線離心率為2，有一個焦點與拋物線的焦點重合，則mn的值為 （） A． B． C． D．7．在這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是 （） A．0 B．1 C．2 D．38．已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題： ①若； ②若； ③若； ④若a與b異面，且相交；⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直.其中真命題的個數是 （） A．1 B．2 C．3 D．49．把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數是 （） A．168 B．96 C．72 D．14410．若 （） A． B． C． D．11．在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是 （） A．3 B．2 C．1 D．012．某初級中學有學生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現要利用抽樣方法抽取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按一、二、三年級依次統一編號為1，2，…，270；使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號1，2，…，270，并將整個編號依次分為10段.如果抽得號碼有下列四種情況： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 關于上述樣本的下列結論中，正確的是 （） A．②、③都不能為系統抽樣 B．②、④都不能為分層抽樣 C．①、④都可能為系統抽樣 D．①、③都可能為分層抽樣第Ⅱ卷（非選擇題共90分）注意事項：第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的簽字或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上.答在試題卷上無效二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡相應位置上.13．函數的定義域是.14．的展開式中整理后的常數項等于.15．函數的最小正周期與最大值的和為.21．（本小題滿分12分） 某會議室用5盞燈照明，每盞燈各使用燈泡一只，且型號相同.假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關，該型號的燈泡壽命為1年以上的概率為p1，壽命為2年以上的概率為p2.從使用之日起每滿1年進行一次燈泡更換工作，只更換已壞的燈泡，平時不換.（Ⅰ）在第一次燈泡更換工作中，求不需要換燈泡的概率和更換2只燈泡的概率；（Ⅱ）在第二次燈泡更換工作中，對其中的某一盞燈來說，求該盞燈需要更換燈泡的概率；（Ⅲ）當p1=0.8，p2=0.3時，求在第二次燈泡更換工作，至少需要更換4只燈泡的概率（結果保留兩個有效數字）.22．（本小題滿分14分） 設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.（Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.2005年普通高等學校招生全國統一考試數學試題（文史類）參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.1．B2．B3．C4．D5．C6．A7．B8．A9．D10．C11．D12．D二、填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4分，滿分16分.13．14．3815．16．500三、解答題17．本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、利用導數研究函數的單調性，以及運用基本函數的性質分析和解決問題的能力.解法1：依定義開口向上的拋物線，故要使在區(qū)間（－1，1）上恒成立.解法2：依定義的圖象是開口向下的拋物線，18．本小題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎知識，同時考查利用三角公式進行恒等變形的技能和運算能力.解法1：設AB、BC、CA的長分別為c、a、b，.故所求面積解法3：同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面積19．本小題主要考查等差數列、等比數列基本知識和數列求和的基本方法以及運算能力.解：（1）：當故{an}的通項公式為的等差數列.設{bn}的通項公式為故（II）兩式相減得20．本小題主要考查線面關系和空間距離的求法等基礎知識，同時考查空間想象能力和推理運算能力.解法1：（Ⅰ）過E作EH//BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.又∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.（Ⅱ）延長C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于過C作CM⊥AG，垂足為M，連C1M由三垂線定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MCAG面AEC1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到平面AEC1解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設F（0，0，z）.∵AEC1F為平行四邊形，（II）設為平面AEC1F的法向量，的夾角為a，則∴C到平面AEC1F21．本小題主要考查概率的基礎知識和運算能力，以及運用概率的知識分析和解決實際問題能力.解：（I）在第一次更換燈泡工作中，不需要換燈泡的概率為需要更換2只燈泡的概率為（II）對該盞燈來說，在第1、2次都更換了燈泡的概率為（1-p1）2；在第一次未更換燈泡而在第二次需要更換燈泡的概率為p1(1-p2)，故所求的概率為（III）至少換4只燈泡包括換5只和換4只兩種情況，換5只的概率為p5（其中p為（II）中所求，下同）換4只的概率為（1-p），故至少換4只燈泡的概率為22．本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力.（I）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得①設①的兩個不同的根，②是線段AB的中點，得解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為解法2：設依題意，（II）解法1：代入橢圓方程，整理得③③的兩根，于是由弦長公式可得④將直線AB的方程⑤同理可得⑥假設在在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為⑦于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角⑧由⑥式知，⑧式左邊=