2022-2023學(xué)年甘肅省白銀市平川中恒學(xué)校高中數(shù)學(xué)試題習(xí)題：導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點問

題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

22

1.已知直線/：丘—y-3k+l=0與橢圓￡：「+與=1（。>/,>0）交于A、B兩點，與圓（X—3）2+（y—1）2=1

6rb

交于C、。兩點.若存在左使得AC=OB，則橢圓G的離心率的取值范圍為（）

x—yN0

2.已知x,）'滿足約束條件x+y?2,則z=2x+y的最大值為

y>0

A.1B.2C.3D.4

3.3知向量a=（-l,2）,Z?=（x,x—1）,若僅一2a）//a,貝口=（）

12c

A.-B.-C.1D.3

33

4.我國著名數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于2的偶數(shù)

可以表示為兩個素數(shù)的和“（注：如果一個大于1的整數(shù)除了1和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù)），在不

超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)。、b,則卜-4<3的概率是（）

1412

A.—B.—C.—D.一

51535

5.如圖，正方體中，E，F(xiàn),G,〃分別為棱AArCQ、B?、4片的中點，則下列各直線

中，不與平面ACR平行的是（）

A

A.直線石尸B.直線GHC.直線切D.直線48

6.若。=k)g415.9,6=2%c=0.4°L則()

A.c>a>hB.a>b>c

C.b>a>cD.a>c>b

7.已知集合[/=區(qū)，A={y|”O(jiān)},8=?]y=J7+l},則^B=()

A.[0,1)B.(0,+8)C.(l,+8)D.[1,+co)

8.已知函數(shù)〃x)=("-a)(依+皆，若/(x)20(xeR)恒成立，則滿足條件的”的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

9.已知復(fù)數(shù)z滿足z—彳=0,且z?5=9,則2=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

11.網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）

3

22

12.已知雙曲線「：=-[=1(。>0,8>0)的右焦點為尸，過原點的直線/與雙曲線『的左、右兩支分別交于A,8

a~b~

兩點，延長8/交右支于C點，若AE，EB,|CF|=3|EB|,則雙曲線「的離心率是()

3

A而R「5nVio

A.------B.—C.—D.-------

3232

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知tane=3,貝！Icosla=.

x—_y+1..0,

14.已知實數(shù)x,y滿足約束條件,3x-y-3,,0,則z=2x+y的最大值為.

J..0,

15.已知數(shù)列｛”“｝的前〃項和為S“，S“=2(q,+1),則滿足S“=-126的正整數(shù)"的值為.

16.如圖，A6C的外接圓半徑為2百，。為8C邊上一點，且比>=2DC=4,ZBAD=90°,貝!IA6C的面積

為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(x)=ln(x+m),g(x)=e*.

(1)當(dāng)帆=2時，證明：f(x)<g(x)；

(2)設(shè)直線/是函數(shù)在點4(/,〃/))(0</<1)處的切線，若直線/也與g(x)相切，求正整數(shù)〃?的值.

18.(12分)某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計，繪制了頻率分布直方圖(如

圖所示)，規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失敗.

晉級成功晉級失敗合計

男16

女50

合計

(1)求圖中。的值；

(2)根據(jù)已知條件完成下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)？

(3)將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機抽取4人進行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為X,求X

的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

上八4,2n(ad-bc)廿4,,.

(參考公式：k=,其中〃一a+b+c+d)

(a+h)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)

00.400.250.150.100.050.025

k。0.7801.3232.0722.7063.8415.024

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=|x+l|-|x-2|.

(1)解不等式

(2)記函數(shù)/(X)的最大值為s,若a+〃+c=s(a,4c>0),證明：+b2c2+c2a2>3abc.

20.(12分)已知等差數(shù)列｛癡｝的各項均為正數(shù)，S,為等差數(shù)列｛斯｝的前"項和，q=l,a4-a5=11.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項即；

(2)設(shè)b“=a,r3",求數(shù)列｛瓦｝的前〃項和7”.

21.（12分）若數(shù)列｛叫前〃項和為⑸｝,且滿足5“=」一（勺一2）（f為常數(shù)，且

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式：

3

⑵設(shè)勿=l-s“，且數(shù)列也｝為等比數(shù)列，令%=%|1至也|,.求證：c,+c2+...+c?<-.

22.（10分）設(shè)前〃項積為7“的數(shù)列｛4｝,4=2-7；（X為常數(shù)），且是等差數(shù)列.

（I）求2的值及數(shù)列｛（｝的通項公式；

（U）設(shè)s“是數(shù)列出｝的前〃項和，且2=（2"+3）北，求§2“一S”—2〃的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到A8坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率攵與A8坐標(biāo)的關(guān)系，由

此化簡并求解出離心率的取值范圍.

【詳解】

設(shè)4（孫乂）,8（%％），且線/：依-y-3Z+l=0過定點（3,1）即為G的圓心,

%+%=%+項）=2x3=6

因為AC=OB，所以，

,+%=兄+%=2x1=2

又因為偌;%二禽所以叩1>”-孫

b1x,3b2i

所以意--------，所以Z=----Z-Gr[-2,-11,

a%+%Q

>22_2PiQ~\

所以，所以---2—G，所以（1一?。?/p>

gpr.GV6

所以ee—.

故選：A.

【點睛】

本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設(shè)而

不求”的目的，大大簡化運算.

2、D

【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

2=2%+），等價于丁=-2犬+2,作直線y=-2x,向上平移，

易知當(dāng)直線經(jīng)過點（2,0）時z最大，所以Zmw=2x2+0=4,故選D.

【點睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.

3、A

【解析】

利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.

【詳解】

由題意得，-2a=（2+x,x—5）,

（b-2a^lla,

2（2+x）+x-5=0,

解得x=?.

3

故選A.

【點睛】

本題考查向量平行定理，考查向量的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

先列舉出不超過15的素數(shù)，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)a、b,

滿足<3”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

不超過15的素數(shù)有：2、3、5、7、11、13,

在不超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)，所有的基本事件有：（2,3）、（2,5）、（2,7）、/（再）一〃々）、（2,13）、

（3,5）、（3,7）、（3,11）、（3,13）、（5,7）、（5,11）、（5,13）、（7,11）、（7,13）、（11,13）,共15種情況，

其中，事件“在不超過15的素數(shù)中，隨機選取2個不同的素數(shù)。、b,且卜-4<3”包含的基本事件有：（2,3）、（3,5）、

（5,7）、（11,13）,共4種情況，

4

因此，所求事件的概率為尸=石.

故選：B.

【點睛】

本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)EFIIAC判斷A的正誤.根據(jù)67///4G，//AC,

判斷B的正誤.根據(jù)M與。。相交，判斷C的正誤.根據(jù)43//。。，判斷D的正誤.

【詳解】

在正方體中，因為砂〃AC,所以所//平面AC。，故A正確.

因為///47,所以GH//AC,所以G"http://平面AC"故B正確.

因為48//。。，所以AB//平面AC。，故D正確.

因為"http://G優(yōu)與RC相交，所以硝與平面AC"相交，故C錯誤.

故選：C

【點睛】

本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.

6、C

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較。、b,c三個數(shù)與1和2的大小關(guān)系，進而可得出b.c三個數(shù)的大小關(guān)

系.

【詳解】

對數(shù)函數(shù)y=log4x為((),+8)上的增函數(shù)，則1=log44<log415.9<log416=2,即l<a<2；

指數(shù)函數(shù)y=2'為R上的增函數(shù)，則b=2⑷>2'=2;

指數(shù)函數(shù)y=04'為/?上的減函數(shù)，則c=0.4°/<0.4°=1.

綜上所述，b>a>c.

故選：C.

【點睛】

本題考查指數(shù)卷與對數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來比較，考查推理能力，

屬于基礎(chǔ)題.

7,A

【解析】

求得集合8中函數(shù)的值域，由此求得進而求得AcaB.

【詳解】

由y=4+121,得3=[1,”)，所以2B=(—,l),所以AI23=[0,1).

故選：A

【點睛】

本小題主要考查函數(shù)值域的求法，考查集合補集、交集的概念和運算，屬于基礎(chǔ)題.

8、C

【解析】

由不等式恒成立問題分類討論：①當(dāng)a=0,②當(dāng)a<0,③當(dāng)a>0,考查方程/〃。=-上的解的個數(shù)，綜合①②③得

ae

解.

【詳解】

①當(dāng)a=0時，,f(x)=ei>0..0,滿足題意，

②當(dāng)。<0時，e*-a>0，3xe(--,+功，ax+-<0,故/*)..0(x€R)不恒成立，

0aee

③當(dāng)々＞0時，設(shè)g(x)=e"-。，h(x)=ax+-,

e

令g(x)=e，-〃=O，得x=Ina,/z(x)=ar4--=0,得工=---,

eae

下面考查方程歷。=-上的解的個數(shù)，

ae

設(shè)夕(a)=alna,則夕'(〃)=1+Ina

由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：

(P(a)在(0,3為減函數(shù)，在(L+O為增函數(shù)，

ee

則9(。)

e

§PIna=---有一解，

ae

又g(x)=e*-a,版x)=ar+，均為增函數(shù)，

e

所以存在1個。使得八。.(XX€R)成立，

綜合①②③得：滿足條件的。的個數(shù)是2個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù)，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的

題型.

9,C

【解析】

設(shè)z=a+初，則2=a—初，利用z-z=0^0z-z=9求得a,人即可.

【詳解】

設(shè)2="+初，貝！|N-a-bi,

因為z—5=0,則(a+4)一(a—4)=2沅=0,所以4=0,

又ze=9,即/=9,所以。=±3,

所以z=±3,

故選:C

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法法則的應(yīng)用，考查共軌復(fù)數(shù)的應(yīng)用.

10、A

【解析】

分析函數(shù)y=/(x)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間(0,〃)上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.

【詳解】

令sinx/O,可得{x|x#A：1,ZeZ},即函數(shù)y=/(x)的定義域為萬"eZ},定義域關(guān)于原點對稱，

cos(-x)cosx

/(—x)=-~-=--：—=—/(*),則函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，排除C、D選項；

sin(—x)sinx

cosx

當(dāng)0<x<7t時，e，0sx>0,sinx>0,則/(x)=------>0,排除B選項.

sinx

故選：A.

【點睛】

本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，考查分

析問題和解決問題的能力，屬于中等題.

11>A

【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐

如圖

該幾何體為三棱錐A-3C0,長度如上圖

所以SAW”=3此氏=；X1X2=LSMCN=；xlxl=g

、3

所以SgcD=2x2-S^fBD—S^EC—S即CN=萬

所以^A-BCD~2?S^BCD.插=1

故選：A

【點睛】

本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長

方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.

12、D

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點為尸，連接BE',4尸'，C小，設(shè)8b=x，則Cb=3x,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,Rt\CBF'

和RfAFBF'中,利用勾股定理計算得到答案.

【詳解】

設(shè)雙曲線的左焦點為尸，連接8/，AF'，CF',

設(shè)8/=無，則CFnSx,BF'=2a+x,CF'=3x+2a,

AFA.FB,根據(jù)對稱性知四邊形尸為矩形，

MACS尸'中：CF，2=CB2+BFQ,即（3x+2a）2=（4x）2+（2a+x『，解得x=a；

RfAFBF'中:FF'2=BF2+BF'2^即（2c）?=/+（3。7，故與二^，故《=乎.

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

,14

解：由題意可知：cos2<z=2cos-a-l=2x——--------1=——.

tan-?+15

14、1

【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(2,3)時，直線的截距最大,

取得最大值，即得解.

【詳解】

是以A(2,3),5(-1,0),C(l,0),為頂點的三角形及其內(nèi)部，

轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=2x+y為y=-2x+z

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(2,3)時，直線的截距最大

此時z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案為：1

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、6

【解析】

已知5“=2(4+1),利用a“=S“-S“T=24-2a,T，求出｛4,｝通項，然后即可求解

【詳解】

???S”=2(+1),.?.當(dāng)”=1時，H=2(%+1),；.4=-2；當(dāng)“22時，an=Sn-S?_,=2an-2%,：,an=24T，

故數(shù)列｛%｝是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列，.?.%=—2".又S“=2(a“+1)=-126,.?.4=—64,.?.一2"=—64,

n-6-

【點睛】

本題考查通項求解問題，屬于基礎(chǔ)題

16、3百

【解析】

先由正弦定理得到NB4C=120，再在三角形A8O、AOC中分別由正弦定理進一步得到3=。，最后利用面積公式計

算即可.

【詳解】

依題意可得8c=6,由正弦定理得———=2R,即sinNR4c="尸=且，由圖可

sinABAC4G2

知NB4c是鈍角，所以NB4C=120，ND4C=30，在三角形A5Z)中，AD=BDsinB,

=4sinB,在三角形AOC中，由正弦定理得———即A0=4sinC,

sinCsinZDAC

所以，sinB=sinC,故8=C=30，AB=2>/3，A￡)=2,故ABC的面積為

-ABBC-sinB=3V3.

2

故答案為：3G.

【點睛】

本題考查正弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，要靈活運用正弦定理公式及三角形面積公式，本題屬于中檔

題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)加=2.

【解析】

⑴令WEHgO—fabe'-lnG+Z),求導(dǎo)尸(x)=e'-±,可知?(x)單調(diào)遞增，且小(0)=；,

F'(-l)=l-l<0,因而?(力在(—1,0)上存在零點%—x)在此取得最小值，再證最小值大于零即可.

(2)根據(jù)題意得到f(x)在點A&,/(與》(0</<1)處的切線I的方程>=-......2+In(x0+")①，再設(shè)

直線/與g(x)相切于點(用,叫，有人=二^，即玉=-ln(Xo+w),再求得g(x)在點(布爐)處的切線直線/的

方程為y=」_+30+」_②由①②可得gd+」_=-+m(x0+m),即

x0+mx04-/H/+mx0+/T?xQ+mx0+m

%+1

(A4-/n-l)ln(A4-m)=x+l,根據(jù)％+加一1>。，轉(zhuǎn)化為ln(x()+s)=令

000o<x0<1,

x0+m-1

rI11

A(x)=ln(x+/w)一一-一-(0<x<l),轉(zhuǎn)化為要使得h(x)在(0,1)上存在零點，則只需力(0)=Inm------<0,

x+m—1m—1

2

6(l)=ln(根+1)-一>0求解.

m

【詳解】

(1)證明:設(shè)7?(x)=g(x)—/(x)=e*-ln(x+2),

則尸(x)=e"-——,小(力單調(diào)遞增，且尸(O)=LF'(-l)=--l<0,

x+22e

因而尸(X)在(一1,0)上存在零點。，且尸(X)在(-2,〃)上單調(diào)遞減，在(a,”)上單調(diào)遞增,

(。+1『

a

從而F(x)的最小值為F[a}=e—In(a+2)=—^>0-

a+2

所以尸(x)>0,即/(x)<g(x).

⑵小

故切線/的方程為------且一+in(%+M①

x0+帆xQ+m

設(shè)直線/與g(X)相切于點(w),注意到g'(x)=e",

1

從而切線斜率為ex1=-----,

x()+m

因此X]=-ln(x0+m),

而g(%)=e",從而直線/的方程也為),=—^+“(&+"“+_!_②

玉)+機x0+mx0+mx0+m

由①②可知"("+")+1="xo+m(%+加)，

x0+mxQ+mxQ+m

故(毛+m—l)In(/+m)=^)+1,

由加為正整數(shù)可知，x()+m-l>0,

X+1

所以ln(Xo+")=--------0<x0<1,

X。+機—1

X+1

令=ln(x+m)-(0<x<l),

x+m-l

x(x+m)+1

則〃'(x)=>0,

(X+〃2)(X+〃2-l)~

當(dāng)機=1時，/z(x)=ln(x+l)—、■為單調(diào)遞增函數(shù)，且MD=ln2-2<0,從而/z(x)在(0,1)上無零點;

12

當(dāng)機>1時，要使得//(X)在(()」)上存在零點，則只需/z(0)=ln機------<0,A(l)=ln(m+1)一一>0,

m—1m

因為4(根)=lnm-一片■為單調(diào)遞增函數(shù)，/7,(3)=ln3-^>0,

所以加<3；

2

因為4(m)=ln(根+1)--為單調(diào)遞增函數(shù)，且為⑴=ln2—2<0,

m

因此%>1；

因為加為整數(shù)，且1<加<3,

所以加=2.

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.

18、(1)?=0.005；(2)列聯(lián)表見解析，有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；(3)分布列見解析，4X)=3

【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求。的值；

(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率，計算晉級成功的人數(shù)，

填寫2x2列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率，將頻率視為概率，

知隨機變量X服從二項分布，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，計算數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

解：(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,

可知(2a+0.020+0.030+0.040)x10=1,

解得a=0.005；

(2)由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為0.20+0.05=0.25,

所以晉級成功的人數(shù)為100x0.25=25(人)，

填表如下：

晉級成功晉級失敗合計

男163450

女94150

合計2575100

假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得K2=100x(16x41-34x9)]=2.613>2.072,

25x75x50x50

所以有超過85%的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)；

(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為1-0.25=0.75,

將頻率視為概率，

則從本次考試的所有人員中，隨機抽取1人進行約談，這人晉級失敗的概率為0.75,

所以X可視為服從二項分布，即X?

p(X=Z)=C：［￡|伏=0,1,2,3,4),

(3\0

故P(X=0)=C：-1=未

\47

3

P(X=1)=C：

4?=宗

(7z54

P(X=2)=C：；

7256

P(X=3)=需108

7\47256)

P(X=4)=C：(；81

4J

7\256

所以X的分布列為:

X01234

1125410881

P(X=k)

256256256256256

數(shù)學(xué)期望為E(X)=4x3=3.或(￡(X)=J-xO+-^-xl+^-x2+-^-x3+-^-x4=3).

4256256256256256

【點睛】

本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，屬于中檔題.若離散型隨機變量

XB(n,p),則E(X)=叩,=—

19、(1)(—8,1］；(2)證明見解析

【解析】

-3,x<-\

(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得2.x—1,-l<x<2，進而分類討論求解不等式即可

3,x>2

(2)先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到了(X)的最大值為3,再利用均值定理證明即可.

【詳解】

(1)/a)=|.r+l|-|x-2|

—3,x?—1

/(x)=<2x-l,-l<x<2

3,x>2

①當(dāng)1時，-341恒成立，

?**x<-1；

②當(dāng)一lvx<2時，2%-1<1,即

-1<x<1；

③當(dāng)xN2時，3<1顯然不成立，不合題意;

綜上所述，不等式的解集為

(2)由(1)知/(x*”=3=S,

于是a+/7+c=3

由基本不等式可得/從+式,2>2，而/=2ab-c(當(dāng)且僅當(dāng)。。時取等號)

b2c2+c2a2>24防F=2abc2(當(dāng)且僅當(dāng)b=a時取等號)

c2a2+aT>241兩=2/"(當(dāng)且僅當(dāng)c=匕時取等號)

上述三式相加可得

2222

2(/從-t-bc+ca)>2abc(a+b+c)(當(dāng)且僅當(dāng)a=。=c時取等號)

a+b+c-3>

a2b2+b2c2+c2a2>3abe，故得證.

【點睛】

本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決

帶絕對值不等式的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

20、(1)?,n6TV*.(2)T?-n-3"

【解析】

(1)先設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d(d>0),然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關(guān)于d的方程，解出d的

值，即可得到數(shù)列的通項ant

(2)先根據(jù)第(1)題的結(jié)果計算出數(shù)列｛瓦｝的通項公式，然后運用錯位相減法計算前〃項和7”.

【詳解】

(1)由題意，設(shè)等差數(shù)列｛或｝的公差為d(d>0),則

a4a5=(l+3d)(1+4J)=11,

整理，得12<f+7d-10=0,

52

解得d=(舍去)，或</=—,

43

2,、2〃+1

..an=H—(/?-1)=--------,nGN*.

33

(2)由(1)知，bn=a?-3"=如4?3"=(2n+l)?3,rt,

3

7'"=加+岳+的+...+瓦=3x1+5x31+7x3?+…+(2n+l)*3"1,

.,.36=3x31+5x32+…+(2n-l)?3nl+(2n+l)?3",

兩式相減，可得：

-27,?=3xl+2x31+2x32+...+2?3H'1-(2n+l)?3"

=3+2x(3斗32+…+3"1)_(2〃+1)?3"

3-3"

=3+2x-^-一(2"+1)?3"

1-3

=-

/?

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算，以及運用錯位相減法計算前〃項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，錯位相

減法的運用，以及邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.屬于中檔題.

、詳見解析

21(1)an=2t"(2)

【解析】

⑴利用可得的遞推關(guān)系，從而可求其通項.

a,=S“-S,i｛an｝

(2)由｛〃｝為等比數(shù)列可得f=g,從而可得｛&｝的通項，利用錯位相減法可得｛&｝的前“項和，利用不等式的性質(zhì)

可證0+。2+…+g<|.

【詳解】

(1)由題意，得：S?=—(a?-2)(f為常數(shù)，且，wO/wl),

t—1.

當(dāng)〃=1時，得W=」一(q—2),得4=2f.

t—\

S“=T4(4-2)

由一，

S,u=匕(a,1-2)(〃22)

故S“—ST=。“=工■