1、2.5極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限 2.5.1 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則2.5.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限2.5.3連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利 目目 錄錄2.5.1 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則定理定理1(夾逼定理夾逼定理) 0 xx如果對(duì)于 的某一去心鄰域內(nèi)的一切 00limlimxxxxg xfxh xg xAh xA都有，且， 0lim.xxf xA則定理定理2(收斂準(zhǔn)則收斂準(zhǔn)則) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 例例11.1nn證明數(shù)列收斂證證1.1nn單調(diào)增加只須證明數(shù)且有界列11nn即數(shù)列是單調(diào)增加的。111111nnnn110nnabab時(shí)，有當(dāng)111nnnnnabaabab

2、bnab a，1 1nnanb nab即，. 11111abnn ，代入取上式，得1111.nnnn有界，由收斂即準(zhǔn)則可知列收斂數(shù)21211114212nnnn又因?yàn)?141,2,nnn對(duì)一切所以成立2114 1,2, ,2nnn，從 而11111222nabnn ，代入上式，得取cossintanAOBxOCxACxDBx，則，設(shè)0sinlim10,2xxxx，首先證明可設(shè)，如圖cos sintanxxxx即0s1.inlim1xxxAOCOABDOB 又的面積扇形的面積的面積，圖中圓弧的半徑為12.5.2 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限0,cos0 sin02xxx，則，因?yàn)閟in1coscos

3、xxxx則可得+001lim cos1 lim1cosxxxx，運(yùn)用由夾逼定理可得0sinlim1xxx0sinlim1.xxx綜上所述，得000sinsinsin()sinlimlimlim1xxuxxxuxxxu是偶函數(shù)，故因0tanlim.xxx求0000tansin1sin1limlimlimlim1coscosxxxxxxxxxxxx解解例例2000sin3sin3sinlimlim33lim3 133xttxxtxxt 0sin3lim.xxx求例例3300 xtxt設(shè)，則當(dāng)時(shí)，于是解：解：201coslim.xxx求22222200002sinsinsin1cos111222li

4、mlimlimlim22222xxxxxxxxxxxx解解例例4sinlimsinlim1nnnnnn limsin.nnn求例例50nn 當(dāng)時(shí)，于是解解1lime. )2 (1xxx1lim(11)nnn在本存在，設(shè)節(jié)例 中，已證該極限為e1lim(1)exxxx對(duì)于任意正實(shí)數(shù) ，由夾逼定理可證1lim(1)e.xxx由此得1lim(1)exxx再由代換法可證10txtx 在上式中，令，則當(dāng)時(shí)，則上式變成10lim(1)ettt2223為方便使用式（）和式（），將其記為下列形式：( )1lim 1e( )u xu x則；)1lim (u x （ ）在某極限過(guò)程中，若l2im ( )0u x

5、（ ）在某極限過(guò)程中，若，則1( )lim 1( )e.u xu x2221lim 1lim12xxxxxx2xtxt，則當(dāng)時(shí)，有令，故2lim 1.xxx求例例6解解2221lim 1lim1.xtxxext32323223311lim 1lim 111lim 1lim11xtxttttxteettxtxt，則當(dāng)時(shí)，-有令，故321lim 1.xxx求例例7解解 000lim0 , lim,limxxxxxxg xBxxxf xA Ag xBf xA一般地，若則222tan2(1)1 2(1)tan21tan21(1)xttxxttt 又tan1tan104txxtxt ，則，當(dāng)時(shí)，有令ta

6、n2/4lim (tan ).xxx求例例8解解01 2(1)12(1)tan2220042(1)1210lim(tan )lim(1)lim(1) limlim(1) tttxttttttxttttxttte 故1.,mnnrspmn次付息 則第 年末的本利和為(),prm設(shè)初始本金為元 年利率為 按復(fù)利付息 若一年分2.5.3 連續(xù)復(fù)利連續(xù)復(fù)利,m如果利息按連續(xù)復(fù)利計(jì)算 即計(jì)算復(fù)利的次數(shù) 趨于lim 1.mtrtmrsppemt無(wú)窮大時(shí)， 年末的本利和可按如下公式計(jì)算100005,6%,一投資者欲用元投資 年 設(shè)年利率為試4分別按單利、復(fù)利、每年按 次復(fù)利和連續(xù)復(fù)利付息方式例例9,5,.計(jì)算 到第 年末 求該投資者應(yīng)得的本利和1000010000.06513000S 按單利計(jì)算（元）解解0.06 50.3100001000013498.6See按連續(xù)復(fù)利計(jì)算（元）510000(1