第1頁/共1頁2026屆高一年級聯(lián)考數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：1.已知全集，集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】，解得或，所以或，所以，所以.故選：C2.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，所以的零點(diǎn)在區(qū)間.故選：B3.已知，，則“關(guān)于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：若關(guān)于的不等式有解，當(dāng)時，關(guān)于的不等式一定有解，此時無法確定判別式是否大于零，當(dāng)時，則，則關(guān)于的不等式有解不能推出，若，當(dāng)時，關(guān)于的不等式一定有解，當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，所以能推出關(guān)于的不等式有解，所以“關(guān)于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】已知角終邊經(jīng)過，所以，所以.故選：D5.已知函數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D6.已知，則的大小關(guān)系為（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷．【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：A．7.已知，則函數(shù)的最大值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡的解析式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.【詳解】，設(shè)，則的開口向下，對稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，也即的最大值為.故選：A8.若關(guān)于的方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)解，，，且，其中，則的值為（）A.-6 B.-4 C.-3 D.-2【答案】A【解析】【分析】利用換元法化簡題目所給方程，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布、對勾函數(shù)的性質(zhì)等知識求得正確答案.【詳解】依題意可知，由整理得①，即關(guān)于的方程恰有三個不同的實(shí)數(shù)解，，，且，令，則或，則①轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知是方程的一個根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】對于復(fù)雜方程的跟有關(guān)的問題求解，可根據(jù)題目所給已知方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方向是熟悉的函數(shù)類型，即將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來進(jìn)行求解.對鉤函數(shù)是函數(shù)題目中常見的函數(shù)，對其性質(zhì)要注意總結(jié).二、多項(xiàng)選擇題：9.下列說法正確的有（）A.若是銳角，則是第一象限角B.C.若，則為第一或第二象限角D.若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)象限角、弧度制、三角函數(shù)值等知識確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，是銳角，即，所以是第一象限角，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，根據(jù)弧度制的定義可知，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)時，，但不是象限角，C選項(xiàng)錯誤.D選項(xiàng)，為第二象限角，即，所以為第一或第三象限角，D選項(xiàng)正確.故選：ABD10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)定義域?yàn)?B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù) D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性、單調(diào)性對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由于，所以的定義域不是，A選項(xiàng)錯誤.由得，所以，所以的定義域是，的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確.，所以是周期函數(shù)，C選項(xiàng)正確.當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知，都是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù)B.C.為定值D.【答案】ACD【解析】【分析】可利用奇偶性定義求出兩個解析式，A項(xiàng)根據(jù)奇偶性定義判斷；B項(xiàng)可利用解析式求解；C項(xiàng)利用解析式計(jì)算可求解；D項(xiàng)分析正負(fù)情況，化簡求解.【詳解】令為得即解得，對于A.，故為偶函數(shù)對于B.，故B錯C.，故C對D.當(dāng)時，，當(dāng)時，，故D對故選：ACD12.已知在定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則下列說法正確的是（）A.B.C.，D.方程在的各根之和為-6【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得是以4為周期的周期函數(shù)，再由，可判斷選項(xiàng)A;當(dāng)時,求出可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)題意可得出從而可判斷性選項(xiàng)C；作出的示意圖，由圖象的對稱性數(shù)形結(jié)合可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由在定義在上的奇函數(shù)，則由，所以，即則，即是以4為周期的周期函數(shù).由題意，所以又，則，所以所以，故選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B.當(dāng)時，故選項(xiàng)B不正確.選項(xiàng)C.所以當(dāng)時，均為增函數(shù)，則為增函數(shù).所以在上為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，且所以在單調(diào)遞增，所以，由所以，所以必存在，使得，故選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，根據(jù)題意先作出在上的示意圖，然后由對稱性作出在上的圖象，如圖所示.根據(jù)對稱性可知方程在的各根之和為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD三、填空題：13.化簡求值：______.【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則、性質(zhì)，換底公式求解.【詳解】.故答案為：14.函數(shù)的最小值是______.【答案】9【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，結(jié)合基本不等式求函數(shù)最小值.【詳解】由，，當(dāng)，即時等號成立.所以函數(shù)的最小值是9.故答案為：9.15.以等邊三角形每個頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點(diǎn)間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德國機(jī)械工程專家、機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，所以以他的名字命名.一些地方的市政檢修井蓋、方孔轉(zhuǎn)機(jī)等都有應(yīng)用勒洛三角形.如圖，已知某勒洛三角形的一段弧的長度為，則該勒洛三角形的面積是___________.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出一個弓形的面積，由題意可知，勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構(gòu)成，利用弓形和正三角形的面積可求得結(jié)果.【詳解】由弧長公式可得，可得，所以，由和線段所圍成的弓形的面積為，而勒洛三角形由三個全等的弓形以及一個正三角形構(gòu)成，因此，該勒洛三角形的面積為.故答案為：.16.已知函數(shù)，對任意兩個不等實(shí)數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】，則在上單調(diào)遞增，據(jù)此可得答案.【詳解】對任意兩個不等實(shí)數(shù)，由可得即，則在上單調(diào)遞增，則取任意，，有，又.則，即，對任意恒成立，注意到，則.故答案為：.四、解答題：17.（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）4；（2）2.【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值；（2）利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡求值.【詳解】（1），，原式.（2），，.18.從①；②③，三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并求解.已知集合__________，集合.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)或二次不等式解得，再求交集即可；（2）結(jié)合（1）得，根據(jù)題意得，進(jìn)而分和兩種情況討論求解即可.【小問1詳解】解：選①時：，解得：，即，又因?yàn)?，故，綜上：.選②時：，解得：，所以.選③時：，解得：，所以.當(dāng)時，綜上，.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，由第一問可知：選①時，當(dāng)時，，解得：，滿足題意；當(dāng)時，要滿足，解得：，綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍為選②③時，答案與①一致，均為實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】19.20.【解析】【分析】（1）運(yùn)用換元法及誘導(dǎo)公式即可得；（2）運(yùn)用換元法及誘導(dǎo)公式，結(jié)合題目條件計(jì)算即可得.【小問1詳解】令，則，，則；【小問2詳解】令，有，，則，由，則，由，則，則，，故舍去，，故，即，即.20.為了加強(qiáng)“平安校園”建設(shè)，保障師生安全，某校決定在學(xué)校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務(wù)室.由于此警務(wù)室的后背靠墻，無需建造費(fèi)用，甲工程隊(duì)給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計(jì)14400元.設(shè)屋子的左右兩面墻的長度均為米.（1）當(dāng)左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊(duì)報價最低？并求出最低報價；（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也要參與此警務(wù)室的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍.【答案】（1）4米，28800元（2）【解析】【分析】(1)建立函數(shù)模型，利用基本不等式求最小值;(2)根據(jù)不等式的恒成立問題求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】設(shè)甲工程隊(duì)的總造價為元，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.即當(dāng)左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊(duì)的報價最低為28800元.【小問2詳解】由題意可得，對任意的恒成立.即，從而恒成立，令，又在為單調(diào)增函數(shù)，故.所以.21.已知.（1）證明：；（2）若函數(shù)，當(dāng)定義域?yàn)闀r，值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）通過變形得，利用函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）首先求出，則得到方程組，轉(zhuǎn)化成是上兩個大于4的根，即上有兩個大于4的根，列出不等式組，解出即可.小問1詳解】設(shè)，設(shè)，易得在上為增函數(shù)，則為增函數(shù)，而，即【小問2詳解】由題意知：,，，解得或設(shè)，，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)在和上單調(diào)遞增，通過向左平移4個單位，再向上平移1個單位即可得到，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在和范圍內(nèi)各自單調(diào)遞減，而，且，故，因?yàn)槎x域?yàn)椋?，根?jù)在上單調(diào)遞減，，是方程上兩個大于4的根，上有兩個大于4的根，則有，.22.已知函數(shù).（1）求證：①；②函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為奇數(shù)；（2）記函數(shù)的值域?yàn)锳，若至少有兩個不同的，使得，求正數(shù)的取值范圍.【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析（2）【