貴州省遵義市航天高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．3．集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)4．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．5．如圖，在中，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（）A． B． C． D．6．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）（其中，為無(wú)理數(shù)）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．37．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個(gè)關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式,該公式于明朝初年傳入我國(guó).在我國(guó)科技水平業(yè)已落后的情況下,我國(guó)數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國(guó)的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年)開(kāi)始,歷時(shí)近30年,證明了包括這個(gè)公式在內(nèi)的三個(gè)公式,同時(shí)求得了展開(kāi)三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個(gè)新級(jí)數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書(shū),為我國(guó)用級(jí)數(shù)計(jì)算π開(kāi)創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級(jí)數(shù)展開(kāi)式”計(jì)算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A． B．C． D．8．已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）．A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)若函數(shù)在上零點(diǎn)最多，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．下圖是民航部門(mén)統(tǒng)計(jì)的某年春運(yùn)期間，六個(gè)城市售出的往返機(jī)票的平均價(jià)格（單位元），以及相比于上一年同期價(jià)格變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，以下敘述不正確的是（）A．深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高B．天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大C．上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)D．相比于上一年同期，其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加12．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則容器體積的最小值為_(kāi)________.14．已知，則__________.15．在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線（，）的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_______.16．在棱長(zhǎng)為的正方體中，是正方形的中心，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面與直線垂直，則平面截正方體所得的截面面積為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有恒成立，求最大的整數(shù).（參考數(shù)據(jù)：）18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x（1）討論fx（2）當(dāng)x≥-1時(shí)，fx+a19．（12分）在數(shù)列和等比數(shù)列中，，，.（1）求數(shù)列及的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．（12分）已知數(shù)列為公差為d的等差數(shù)列，，，且，，依次成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．（12分）2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年，是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際，學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類(lèi)題、4道B類(lèi)題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類(lèi)題的概率；（2）若甲同學(xué)答對(duì)每道A類(lèi)題的概率都是，答對(duì)每道B類(lèi)題的概率都是，且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類(lèi)題和1道B類(lèi)題，用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－|x＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）當(dāng)x>0時(shí)，若函數(shù)g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性即可確定的值，進(jìn)而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱可得，，即，，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，，即，綜上，則，.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，由對(duì)稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.2、B【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時(shí)，的最小值為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類(lèi)討論思想，是中等題．3、B【解析】

由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合，再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．4、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

，將,代入化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道中檔題.6、C【解析】

對(duì)于①中，根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，可判定值正確的；對(duì)于②中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而得到，即可判定是錯(cuò)誤的；對(duì)于③中，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值為，進(jìn)而得到，即可判定是正確的.【詳解】由題意，對(duì)于①中，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得成立，所以是正確的；對(duì)于②中，設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，則又由，所以，即，所以②不正確；對(duì)于③中，設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，即，即，所以是正確的.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，以及導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，合理構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.7、B【解析】

執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計(jì)算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時(shí)滿足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計(jì)算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計(jì)算，得到程序框圖的計(jì)算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和．9、D【解析】

根據(jù)題意，對(duì)于函數(shù)分2段分析：當(dāng)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①，當(dāng)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得，在上恒成立，變形可得②，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得③，聯(lián)立三個(gè)式子，分析可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，若為增函數(shù)，則①，

當(dāng)，若為增函數(shù)，必有在上恒成立，

變形可得：，

又由，可得在上單調(diào)遞減，則，

若在上恒成立，則有②，

若函數(shù)在上單調(diào)遞增，左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值，則需有，③

聯(lián)立①②③可得：.

故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).10、D【解析】

將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出函數(shù)的圖象，易知直線過(guò)定點(diǎn)，故與在時(shí)的圖象必有兩個(gè)交點(diǎn)，故只需與在時(shí)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再與切線問(wèn)題相結(jié)合，即可求解.【詳解】由圖知與有個(gè)公共點(diǎn)即可，即，當(dāng)設(shè)切點(diǎn)，則，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，曲線的切線問(wèn)題，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于較難的壓軸題.11、D【解析】

根據(jù)條形圖可折線圖所包含的數(shù)據(jù)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出敘述不正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知深圳的變化幅度最小，根據(jù)條形圖可知北京的平均價(jià)格最高，所以A選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知天津的往返機(jī)票平均價(jià)格變化最大，所以B選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)條形圖可知上海和廣州的往返機(jī)票平均價(jià)格基本相當(dāng)，所以C選項(xiàng)敘述正確.對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)折線圖可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加，故D選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)條形圖和折線圖進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

畫(huà)出可行域，根據(jù)可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點(diǎn)所圍成的三角形及其內(nèi)部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然原點(diǎn)到所在的直線的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值，此時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值，此時(shí).所以的取值范圍是.故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查線性規(guī)劃，兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為1、2、2的長(zhǎng)方體可以在一個(gè)圓柱形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng),長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為,所以容器體積的最小值為.14、【解析】

首先利用，將其兩邊同時(shí)平方，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式得到，從而求得，利用誘導(dǎo)公式求得，得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，故答案?【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有同角三角函數(shù)關(guān)系式，倍角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.15、【解析】

利用，解出，即可求出雙曲線的漸近線方程.【詳解】，且，，，該雙曲線的漸近線方程為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率與漸近線方程，考查了雙曲線基本量的關(guān)系，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

確定平面即為平面，四邊形是菱形，計(jì)算面積得到答案.【詳解】如圖，在正方體中，記的中點(diǎn)為，連接，則平面即為平面．證明如下：由正方體的性質(zhì)可知，，則，四點(diǎn)共面，記的中點(diǎn)為，連接，易證．連接，則，所以平面，則．同理可證，，，則平面，所以平面即平面，且四邊形即平面截正方體所得的截面．因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，易知四邊形是菱形，其對(duì)角線，，所以其面積．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的截面面積，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）2【解析】

（1）先求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，由此求得切線方程.（2）對(duì)分成，兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論.當(dāng)時(shí)，將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值（設(shè)為）的取值范圍，由的得在上恒成立，結(jié)合一元二次不等式恒成立，判別式小于零列不等式，解不等式求得的取值范圍.【詳解】（1）已知函數(shù)，則處即為，又，，可知函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線為，即.（2）注意到，不等式中，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式可化為令，則，，所以存在，使.由于在上遞增，在上遞減，所以是的唯一零點(diǎn).且在區(qū)間上，遞減，在區(qū)間上，遞增，即的最小值為，令，則，將的最小值設(shè)為，則，因此原式需滿足，即在上恒成立，又，可知判別式即可，即，且可以取到的最大整數(shù)為2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.18、（1）見(jiàn)解析；（2）-∞,1【解析】

（1）f′（x）=（x+1）ex-ax-a=（x+1）（ex-a）．對(duì)a分類(lèi)討論，即可得出單調(diào)性．

（2）由xex-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xex+1，當(dāng)x=-1時(shí)，0≤-1e+1恒成立．當(dāng)x＞-1時(shí)，a≤xe【詳解】解法一：（1）f①當(dāng)a≤0時(shí)，x(-∞-1(-1,+∞)f-0+f(x)↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)單調(diào)遞增.②當(dāng)a>0時(shí)，f'(x)=0的根為x=ln若lna>-1，即a>x(-∞,-1)-1(-1,ln(f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,-1)，(lna,+∞)上單調(diào)遞增，在若lna=-1，即a=f'(x)≥0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)在若lna<-1，即0<a<x(-∞,ln(-1(-1,+∞)f+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)在(-∞,lna)，(-1,+∞)上單調(diào)遞增，在綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)0<a<1e時(shí)，f(x)在(-∞,lna)，自a=1e時(shí)，f(x)在當(dāng)a>1e時(shí)，f(x)在(-∞,-1)，(ln（2）因?yàn)閤ex-ax-a+1≥0當(dāng)x=-1時(shí)，0≤-1當(dāng)x>-1時(shí)，a≤x令g(x)=xex設(shè)h(x)=e因?yàn)閔'(x)=e即hx=e又因?yàn)閔0=0，所以g(x)=xex則g(x)min=g(0)=1綜上，a的取值范圍為-∞,1.解法二：（1）同解法一；（2）令g(x)=f(x)+a所以g'當(dāng)a≤0時(shí)，g'(x)≥0，則g(x)在所以g(x)≥g(-1)=-1當(dāng)0<a≤1時(shí)，令h(x)=e因?yàn)閔'(x)=2ex+x又因?yàn)閔-1=-a<0，所以h(x)=ex+xexx(-1x(g-0+g(x)↘極小值↗g==-e當(dāng)a>1時(shí)，g(0)=-a+1<0，不滿足題意.綜上，a的取值范圍為-∞,1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類(lèi)討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．19、（1），（2）【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減求和即可.【詳解】解：（1）依題意,,設(shè)數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.（2）依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯(cuò)位相減求和等.屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】