專題3.25用勾股定理求最值常用方法專題（知識梳理與考點分類講解）【方法一】利用幾何性質解決問題【知識點1】點和線之間，垂線段最短【知識點2】兩點之間，線段最短（將軍飲馬問題）【知識點3】利用“畫圓”來確定動點問題解決最值問題運用畫圓解決問題有兩種類型：類型（1）：動點到某一定點的距離是定值（圓上的點到圓心的距離恒等于半徑），類型(2)：動點為90°固定角的頂點（直徑所對的圓周角恒定為90°）【方法二】利用代數方法解決問題【知識點1】利用配方法求三次二項式的最值【知識點2】運用二次函數中頂點求最值（以后學習）代數方法較為常見，所以我們本專題不涉及.接下來，我們來簡單看一下每個幾何知識點對應的問題【考點一】勾股定理??垂線段最短求最值【例1】中，，，，，為的中點，直線經過點，過作于，過作于．則的最大值為（

）A．2 B． C． D．4【答案】B【分析】把要求的最大值的兩條線段經過平移后形成一條線段，然后再根據垂線段最短來進行計算即可．解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，∵點D為BC中點，∴BD=CD，在△BFD與△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF=CK，延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，當直線l⊥AC時，最大值為，綜上所述，AE+BF的最大值為，故選：B．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質定理及勾股定理，垂線段最短，構建全等三角形是解答此題的關鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，中，，，，點P是邊上一動點，則線段長度的最小值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】根據勾股定理得出，當時，的值最小，利用面積法求解即可．解：在中，，，，∴，∵當時，的值最小，此時：的面積為：，∴，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查了垂線段最短和三角形的面積公式，解題的關鍵是學會利用面積法求高．【變式2】如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若P是AC上的一個動點，則AP＋BP＋CP的最小值是（）A．14 B．14.8 C．16 D．18【答案】B【分析】根據勾股定理可求出AC，由題意可知當BP取最小值時，AP＋BP＋CP的值最小，而當BP⊥AC時，BP取最小值，故利用面積法求出BP的最小值即可.解：∵在長方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝8，∴AC＝，∴AP＋CP＝AC＝10，∴當BP取最小值時，AP＋BP＋CP的值最小，而當BP⊥AC時，BP取最小值，故此時S△ABC＝，∴，即BP的最小值為4.8，∴AP＋BP＋CP的最小值是10+4.8＝14.8，故選B.【點撥】本題主要考查了勾股定理的應用，分析得出當BP⊥AC時BP取最小值是解題的關鍵.【考點二】勾股定理??兩點之間線段最短求最值??將軍飲馬問題【例2】已知如圖，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN+MN的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】要使DN+MN最小，首先應分析點N的位置．根據正方形的性質：正方形的對角線互相垂直平分．知點D的對稱點是點B，連接MB交AC于點N，此時DN+MN最小值即是BM的長．解：根據題意，連接BD、BM，則BM就是所求DN+MN的最小值，在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6根據勾股定理得：BM＝＝10，即DN+MN的最小值是10；故選B．【點撥】此題的難點在于確定滿足條件的點N的位置：利用軸對稱的方法．然后熟練運用勾股定理．【舉一反三】【變式1】如如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點，M是邊BC上的一個動點，N是邊CD上的一個動點，則AM＋MN＋EN的最小值是______．【答案】10【分析】作A點關于BC的對稱點A1，連接A1M，作E點關于DC的對稱點E1，連接E1N，因此，所以最小值為，用勾股定理算出即可．解：如圖，作A點關于BC的對稱點A1，連接A1M，作E點關于DC的對稱點E1，連接E1N，∵∠B＝∠D＝90°，點A和點A1關于BC對稱，點E和點E1關于DC對稱，∴，，∴，∴AM＋MN＋EN的最小值是，∵AD＝AB＝4，E是AD中點，∴，，∴，，∵∠BAD＝90°，∴，故答案為：10．【點撥】本題考查了線段和的最值問題，勾股定理、軸對稱性質，作出輔助線是本題的關鍵．【變式2】如圖，在中，是邊的中點，是邊上一動點，則的最小值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】如下圖，首先確定DC＇＝DE＋EC＇＝DE＋CE的值最小，由已知條件得出BD和BC＇的長度，然后根據勾股定理計算得出DC＇，即為DE＋CE的值最小值．解：如圖，過點C作CO⊥AB于O，延長CO到C′，使OC′＝OC，連接DC＇，交AB于E，此時DE＋CE＝DE＋EC′＝DC′的值最小，連接BC′．在中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°．由對稱性可知∠ABC＇＝∠ABC＝45°．∴∠CBC＇＝90°．∵CC＇⊥AB，OC′＝OC，∴BC＇＝BC＝2．∵D是BC邊的中點，∴BD＝1．根據勾股定理可得：DC＇＝＝．故EC＋ED的最小值是．故答案為：D．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應用，確定動點E何位置，使EC＋ED的值最小是關鍵．【考點三】勾股定理??兩點之間線段最短求最值??長方體展開最值問題【例3】如圖，是一塊長、寬、高分別是、和的長方體木塊，一只螞蟻要從頂點出發(fā)，沿長方體的表面爬到和相對的頂點處吃食物，則它需要爬行的最短路線長是（）．

A． B．6 C． D．【答案】A【分析】根據長方體的側面展開計算：沿前表面和上表面所構成矩形的對角線爬行距離，沿前表面和右表面所構成矩形的對角線爬行距離，沿左表面和上表面所構成矩形的對角線爬行距離，沿左表面和后表面所構成矩形的對角線爬行距離，再比較大小即可；解：如圖1，當螞蟻由點經前表面和上表面所構成矩形的對角線到達點時，

由勾股定理可得，如圖2，當螞蟻由點經前表面和右表面所構成矩形的對角線到達點時，

由勾股定理可得，如圖3，當螞蟻由點經左表面和上表面所構成矩形的對角線到達點時，

由勾股定理可得，如圖4，當螞蟻由點經左表面和后表面所構成矩形的對角線到達點時，

由勾股定理可得，∵，故選：A．【點撥】本題考查了長方體的側面展開，兩點間的最短距離，勾股定理；根據長方體的側面展開分類討論是解題關鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，長方體的長、寬、高分別為．如果一只小蟲從點開始爬行，經過兩個側面爬行到另一條側棱的中點處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7【答案】A【分析】根據題意把圖形展開，連接，得出的長就是從處爬到處的最短路程，分為三種情況展開，根據勾股定理求出的長，再比較即可.解：如圖將正面與右面展開在同一平面，連接，

由勾股定理得：，如圖將下底面與后面展開在同一平面，連接，

由勾股定理得：，如圖將下底面與右面展開在同一平面，連接，

由勾股定理得：，∴從處爬到處的最短路程是，故選：．【點撥】此題考查了立方體側面展開圖最短路徑問題，解題關鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意要進行分類討論．【變式2】已知長方體的長、寬、高分別為，，，一只螞蟻沿著長方體表面從點A爬到點B，則需要爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將長方體按不同方式展開，構造直角三角形，利用勾股定理求出長即可得到答案．解：如圖1所示將長方體展開，則；如圖2所示將長方體展開，則；如圖3所示將長方體展開，則；∵，∴螞蟻爬行的最短路徑長為，故選：C．【點撥】本題考查了平面展開???最短路徑問題，解題的關鍵是將圖形展開，轉化為直角三角形利用勾股定理解答．【考點四】勾股定理??兩點之間線段最短求最值??圓柱體展開最值問題【例4】如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長為，在杯內壁離杯底的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲為直，利用勾股定理解決．解：把玻璃杯的側面展開，如圖，把點A向上平移6cm到點C，連接，過點B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為．故選：B【點撥】本題考查了勾股定理的應用，根據題意把圓柱展開，化曲為直是解決問題的關鍵．【舉一反三】【變式1】如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻從柜角處沿著木柜表面爬到柜角處．若，，，則螞蟻爬行的最短路程是（

）A． B． C． D．12【答案】A【分析】求出螞蟻沿著木柜表面經線段到，以及螞蟻沿著木柜表面經線段到的距離，再進行比較即可．解：螞蟻沿著木柜表面經線段到，爬過的路徑的長是，螞蟻沿著木柜表面經線段到，爬過的路徑的長是．，最短路徑的長是．故選A．【點撥】此題主要考查了長方體展開圖的對角線長度求法，這種題型經常在中考中出現(xiàn)，也是易錯題型，希望能引起同學們的注意．【變式2】如圖，一個圓柱形食品盒，它的高為，底面圓的周長為(1)點A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對側中點B處的食物，則螞蟻需要爬行的最短路程是______；(2)將左圖改為一個無蓋的圓柱形食品盒，點C距離下底面，此時螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內表面對側中點B處(如右圖)，則螞蟻爬行的最短路程是___．【答案】【分析】（1）把圓柱側面展開，在中，利用勾股定理求解即可．（2）將圓柱側面展開，得到矩形，作點關于的對稱點，構造，根據勾股定理求出即可解決問題．解：(1)如圖，把圓柱側面展開，在中，∵，∴，故答案為：．(2)如圖所示，點與點關于對稱，可得，，則最短路程為故答案為：．【點撥】本題考查了勾股定理求線段最短距離，軸對稱的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．【考點五】勾股定理??兩點之間線段最短求最值??圓柱體表面纏中的最值問題【例5】如圖，圓柱底面半徑為，高為，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點順著圓柱側面繞3圈到B點，則這根棉線的長度最短為___________cm．【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：；又∵圓柱高為，∴小長方形的一條邊長是；根據勾股定理求得；∴；故答案為：15．【點撥】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【舉一反三】【變式1】．如圖，圓柱底面半徑為cm，高為18cm，點A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點．且A、B在同一母線上，用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B，則棉線最短為_____cm．【答案】30【分析】要求圓柱體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側面繞3圈到B的運動最短路線是：→→；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個小長方形，A沿著3個長方形的對角線運動到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為cm，∴長方形的寬即是圓柱體的底面周長：（cm）；又∵圓柱高為18cm，∴小長方形的一條邊長是（cm）；根據勾股定理求得（cm）；∴cm；故答案為：30．【點撥】本題主要考查了圓柱的計算、平面展開﹣﹣路徑最短問題．圓柱的側面展開圖是一個長方形，此長方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側面展開成長方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．【變式2】我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點處纏繞而上．(1)若繞五周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．(2)若繞周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是________尺．【答案】(1)25；(2)【分析】（1）根據題意畫出圖形，在Rt中，再根據勾股定理求解即可；（2）在Rt中根據勾股定理求解即可．（1）解：如圖所示，在Rt中，，，（尺）答：葛藤長為25尺．故答案為：25；（2）解：在Rt中，，，（尺），答：葛藤長為尺．故答案為：．【點撥】本題考查的是平面展開—最短路徑問題，能夠根據題意畫出圖形，構造出直角三角形是解決問題的關鍵．【考點六】勾股定理??兩點之間線段最短求最值??毛毯中的最值問題【例6】如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（

）A．65 B．85 C．90 D．150【答案】B【分析】勾股定理求出，平移的性質推出防滑毯的長為，利用面積公式進行求解即可．解：由圖可知：，∵米，米，∴米，由平移的性質可得：水平的防滑毯的長度（米），鉛直的防滑毯的長度（米），∴至少需防滑毯的長為：（米），∵防滑毯寬為5米∴至少需防滑毯的面積為：（平方米）．故選：．【點撥】本題考查勾股定理．解題的關鍵是利用平移，將防滑毯的長轉化為兩條直角邊的邊長之和．【舉一反三】【變式1】如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于7cm、6cm、2cm，A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點A出發(fā)經過臺階爬到點B的最短路線有多長？【答案】25cm【分析】展開后得到直角三角形ACB，根據題意求出AC、BC，根據勾股定理求出AB即可．解：如圖，將臺階展開，由題意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，．所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625，即AB＝25（cm），答：螞蟻爬行的最短線路為25cm．【點撥】本題主要考查對勾股定理，平面展開——最短路徑問題等知識點的理解和掌握，能理解題意知道是求出直角三角形ABC的斜邊AB的長是解此題的關鍵．【變式2】如圖，在一個長AB為18m，寬AD為7m的長方形草坪ABCD上，放著一根長方體的木塊，已知木塊的較長邊與AD平行，橫截是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點A爬過木塊到達C處需要走的最短路程是

________米．【答案】【分析】解答此題要將木塊表面展開，再構建直角三角形，然后根據兩點之間線段最短，再利用勾股定理進行解答．解：如圖，由題意可知，將木塊展開，展開圖的長相當于是AB+2個正方形的寬，∴長為18+2×2=22米；寬為7米．于是最短路徑為：（米）．故答案為：．【點撥】本題考查了平面展開-最短路徑問題，兩點之間線段最短的性質，勾股定理的應用，有一定的難度，要注意培養(yǎng)空間想象能力．【考點七】勾股定理??兩點之間線段最短求最值??長方體內筷子最值問題【例7】如圖，在長方體盒子中，已知，長為的細直木棒恰好從小孔G處插入，木棒的一端I與底面接觸，當木棒的端點I在長方形內及邊界運動時，長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當最大時，最小，當I運動到點A時，最大，根據勾股定理求解即可．解：當最大時，最小，當I運動到點A時，最大，此時，而，∴，∴長度的最小值為．故選：A．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，根據勾股定理求出的最大值是解題的關鍵．【舉一反三】【變式1】如圖長方體木箱的長，寬，高分別為，則能放進木箱中的直木棒最長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理計算出的長，再利用勾股定理計算出的長即可．解：如圖，∵側面對角線，∴，∵，∴，∴空木箱能放的最大長度為．故選：C．【點撥】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．【變式2】將一根長為的細木棒放進