專題04等腰三角形（42題11種題型）一、根據等邊對等角求角度（共4小題）1．（2022秋·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校?？计谥校┤鐖D，在和中，，，，且點D在線段上，連．(1)求證：；(2)若，求的度數．2．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯考期中）如圖，中，，垂直平分，交于點，交于點，且．(1)若，則_________；(2)若周長，，求的長．3．（2022秋·江蘇·八年級期中）在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，這樣的三角形我們稱之為“倍角三角形”．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點P是線段AB上一點（不與A、B重合），連接CP．（1）當∠B＝72°時；①若∠CPB＝54°，則△ACP“倍角三角形”（填“是”或“否”）；②若△BPC是“倍角三角形”，求∠ACP的度數；（2）當△ABC、△BPC、△ACP都是“倍角三角形”時，求∠BCP的度數．4．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖1，在中，，，D為AC的中點，E為邊AB上一動點，連接DE，將沿DE翻折，點A落在AC上方點F處，連接EF，CF．(1)判斷∠1與∠2是否相等并說明理由；(2)若與以點C，D，F為頂點的三角形全等，求出的度數：(3)翻折后，當和的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出的度數．二、根據等邊對等角證明（共4小題）5．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，點D，E分別在邊AB、AC上，且AD=AE，連接BE、CD，交于點F．（1）判斷∠ABE與∠ACD的數量關系，并說明理由；（2）求證：過點A、F的直線垂直平分線段BC．6．（2022秋·江蘇南京·八年級統考期末）如圖，在中，，點D在邊上，，，，垂足分別為E，F．(1)求證；(2)若，求證．QUOTE7．（2022秋·江西南昌·八年級南昌市外國語學校?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=AC，點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．（1）如圖1，當點D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE=度；（2）設，．①如圖2，當點D在線段BC上移動，則，之間有怎樣的數量關系？請說明理由；②當點D在直線BC上移動，則，之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論．8．（2022秋·江蘇·八年級統考期中）如圖1．等腰△ABC中，AB=AC，點D是AC上一動點，點E在BD延長線上．且AB=AE，CF=EF．(1)在圖1中，證明：∠BFC=∠BAC；(2)若，如圖2．探究線段AF、BF、EF之間的數量關系，并證明；(3)若且BD平分∠ABC，如圖3，求的值．三、根據三線合一求解（共4小題）9．（2022秋·江蘇·八年級期末）（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于點M．求證：AM＝2CD；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點B作BE⊥AD，交AD的延長線于點E．若AD＝3，則BE＝．10．（2022秋·福建廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，中，點D在邊上，連接，，．(1)如圖1，求證：(2)如圖1，求證：．(3)如圖2，在（2）的條件下，連接，交于點F，若，且，時，求的長．11．（2022秋·貴州黔西·八年級校聯考期中）如圖，已知AE⊥FE，垂足為E，且E是DC的中點．(1)如圖①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分別為C，D，且AD＝DC，判斷AE是∠FAD的角平分線嗎？(不必說明理由)(2)如圖②，如果(1)中的條件“AD＝DC”去掉，其余條件不變，(1)中的結論仍成立嗎？請說明理由；(3)如圖③，如果(1)中的條件改為“AD∥FC”，(1)中的結論仍成立嗎？請說明理由．12．（2022秋·山東德州·八年級統考期中）教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第94頁的部分內容．請根據所給教材內容，結合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程．定理應用：（1）如圖②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，垂足分別為M，N，已知△ADE的周長為22，則BC的長為_______．（2）如圖③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分別是AB、AD上任意一點，若BC＝6，AB＝5，AD＝4，則BP+EP的最小值是______．四、根據三線合一證明（共4小題）13．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統考期中）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，點M，N分別是BC，DE的中點．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ECB＋∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長．14．（2022秋·河南南陽·八年級統考期中）為了解學生對所學知識的應用能力，某校老師在八年級數學興趣小組活動中，設置了這樣的問題：因為池塘兩端A，B的距離無法直接測量，請同學們設計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學分別設計出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個可以直接到達點A，B的點O，連接AO并延長到點C，連接BO并延長到點D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過點B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達點A的一點D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點C，最后測量BC的長即可．甲、乙兩個同學的方案是否可行？請說明理由．15．（2022春·四川成都·八年級統考期末）如圖，在中，點D，E分別在BC，AB邊上，AE=AC，AD⊥CE，連接DE．(1)求證：∠DEC=∠DCE；(2)若AC=BC，BE=CE．①求∠B的度數；②試探究AB-AC與BC-DE的數量關系，并說明理由．16．（2022秋·湖北武漢·八年級統考期末）如圖，在等邊中，，分別為，邊上的點，，．(1)如圖1，若點在邊上，求證：；(2)如圖2，連．若，求證：；(3)如圖3，是的中點，點在內，，點，分別在，上，，若，直接寫出的度數（用含有的式子表示）．五、根據等邊對等角求解（共3小題）17．（2022秋·遼寧鞍山·八年級統考期中）（1）【觀察發(fā)現】如圖（1），中，，點D為的中點，求的取值范圍．解法如下：延長到點E，使，連接．請直接寫出的取值范圍；（2）【探索應用】如圖（2），，點E為的中點，，求的長．18．（2022秋·四川廣元·八年級統考期末）“劍門雄關天下險，女皇故里美名揚”．2022年11月22日第34屆女兒節(jié)在廣元南河水上公園拉開帷幕，文藝表演后，舉行了精彩的鳳舟競賽，經過激烈角逐，旺蒼、劍閣、蒼溪代表隊分別奪得前三名．如圖，若蒼溪代表隊劃行的彩船從點A出發(fā)，以每秒4米的速度向正北方向劃行，經過70秒到達點B處．在出發(fā)地A和點B處分別望向湖中心C處，測得，．(1)求湖中心C到點B的距離；(2)彩船到達B點后，繼續(xù)向正北方向航行，問：還要經過多長時間，彩船到湖中心C的距離最短？19．（2022秋·上海·八年級?？计谥校┤鐖D，是的高，，求的長．六、根據等邊對等角證明（共3小題）20．（2022春·貴州遵義·八年級?？计谥校┤鐖D①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1)圖①中有幾個等腰三角形?猜想:EF與BE、CF之間有怎樣的關系.(2)如圖②,若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎?如果有，分別指出它們.在第(1)問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎?(3)如圖③，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F.這時圖中還有等腰三角形嗎?EF與BE、CF關系又如何?說明你的理由.21．（2022秋·山東德州·八年級統考期末）（1）方法呈現：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數量關系，并加以證明．22．（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級統考期末）閱讀下面文字并填空：數學習題課上李老師出了這樣一道題：“如圖1，在中，AD平分，．求證：．李老師給出了如下簡要分析：“要證就是要證線段的和差問題，所以有兩個方法，方法一：‘截長法’如圖2，在AC上截取，連接DE，只要證__________即可，這就將證明線段和差問題__________為證明線段相等問題，只要證出____________________，得出及_________，再證出_____________________，進而得出，則結論成立．此種證法的基礎是‘已知AD平分，將沿直線AD對折，使點B落在AC邊上的點E處’成為可能．方法二：“補短法”如圖3，延長AB至點F，使．只要證即可．此時先證__________，再證出__________________，則結論成立．”“截長補短法”是我們今后證明線段或角的“和差倍分”問題常用的方法．七、根據等邊三角形的性質求解（共5小題）23．（2022秋·江蘇·八年級期末）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系．（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是；此時；（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（I）問的兩個結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數量關系如何？并給出證明．24．（2022秋·江蘇揚州·八年級統考期中）如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．（1）求∠CAM的度數；（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當動D在直線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．25．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯考期中）觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．（1）求證：△AEC≌△CDB；（2）類比探究：如圖2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，將斜邊AB繞點A逆時針旋轉90°至AB′，連接B′C，求△AB′C的面積；（3）拓展提升：如圖3，∠E=60°，EC=EB=4cm，點O在BC上，且OC=3cm，動點P從點E沿射線EC以2cm/s速度運動，連結OP，將線段OP繞點O逆時針旋轉120°得到線段OF．要使點F恰好落在射線EB上，求點P運動的時間．26．（2022秋·江蘇南通·八年級統考期中）在等邊的兩邊，所在直線上分別有兩點，，點為外一點，且，，．（1）如圖1，點，在邊，上，，求的長；（2）如圖2，點，在邊，上，，試猜想，，之間的數量關系，并加以證明；（3）當點，在，的延長線上時，若等邊的周長為，的長為，則的周長為______（用含有，的代數式表示）．27．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，等邊的邊長為7cm，現有兩動點M，N分別從點A、B同時出發(fā)，沿三角形的邊按照圖中標識的方向運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2.5cm/s，當點N第一次到達點B時，點M、N同時停止運動．(1)點M、N運動幾秒后，M、N兩點重合？(2)點M、N運動過程中，點M，N能否與中的某一頂點構成等邊三角形，若能求出對應的時間t，若不能請說明理由．(3)當點M、N在邊BC上運動時，連接AM、AN，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？若能，請求出此時MN的邊長，若不能請說明理由．八、等邊三角形的判定（共4小題）28．（2022秋·江蘇南通·八年級校聯考期中）如圖，在中，是邊的中線，，將沿折疊，使點落在點的位置．判斷的形狀并加以證明；29．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一點，BD＝BC，過點D作AB的垂線交AC于點E，CD交BE于點F．(1)求證：BE垂直平分CD；(2)若∠BED＝60°，求證：CBD是等邊三角形．30．（2022春·北京西城·八年級校考期中）如圖，在△ABC中，AB＝30cm，BC＝35cm，∠B＝60°，有一動點M自A向B以1cm/s的速度運動，動點N自B向C以2cm/s的速度運動，若M，N同時分別從A，B出發(fā)．(1)經過多少秒，△BMN為等邊三角形；(2)經過多少秒，△BMN為直角三角形．31．（2022秋·貴州遵義·八年級統考期末）分解因式，觀察發(fā)現，前兩項符合平方差公式，后兩項可以提公因式，變可以將式子因式分解，過程如下：，這樣的因式分解方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)已知的三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．九、等邊三角形性質與判定綜合（共4小題）32．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖①，在等邊△ABC中，點D、E分別是AB、AC上的點，BD=AE，BE與CD交于點O．（1）填空：∠BOC＝度；（2）如圖②，以CO為邊作等邊△OCF，AF與BO相等嗎？并說明理由；（3）如圖③，若點G是BC的中點，連接AO、GO，判斷AO與GO有什么數量關系？并說明理由．33．（2022秋·江蘇無錫·八年級校聯考期中）在學習全等三角形的知識時，數學興趣小組發(fā)現這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”．(1)如圖，與都是等腰三角形，，，且，則有___________≌___________．(2)如圖，已知，以為邊分別向外作等邊和等邊并連接，則___________°．(3)如圖，在兩個等腰直角三角形和中，，，連接，交于點P，請判斷和的關系，并說明理由．34．（2022秋·江蘇·八年級期中）如圖1，是邊長為的等邊三角形，邊在射線上，，另一個等邊的頂點D從O點出發(fā)，沿的方向以的速度運動，在運動過程中的形狀始終保持不變，且點D不與點A重合．設運動時間為．（1）求證：；（2）如圖2，當時，的周長是否存在最小值？若存在，求出的最小周長：若不存在，請說明理由；（3）如圖3，當點D在射線上運動時，是否存在以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出此時t的值：若不存在，請說明理由．35．（2022秋·江蘇無錫·八年級統考期末）已知：如圖，△ABC、△CDE都是等邊三角形，AD、BE相交于點O，點M、N分別是線段AD、BE的中點．(1)求∠DOE的度數；(2)試判斷△MNC的形狀，并說明理由；(3)連接OC，求證：OC是∠AOE的平分線．十、含30°角的直角三角形（共4小題）36．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯考期中）如圖，中，，，點O在邊上運動（O不與B、C重合），點D在線段上，連結，．點O運動時，始終滿足．(1)當時，判斷的形狀并說明理由；(2)當的最小值為2時，此時；(3)在點O的運動過程中，的形狀是等腰三角形時，求此時的度數．37．（2022秋·江蘇蘇州·八年級?？计谥校?）問題情境：如圖1，，平分，把三角尺的直角頂點落在的任意一點上，并使三角尺的兩條直角邊分別與、相交于點、，與相等嗎？請你給出證明；（2）變式拓展：如圖2，已知，平分，是上一點，，邊與邊相交于點，邊與射線的反向延長線相交于點．試解決下列問題：①與還相等嗎？為什么？②試判斷、、三條線段之間的數量關系，并說明理由．38．（2022秋·江蘇·八年級期末）如圖，∠AOB＝30°，點M，N在邊OA上，點N在點M的上方，MN＝2，點M從O開始沿著射線O