利息論講義——第四章分期償還與償債基金引言債務償還的問題是利息論中的一大類問題，是每個個人和家庭都需要面對的問題。債務的償還主要有三種方式:1.滿期償還:到期一次性償還本金和利息2.分期償還（amortization):按一定的時間間隔,分期償還本金和利息3.償債基金（sinkingfund）:每期支付利息,并按期另存一筆錢,建立基金,使基金到期積累值恰好等于貸款本金。利息論講義——第四章分期償還與償債基金4-1

未償還貸款余額

在分期償還中有4個基本量L：貸款本金（貸款金額）n：還款期限i：貸款利率R：分期償還方式中每次還款金額利息論講義——第四章分期償還與償債基金定義：為k時刻的未償還貸款余額（outstandingbalancejustafterkthpayment).計算k時刻的未償還貸款余額有兩種方法，一種是將來法，一種是過去法。

利息論講義——第四章分期償還與償債基金將來法（byprospectivemethod)：過去法（byretrospectivemethod)：利息論講義——第四章分期償還與償債基金可以證明：依據(jù)：

所有付款的現(xiàn)值=貸款金額

把兩邊都積累到t時刻所有付款在t時刻的當前值=貸款金額在t時刻的積累值過去付款在t時刻的積累值+將來付款在t時刻的現(xiàn)值=貸款金額在t時刻的積累值

利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.1.1

Aloanof100000isbeingrepaidby15equalannualinstallmentsattheendofeachyearat6%interesteffectiveannually.Immediatelyafterthe8thpmt,theloanrenegotiatedasfollows:(1):Theborrowerwillmadesevenannualpmtofktorepaytheloanwiththefirstpmtmadethreeyearsfromthedateofrenegotiation.(2):Theinterestrateischangedto7.5%effectiveannually.Calculatek.利息論講義——第四章分期償還與償債基金4-2分期償還表

表中我們要計算如下量：分別對應的是每期的還款額，每期支付中的利息，每期支付中的本金，以及每個時刻的未償還余額。利息論講義——第四章分期償還與償債基金

模型：每期還款1，每年利率為i。利息論講義——第四章分期償還與償債基金

幾個重要公式：利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.2.1L=380,n=3,i=0.1試列出分期償還明細表。利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.2.2Marktakesouta30-yearloanonJan.1,1992for20000atanannualeffectiverateof5%.Pmtsaremadeattheendofeachyear.OnJan.1,2002,Marktakesouta20-yearloanfor10000atanannualeffectiverateof7%.Pmtsarealsomadeattheendofeachyear.Calculatetheprincipaloftheyear2002onbothloans.利息論講義——第四章分期償還與償債基金4-3償還頻率與計息頻率不一致的分期償還表

這里僅先考慮每期償還額相等的情形。有兩種模型，一種是一個支付期有k個計息期，一種是一個計息期有m個支付期。利息論講義——第四章分期償還與償債基金

模型一：一個支付期有k個計息期，總共有n個計息期，每次還款額為1。利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.3.1AloanofListoberepaidwith40pmtsof100attheendofeachquarter.Interestontheloanischargedatanominalratei,convertiblemonthly.Theoutstandingbalanceimmediatelyafterthe8thand24thpmtsare2308.15and1345.50.Calculatetheamountofinterestrepaidinthe15thpmt.利息論講義——第四章分期償還與償債基金模型二：一個計息期中有m個支付期，共有n個計息期，每一個支付期上還款1/m。利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.3.2Aloanisbeingamortizedbymeanoflevelatanannualeffectiverateof8%.Theamountofprincipalrepaidinthe12thpmtis1000andtheamountofprincipalrepaidinthetthpmtis3700.Calculatet.利息論講義——第四章分期償還與償債基金作業(yè)：2，7，9,11利息論講義——第四章分期償還與償債基金4-4變額償還支付貸款總額L，期限n，利率i，每次償還額為Rk，建立分期償還表。THANKYOUSUCCESS2024/1/619可編輯利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.4.1Aloanof100000isrepaidwithunequalannualpmtsattheendofeachyearfor30years.Eachofthefirst29pmtsisequaltotwotimestheamountoftheinterestthen.Thefinalpmtrepaystheremainingloanbalanceatthattime.Interestischargedatanannualeffectiverateof8%.Calculatetheamountofthefinalloanpmt.利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.4.2Dontakesouta10-yearloanofL,whichherepayswithannualpmtsattheendofeachyearusingamortizationmethod.Interestontheloanischargedatanannualeffectiveratei.Donrepaystheloanwithadecreasingseriesofpmts.Herepays1000intheyearone,900intheyeartwo,…and100intheyearten.Theamountofprincipalrepaidinyearthreeisequalto600.CalculateL.利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.4.3

等額本金償還方式，此種償還方式中，每次償還的本金相同。見書上例4-12。利息論講義——第四章分期償還與償債基金4-5

連續(xù)償還的分期償還表期限n，每個時刻上的支付率為1。利息論講義——第四章分期償還與償債基金推廣：若在t時刻的支付率為Rt利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.5.1

書上例4-15。利息論講義——第四章分期償還與償債基金4-6

償債基金（sinkingfundmethod)

償債基金是另一種重要的債務償還方式。

償債基金方式是要求借款者定期地支付當期的利息，還必須定期地向償債基金付款，以保證償債基金能夠在貸款期限末積累到貸款本金。利息論講義——第四章分期償還與償債基金L:貸款總額n：貸款期限i：貸款利率j：償債基金利率D：償債基金每期存款（periodicsinkingfunddeposit)P：借款人每期支付(periodicoutlaybyborrower)利息論講義——第四章分期償還與償債基金若i=j,償債基金表4-5利息論講義——第四章分期償還與償債基金更進一步地，我們先分析P1，關于P利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.6.1貸款額為10000,貸款利率是8%,貸款期限是10年,比較下列4種貸款方式:(1)分期償還法(2)償債基金利率為6%(3)償債基金利率為8%(4)償債基金利率為10%利息論講義——第四章分期償還與償債基金2，關于NBt，NPt，NIt，它們分別表示t時刻的凈余額，凈本金以及凈利息。利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.6.2貸款額為380,貸款利率是10%,償債基金利率是7%,貸款期限是3年,列出償債基金法的明細表.利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.6.3Rantakesouta10-yearloanfor4600.Interestontheloanischargedat9%annualeffectiverate.Ranrepaytheloanbymaking10annualpmtsattheendofeachyearconsistingoftheinterestontheloanandasinkingfunddeposit.Thetotalpmteachyearis743.Theamountisthesinkingfundwillexactlypayofftheloanattheendofthe10years.Duringthefirst9yearsoftheloan,thesinkingfundannualeffectiverateis7.75%,afteryear9,thesinkingfundannualeffectiverateisk.Calculatek.(5%)利息論講義——第四章分期償還與償債基金例4.6.4JasonandMarkeachtakeouta17-yearloanofL.Jasonrepayshisloanusingtheamortizationmethodatanannualeffectiverateofi.Hemakesanannualpmtof500attheendofeachyear.Markrepaystheloanusingthesinkingfundmethod.Herepaysinterestannuallyalsoatanannualeffectiveratei.Inaddition,hemakeslevelannualdepositattheendofeachyearfor17yearsintoasinkingfund.Theannualeffectiverateofthesinkingfundis4.62%andshepaysofftheloanafter17years.Mark’stotalpmteachyearisequalto10%oftheoriginalloanamount.CalculateL.(i=8.4665%,L=4422)3.償還頻率與計息頻率不一致的償債基金法四種頻率(1)貸款利息支