專(zhuān)題02多選壓軸題

1.（2021?無(wú)錫一模）曲率半徑是用來(lái)描述曲線(xiàn)上某點(diǎn)處曲線(xiàn)彎曲變化程度的量，己知對(duì)于曲線(xiàn)

￡+￡=1（°＞0力＞0）上點(diǎn)P（x°,為）處的曲率半徑公式為R=/從冉+與）9,則下列說(shuō)法正確的是（

a"b~ab

）

A.對(duì)于半徑為R的圓，其圓上任一點(diǎn)的曲率半徑均為R

r22

B.橢圓=+4v=l（a〉b＞0）上一點(diǎn)處的曲率半徑的最大值為。

a~b~

r2?力2

C.橢圓?十4=im＞方＞o）上一點(diǎn)處的曲率半徑的最小值為—

a~b~a

D.對(duì)于橢圓二+/=1（。＞1）上一點(diǎn)（』,％）處的曲率半徑隨著a的增大而減小

6r2

【答案】AC

Y+/

【詳解】選項(xiàng)A：圓的方程為:=l(a2=h2=R?),

2,23

所以圓上任意一點(diǎn)曲率半徑為內(nèi)（乙余匕）“=R，?K=R，故A正確;

222（

選項(xiàng)5,C：當(dāng)心b＞0時(shí)，與+烏華+-

a4b4a4b4

%+1X。_（11）乂2+1

/十F一俞一（/一力與+歹

因?yàn)閤（）一￡[0,a2]所以w[―^-，-j]，

fabab

所以R=a2b2（烏+普~）'e[~，，

abab

2I9

所以曲半徑的最大值為幺，最小值為土，

ha

故區(qū)錯(cuò)誤，C正確；

222

選項(xiàng)D:=R=ab(^+節(jié)戶(hù)=a(~+\-白戶(hù)=[J(^-+1-

]1j_2

令/(a)=—a3+a3——a3,a>l,

44

1.U

f\d)=-a3(8/+/_4)>0,

6

.?./?在（1,轉(zhuǎn)）上隨。增大而增大，。錯(cuò)誤.

故選：AC.

22

2.（2021?江蘇模擬）已知橢圓G：W+2=1（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,離心率為q,上頂

點(diǎn)為P,且△尸耳心的面積為〃.雙曲線(xiàn)G與橢圓G的焦點(diǎn)相同，且C?的離心率為e2,M為G與G的

一個(gè)公共點(diǎn)，若/4砥=^,貝“）

A.且=GB.e.e,=-C.e：+e：=2D.e；—e：=2

q4-218

【答案】AC

【詳解】由題意可得死的面積為;-62=從，

即有匕=c,則q=￡=-4=-=,

a42c2

設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為土r-==1(〃?>0,">0),M在第一象限，且|Mf；|=s,|MQ|=/,

tn~n~

由橢圓的定義可得5+,=為，由雙曲線(xiàn)的定義可得ST=2m,

解得s=a+m,t-a-m,

q2+12—A21

在△A/4居中，cosZfjMF,=---------

1st2

則s1+t2-st=4c2>可得(〃+m)2+(a-tri)2一(a+m)(a-m)=a2+3m2=4c2,

則￡+嬰=4,即有一，?+3=4,

cceje2

由q=，可得e2=,

則弓.二避^，—=V3，^+^2=—+—=2,e[—e1=———=—1,

2612222

二git項(xiàng)AC正確；錯(cuò)誤.

故選：AC.

3.（2021?福建模擬）己知拋物線(xiàn)E:丁=好的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)/交x軸于點(diǎn)C,直線(xiàn)機(jī)過(guò)C且交E于不同

的A,B兩點(diǎn)，3在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)P為A在/上的射影，下列命題正確的是（）

A.若則IAPRPCI

B.若P,B,尸三點(diǎn)共線(xiàn)，則|AF|=4

C.若|ABRBC|,則|AF|=2|BF|

D.對(duì)于任意直線(xiàn)機(jī)，都有|同尸|+|8用＞2|CF|

【答案】BCD

【詳解】如圖示：

由題意巴的焦點(diǎn)為「;，準(zhǔn)線(xiàn)L匚

限的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)/為△PKK的內(nèi)心，點(diǎn)G為的重心，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.雙曲線(xiàn)C的離心率為3

2

B.點(diǎn)/的運(yùn)動(dòng)軌跡為雙曲線(xiàn)的一部分

C.若［P/"=2|Pg|,PI=xPF\+yPF^,貝ljy_x=j

D.存在點(diǎn)P,使得/G//6g

【答案］LI

【詳解】雙曲線(xiàn)的「,匚口，O,則,故回正確；

設(shè)匚二匚二△［二二］的內(nèi)切圓與邊［二］切于胤與邊亡］切于網(wǎng)，與邊IN切于國(guó)

由雙曲線(xiàn)的定義可得匚二^□，即有:………;

—I，解司—卜則國(guó)的橫坐標(biāo)為圖，

由⑶與閭的橫坐標(biāo)相同，可得犀的橫坐標(biāo)為口，可得『尋在定直線(xiàn)—上運(yùn)動(dòng)，故產(chǎn)錯(cuò)誤;

由匚—且?1二,?3匚一

同理可得匚J,設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)

解制.

設(shè)△匚］的內(nèi)切圓的半徑為國(guó)，則

解得，即有，

22

6.(2021?沈陽(yáng)一模)已知雙曲線(xiàn)C:=-4=l(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)尸(-1,0),過(guò)F且與x軸垂直的直線(xiàn)與

a~b~

雙曲線(xiàn)交于A,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A4O8的面積為之，則下列結(jié)論正確的有()

2

A.雙曲線(xiàn)C的方程為4/-"1=1

3

B.雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)所成的銳角為60。

C.尸到雙曲線(xiàn)C漸近線(xiàn)的距離為6

D.雙曲線(xiàn)C的離心率為2

【答案］L

【詳解】雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)匚二則L1，

又過(guò)凹且與圈軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn),

的面積，即

圈雙曲線(xiàn)方程為,故巴正確;

雙曲雷的漸近線(xiàn)方程為則兩漸近線(xiàn)的夾角為二，故國(guó)正確;

若原點(diǎn)。在以F,為圓心，4工為半徑的圓上，則c=m=2a,與￡=叵不符，故選項(xiàng)3錯(cuò)誤.

a3

故選：

9.（2021?湖北模擬）已知拋物線(xiàn)Y=2y,點(diǎn)1］,過(guò)M作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn),MB,

其中A,5為切點(diǎn)，且A在第一象限，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)尸，則下列結(jié)論正確的有（）

A.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,1）B.OALOB

C.AM鉆的面積的最大值為36D.四的取值范圍是［2,2+6］

I四

【答案】rn

設(shè)口,□，口,□，則匚j,匚,

可得巴處的切線(xiàn)的方程為（…一一i,即為［……二］

同理可制另處的切線(xiàn)的方程為"Kb|，

又切緞匕，巴都過(guò)匚二，可制'——：「一

由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，可得已的方程為匚二二，

可得匚二］,故網(wǎng)正確；

聯(lián)立，可得n，即有，

即口不垂直于巨，故等g誤;

由「-……，,回國(guó)到直線(xiàn)巴的距離

10.(2021?重慶模擬)關(guān)于雙曲線(xiàn)C:?-q=l,下列說(shuō)法正確的是()

92

A.該雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)X-二=1有相同的漸近線(xiàn)

54

B.過(guò)點(diǎn)尸(3,0)作直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C交于A、B,若|A8|=5,則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)只有一條

C.若直線(xiàn)/與雙曲線(xiàn)C的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)/的斜率

D.過(guò)點(diǎn)P(l,2)能作4條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C僅有一個(gè)交點(diǎn)

【答案】:

【詳解】選項(xiàng)隹］,雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)均為,即選項(xiàng)回正確;

選項(xiàng)當(dāng)直線(xiàn)日與雙曲線(xiàn)的右支交于回，同時(shí)，通徑最短，為

當(dāng)直線(xiàn)目與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于修，巴］時(shí)，匚］的最小值為匚口，所以若二

則滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有3條，即選項(xiàng)『［錯(cuò)誤；

選項(xiàng)目，雙曲線(xiàn)［3的漸近線(xiàn)為，若直線(xiàn)間與雙曲線(xiàn)但|的兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，

則直線(xiàn)目的斜率，即選項(xiàng)回正確；

選項(xiàng)巴，過(guò)點(diǎn)匚口可作兩條與漸近線(xiàn)平行的直線(xiàn)和兩條切線(xiàn)，均與雙曲線(xiàn)只有.1個(gè)交點(diǎn)，

故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有4條，即選項(xiàng)嚴(yán)正確.

故選：FH.

11.（2021?秦皇島二模）已知方程C:|#+|#=l,〃wN*,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.當(dāng)〃=1時(shí)，|x|+|y|的最小值為:

B.當(dāng)〃=1時(shí)，方程C所表示的曲線(xiàn)圍成封閉圖形的面積為S,則S<2

C.當(dāng)”=3時(shí)，|xHyl的最小值為二~

4

D.當(dāng)〃=3時(shí)，方程C所表示的曲線(xiàn)圍成封閉圖形的面積為S,則2Vse"

【答案］L

【詳解】當(dāng)匚時(shí)，由原方程可得，，

則I__________，當(dāng)且僅當(dāng)I____時(shí)I等號(hào)成立，故國(guó)正確；

對(duì)于國(guó)，由方稗言所表示的曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)與坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，因此只需考慮—且二3：的部分即可'

此時(shí)原方程為而「|*

圈曲線(xiàn)位于直線(xiàn)了□的下方，

圈它與坐標(biāo)軸圍成的封閉曲線(xiàn)的面積小于二則方程M表示的曲線(xiàn)的面積，的旬正確；

當(dāng)「時(shí),

,明錯(cuò)誤；

對(duì)于回，由方程隹|所表示的曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)與坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，因此只需考慮匚二I且匚口的部分即可，

此時(shí)，即，￡

而，，

圈曲線(xiàn)位于直線(xiàn)匚［的上方，圓||的下方,

它與坐標(biāo)軸圍成的封閉曲線(xiàn)的面積大于‘小于"，

圈當(dāng)匚時(shí)，方耦上所表示的曲線(xiàn)圍成封閉圖形的面積為胤則,……~故巴正確.

故選：匕口.

22

12.（2021?莆田二模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳,K是雙曲線(xiàn)二-當(dāng)=1（4>0力>0）的左、右焦點(diǎn).在雙曲

ab-

線(xiàn)的右支上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足/月尸6=60。，且線(xiàn)段尸耳的中點(diǎn)5在y軸上，則（）

A.雙曲線(xiàn)的離心率為6

B.雙曲線(xiàn)的方程可以是與-尸=1

C.|OP|=-Jia

D.耳尼的面積為百a?

【答案】曰

【詳解】如圖，r"..|,二L，

曰為線(xiàn)段巴的中點(diǎn)，巴為口的中點(diǎn)，匚eI，

y=-2x的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)。，直線(xiàn)PA與y軸交于點(diǎn)Q（P,。在X軸同側(cè)），連接。耳，若"QK

a

內(nèi)切圓圓心恰好落在以匕工為直徑的圓上，則下列結(jié)論正確的有（）

A.ZF,PF2=-B.APQF；內(nèi)切圓的半徑為|a-b|

C.0Q=450iD.雙曲線(xiàn)的離心率為石

【答案】ABD

【詳解】由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，y軸為的角平分線(xiàn)，

故APQ片內(nèi)切圓的圓心/在y軸上，由內(nèi)切圓的圓心/落在以耳鳥(niǎo)為直徑的圓上，所以0/=。耳，

則”-為等腰直角三角形，則，所叫,>

故，故選項(xiàng)目正確；

因?yàn)椤癐,r....i，所以F—i，

因卻…”一，所以

又匚二二，f—所以『一一，故?二二二

因?yàn)樨蜫所以j故選項(xiàng),錯(cuò)誤，

又，故雙曲線(xiàn)的離心率為故選項(xiàng)［3正確;

因?yàn)?-I，月「一所以

他工角‘二中，匚|,

設(shè)匚二I內(nèi)切圓的半徑為圓由三角形相似可得,

即，故內(nèi)切圓的半徑為圖，由可知［ZZI

所以廠故選項(xiàng)制正確.

故選：ABD.

2

14.（2021?濰坊二模）已知雙曲線(xiàn)C:x2-3_=1,其左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)心作一直線(xiàn)與雙曲

線(xiàn)C的右支交于點(diǎn)P,。，且西彳。=0,則下列結(jié)論正確的是（）

A.。的周長(zhǎng)為4B.△尸耳鳥(niǎo)的面積為3

C.|尸耳|="+1D.△P4Q的內(nèi)切圓半徑為J7-1

【答案】D

【詳解】如圖，

故選：

15.（2021?山東模擬）己知雙曲線(xiàn)方程為L(zhǎng)-匕=1,A為雙曲線(xiàn)右支上任意一點(diǎn)，尸尸2為左、右焦點(diǎn)，

91612

△AK月的內(nèi)切圓圓心為/,G）/與X軸切于點(diǎn)N,線(xiàn)段4的延長(zhǎng)線(xiàn)與X軸交于點(diǎn)M（與，0）.則以下結(jié)論

正確的有（）

A.|耳NI-I^NI為定值B./的橫坐標(biāo)為定值

C.4的范圍是（0,3）D.。/半徑的最大值為4

【答案】二

【詳解】雙曲線(xiàn)方程為的口，O-巴口，

匕與憎軸切于點(diǎn)巴，與廠」切于點(diǎn)上,與L|切于點(diǎn)閨,

因熠的橫坐標(biāo)與凹的橫坐標(biāo)相等，設(shè)二，巴

則回，叵都正確；

由內(nèi)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可得

即有，解得?！怀稣_;

可設(shè)匚口畫(huà)，口，△［二二）的內(nèi)切圓的半徑為國(guó)

則

又

即為

對(duì)于回設(shè)",則

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“or成立，

當(dāng)匚時(shí)，距離是8,巴二，所以最小值為6,故陷錯(cuò)誤；

對(duì)于四：M—?jiǎng)t「,貝『一一

匕的中點(diǎn)匚二［到隹］的距離‘

故以匕為直徑的圓不過(guò)點(diǎn)臼，故回錯(cuò)誤；

對(duì)于，

I_____________________I

-----故［二:］,即|-----過(guò)廠―AJ0正確.

故選：曰.

17.（2021?煙臺(tái)二模）過(guò)拋物線(xiàn)C:d=4y焦點(diǎn)廠的直線(xiàn)/交C于P,。兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

A.不存在直線(xiàn)/,使得OPLOQ

B.若麗=2/,則直線(xiàn)/的斜率為正

4

C.過(guò)P作C準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為M,若|P/q=3,貝lJcosNFPM=g

D.過(guò)P,。兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，則兩切線(xiàn)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值

【答案】ACD

【詳解】由題意，設(shè)直線(xiàn)「一［,現(xiàn):)口，巴,

聯(lián)立方制，可得'-I,且

所以

故，故選項(xiàng)國(guó)錯(cuò)誤;

如圖所示，若………由拋物線(xiàn)的定義可知,

所以廠n,則廠所以

在匚二)中,

故選項(xiàng)巴正確;

山拋物線(xiàn)方程可得

故過(guò)點(diǎn)上的切線(xiàn)方程為

過(guò)百的切線(xiàn)方程為

整理可得

所以

兩條切線(xiàn)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值【二，故選項(xiàng)上正確.

故選：ACD.

22

18.（2021?日照模擬）已知雙曲線(xiàn)C:三一斗=l（a>0,b>0）,A，A,是其左、右頂點(diǎn),F是其左、

ab2

右焦點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)上異于A,4的任意一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.\\PFl\-\PF2\\=2a

b2

直線(xiàn)尸，PA的斜率之積等于定值

B.A27

C.使得△尸石人為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有8個(gè)

D.鳥(niǎo)的面積為一——

tan—!-

2

【答案】匚

【詳解】由雙曲線(xiàn)定義可知，Q""故但j正確；

0.??一—?［C-

設(shè)匚二3匚］,由，得，

H,故國(guó)正確；

由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，要使△匚二］為等腰三角形，則［二必為腰，

在第一象限雙曲線(xiàn)上有且僅有一個(gè)點(diǎn)。使得匚二'…此時(shí)△匚口為等腰三角形;

有且僅有一個(gè)點(diǎn)巴使第-----|-----此時(shí)△匚二］為等腰三角形.

同理可得，第二、第三、第四象限每個(gè)象限也有且僅有兩個(gè)點(diǎn)，一共8個(gè)，故巴正確；

記|產(chǎn)甲=彳，IPF21=r2,不妨設(shè)P在第一象限，則彳一弓=2a,

在△2/譙中，由余弦定理得：4c2=『+為2一2飪.85/耳尸鳥(niǎo),

2

配方得整理得：4a+2T;Z;(1-cosZF,PF2)=4?,

2b2

??KiK)=,

~1一cos/百尸居

由任意三角形的面積公式得：久附八.?nN的尸工sn/震,

1-21一cos/耳尸鳥(niǎo)

h2

可得S.PFR=-々PF，

tan——!——-

2

而，故四錯(cuò)誤.

故選：

19.(2021?日照模擬)曲線(xiàn)C:J(x+l)2+y2."(x-i)2+y2=3,點(diǎn)p在曲線(xiàn)c上.給出下列四個(gè)結(jié)論正確

的是()

A.曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.曲線(xiàn)C與y軸交點(diǎn)為(0,±2)

C.曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[-2,2]

D.若4-1,0),8(1,0),則存在點(diǎn)P,使A/NB的面積大于三

2

【答案】T

【詳解】在中，以軍替換圖,

即,方程不變，則曲線(xiàn)巴關(guān)于同軸對(duì)稱(chēng)，故國(guó)正確;

圈曲線(xiàn)同與咿交點(diǎn)為L(zhǎng)Fh-,故舊錯(cuò)誤;

圜曲線(xiàn)回上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是二,『，吧正確;

若存在點(diǎn)回，使匚口的面積大于廣

即‘當(dāng)且僅當(dāng)二二時(shí)取等號(hào)，此時(shí)「取最大值巴，故罰錯(cuò)誤.

故選：n.

20.（2021?武昌區(qū)模擬）已知尸為拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn).設(shè)P是準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C的

兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A,B,線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M,貝心）

A.的最小值為4B.直線(xiàn)他過(guò)點(diǎn)尸

C.軸D.線(xiàn)段A3的中垂線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)

【答案】匚1

【詳解】對(duì)于選吧，現(xiàn)'…，過(guò)點(diǎn)凹的切線(xiàn)方程為『,

聯(lián)立，得.

即選項(xiàng)巴正確;

對(duì)于選項(xiàng)因，直線(xiàn)憶的方程為，其中

代入焦點(diǎn)匚二］,滿(mǎn)足直線(xiàn)二的方程，即選項(xiàng)國(guó)正確;

對(duì)于選項(xiàng)巴，匚^31，,Q

,即匚二|軸，即選項(xiàng)已正確;

對(duì)于選項(xiàng)制，，,巴，

巴N的中垂線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，并不過(guò)定點(diǎn)，即選項(xiàng)巴錯(cuò)誤，

故選：rn.

2

21.（2021?濟(jì)南三模）己知月，鳥(niǎo)分別為雙曲線(xiàn)=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)匕且傾斜角為。的直線(xiàn)與雙

曲線(xiàn)的右支交于4，8兩點(diǎn)，記△A耳工的內(nèi)切圓01的半徑為小△8耳用的內(nèi)切圓。2的半徑為“，圓。

的面積為耳，圓。2的面積為S?,則（）

A.。的取值范圍是?，葛）

B.直線(xiàn)GO?與x軸垂直

C.若乙+弓=2,貝!）|AB|=6

D.S1+S?的取值范圍是［2萬(wàn)，學(xué)）

【答案】匚

【詳解】雙曲線(xiàn)的嚴(yán)n，r|,n，

漸近線(xiàn)方程為「

其傾斜角為或，

而過(guò)|胃且傾斜角為圜的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的右支交于回，［3兩點(diǎn)，

由雙曲線(xiàn)的定義和圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得力,「［的橫坐標(biāo)均為凰，即直線(xiàn)與團(tuán)軸垂直，故回正確;

因?yàn)橥隹跒橹苯侨切呜味男边吷系母撸?/p>

由直角三角形的射影定理可得‘…L

BP",M

解得n,即嚴(yán)假直于圖軸,

設(shè)內(nèi)切圓匕與丁與國(guó)軸的切點(diǎn)為巴,

故選：rn，

22.（2021?徐州四模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線(xiàn)，心形曲線(xiàn)C:x2+y2=|x|y+i就是其中

之一，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.曲線(xiàn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.曲線(xiàn)C恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線(xiàn)C上存在到原點(diǎn)的距離超過(guò)后的點(diǎn)

D.曲線(xiàn)C所圍成的區(qū)域的面積大于3

【詳解】對(duì)于回，將圖換成巴，方程不變，故曲線(xiàn)回關(guān)于閨軸對(duì)稱(chēng)，故國(guó)正確；

對(duì)于巴當(dāng)丁時(shí)，代入方程可得［二］所以匚口，即曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)匚3二1，

當(dāng)LW，方程變?yōu)橛伞鳌附獾茫?/p>

年只能取整數(shù)1,當(dāng)匕時(shí)，匚口，解得二駟二二即曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)ne

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得曲線(xiàn)還經(jīng)過(guò)匚二故曲線(xiàn)一共經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故選項(xiàng)罔正確；

22

時(shí)于選項(xiàng)C，當(dāng)X>0時(shí)，由/+丁=1+D，可得V+y2_［=初，三土匕，當(dāng)且僅當(dāng)x=y取等號(hào),

所以V+y2,,2,所以后7,亞，

故曲線(xiàn)C上y軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)血，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)夜，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，在x軸上方圖形的面積大于矩形的面積1x2=2,

在1軸下方圖形的面積大于等腰直角三角形的面積;x2x1=1,

因此曲線(xiàn)臼所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于匚二二，故選項(xiàng)當(dāng)正確.

故選：

23.(2021?石家莊模擬)已知雙曲線(xiàn)C:4-/=1(〃>0),其上、下焦點(diǎn)分別為大，F(xiàn),,O為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)

a

雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)M(x0,%)作直線(xiàn)/,分別與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于P,。兩點(diǎn)，且點(diǎn)用為PQ中點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是()

A.若軸,則|尸。|=2

B.若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),則直線(xiàn)/的斜率為,

4

C.直線(xiàn)尸。的方程為理-xox=\

ar

D.若雙曲線(xiàn)的離心率為李，則三角形OPQ的面積為2

【答案】ACD

【詳解】雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±以,

國(guó)點(diǎn)國(guó)為|力的中點(diǎn),L的斜率一定存在,設(shè)為凰則直線(xiàn)目的方程加

聯(lián)立,可得

同理可得

,巴為巴的中點(diǎn),

,即

對(duì)于選項(xiàng)因，若口軸，即『,二，則匚二;

，即選項(xiàng)場(chǎng)］正確;

對(duì)于選項(xiàng)E5,若巴為e,則

,即選項(xiàng)上錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)目，直線(xiàn)日的方程為,即

,即選項(xiàng)回正確;

閨三角形二口的面積，即選項(xiàng)尸正確.

故選：ACD.

24.（2021?沈陽(yáng)四模）已知斜率為左的直線(xiàn)/過(guò)拋物線(xiàn)C:y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)，且與拋物線(xiàn)C交于A,

3兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)滿(mǎn)足加?碗=0,則（）

A.p=2B.k=-2

D.的面積為分叵

C.|4B|=石

2

【答案】:

【詳解】由題意知，拋物線(xiàn)臼的準(zhǔn)線(xiàn)為［一］,即故選項(xiàng)問(wèn)正確.

因?yàn)樨危?所以?huà)佄锞€(xiàn)目的方程為二其焦點(diǎn)為匚二］.

因?yàn)橹本€(xiàn)同過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)『|,所以直線(xiàn)的方程為「

因?yàn)椤甀,所以嚴(yán)1在以嚴(yán)1為直徑的圓上.

設(shè)點(diǎn)口，巴，口￡二，聯(lián)立方程可

,兩式相減可得

所以點(diǎn)是以修為直徑的圓的圓心.

由拋物線(xiàn)的定義知，圓行

因?yàn)?所以

解霞二，故選項(xiàng)占正確.

因?yàn)?—］,所以弦長(zhǎng),故選頂向不正確

因?yàn)橥龆?，所以直線(xiàn)同為一

，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得,

點(diǎn)F］到直線(xiàn)F的距離，所以，故選項(xiàng)13正確.

故選：

25.（2021?衡陽(yáng)二模）設(shè)拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)尸的直線(xiàn)與C分別交于A（±,

%）,B（X2,、2）兩點(diǎn)，則（）

A.%%為定值

B.NAO3可能為直角

C.以B尸為直徑的圓與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)

D.對(duì)于確定的直線(xiàn)他，在C的準(zhǔn)線(xiàn)上存在三個(gè)不同的點(diǎn)P,使得4段為直角三角形

【答案】AD

【詳解】設(shè)|二］，與匚二聯(lián)立可得：匚一匚口故臼對(duì)；

,3，（確切說(shuō)為鈍角），故舊錯(cuò).

段巴的中點(diǎn).，則以㈡為直徑的圓與回軸相切，故圜錯(cuò)；

設(shè)巴的中點(diǎn).，回吧準(zhǔn)線(xiàn)的距離為當(dāng).，

故有以匕為直徑的圓與（3的準(zhǔn)線(xiàn)相切，對(duì)于確定的直線(xiàn)曰，當(dāng)已為直角，此時(shí)臼為切點(diǎn)；

當(dāng)NA或48為直角，此時(shí)P為過(guò)A（或B）的AB的垂線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)，故。正確.

故選：AD.

26.（2021?懷化一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線(xiàn)，曲線(xiàn)C:f+y2=i+|x|y就是其中之一

（如圖）.給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）

）4

A.圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

B.曲線(xiàn)。恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

C.曲線(xiàn)C上存在到原點(diǎn)的距離超過(guò)血的點(diǎn)

D.曲線(xiàn)C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3

【答案】L

【詳解】對(duì)于阿，將2|換成『，方程不變，所以圖形關(guān)于同軸對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)營(yíng)正確；

對(duì)于巴］,當(dāng)「時(shí),代入方程可得［二］，所以二口，即曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)匚口，口，

當(dāng)「時(shí),方程變闿所以△『解得，

因?yàn)閲?guó)只能取整數(shù)1,當(dāng)口時(shí)，「一解得［］竄亡口，即曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)口，口,

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得曲線(xiàn)還經(jīng)過(guò)匚二二故曲線(xiàn)一共經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故選項(xiàng)已正確；

對(duì)于選項(xiàng)隹］,當(dāng)「時(shí),由'一可得，當(dāng)且僅當(dāng)匕］取等號(hào),

所以「所以|］

故曲線(xiàn)巴上冏軸右邊的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不超過(guò)「:，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得，曲線(xiàn)巴上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)巴，故選購(gòu)錯(cuò)誤；

對(duì)于巴，在陛軸上方圖形的面積大于矩形的面積匕二二，

在圖軸下方圖形的面積大于等腰直角三角形的面積，

因此曲線(xiàn)曲所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于匚二□，故選項(xiàng)號(hào)正確.

故選：巴二］.

2222

27.（2021?廣東模擬）設(shè)6,F,同時(shí)為橢圓￡:與+當(dāng)=1（4>%>0）與雙曲線(xiàn)。2二-4=1（4>。，仇>0）

ab~a~b~

的左、右焦點(diǎn)，設(shè)橢圓G與雙曲線(xiàn)G在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，橢圓a與雙曲線(xiàn)G的離心率分別為。，與，

o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若（）

A.1^^1=21^01，貝+J=&

B.\FtF2\=2\MO\,則十+/=2

C.\F}F2\=4\MF2\,貝Ije?的取值范圍是（早學(xué)

D.\FtF2\=4\MF2\,則e?的取值范圍是（余2）

【答案】匕

【詳解】如圖，設(shè)'""二\,I，|,焦距為巴，由橢圓定義可得匚

由雙曲線(xiàn)定義可得……解得『.

當(dāng)I—I時(shí),則」一所以「i~I,

即"…"'一，由離心率的公式可得，故回正確.

當(dāng)II時(shí),可t一I即,可得

故選：匕.

28.（2021?荷澤二模）已知與，工為雙曲線(xiàn)C:Y-?=1的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)右支上取一點(diǎn)P,使

得「片上尸鳥(niǎo)，直線(xiàn)尸入與y軸交于點(diǎn)Q,連接?！?kPQF、,的內(nèi)切圓圓心為/,則下列結(jié)論正確的有（

）

A.%,F2,P,/四點(diǎn)共圓B.APQ耳的內(nèi)切圓半徑為1

C./為線(xiàn)段O。的三等分點(diǎn)D.2耳與其中一條漸近線(xiàn)垂直

【答案】tZi

【詳解】對(duì)于匡，如圖,的平分線(xiàn)為⑶軸，「…］的內(nèi)切圓圓心圜在閭軸上,