從單元到課時設(shè)計策略下的案例分析

——總體離散程度的估計前言

近幾年，核心素養(yǎng)一直是教育界的熱門話題，教育工作者正在努力地讓核心素養(yǎng)落地落實?！缎抡n標》在教學(xué)設(shè)計和具體實施方面提出了促進學(xué)生發(fā)展的相關(guān)教學(xué)建議，落實這些建議的重點是實施主題教學(xué)，即提倡整體教學(xué)觀，從整體把握教學(xué)內(nèi)容、整體設(shè)計和實施教學(xué)，進行單元設(shè)計與教學(xué)，促進核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展。隨著人們對單元教學(xué)的研究越來越多，單元教學(xué)也達到了前所未有的熱度，紛紛提出了對單元教學(xué)的看法與建議，例如章建躍博士的“單元——課時教學(xué)設(shè)計”。前言進行單元教學(xué)設(shè)計及單元教學(xué)，對于教師和學(xué)生的發(fā)展都有好處。對于學(xué)生而言，單元教學(xué)能夠為他們提供更大的學(xué)習(xí)空間，在此期間養(yǎng)成探究與合作的習(xí)慣，更有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性與階段性發(fā)展；對于教師而言，單元教學(xué)讓教師們從“單元”角度去整體制定教學(xué)目標，考慮教學(xué)內(nèi)容，再具體落實到每一節(jié)課上，有助于教師提高整體把握數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的能力，促進教師們的專業(yè)發(fā)展。前言章建躍博士強調(diào)主題、單元教學(xué)是作為此次課改的重點之一的，教師應(yīng)該尤其重視，應(yīng)該充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性和思維的系統(tǒng)性，避免碎片化教學(xué)，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)真正落實于數(shù)學(xué)課堂，可以在單元教學(xué)設(shè)計的基礎(chǔ)上再進行課時設(shè)計，并以“平面向量的運算”為例給出了示范。單元設(shè)計策略教學(xué)設(shè)計策略是為完成教學(xué)目標和促進學(xué)生發(fā)展的需要，為教學(xué)計劃和教學(xué)實施措施等提供方法，側(cè)重于某一個或某些教學(xué)設(shè)計的方向，是教師在進行教學(xué)設(shè)計時，為在教學(xué)過程中達到一定的教學(xué)目標而采取的相關(guān)教學(xué)方式和行為的導(dǎo)向，對教學(xué)設(shè)計具有一定的指導(dǎo)性。教學(xué)設(shè)計的策略有很多，主要有以發(fā)展核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的策略、數(shù)學(xué)單元教學(xué)導(dǎo)向策略、情境式教學(xué)設(shè)計策略、問題啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計策略、逆向教學(xué)設(shè)計策略與信息技術(shù)和教學(xué)相融合教學(xué)設(shè)計策略等。單元設(shè)計策略一、數(shù)學(xué)單元教學(xué)導(dǎo)向策略數(shù)學(xué)教學(xué)活動要求：應(yīng)該把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對內(nèi)容所蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法要有深入理解。圍繞真正的數(shù)學(xué)問題，開展有數(shù)學(xué)含金量的教學(xué)活動，促使學(xué)生在獨立思考的過程中形成數(shù)學(xué)的思維方式。要突出核心概念的思維建構(gòu)和技能操作過程，突出數(shù)學(xué)基本思想的領(lǐng)悟過程，突出數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累過程。章建躍博士提出：理解數(shù)學(xué)的兩個關(guān)鍵：要對數(shù)學(xué)的整體性和一些具有統(tǒng)攝性的“一般觀念”，同一主題內(nèi)容中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)整體性，主要包括一個內(nèi)容不同認識層次、不同角度認識之間內(nèi)在的一致性、關(guān)聯(lián)性。單元設(shè)計策略本次課改重點強調(diào)的單元——課時教學(xué)正是建立在這兩個關(guān)鍵點的基礎(chǔ)上。單元-課時教學(xué)設(shè)計是指，在課堂教學(xué)前要先進行單元教學(xué)設(shè)計,對本單元內(nèi)容及其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法、本單元著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、本單元的主要學(xué)習(xí)難點等作出全面分析。再將本單元內(nèi)容按知識的發(fā)生發(fā)展過程、學(xué)生的認知過程分解到課時，同時將相應(yīng)的單元目標分解為課時目標．單元設(shè)計策略二、核心素養(yǎng)發(fā)展導(dǎo)向策略新課標中一項非常重要的變化就是增加了學(xué)科核心素養(yǎng)，這是學(xué)生應(yīng)該通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用逐漸形成的數(shù)學(xué)關(guān)鍵思想和能力，是高度概括化的數(shù)學(xué)教學(xué)目標。學(xué)生在學(xué)習(xí)統(tǒng)計課程的過程中，主要可以發(fā)展數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。單元設(shè)計策略三、情境式教學(xué)設(shè)計策略情境式教學(xué)設(shè)計將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活情境相結(jié)合，在典型的情境中進行教學(xué)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中認識到數(shù)學(xué)產(chǎn)生于生活也應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、情緒和代入感。統(tǒng)計的情境往往比較復(fù)雜，可以在復(fù)雜的真實情境中，將實際問題抽象成統(tǒng)計問題，學(xué)習(xí)統(tǒng)計分析方法，建立統(tǒng)計模型，從而解決實際問題。數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值蘊含在數(shù)學(xué)內(nèi)容之中。其實現(xiàn)途徑：以數(shù)學(xué)知識技能為載體，創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認知規(guī)律的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、自主探究、合作交流，在獲得“四基”、提高“四能”的過程中，形成數(shù)學(xué)的思維方法，培養(yǎng)理性思維和科學(xué)精神，促進學(xué)生的智力發(fā)展。單元設(shè)計策略四、問題啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計策略章建躍博士講，探索基于情境、問題導(dǎo)向的互動式、啟發(fā)式、探究式、體驗式等課堂教學(xué)的力度不夠，方法不多；課堂教學(xué)效率有待提高，學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力有待加強。而問題啟發(fā)式教學(xué)設(shè)計的內(nèi)涵：教師通過精心準備的問題或問題串進行啟發(fā)式教學(xué)，結(jié)合學(xué)生的實際情況，并捕捉恰當?shù)膯l(fā)時機，引導(dǎo)學(xué)生主動探索與發(fā)現(xiàn)，調(diào)動積極的思維活動，培養(yǎng)學(xué)生的自覺性和創(chuàng)造性思維的意識，發(fā)展獨立思考和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)中的啟發(fā)式教學(xué)，旨在追求讓學(xué)生能自覺、主動地思考和探索，并培養(yǎng)學(xué)生發(fā)展自身和追求進步的強烈要求和迫切愿望。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1．內(nèi)容：極差、方差和標準差的概念和統(tǒng)計含義，總體方差或標準差的估計。2．內(nèi)容解析：內(nèi)容的本質(zhì)：在統(tǒng)計學(xué)中，為了了解一組數(shù)據(jù)的特征，我們可以從這組數(shù)據(jù)的取值規(guī)律、集中趨勢和離散程度等角度進行研究。一組數(shù)據(jù)的離散程度可以反應(yīng)這組數(shù)據(jù)的波動情況或穩(wěn)定性?？坍嬕唤M數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量有很多，但是最常用的是極差、方差和標準差。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)《普通高中課程標準數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《9.2.4總體離散程度的估計》，本節(jié)課通過對反映樣本數(shù)據(jù)離散程度的估計量極差、方差與標準差的回顧，進一步研究和學(xué)習(xí)用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征以及初步應(yīng)用，有利于進一步完善對統(tǒng)計學(xué)認識的系統(tǒng)性，加深對統(tǒng)計學(xué)思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

極差是一種比較簡單的刻畫方式，它反應(yīng)了一組數(shù)據(jù)的取值范圍。極差只用了這組數(shù)據(jù)中最大與最小兩個數(shù)據(jù)的信息，對其他數(shù)據(jù)的取值范圍沒有涉及，所以極差包含的信息量非常少；方差是運用平均距離的思想來刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度，它反應(yīng)了各個數(shù)據(jù)聚集于平均數(shù)周圍的程度。方差越大，表明該組數(shù)據(jù)在平均數(shù)的周圍越分散；方差越小，表明該組數(shù)據(jù)越集中；方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致，所以，對方差進行開方，取其算術(shù)平方根得到標準差。標準差的單位與原始數(shù)據(jù)的單位相同，其意義與方差一樣。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析假設(shè)有兩組數(shù)據(jù)，而且已知每組數(shù)據(jù)的觀測個數(shù)、平均數(shù)和標準差（或方差），可以通過它們直接計算兩組數(shù)據(jù)合并后全部數(shù)據(jù)的方差，從而大大提高計算效率。如果一組數(shù)據(jù)是總體中全部個體的觀測值，那么這組數(shù)據(jù)的方差、標準差和極差就稱為總體的方差、標準差和極差。如果這組數(shù)據(jù)是樣本觀測值，那么這組數(shù)據(jù)的方差、標準差和極差就是樣本的方差、標準差和極差。與用樣本均值估計總體均值的思想類似，可以用樣本方差、標準差和極差估計總體的方差、標準差和極差。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析蘊含的思想和方法：通過類比的方法，與用樣本均值估計總體均值的思想類似，可以用樣本方差、標準差和極差估計總體的方差、標準差和極差；

數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心，通過“差”、“絕對值”、“平方”三種運算對兩個樣本數(shù)據(jù)進行分析，體驗方差概念的形成過程，以及用樣本的數(shù)字特征去估計總體的統(tǒng)計思想。在本課時的設(shè)計中，筆者對“方差”概念的形成引入了一個連“平均距離”都相等的例子，目的是想突出知識與概念的生成過程；一、內(nèi)容和內(nèi)容解析蘊含的思想和方法：本節(jié)內(nèi)容主要是以隨機樣本的數(shù)字特征（極差、方差標準差）去估計總體對應(yīng)的數(shù)字特征或取值規(guī)律，基本思想是替代原理，直覺上學(xué)生是比較容易接受的，這個定理保證隨著樣本量的增加，隨機樣本的數(shù)據(jù)特征趨近總體的數(shù)據(jù)特征；本節(jié)內(nèi)容在發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算以及數(shù)學(xué)分析等核心素養(yǎng)方面有著重要的作用，尤其是在發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)上有著不可替代的作用。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析蘊含的思想和方法：本課時設(shè)計了“3個問題”、“16個追問”、“10次師生活動”，其中多數(shù)都是對數(shù)據(jù)的分析。而“用樣本的極差、方差與標準差估計總體的極差、方差、標準差”本身就是一種典型的建模思想。在“用兩組樣本數(shù)據(jù)去估計合成后數(shù)據(jù)”的過程需要學(xué)生由較強的數(shù)學(xué)運算能力，也能培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng)等。我們對統(tǒng)計的考查研究也可以發(fā)現(xiàn)：統(tǒng)計推斷不僅是計算統(tǒng)計量的大小，更重要的是要會對計算得出的樣本的數(shù)字特征去對總體進行估計，能通過對數(shù)據(jù)的分析為合理決策提供一些依據(jù)，考查樣本估計總體的統(tǒng)計思想。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

數(shù)學(xué)建模：在具體情境中運用極差、方差與標準差

邏輯推理：運用極差、方差與標準差進行推斷

數(shù)學(xué)運算：極差、方差與標準差的計算

數(shù)據(jù)分析：運用極差、方差與標準差分析判斷

知識的上下位關(guān)系：抽樣方法、統(tǒng)計圖表，用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)等統(tǒng)計量刻畫集中趨勢是本節(jié)課的上位知識。本節(jié)內(nèi)容在此基礎(chǔ)上，提供了一種更加科學(xué)而有效的方法，克服了前述統(tǒng)計量的弊端，是本單元內(nèi)容的高潮與結(jié)束。而借助具體情境求離散型隨機變量的期望與方差是下位知識，在“選擇性必修第三冊第七章“7.3”中介紹。一、內(nèi)容和內(nèi)容解析一、內(nèi)容和內(nèi)容解析3.教學(xué)重點理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計意義，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；已知兩組數(shù)據(jù)的觀測個數(shù)、平均數(shù)和標準差或方差時，求兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差的計算方法與思想。4.教學(xué)難點①“平均距離”與“方差”概念的形成過程；②已知分層抽樣中的各層平均數(shù)與方差估計總體平均數(shù)與方差的統(tǒng)計意識與方法。二、教學(xué)目標和目標解析1.教學(xué)目標①通過經(jīng)歷對兩組數(shù)據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、極差的運算過程，能根據(jù)這些統(tǒng)計量做出基本的判斷，同時針對具體情境學(xué)會提出新的問題，發(fā)展學(xué)生“提出問題并解決問題”的能力，體會將“平均距離”演變成“方差”刻畫離散程度的方法，在眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都相同時，求樣本數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差，甚至連“平均距離”都相同時，會比較絕對值和平方這兩種運算刻畫離散程度的優(yōu)勢。②結(jié)合“問題一”與“練習(xí)”兩個實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義，感二、教學(xué)目標和目標解析1.教學(xué)目標受并概括出用樣本的數(shù)據(jù)特征估計總體離散程度的方法，培養(yǎng)“用樣本估計總體”的統(tǒng)計推斷思想。③經(jīng)歷兩組數(shù)據(jù)各自的樣本量、平均數(shù)和標準差（方差）計算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差（方差）的過程，能用樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差估計總體的方差和標準差，體會分層隨機抽樣在總體樣本估計中的重要意義，發(fā)展由分層隨機抽樣得出的多組樣本數(shù)據(jù)估計總體的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力。二、教學(xué)目標和目標解析2.目標解析達成上述目標的標志是：①知道極差、方差、標準差可以刻畫數(shù)據(jù)離散程度，反應(yīng)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性；能用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和極差、方差、標準差對數(shù)據(jù)進行比較和評價；能用平均數(shù)和標準差描述數(shù)據(jù)的取值范圍；知道多數(shù)數(shù)據(jù)在平均數(shù)減去兩倍標準差與平均數(shù)加上兩倍標準差的范圍內(nèi)。②對于通過實驗、簡單隨機抽樣等途徑獲得的樣本數(shù)據(jù)，會計算樣本方差和標準差；對于兩組數(shù)據(jù)匯總得到的數(shù)據(jù)，能通過兩組數(shù)據(jù)各自的樣本量、平均數(shù)和標準差（方差）計算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平二、教學(xué)目標和目標解析2.目標解析均數(shù)和標準差（方差）。能用樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差估計總體的方差和標準差，在這個過程中體會樣本估計總體的思想。學(xué)生在初中階段經(jīng)歷了收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，理解了平均數(shù)的意義，能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、方差、標準差，了解中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)等統(tǒng)計量描述數(shù)據(jù)集中優(yōu)勢，知道了可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差，體會方差刻畫數(shù)據(jù)離散程度。二、教學(xué)目標和目標解析2.目標解析在高一，通過學(xué)習(xí)第一節(jié)“隨機抽樣”與第二節(jié)“用樣本估計總體”之“總體取值規(guī)律的統(tǒng)計”、“總體百分位數(shù)的估計”與“總體集中趨勢的估計”，學(xué)生已經(jīng)進一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法；能夠根據(jù)實際問題的特點，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述；能合理地使用統(tǒng)計圖表并理解其重要性；能用極差、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)等樣本數(shù)字特征去估計總體的集中趨勢。通過初、高中統(tǒng)計的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)一定的統(tǒng)計基礎(chǔ)，掌握了基本抽樣方法，會計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)、方差、標準差等二、教學(xué)目標和目標解析2.目標解析相關(guān)樣本的數(shù)字特征。但要達成本課時的三個目標，還需解決以下問題：

（1）樣本數(shù)據(jù)處理時為什么用“平方”而不是用“絕對值”？（2）方差計算時為什么要取平均數(shù)？（3）有了方差為什么還要引進標準差？這一系列問題都需要學(xué)生去經(jīng)歷和探索，而不是停留在求方差、標準差的計算上。教師需要創(chuàng)設(shè)條件，拉長“平均距離”與“方差”概念的形成過程，真正讓學(xué)生“知其然知其所以然”，激活學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生“用樣本的數(shù)字特征去估計總體的數(shù)字特征”的意識。三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成章建躍博士說：沒有“過程”=沒有“思想”，沒有“過程”的教學(xué)，因為缺乏數(shù)學(xué)思想方法為紐帶，概念間的關(guān)系無法認識，聯(lián)系也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨別性和穩(wěn)定性等“功能指標”都會大打折扣。而數(shù)學(xué)思想方法孕育于知識的發(fā)生發(fā)展過程中?！八枷搿笔歉拍畹撵`魂，是“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的源泉，是從技能到能力的橋梁；“過程”是“思想”的載體，是領(lǐng)悟概念本質(zhì)的平臺，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的土壤。所以，概念教學(xué)非常重要，而概念教學(xué)的核心是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的思維活動，以若干典型具體事三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念。數(shù)學(xué)教學(xué)要“講情境、講思想、講應(yīng)用”。概念教學(xué)則要強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概括的過程。一個好例子勝過一千條說教。概念教學(xué)必須關(guān)注到學(xué)生的感受，這樣才能使教學(xué)預(yù)設(shè)（教學(xué)設(shè)計）成為教學(xué)實踐的有效線索。筆者在進行教材分析時發(fā)現(xiàn)：前幾節(jié)課我們用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，根據(jù)對這些上位內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備“極差、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)這些統(tǒng)計量在統(tǒng)計推斷中的作用”認三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成識，并根據(jù)這些統(tǒng)計量做出基本的統(tǒng)計推斷的能力基礎(chǔ)，但在諸多實際問題中，僅憑集中趨勢有時不能使我們做出有效決策，這時我們需要引進統(tǒng)計學(xué)中新的數(shù)字特征來做出決策，在有些“用樣本估計總體”案例中，兩組數(shù)據(jù)甚至連“平均距離”也是一致的，其實用“平均距離”也不足以刻畫總體估計。而教材這樣敘述：因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成假設(shè)一組數(shù)據(jù)是，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。我們用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”，即作為到的“距離”，可以得到這組數(shù)據(jù)的平均距離為，為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即我們稱這個式子為這組數(shù)據(jù)的方差。教材這樣敘述，表明：“平均距離”能夠完成刻畫兩組數(shù)據(jù)的離散程度，僅僅是“為了避免式中含有絕對值”而“改用平方來代替”。其實當“平均距離”相等時，兩組數(shù)據(jù)的離散程度也不一定一樣，上面兩三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成組數(shù)據(jù)的“平均距離”分別為1.6和0.8。我們可以構(gòu)造下列兩組數(shù)據(jù)：甲：32465乙：14447可以計算得出兩組數(shù)據(jù)的平均距離都是1.2，而方差卻分別是2和3.6?？梢?，甲、乙兩組數(shù)據(jù)的“平均距離”相等，但乙組數(shù)據(jù)的離散程度比甲大，反之，方差小，這組數(shù)據(jù)的“平均距離”未必也小。教材定義“平均距離”是必要的，但“為了避免式中含有絕對值”而“改用平方三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成來代替”形成方差公式，其實這里我們可以探究一下深層次原因。“平均距離”至是影響方差的一個因素，還有一個因素是各個“距離”與“平均距離”的集中程度。從另一個角度來講，對于“總體離散程度的估計”，《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（2019年7月第1版）的要求是結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度（標準差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義。由于人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》在“數(shù)據(jù)的波動程度”內(nèi)容中，直接告訴“方差”公式刻畫數(shù)據(jù)的波動程度，至于為什么能用“方差”三、教學(xué)問題診斷分析（一）概念教學(xué)重在生成刻畫數(shù)據(jù)的波動程度，也就是如何“理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義”，則是高中階段應(yīng)該解決的問題，也是對初中“統(tǒng)計”內(nèi)容的擴展和深化，體現(xiàn)“認識的螺旋上升”。所以，在進行本課時教學(xué)設(shè)計時，我遵循由特殊到一般的思想，引入了“問題一”這兩組情境數(shù)據(jù)，我覺得可以有效、更好地幫助對“方差”概念形成的理解，更好明白“方差”在統(tǒng)計中的含義。三、教學(xué)問題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運算障礙在大數(shù)據(jù)時代，有時需要將不同來源的數(shù)據(jù)進行整合，針對數(shù)據(jù)多，計算量大的實際問題，可以采用分步計算的方法，先分別處理不同來源的數(shù)據(jù)，再計算所有數(shù)據(jù)的統(tǒng)計結(jié)果。在分層隨機抽樣中，每層得到的調(diào)查數(shù)據(jù)作為一個組，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了已知每組數(shù)據(jù)的均值和樣本量，計算兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)總均值的方法——加權(quán)平均，但總方差的計算需要知道每組數(shù)據(jù)的個數(shù)、平均數(shù)和標準差。在推導(dǎo)總方差的計算公式時，需要用符號對樣本進行表示，通過代數(shù)變形進行推導(dǎo)，其過程比較復(fù)雜。學(xué)生在初中僅會計算簡單數(shù)據(jù)的方差，對這類問題未曾接觸，三、教學(xué)問題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運算障礙同時學(xué)生對大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號存在認知障礙，即使是計算能力強的學(xué)生也會覺得困難，所以可以通過課前預(yù)習(xí)、師生共同經(jīng)歷、學(xué)生課后反思等方式結(jié)合教學(xué)。同時在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該盡量多用語言（符號代表的統(tǒng)計意義）對公式的含義進行解釋，幫助學(xué)生逐步適應(yīng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)符號。基于以上分析,筆者將本節(jié)課的教學(xué)重點設(shè)計為：理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計意義，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；三、教學(xué)問題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運算障礙已知兩組數(shù)據(jù)的觀測個數(shù)、平均數(shù)和標準差或方差時，兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差的計算方法與思想。將教學(xué)難點設(shè)計為：“平均距離”與“方差”概念的形成過程；已知分層抽樣中的各層平均數(shù)與方差估計總體平均數(shù)與方差的統(tǒng)計意識與方法。本課時教學(xué)設(shè)計遵循從特殊到一般，從局部到整體的原則,以問題驅(qū)動教學(xué),問題設(shè)置層層深入,首先引入人教版第209頁“問題3”的改三、教學(xué)問題診斷分析（二）突破數(shù)學(xué)運算障礙編題，通過“平均距離”也不能刻畫數(shù)據(jù)離散程度，引導(dǎo)學(xué)生思考“當利用平均距離不能刻畫數(shù)據(jù)離散程度時怎么辦”,從而攻克“利用方差來解決數(shù)據(jù)離散程度的刻畫”這個難點。而課本的“問題三”只是作為一道練習(xí)題讓學(xué)生鞏固，突出與強調(diào)“概念”的生成過程。再由師生一起推導(dǎo)人教版第212頁例6中方差，展示有問題的學(xué)生作業(yè),啟發(fā)學(xué)生探討“已知兩組數(shù)據(jù)的觀測個數(shù)、平均數(shù)和方差時，求兩組數(shù)據(jù)合并后所有數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差”的計算方法。教師總結(jié)提煉，升華本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。四、教學(xué)支持條件分析本節(jié)課需要運用計算器或計算機軟件計算方差，應(yīng)盡量讓學(xué)生學(xué)會使用統(tǒng)計軟件進行計算。為了有效實現(xiàn)教學(xué)目標，針對問題診斷分析的結(jié)果，筆者對教材第209頁“問題三”進行了改編，拉長“平均距離”與“方差”概念的形成過程五、教學(xué)過程設(shè)計（一）極差、方差和標準差的概念引言：同學(xué)們，平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)“中心位置”的重要信息，可以描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，但是，有時僅僅知道“中心位置”不足以讓我們做出有效的決策，我們需要借助統(tǒng)計學(xué)中另外的數(shù)字特征來做出決策，請看下面的案例。5.1融入情境，體驗“平均距離”教師活動：前幾節(jié)課我們用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)研究一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，但僅憑集中趨勢有時不能使我們做出有效決策，下面來看兩位射手射靶10次的數(shù)據(jù)。五、教學(xué)過程設(shè)計問題一：有兩位射擊運動員在一次射擊實驗中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：8686767688乙：9578768677追問1：如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你應(yīng)當如何選擇？設(shè)計意圖：回顧舊知識，開門見山地拋出問題。此題是人教A版教材《數(shù)學(xué)》（必修第二冊）第209頁問題3的改編題，乙選手的數(shù)據(jù)和教材中的一模一樣，甲選手的數(shù)據(jù)略有變動，變動的目的是保證甲、乙“平均距五、教學(xué)過程設(shè)計五、教學(xué)過程設(shè)計學(xué)生1：看最高的環(huán)數(shù)，乙最高9環(huán)，選擇乙。學(xué)生2：不行，國際比賽不只是射擊一次，資格賽就射擊60發(fā)，應(yīng)該求平均數(shù)。教師活動：學(xué)生2不僅分析合理，而且還懂國際設(shè)計比賽規(guī)則，知識面廣，值得表揚。好的，接下來我們一起求一下平均數(shù)。（稍等一會，讓學(xué)生求出平均數(shù)，等大家都求出平均數(shù)為7，教師追問）追問2：我們求出平均數(shù)，發(fā)現(xiàn)甲和乙的平均數(shù)都是7，大家再看看甲、乙的中數(shù)，也是7，又該如何選擇？學(xué)生3：從數(shù)據(jù)看，用平均數(shù)、中數(shù)來做選擇也是不可取的，因為甲乙平五、教學(xué)過程設(shè)計均環(huán)數(shù)、中數(shù)都相同。甲的眾數(shù)是8，乙的眾數(shù)是7，可以由眾數(shù)這個統(tǒng)計量作為決策依據(jù)，選甲。追問3：用眾數(shù)作為決策依據(jù)，是否合理？甲組數(shù)據(jù)中有四個8，而乙組數(shù)據(jù)中有兩個8、一個9,7比甲組更多，是否真的選甲更好？學(xué)生4：但兩人的水平還是有差距的。甲最多8環(huán)，最少6環(huán)，波動較小，而乙最多9環(huán)，最少5環(huán)，波動較大。因此甲比較穩(wěn)定，應(yīng)該選甲。追問4：由最大值、最小值來做決策，有沒有不足，是否科學(xué)？學(xué)生5：我有意見。我覺得不能僅憑最大值、最小值來做出決定，應(yīng)該考慮甲、乙兩組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性才好。五、教學(xué)過程設(shè)計追問5：學(xué)生5的回答很好。因為極差是數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差，固然可以反應(yīng)數(shù)據(jù)的波動范圍。在一定程度上，極差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，極差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，但是極差只關(guān)系到數(shù)據(jù)中的最大值與最小值，對其他的數(shù)據(jù)都沒有涉及，所以包含的信息量很少。那么用什么來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性呢？學(xué)生6：哦，應(yīng)該用方差！設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)舊知識，產(chǎn)生新問題。首先要說明的是，課堂是靈動的，但是環(huán)節(jié)是可以預(yù)設(shè)的。我們預(yù)設(shè)學(xué)生可能由平均數(shù)、極差、中位數(shù)、眾數(shù)等統(tǒng)計量進行統(tǒng)計推斷，而且也是學(xué)生已經(jīng)學(xué)會的方法，針對學(xué)生五、教學(xué)過程設(shè)計課堂上即時產(chǎn)生的決策依據(jù)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進行分析，尤其是統(tǒng)計推斷的科學(xué)性。這里應(yīng)當結(jié)合課堂實際情況，捕捉恰當啟發(fā)時機，調(diào)動積極的思維活動，培養(yǎng)學(xué)生自覺性和創(chuàng)造性思維意識，發(fā)展獨立思考和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的能力。本題雖然眾數(shù)不同，是否可以作為統(tǒng)計量，此處雖有存疑，后面練習(xí)題中呼應(yīng)回答。面對特殊情境問題，原有的統(tǒng)計推斷方法與思想已經(jīng)不夠，產(chǎn)生了新問題，引領(lǐng)學(xué)生思維往深里走，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維。結(jié)合初中知識，學(xué)生自然會想到用方差進行比較。但是為什么可以用“方差”呢，為什么要求每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方呢？為下面解決“知其然知其所以然”的問題做鋪墊。五、教學(xué)過程設(shè)計師生活動：下面我們來求每次的環(huán)數(shù)與平均數(shù)的差，再看看這個差是怎么分布的：甲：1-11-10-10-111乙：2-2010-11-100追問6：我們發(fā)現(xiàn)：甲、乙所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和都是0，與平均數(shù)是7吻合。哎，又相同了，還是不行？怎么辦？學(xué)生7：甲、乙所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和都是0，平均數(shù)也是7，所以可以嘗試考慮差的絕對值，對應(yīng)的差的絕對值如下：五、教學(xué)過程設(shè)計甲：1111010111乙：2201011100我發(fā)現(xiàn)差的絕對值的和都是8，憑感覺應(yīng)該選擇甲。設(shè)計意圖：這里可以預(yù)估學(xué)生：首先，因為要在甲、乙之間做出選擇，平均數(shù)、極差都已經(jīng)不能達到目的，根據(jù)之前所學(xué)內(nèi)容，做出決策，其實已經(jīng)歸結(jié)到“方差”這個統(tǒng)計量，也就是需要考查數(shù)據(jù)的離散程度，所以自然聯(lián)想到數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的角度。其次，甲、乙各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和也都是0，想到用距離來刻畫也就比較自然了，即差的絕對值，步步為營，逐步走向端倪。五、教學(xué)過程設(shè)計學(xué)生8：對于甲、乙射擊次數(shù)相同可以用絕對值之和來考慮，但是如果兩人次數(shù)不同呢？那就不能用絕對值之和來比較了，否則有失公平，最好計算絕對值之和的平均數(shù)。但是這兩組數(shù)據(jù)的絕對值之和的平均數(shù)也相等，所以，我想能不能嘗試用折線圖進行比較，如圖1，從圖像可以看出，甲整體波動較小，所以選擇甲。教師活動：到這個時候，用代數(shù)的方法來做決策，好像進入死胡同了，有學(xué)生想到了用“折線圖”之類的。五、教學(xué)過程設(shè)計設(shè)計意圖：問題逐漸深入。這里實際上用到了“平均偏差”這個統(tǒng)計量，就是每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的平均數(shù)，即，讓學(xué)生主動探索多個統(tǒng)計量刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，并認識到每個統(tǒng)計量的優(yōu)缺點。但是，這時，學(xué)生又遇到困惑了：對于這兩組數(shù)據(jù)來說，首先是甲、乙所有數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的和都相等，且為0，連差的絕對值的和也相等，那如何比較甲、乙優(yōu)劣？所以，有同學(xué)可能又會回到原來的一些統(tǒng)計推斷方法，例如“折線圖”。但無疑又為“方差”的誕生設(shè)下了伏筆，同時保持一種探求新知的渴望！五、教學(xué)過程設(shè)計5.2對話學(xué)生，感受“離散程度”追問7：學(xué)生8說得很好，用絕對值平均數(shù)這個量來刻畫數(shù)據(jù)離散是比較科學(xué)的，在統(tǒng)計學(xué)中這個量成為“平均距離”，但是對這個題而言，仍然比較特殊（平均距離相等），而且從圖1中看，離散程度也不是很明顯，我們能否再嘗試其他運算？學(xué)生9：用平方拉大距離，把每組的差進行平方，然后再求平均數(shù)。甲：1111010111乙：4401011100甲選手的數(shù)據(jù)平方之后，再取平均數(shù)是0.8，乙選手數(shù)據(jù)平方之后的平均五、教學(xué)過程設(shè)計數(shù)為1.2，明顯乙對應(yīng)的值大，說明乙偏離平衡位置多，波動大，所以選擇甲，如圖2。追問8：你能說說為什么此題用平方更能形象地刻畫兩組數(shù)據(jù)的離散程度嗎？學(xué)生10：因為每組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值都大于等于1，所以離平均數(shù)越遠的點平方越大，權(quán)重自然越大，但是，若每組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值都是小于1，平方后越小，權(quán)重越小，對于這種情況，我覺得用距離平方的平均值來刻畫較好。教師活動：學(xué)生10分析得很漂亮，很到位，不僅精準地回答了教師的問題，五、教學(xué)過程設(shè)計而且還把統(tǒng)計學(xué)中核心數(shù)據(jù)分析得淋漓盡致（教師借助這個良機，繼續(xù)追問，拉長“方差、標準差”概念的形成過程）。設(shè)計意圖：問題繼續(xù)深入。我們已經(jīng)經(jīng)歷了“平均數(shù)”、“每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差”、“每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值的和”等統(tǒng)計量都相等的過程，在此基礎(chǔ)上，再進行數(shù)據(jù)處理的嘗試，終于發(fā)現(xiàn)距離的平方發(fā)生差異了。至于為什么取平均數(shù)，應(yīng)該不是障礙，因為有時獲取的數(shù)據(jù)個數(shù)不同，權(quán)重不同等。至此，“方差”概念的產(chǎn)生水到渠成。這時，指引學(xué)生用圖2與圖1進行比較，可以發(fā)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進行平方后，折線圖更能反應(yīng)甲、乙數(shù)據(jù)的不同特征，強化“方差”意識，培養(yǎng)直觀想象能力。五、教學(xué)過程設(shè)計追問9：除了絕對值、平方這兩種運算，還能再用其他運算來刻畫離散程度嗎？學(xué)生11：開方、立方等應(yīng)該都可以，但最好是平方。教師活動：為什么最好是平方？學(xué)生12：絕對值運算雖然簡捷，但不合適進一步的代數(shù)運算，有時還需要討論，開方和立方甚至更高次方過于繁瑣，計算量大，不利于統(tǒng)計。設(shè)計意圖：讓學(xué)生對刻畫數(shù)據(jù)的統(tǒng)計量進行自由而廣泛的討論，讓學(xué)生了解統(tǒng)計推斷的隨機性與或然性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，同時讓學(xué)生在比較中研判，得出相對最佳的方式，也就是“方差”這個統(tǒng)計量，發(fā)五、教學(xué)過程設(shè)計展學(xué)生的科學(xué)性思維。追問10：學(xué)生12回答得很好，方差確實不是唯一刻畫總體離散程度的量，但很多時候為了研究方便，我們通常選擇用方差來刻畫總體的離散程度。若是選拔性考試，你選擇甲選手還是乙選手？學(xué)生13：我們可以根據(jù)方差來判斷兩名運動員成績的離散程度，計算可得甲的方差是0.8，乙的方差是1.2，甲的離散程度小，乙的離散程度大，由此可以估計，甲的射擊成績穩(wěn)定。如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽，就應(yīng)該選成績相對穩(wěn)定的選手甲。設(shè)計意圖：“問題一”以及“十個追問”的設(shè)計及其解決，不是將“方五、教學(xué)過程設(shè)計差、標準差”概念的形成過程強加給學(xué)生，而是通過與學(xué)生的一次次對話、一次次運算、一次次的數(shù)據(jù)分析，自然生成。這種“對話學(xué)生”的教學(xué)方式使學(xué)生經(jīng)歷了方差產(chǎn)生的完整過程，符合學(xué)生的認知規(guī)律，真正培養(yǎng)了他們自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力，有助于提升學(xué)生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)和心素養(yǎng)。5.3挑戰(zhàn)自我，思辨“樣本方差”追問11：現(xiàn)在我們知道方差的公式，那么方差單位是什么呢？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)運算的角度自然過渡到度量的角度。由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，為了使二者單位一致，我們對方差五、教學(xué)過程設(shè)計進行開方，即用標準差來進行估計與決策。記為標準差設(shè)計意圖：不是將“標準差”概念強加給學(xué)生，純粹是一種技術(shù)需要，自然合理。如果總體中所有個體的變量值分別為

，總體平均數(shù)為

，則稱

為總體方差，

為總體標準差。如果一個樣本中個體的變量值分別為

，樣本平均數(shù)為

，則稱

為樣本方差，

為樣本標準差。

標準差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小。顯然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題中，一般多采五、教學(xué)過程設(shè)計用標準差。由于計算復(fù)雜，我們可以借用計算器或者計算機幫助計算。

接下來我們來體驗用方差如何刻畫數(shù)據(jù)的離散程度，用樣本的離散程度如何估計總體的離散程度？追問12（練習(xí)）：有兩位射擊運動員在一次射擊實驗中各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況做出評價？要從甲、乙兩名選手中選拔一名參加射擊比賽？你應(yīng)當如何選擇？五、教學(xué)過程設(shè)計設(shè)計意圖：鞏固學(xué)生對方差與標準差概念的理解。此題是人教A版教材《數(shù)學(xué)》（必修第二冊）第209頁問題3。在本設(shè)計中，其實就是一個“練習(xí)”的作用，既回顧舊知識，利用新知識。因為學(xué)生會非常自然地首先計算比較甲和乙的平均數(shù)、中位數(shù)，發(fā)現(xiàn)都是一樣的，知道從集中位置的角度看，兩名運動員之間沒有差別，不能用這幾個統(tǒng)計量作為決策依據(jù)，同時也呼應(yīng)了“問題一”中的“疑惑”。也許有學(xué)生會提出用最大值與最小值，也許會提出用方差，但是要么不準確，要么顯得突兀。有了“問題一”的提出及其解決，一切顯得自然了。這里體現(xiàn)了從“特殊到一般”的思想。五、教學(xué)過程設(shè)計五、教學(xué)過程設(shè)計五、教學(xué)過程設(shè)計師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生明確題目的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生獨立計算多組數(shù)據(jù)匯總后的方差。分析：把抽取的男生樣本記為

，樣本的平均數(shù)記為

，方差記為

，把抽取的女生樣本記為

，樣本的平均數(shù)記為

，方差記為

，把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為

，方差記為

。五、教學(xué)過程設(shè)計男生23人，其平均數(shù)和方差分別為17