第二章課后作業(yè)

【第1題】

解：由題可知消費者對糖果顏色的偏好情況(即糖果顏色的概率分布)，調查者

取500塊糖果作為研究對象，則以消費者對糖果顏色的偏好作為依據，500塊糖

果的顏色分布如下表L1所示：

表1.1理論上糖果的各顏色數

橙色黃色紅色棕色綠色藍色

150100100505050

由題知r=6,n=500,我們假設這些數據與消費者對糖果顏色的偏好分布是相符,

所以我們進行以下假設：

原假設：H:類A所占的比例為p=p(i=1,...,6)

0iiiO

其中A為對應的糖果顏色,

則E2檢驗的計算過程如下表所示:

顏色類別nnp(n-np)2,np

iiOiiOiO

A

11721503.2267

A21241005.7600

A851002.2500

3

A

441501.6200

A36503.9200

5

在這里r靠。檢驗日1P值等子箱由度為5的E2變量大于等號78.05翻2的概率。

在Exce合理輸入“二chidist(18.硼87,5)”,得出對應的Op值為＞

故拒絕原假設，即這些數據與消費者對糖果顏色的偏好分布不相符。

【第2題】

解：由題可知，r=3,n=200,假設顧客對這三種肉食的喜好程度相同，即顧客

選擇這三種肉食的概率是相同的。所以我們可以進行以下假設:

原假設H:p=—(i=1,2,3)

。i3

則m2檢驗的計算過程如下表所示:

肉食種類nnp(n-np)2,.np

iii

豬肉8566.675.03958

牛肉4166.679.88374

羊肉7466.670.80589

合計200200三2=15.72921

在這里r=3。檢驗的p值等于自由度為2的三2變量大于等于15.72921的概率。

在Excel中輸入“=chidist(15.72921,2)”，得出對應的p值為

p=0.0003841?0.05,故拒絕原假設，即認為顧客對這三種肉食的喜好程度是

不相同的。

【第3題】

解：由題可知，r=10,n=800,假設學生對這些課程的選擇沒有傾向性，即選

各門課的人數的比例相同,則十門課程每門課程被選擇的概率都相等。所以我們

可以進行以下假設：

原假設H:p=0.1(i=1,2,...,10)

0i

則E2檢驗的計算過程如下表所示:

類別(課程)

nnp(n-np)2/np

i0iiOiO

174800.4500

292801.8000

383800.1125

479800.0125

580800.0000

673800.6125

777800.1125

875800.3125

976800.2000

1091801.5125

合計800800

￡2=5.125

在這里r=lO。檢驗的p值等于自由度為9的E2變量大于等于5.125的概率。在

Excel中輸入“=chidist(5.125,9)”，得出對應的p值為p=0.823278349>>0.05,

故接受原假設，即學生對這些課程的選擇沒有傾向性，各門課選課人數的頻率為

0.L

【第4題】

解：(1)由題可知，r=3,n=5606,假設1997年8月中國股民投資狀況的調查

數據和比較流行的說法是相符合。所以我們可以進行以下假設：

原假設：H:類A所占的比例為p=p(i=1,2,3)

0iiiO

其中A(i=1,2,3)為股票投資中對應的贏、持平和虧，p(i=123)已知，

iiO

N3p=1

i=1iO

則E2檢驗的計算過程如下表所示:

股票投資狀況nnp(n-np)2/np

iOiiOiO

A1697560.62303.61213

1

A17801121.2387.10082

2

A21293924.2821.24842

3

合計56065606￡2=3511.96137

在這里r=3。檢驗的P值等于自由度為2的三2變量大于等于3511.96137

的概率。在Excel中輸入“=chidist(15.72921,2)”，得出對應的p值為p=0?0.05,

故拒絕原假設，即認為1997年8月中國股民投資狀況的調查數據和比較流行的

說法是不相符合的。

(2)解：由題知股票投資中，贏包括盈利10%及以上、盈利10%以下，符合條件

的股民共有151+122=273人；持平可以指基本持平，符合條件的股民共有240

人；虧包括虧損不足10%和虧損10%及以上，符合條件的股民共有517+240=757

人。

由題可知，r=3,n=1270,假設2003年2月上海青年報上的調查數據和比較

流行的說法是相符合。所以我們可以進行以下假設：

原假設：H:類A所占的比例為p=p(i=1,2,3)

0iiio

其中A(i=1,2,3)為股票投資中對應的贏、持平和虧，p(i=1,2,3)已知，

iiO

13p=1

i=1iO

則E2檢驗的計算過程如下表所示:

股票投資狀況

nnp(n-np)2；np

iOiiOiO

A273127167.84252

1

A2402540.77165

2

A75788919.59955

3

合計12701270￡2=188.21372

在這里r=3。檢驗的P值等于自由度為2的E2變量大于等于188.21372的

概率。在Excel中輸入“=chidist。88.21372,2)”，得出對應的p值為p=0<<0.05,

故拒絕原假設，即認為2003年2月上海青年報上的調查數據和比較流行的說法

是不相符合的。

【第5題】

解：由題意，我們將“開紅花”、“開白花”和“開粉紅色花”分別記為A,A,A,

123

并記A所占的比例為p(i=1,2,3),本題所要檢驗的原假設為：

H：p=p2,p=q2,p=2pq

0123

其中p+q=1,這些p都依賴一個未知參數p=在原假設H成立時的似然函數

為

L(p)OC(p2)24(q2)36(2pq)60xpi08(1-P)132

則對L(p)取對數得

InL(p)=108lnp+132ln(1-p)

從而有對數似然方程

?InL(p)108132n

?pp1-p

B|JW8(1-p)=132po據此求得p的極大似然估計p=0.45,從而得到p的極大

似然估計p=p(p),i=1,2,3o它們分別為0.2025、0.3025和0.495。由此得各

類的期望頻數的估計值而，i=1,2,3。它們分別為24.3、36.3、132.20和59.4。

所以三2統(tǒng)計量的值為

m2=(24-24再十(36-36.3)?+(6。-59.4g=°?24

24.336.359.4

這里r=3,m=l,r-m-l=L檢驗的p值等于自由度為1的三2變量。利用Excel

可以算出p值p=chidist(0.01224,1)=0.911893?0.05,故接受原假設，即我們

認為以上數據在0.05的水平下與遺傳學理論是相符的。

【第6題】

解：由題意，我們可以得到以下信息：

①遺傳因子的分布律為：(其中p+q+r=l)

遺傳因子AB0

概率Pqr

②血型的分布律為:

血型0ABAB

概率

r2p2+2prq2+2qr2pq

將“0”血型、“A”血型、“B”血型和“AB”血型這四類血型分別記為A,......,A,

14

并記A所占的比例為p(i=1,……,4),本題所要檢驗的原假設為：

H:p=r2,p=p2+2pr,p=q2+2qr,p=2pq

01234

這些p都依賴兩個未知參數p.qo在原假設H成立時的似然函數為

i0

L(p,q)父(r2)374(p2+2pr)436(q2+2qr)i32(2pq)58

父(1-p-q)748P436(2-p-2q)436qi32(2-q-2p)132(2pq)58

則對L(p,q)求對數得

InL(p,q)=748ln(1-p-q)+436Inp+436ln(2-p-2q)+132lnq+132ln(2-q-2p)+58In2pq

對lnL(p,q)求偏導數得

(?InL-748,436436n264^58n

|?p1-p-qp2-p-2q2-q-2pp

<?InL-748n872_位13253n

||?q1-p-q2-p-2q42-q-2pq

利用Mathematica軟件求解(程序編碼及運行結果見附錄)

解得p和q的極大似然估計為p如0.289,如0.100,從而得p的極大似然估

計方=p(萬，"),i=o它們分別為0.37332、0.43668、0.13220和0.05780?

由此得各類的期望頻數的估計值n"i=1,….,4。它們分別為373.32、436.68、

132.20和57.80o所以X2統(tǒng)計量的值為

v(374-373.32)2(436-436.68)2(132-132.20)2(58-57.80)2

3733243668132205780

=0.003292

這里r=4,m=2,r-nrl=l。檢驗的p值等于自由度為1的X2變量。有Excel可

以算出P值為p=chidist(0.003292,1)=0.954245>>0.05,故接受H,我們認為

0

以上數據與遺傳學理論是相符的。

附錄

①程序代碼：

NSolve[{(-748)/(1-p-q)+436/p+(-436)/(2-p-2*q)+0+(-264)/(2-q-2*p)+58/p

==0,(-748)/(1-p-q)+0+(-872)/(2-p-2*q)+132/q+(-132)/(2-q-2*p)+58/q==0}

,{p,q}]//MatrixForm

②利用Mathematica軟件運行結果:

Out[21]//MatrixForm

p)1.56083q)0.0900929)

p)0.209806q)1.50996

P)0.722065q)0.473295

p)0.288632q)0.0999891)

注：在上述結果中由于p+q=1-r<1,所以軟件運行的結果中惟獨第四個解

滿足條件，即p和q的極大似然估計為4~0.2894~0.100。

【第7題】

解：由題知，在豌豆實驗中，子系從父系（或者母系）接受顯性因子“黃色”

和“青色”的概率分別為p和1-p,而子系從父系（或者母系）接受顯性因子

“圓”

和“有角”的概率分別為q和l-qo

我們將豌豆實驗中得到的“黃而圓的”、“青而圓的”、“黃而有角的”和“青而有

角的”這四類豌豆分別記為A,A,A,A,則這四類豌豆的分布律如下表所

1234

示:

豌豆類型

AAAA

1234

概率

Pq(2-p)(2-q)q(2-q)(1-p)2P(2-p)(1-qg(1-p)2(i-qg

將豌豆類型A所占的比例記為p(i=1,……,4),則本題所要檢驗的原假設為：

H:P=pq(2-p)(2-q),p=q(2-q)(1-p)2

012

p=p(2-p)(1-q)2,p=(1-p)2(l-q)2

34

這些p都依賴兩個未知參數p,qo在原假設H成立時的似然函數為

i0

L(P,q)體[pq(2-p)(2-q)]3is[q(2-q)(1-p)2]ios[p(2-p)(1-q)2]wi[(1-p)2(1-q間32

體P416q423(2-P)416(2-q)423(1-p)280(1-q)266

則對L(p,q)求對數得

對lnL（p,q）求偏導數得

InL(p,q)=416