第二篇電磁學(xué)

求解電磁學(xué)問(wèn)題的基本思路和方法

本書(shū)電磁學(xué)部分涉及真空中和介質(zhì)中的靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)、電磁感應(yīng)和

麥克斯韋電磁場(chǎng)的基本概念等內(nèi)容,涵蓋了大學(xué)物理課程電磁學(xué)的核心內(nèi)容.

通過(guò)求解電磁學(xué)方面的習(xí)題，不僅可以使我們?cè)鰪?qiáng)對(duì)有關(guān)電磁學(xué)基本概念的

理解，還可在處理電磁學(xué)問(wèn)題的方法上得到訓(xùn)練，從而感悟到麥克斯韋電磁

場(chǎng)理論所體現(xiàn)出來(lái)的和諧與美.求解電磁學(xué)習(xí)題既包括求解一般物理習(xí)題的

常用方法，也包含一些求解電磁學(xué)習(xí)題的特殊方法.下面就求解電磁學(xué)方面

的方法擇要介紹如下.

1.微元法

在求解電場(chǎng)強(qiáng)度、電勢(shì)、磁感強(qiáng)度等物理量時(shí)，微元法是常用的方法之

使用微元法的基礎(chǔ)是電場(chǎng)和磁場(chǎng)的疊加原理.依照疊加原理，任意帶電體

激發(fā)的電場(chǎng)可以視作電荷元dq單獨(dú)存在時(shí)激發(fā)電場(chǎng)的疊加，根據(jù)電荷的不

同分布方式，電荷元可分別為體電荷元pdV、面電荷元81s和線電荷元7出.

同理電流激發(fā)的磁場(chǎng)可以視作為線電流元激發(fā)磁場(chǎng)的疊加.

例如求均勻帶電直線中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布.我們可取帶電線元2出為

電荷元，每個(gè)電荷元可視作為點(diǎn)電荷，建立坐標(biāo)，利用點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度公式

將電荷元激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量沿坐標(biāo)軸分解后疊加

廠“212d/

E=--------z-cosa

L/24%r~

統(tǒng)一積分變量后積分，就可以求得空間的電場(chǎng)分布.類(lèi)似的方法同樣可用于

求電勢(shì)、磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布.

此外值得注意的是物理中的微元并非為數(shù)學(xué)意義上真正的無(wú)窮小，而是

測(cè)量意義上的高階小量.從形式上微元也不僅僅局限于體元、面元、線元，

在物理問(wèn)題中常常根據(jù)對(duì)稱(chēng)性適當(dāng)?shù)剡x取微元.例如，求一個(gè)均勻帶電圓盤(pán)

軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，我們可以取寬度為dr的同心帶電圓環(huán)為電荷元，

再利用帶電圓環(huán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布公式,用疊加的方法求得均勻帶電圓

盤(pán)軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度分布.

2.對(duì)稱(chēng)性分析

對(duì)稱(chēng)性分析在求解電磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)是十分重要的.通過(guò)分析場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性，可

以幫助我們了解電磁場(chǎng)的分布，從而對(duì)求解電磁學(xué)問(wèn)題帶來(lái)極大方便.而電

磁場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性有軸對(duì)稱(chēng)、面對(duì)稱(chēng)、球?qū)ΨQ(chēng)等.下面舉兩個(gè)例子.

在利用高斯定律求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布時(shí);需要根據(jù)電荷分布的對(duì)稱(chēng)性選擇

適當(dāng)?shù)母咚姑?，使得電?chǎng)強(qiáng)度在高斯面上為常量或者電場(chǎng)強(qiáng)度通量為零，就

能夠借助高斯定律求得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.相類(lèi)似在利用安培環(huán)路定律求磁感

強(qiáng)度的分布時(shí)，依照電流分布的對(duì)稱(chēng)性，選擇適當(dāng)?shù)沫h(huán)路使得磁感強(qiáng)度在環(huán)

路上為常量或者磁場(chǎng)環(huán)流為零，借助安培環(huán)路定律就可以求出磁感強(qiáng)度的分

布.

3.補(bǔ)償法

補(bǔ)償法是利用等量異號(hào)的電荷激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度，具有大小相等方向相反

的特性；或強(qiáng)度相同方向相反的電流元激發(fā)的磁感強(qiáng)度，具有大小相等方向

相反這一特性,將原來(lái)對(duì)稱(chēng)程度較低的場(chǎng)源分解為若干個(gè)對(duì)稱(chēng)程度較高的場(chǎng)

源，再利用場(chǎng)的疊加求得電場(chǎng)、磁場(chǎng)的分布.

例如在一個(gè)均勻帶電球體內(nèi)部挖去一個(gè)球形空腔，顯然它的電場(chǎng)分布不

再呈現(xiàn)球?qū)ΨQ(chēng).為了求這一均勻帶電體的電場(chǎng)分布，我們可將空腔帶電體激

發(fā)的電場(chǎng)視為?個(gè)外半徑相同的球形帶電體與個(gè)電荷密度相同且異號(hào)、半

徑等于空腔半徑的小球體所激發(fā)電場(chǎng)的矢量和.利用均勻帶電球體內(nèi)外的電

場(chǎng)分布，即可求出電場(chǎng)分布.

4.類(lèi)比法

在電磁學(xué)中，許多物理量遵循著相類(lèi)似的規(guī)律，例如電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度、

電位移矢量與磁感強(qiáng)度矢量、電偶極子與磁偶極子、電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能

量密度等等.他們盡管物理實(shí)質(zhì)不同，但是所遵循的規(guī)律形式相類(lèi)似.在分析

這類(lèi)物理問(wèn)題時(shí)借助類(lèi)比的方法,我們可以通過(guò)一個(gè)己知物理量的規(guī)律去推

測(cè)對(duì)應(yīng)的另外一個(gè)物理量的規(guī)律.例如我們?cè)谘芯縇C振蕩電路時(shí)，我們得

到回路電流滿(mǎn)足的方程

顯然這個(gè)方程是典型的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程,只不過(guò)它所表述的是含有電

容和自感的電路中，電流以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方式變化罷了.

5.物理近似與物理模型

幾乎所有的物理模型都是理想化模型，這就意味著可以忽略影響研究對(duì)

象運(yùn)動(dòng)的次要因素，抓住影響研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)的主要因素，將其抽象成理想化

的數(shù)學(xué)模型.既然如此，我們?cè)趹?yīng)用這些物理模型時(shí)不能脫離建立理想化模

型的條件與背景.例如當(dāng)帶電體的線度遠(yuǎn)小于距所考察電場(chǎng)這一點(diǎn)的距離

時(shí)，一個(gè)帶電體的大小形狀可以忽略，帶電體就可以抽象為點(diǎn)電荷.但是一

旦去研究帶電體臨近周?chē)碾妶?chǎng)分布時(shí),將帶電體當(dāng)作點(diǎn)電荷的模型就失效

了.在討論物理問(wèn)題時(shí)一定要注意物理模型的適用條件.同時(shí)在適用近似條

件的情況下，靈活應(yīng)用理想化模型可大大簡(jiǎn)化求解問(wèn)題的難度.

電磁學(xué)的解題方法還有很多，我們希望同學(xué)們通過(guò)練習(xí)自己去分析、歸

納、創(chuàng)新和總結(jié).我們反對(duì)在學(xué)習(xí)過(guò)程中不深入理解題意、不分析物理過(guò)程、

簡(jiǎn)單教條地將物理問(wèn)題分類(lèi)而“套”公式的解題方法.我們企盼同學(xué)們把靈

活運(yùn)用物理基本理論求解物理問(wèn)題當(dāng)成是一項(xiàng)研究課題，通過(guò)求解問(wèn)題在學(xué)

習(xí)過(guò)程中自己去領(lǐng)悟、體會(huì)，通過(guò)解題來(lái)感悟到用所學(xué)的物理知識(shí)解決問(wèn)題

后的愉悅和快樂(lè)，進(jìn)一步加深理解物理學(xué)基本定律，增強(qiáng)學(xué)習(xí)新知識(shí)和新方

法的積極性.

第五章靜電場(chǎng)

5-1電荷面密度均為+”的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板如圖（A）

放置，其周?chē)臻g各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E（設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度方向向右為正、向左為負(fù)）隨

位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線為圖（B）中的（）

題5-1圖

分析與解“無(wú)限大”均勻帶電平板激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為三，方向沿帶電平

2%

板法向向外，依照電場(chǎng)疊加原理可以求得各區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向.因

而正確答案為（B）.

5-2下列說(shuō)法正確的是（）

（A）閉合曲面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度都為零時(shí)，曲面內(nèi)一定沒(méi)有電荷

（B）閉合曲面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度都為零時(shí)，曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零

（C）閉合曲面的電通量為零時(shí)，曲面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度必定為零

（D）閉合曲面的電通量不為零時(shí)，曲面上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都不可能為零

分析與解依照靜電場(chǎng)中的高斯定理，閉合曲面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度都為零時(shí)，

曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和必定為零，但不能肯定曲面內(nèi)一定沒(méi)有電荷；閉合曲面

的電通量為零時(shí)，表示穿入閉合曲面的電場(chǎng)線數(shù)等于穿出閉合曲面的電場(chǎng)線

數(shù)或沒(méi)有電場(chǎng)線穿過(guò)閉合曲面，不能確定曲面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度必定為零：

同理閉合曲面的電通量不為零，也不能推斷曲面上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度都不

可能為零，因而正確答案為（B）.

5-3下列說(shuō)法正確的是（）

（A）電場(chǎng)強(qiáng)度為零的點(diǎn)，電勢(shì)也?定為零

(B)電場(chǎng)強(qiáng)度不為零的點(diǎn)，電勢(shì)也,定不為零

(C)電勢(shì)為零的點(diǎn)，電場(chǎng)強(qiáng)度也一定為零

(D)電勢(shì)在某一區(qū)域內(nèi)為常量，則電場(chǎng)強(qiáng)度在該區(qū)域內(nèi)必定為零

分析與解電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)是描述電場(chǎng)的兩個(gè)不同物理量，電場(chǎng)強(qiáng)度為零表

示試驗(yàn)電荷在該點(diǎn)受到的電場(chǎng)力為零，電勢(shì)為零表示將試驗(yàn)電荷從該點(diǎn)移到

參考零電勢(shì)點(diǎn)時(shí)，電場(chǎng)力作功為零.電場(chǎng)中一點(diǎn)的電勢(shì)等于單位正電荷從該

點(diǎn)沿任意路徑到參考零電勢(shì)點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功；電場(chǎng)強(qiáng)度等于負(fù)電勢(shì)梯度.

因而正確答案為(D).

*5-4在一個(gè)帶負(fù)電的帶電棒附近有一個(gè)電偶極子，其電偶極矩p的方向

如圖所示.當(dāng)電偶極子被釋放后，該電偶極子將()

(A)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)直到電偶極矩p水平指向棒尖端而停止

(B)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至電偶極矩p水平指向棒尖端，同時(shí)沿電場(chǎng)線方向

朝著棒尖端移動(dòng)

(C)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至電偶極矩p水平指向棒尖端，同時(shí)逆電場(chǎng)線方向

朝遠(yuǎn)離棒尖端移動(dòng)

(D)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至電偶極矩?水平方向沿棒尖端朝外，同時(shí)沿電場(chǎng)

線方向朝著棒尖端移動(dòng)

題5-4圖

分析與解電偶極子在非均勻外電場(chǎng)中，除了受到力矩作用使得電偶極子指

向電場(chǎng)方向外，還將受到?個(gè)指向電場(chǎng)強(qiáng)度增強(qiáng)方向的合力作用，因而正確

答案為(B).

5-5精密實(shí)驗(yàn)表明，電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍不會(huì)超過(guò)±10口e,

而中子電量與零差值的最大范圍也不會(huì)超過(guò)±IO-"由最極端的情況考

慮，一個(gè)有8個(gè)電子，8個(gè)質(zhì)子和8個(gè)中子構(gòu)成的氧原子所帶的最大可能凈

電荷是多少？若將原子視作質(zhì)點(diǎn)，試比較兩個(gè)氧原子間的庫(kù)侖力和萬(wàn)有引

力的大小.

分析考慮到極限情況，假設(shè)電子與質(zhì)子電量差值的最大范圍為2x10-2%,

中子電量為10〃e,則由一個(gè)氧原子所包含的8個(gè)電子、8個(gè)質(zhì)子和8個(gè)中

子可求原子所帶的最大可能凈電荷.山庫(kù)侖定律可以估算兩個(gè)帶電氧原子間

的庫(kù)侖力，并與萬(wàn)有引力作比較.

解一個(gè)氧原子所帶的最大可能凈電荷為

%”=(1+2)x8x10-27

二個(gè)氧原子間的庫(kù)侖力與萬(wàn)有引力之比為

竺=一g詠f=2.8x10-6<<1

弓4ite0Gm~

顯然即使電子、質(zhì)子、中子等微觀粒子帶電量存在差異，其差異在±10一21

范圍內(nèi)時(shí),對(duì)于像天體一類(lèi)電中性物體的運(yùn)動(dòng),起主要作用的還是萬(wàn)有引力.

5-61964年，蓋爾曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克構(gòu)成，中子就

是由?個(gè)帶*e的上夸克和兩個(gè)帶-±e的下夸克構(gòu)成.若將夸克作為經(jīng)典

33

粒子處理(夸克線度約為10-2°m),中子內(nèi)的兩個(gè)下夸克之間相距2.60x1()75

m.求它們之間的相互作用力.

解由于夸克可視為經(jīng)典點(diǎn)電荷，由庫(kù)侖定律

14%/1e2

e=(3.78NW

4無(wú)%r~,-------r-2

F與徑向單位矢量方向相同表明它們之間為斥力.

5-7質(zhì)量為機(jī)，電荷為一e的電子以圓軌道繞氫核旋轉(zhuǎn)，其動(dòng)能為心.

證明電子的旋轉(zhuǎn)頻率滿(mǎn)足

.32鵡

me4

其中￡0是真空電容率，電子的運(yùn)動(dòng)可視為遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律.

分析根據(jù)題意將電子作為經(jīng)典粒子處理.電子、氫核的大小約為10—Qm,

軌道半徑約為故電子、氫核都可視作點(diǎn)電荷.點(diǎn)電荷間的庫(kù)侖引力

是維持電子沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的向心力，故有

V21e1

m—

r4兀%產(chǎn)

山此出發(fā)命題可證.

證由上述分析可得電子的動(dòng)能為

1Jq

E=—mv

Kr

電子旋轉(zhuǎn)角速度為

2

4兀%加廠’

由上述兩式消去r,得

2_①2_32e：E"

0-4A7r2-me4

5-8在氯化鈉晶體中，一價(jià)氯離子CC與其最鄰近的八個(gè)一價(jià)的離子Cs+

構(gòu)成如圖所示的立方晶格結(jié)構(gòu).（1）求氯離子所受的庫(kù)侖力；（2）假設(shè)圖中

箭頭所指處缺少一個(gè)鈉離子（稱(chēng)作晶格缺陷），求此時(shí)氯離子所受的庫(kù)侖力.

題5-8圖

分析鈉離子和氯離子均可視作點(diǎn)電荷,可直接將晶格頂角鈉離子與氯離子

之間的庫(kù)侖力進(jìn)行矢量疊加.為方便計(jì)算可以利用晶格的對(duì)稱(chēng)性求氯離子所

受的合力.

解（1）由對(duì)稱(chēng)性，每條對(duì)角線上的一對(duì)鈉離子與氯離子間的作用合力為

零，故尸1=0.

（2）除了有缺陷的那條對(duì)角線外，其它的離子與氯離子的作用合力為零，所

以氯離子所受的合力B的值為

2

9

F2=-^_=—^=1.92xl0N

-47teor3iteaa

F2方向如圖所示.

5-9若電荷。均勻地分布在長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒上.求證：（1）在棒的延長(zhǎng)線,

且離棒中心為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

兀￡（）4r-L

（2）在棒的垂直平分線匕離棒為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=1/Q

2兀%rv4r2+l3

若棒為無(wú)限長(zhǎng)（即L—8）,試將結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度相比

題5-9圖

分析這是計(jì)算連續(xù)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度.此時(shí)棒的長(zhǎng)度不能忽略，因而不

能將棒當(dāng)作點(diǎn)電荷處理.但帶電細(xì)棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長(zhǎng)直

線上.如圖所示，在長(zhǎng)直線上任意取一線元dr,其電荷為此=Qdx/L,它在

點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度為

整個(gè)帶電體在點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度

F=jdE

接著針對(duì)具體問(wèn)題來(lái)處理這個(gè)矢量積分.

（1）若點(diǎn)尸在棒的延長(zhǎng)線上，帶電棒上各電荷元在點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相

同，

E=jdEi

（2）若點(diǎn)P在棒的垂直平分線上，如圖（A）所示，則電場(chǎng)強(qiáng)度E沿x軸方向

的分量因?qū)ΨQ(chēng)性疊加為零，因此，點(diǎn)戶(hù)的電場(chǎng)強(qiáng)度就是

E=JdEvj=[sinad身

證（1）延長(zhǎng)線上一點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度E=1―^方，利用幾何關(guān)系，?'=

52%/

一尤統(tǒng)一積分變量，則

E=-2IQAx_Q1_________1___1Q

PZ72222

,*4TO?0L(r-x)4nsnL_r-LI1r+L/2_ns04r-L

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸.

(2)根據(jù)以上分析，中垂線上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向沿y軸，大小為

廣fsinad^

E=I------^E

)4%r-

利用幾何關(guān)系sina=r"',r=7r2+x2統(tǒng)一積分變量，則

E_y1/~Qdr_Q______]

"'24―小2+尸產(chǎn)-2叫r“一+一

當(dāng)棒長(zhǎng)L-8時(shí)，若棒單位長(zhǎng)度所帶電荷義為常量，貝爐點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度

L「1QIL

￡=11m----------/2=

J12n￡arJ1+4F/-

2

2兀%r

此結(jié)果與無(wú)限長(zhǎng)帶電直線周?chē)碾妶?chǎng)強(qiáng)度分布相同[圖(B)].這說(shuō)明只要

滿(mǎn)足<<1,帶電長(zhǎng)直細(xì)棒可視為無(wú)限長(zhǎng)帶電直線.

5-10一半徑為R的半球殼，均勻地帶有電荷，電荷面密度為。，求球心

處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小.

題5-1()圖

分析這仍是一個(gè)連續(xù)帶電體問(wèn)題，求解的關(guān)鍵在于如何取電荷元.現(xiàn)將半

球殼分割為一組平行的細(xì)圓環(huán)，如圖所示，從教材第5-3節(jié)的例1可以看

出，所有平行圓環(huán)在軸線上P處的電場(chǎng)強(qiáng)度方向都相同，將所有帶電圓環(huán)的

電場(chǎng)強(qiáng)度積分，即可求得球心0處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解將半球殼分割為一組平行細(xì)圓環(huán)，任??個(gè)圓環(huán)所帶電荷元

dq=5dS=d-27i/?2sined。，在點(diǎn)0激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

g1xdq.

dE4=%----缶--7+---了----

由于平行細(xì)圓環(huán)在點(diǎn)0激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同，利用幾何關(guān)系

x=Rcos3,r=Rsin。統(tǒng)一積分變量，有

1xdq1Reos。

S-27tR2sin3(i0

dE鈕￡。3+，尸=4/R?

-——■sin。cos例。

2%

2

積分得E=r-^-sin0cos0d^=-^—

2e04跖

5-11水分子電0中氧原子和氫原子的等效電荷中心如圖所示，假設(shè)氧

原子和氫原子等效電荷中心間距為“?試計(jì)算在分子的對(duì)稱(chēng)軸線上，距分子

較遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度.

分析水分子的電荷模型等效于兩個(gè)電偶極子，它們的電偶極矩大小均為

PQ=er0,而夾角為2。疊加后水分子的電偶極矩大小為P=2e為cos8,方

向沿對(duì)稱(chēng)軸線，如圖所示.由于點(diǎn)0到場(chǎng)點(diǎn)A的距離x>>r0,利用教材第

5-3節(jié)中電偶極子在延長(zhǎng)線上的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=-^—空

4K￡0X

可求得電場(chǎng)的分布.也可由點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加，求電場(chǎng)分布.

解1水分子的電偶極矩P=24cos，=2e“cos。在電偶極矩延長(zhǎng)線上

12p_14eqcos。_1eqcos。

E

4無(wú)qx，4%x3吟x3

解2在對(duì)稱(chēng)軸線上任取?點(diǎn)A,則該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=E—+E.+

2ercos。2e

E-2EcosB-E

+4%/22

4K￡0X

由于r2=x24--2Mjcos。

八x-")cos。

cosp=------------

r

代入得

后_2ex-z^cos01

4%)8+02_2X^COS6/)-/>/

測(cè)量分子的電場(chǎng)時(shí)，總有/>>-o，因此，式中

廿+蠟一2跖cose廣川1一^^『X將上

式化簡(jiǎn)并略去微小量后，得

E_1%ecos。

3

7T￡0X

5-12兩條無(wú)限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線相距為小，均勻帶有等量異號(hào)電荷，電荷

線密度為2.(1)求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度(設(shè)該點(diǎn)到其中

一線的垂直距離為x)；(2)求每一根導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上

電荷作用的電場(chǎng)力.

題5-12圖

分析（1）在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線單獨(dú)在此所

激發(fā)的電場(chǎng)的疊加.（2）由尸=qE,單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所受的電場(chǎng)力等于另一根

導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電場(chǎng)強(qiáng)度乘以單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所帶電量，即：F=加.應(yīng)該

注意：式中的電場(chǎng)強(qiáng)度E是另一根帶電導(dǎo)線激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度，電荷自身建

立的電場(chǎng)不會(huì)對(duì)自身電荷產(chǎn)生作用力.

解（1）設(shè)點(diǎn)P在導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，E+、E一分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線在P

點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，則有

2Mxr0-xj

_r°j

2%x（6-x）

（2）設(shè)尸+、F分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線單位長(zhǎng)度所受的電場(chǎng)力，則有

2兀%為

2%F

顯然有尸+=尸-，相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引.

5-13如圖為電四極子，電四極子是由兩個(gè)大小相等、方向相反的電偶極

子組成.試求在兩個(gè)電偶極子延長(zhǎng)線上距中心為z的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度(假

設(shè)z>>d).

----------------------------------------------------------------j-

g-g-ggr

題5-13圖

分析根據(jù)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.

解由點(diǎn)電荷電場(chǎng)公式，得

「12q,1q.1q,

E=--------^-k+-----7~~+------7-JrA

47WOz4n￡0\Z-d)4n￡0\z+d)

考慮到z?d,簡(jiǎn)化上式得

a4121「11

z2z2[(j/z)2(j/z)[j

q[21r,Id3d2,2d3d2]]

=—2―〈一一5-+-Z-1+—+----+...+1-------+-----+...>k

4叫)[zz[_zzzz

：q6qd2k

4%z4

通常將。=2qf稱(chēng)作電四極矩，代入得P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

E=上當(dāng)k

4%z

5-14設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與半徑為R的半球面的對(duì)稱(chēng)軸平行，試

計(jì)算通過(guò)此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.

R

題5-14圖

分析方法1：由電場(chǎng)強(qiáng)度通量的定義，對(duì)半球面S求積分，即

R=[EdS

方法2：作半徑為R的平面S'與半球面S一起可構(gòu)成閉合曲面，由于

閉合面內(nèi)無(wú)電荷，由高斯定理

eo

這表明穿過(guò)閉合曲面的凈通量為零，穿入平面S'的電場(chǎng)強(qiáng)度通量在數(shù)值上

等于穿出半球面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.因而

0=[EdS

解1由于閉合曲面內(nèi)無(wú)電荷分布，根據(jù)高斯定理，有

◎=廬dS=-j￡-dS

依照約定取閉合曲面的外法線方向?yàn)槊嬖猟S的方向，

0=-E-兀斤-cos兀=itR'E

解2取球坐標(biāo)系，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和面元在球坐標(biāo)系中可表示為①

E-￡(cose+sincosOe”+sinOsinej

2

dS=Rsin3d6der

@=4E?dS=[￡/?2sin2^sinMd

=￡E7?2sinW￡sind

=nR2E

5-15邊長(zhǎng)為a的立方體如圖所示，其表面分別平行于Oxy、Oyz和0M

平面，立方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).現(xiàn)將立方體置于電場(chǎng)強(qiáng)度

E=(Ei+kx)i+E2j(k,￡),E2為常數(shù))的非均勻電場(chǎng)中，求電場(chǎng)對(duì)立

方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量.

題5-15圖

解如圖所示，由題意E與。孫面平行，所以任何相對(duì)。孫面平行的立方

體表面，電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零，即=e加陽(yáng)=°?而

%BGF=,?dS=財(cái)+kx》+E2j]?(dSj)=E2a2

考慮到面CDE。與面ABGF的外法線方向相反，且該兩面的電場(chǎng)分布相同，

故有

?CDEO=-?ABGF=—^20

2

同理外。EF=[E??=[甲+/1/)]?(-6/5/)=-E,a

2

⑦BCDG=JE?dS=j[(E,+ka)i+E2j]-[dSi)=^E[+ka)a

因此，整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量

。江。=布3

5-16地球周?chē)拇髿猹q如一部大電機(jī)，由于雷雨云和大氣氣流的作用，

在晴天區(qū)域，大氣電離層總是帶有大量的正電荷，云層下地球表面必然帶有

負(fù)電荷.晴天大氣電場(chǎng)平均電場(chǎng)強(qiáng)度約為120V,方向指向地面.試求

地球表面單位面積所帶的電荷(以每平方厘米的電子數(shù)表示).

分析考慮到地球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度指向地球球心,在大氣層中取與地球同心

的球面為高斯面，利用高斯定理可求得高斯面內(nèi)的凈電荷.

解在大氣層臨近地球表面處取與地球表面同心的球面為高斯面，其半徑

R?RK(RE為地球平均半徑).由高斯定理

1E.dS=-E4*=—￡q

地球表面電荷面密度

o=>,q/4nR；?-&E=-1.06x109cm-2

單位面積額外電子數(shù)

n=(y!-e=6.63x105cm2

5-17設(shè)在半徑為R的球體內(nèi),其電荷為球?qū)ΨQ(chēng)分布，電荷體密度為

p-kr(0<r<R)

〃=0(r>R)

k為一常量.試分別用高斯定理和電場(chǎng)疊加原理求電場(chǎng)強(qiáng)度歹步的函數(shù)關(guān)系.

題5-17圖

分析通常有兩種處理方法：(1)利用高斯定理求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布.由題

意知電荷呈球?qū)ΨQ(chēng)分布，因而電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ(chēng)，選擇與帶電球體同心的

球面為高斯面，在球面上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為常量，且方向垂直于球面，因而有

=日4無(wú)，

根據(jù)高斯定理，E-dS=JjpdV,可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

(2)利用帶電球殼電場(chǎng)疊加的方法求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布.將帶電球分割成無(wú)

數(shù)個(gè)同心帶電球殼，球殼帶電荷為dq=〃-4兀廠”由，，每個(gè)帶電球殼在殼內(nèi)

激發(fā)的電場(chǎng)d￡=0,而在球殼外激發(fā)的電場(chǎng)

dE二尸F(xiàn)

4ns0r

由電場(chǎng)疊加可解得帶電球體內(nèi)外的電場(chǎng)分布

E（r）=JdE（0<r<R）

砌=1dE（r>/?）

解1因電荷分布和電場(chǎng)分布均為球?qū)ΨQ(chēng)，球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常

量，由高斯定理=-?-]pdV得球體內(nèi)（OWrWR）

E（r）47ir2=—f憶r4兀，”=—r4

￡0q

風(fēng)廣）="%

47

球體外。＞/?）

22Ttk4

E（r）47ir=—jpkr4nrdr='——r

%

E（，）=詈%

4%

解2將帶電球分割成球殼，球殼帶電

dq=pdV=kr^Ttr'Ar

由上述分析，球體內(nèi)（OWrWR）

加7/上中e,二kr2

—e

,04TK?0r4與

球體外。＞/?）

、F1k-d/kR-

（'）=碼P€r=4獷/

5-18?無(wú)限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為c,在平板中部有一半徑

為r的小圓孔.求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點(diǎn)尸的電場(chǎng)強(qiáng)度.

題5-18圖

分析用補(bǔ)償法求解利用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的

對(duì)稱(chēng)性電場(chǎng).本題的電場(chǎng)分布雖然不具有這樣的對(duì)稱(chēng)性，但可以利用具有對(duì)

稱(chēng)性的無(wú)限大帶電平面和帶電圓盤(pán)的電場(chǎng)疊加，求出電場(chǎng)的分布.若把小圓

孔看作山等量的正、負(fù)電荷重疊而成，挖去圓孔的帶電平板等效于一個(gè)完整

的帶電平板和一個(gè)帶相反電荷(電荷面密度，=一(7)的小圓盤(pán).這樣中心軸

線上的電場(chǎng)強(qiáng)度等效于平板和小圓盤(pán)各自獨(dú)立在該處激發(fā)電場(chǎng)的矢量和.

解由教材中第5-4節(jié)例4可知，在無(wú)限大帶電平面附近

-1cn

2跖

e〃為沿平面外法線的單位矢量；圓盤(pán)激發(fā)的電場(chǎng)

E=0

在距離圓孔較遠(yuǎn)時(shí)/>>r,則

E「=-0---.1=e

2571+r2/x2

G

?--e

2%"

上述結(jié)果表明，在x>>r時(shí)，帶電平板上小圓孔對(duì)電場(chǎng)分布的影響可以忽

略不計(jì).

5-19在電荷體密度為0的均勻帶電球體中，存在一個(gè)球形空腔，若將帶

電體球心0指向球形空腔球心0,的矢量用。表示（如圖所示）.試證明球形空

腔中任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

題5-19圖

分析本題帶電體的電荷分布不滿(mǎn)足球?qū)ΨQ(chēng)，其電場(chǎng)分布也不是球?qū)ΨQ(chēng)分

布，因此無(wú)法直接利用高斯定理求電場(chǎng)的分布，但可用補(bǔ)償法求解.挖去球

形空腔的帶電球體在電學(xué)上等效于一個(gè)完整的、電荷體密度為2的均勻帶電

球和一個(gè)電荷體密度為一p、球心在0,的帶電小球體（半徑等于空腔球體的半

徑）.大小球體在空腔內(nèi)P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為反、E2,則P點(diǎn)的電

場(chǎng)強(qiáng)度E=Et+E2.

證帶電球體內(nèi)部一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

E=〃-r

3%

所以E,=''r,E-,=—F-,

373%

E=E,+E2=^（r,-r2）

根據(jù)幾何關(guān)系上式可改寫(xiě)為

E=〃-a

3%

5-20一個(gè)內(nèi)外半徑分別為％和&的均勻帶電球殼，總電荷為2，球

殼外同心罩一個(gè)半徑為總的均勻帶電球面，球面帶電荷為02.求電場(chǎng)分布.

電場(chǎng)強(qiáng)度是否為離球心距離r的連續(xù)函數(shù)？試分析.

題5-20圖

分析以球心0為原點(diǎn)，球心至場(chǎng)點(diǎn)的距離r為半徑，作同心球面為高斯面.

由于電荷呈球?qū)ΨQ(chēng)分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為球?qū)ΨQ(chēng)分布，高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑

矢方向，且大小相等.因而jEd5=E-4兀產(chǎn).在確定高斯面內(nèi)的電荷

后，利用高斯定理《EdS=即可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

解取半徑為r的同心球面為高斯面，由上述分析

E-47rr2=

r<R\，該高斯面內(nèi)無(wú)電荷，>=0,故旦=0

R}<r<&，高斯面內(nèi)電荷=

E-

故2-4血血-槨

曲<r<R3,高斯面內(nèi)電荷為。1,故

當(dāng)

4

r>/?3，高斯面內(nèi)電荷為。1+。2，故

。1+。2

4

電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑矢方向，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線如圖(B)所示.

在帶電球面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的左右極限不同，電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)，而在緊貼

r=&的帶電球面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的躍變量

AE=E「E廣02(7

43

4%用%

這?躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的必然結(jié)果，且具有普遍性.實(shí)際帶

電球面應(yīng)是有一定厚度的球殼，殼層內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度也是連續(xù)變化的，本題

中帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)，在球殼的厚度變小時(shí)，￡'的變化就變陡，最后當(dāng)厚

度趨于零時(shí)，E的變化成為一躍變.

5-21兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為此和公

>幻），單位長(zhǎng)度上的電荷為人.求離軸線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度：（1）r</?,,

(b)

題5-21圖

分析電荷分布在無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度也必定沿軸對(duì)稱(chēng)分布，取

同軸圓柱面為高斯面，只有側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量不為零，且

jEdS=E2m±,求出不同半徑高斯面內(nèi)的電荷即可解得各區(qū)域電

場(chǎng)的分布.

解作同軸圓柱面為高斯面，根據(jù)高斯定理

E-271rL=￡q/%

r<R],

￡,=o

在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變

R\<r</?2，

r>Ri.￡q=。

4=0

在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變

2無(wú)力r2morLso

這與5-20題分析討論的結(jié)果一致.

5-22如圖所示，有三個(gè)點(diǎn)電荷Qi、。2、。3沿一一條直線等間距分布且

Qi=。3=Q-已知其中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零，求在固定。|、。3的

情況下，將。2從點(diǎn)0移到無(wú)窮遠(yuǎn)處外力所作的功.

y

?o.Qi牛.

Ld一.一d一1

題5-22圖

分析由庫(kù)侖力的定義，根據(jù)、。3所受合力為零可求得。2.外力作功W'

應(yīng)等于電場(chǎng)力作功W的負(fù)值，即沙=一卬.求電場(chǎng)力作功的方法有兩種：（1）

根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力作的功為

W=[Q2Edl

其中E是點(diǎn)電荷a、。3產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度.

（2）根據(jù)電場(chǎng)力作功與電勢(shì)能差的關(guān)系，有

卬=&（—8）3。

其中％是、。3在點(diǎn)。產(chǎn)生的電勢(shì)（取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)）.

解1山題意a所受的合力為零

Q._+Q.——、2=0

47iqd~4ne0（2d）

解得02=—；。3=-

由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加，2、03激發(fā)的電場(chǎng)在y軸上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

2

E~Ely+E3V=223/2

27t￡0（d+y

將。2從點(diǎn)。沿y軸移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，（沿其他路徑所作的功相同，請(qǐng)想一想

為什么？）外力所作的功為

產(chǎn)12vxQ2

W'-f-4Q,

2%儼+y2廣）

解2與解1相同，在任一點(diǎn)電荷所受合力均為零時(shí)。2=-：。，并由電勢(shì)

的疊加得。I、。3在點(diǎn)。的電勢(shì)

v0=0+&=Q

4兀4m/2兀

將仍從點(diǎn)。推到無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程中，外力作功

Q2

卬'=_。2匕

8叫）d

比較上述兩種方法，顯然用功與電勢(shì)能變化的關(guān)系來(lái)求解較為簡(jiǎn)潔.這是因

為在許多實(shí)際問(wèn)題中直接求電場(chǎng)分布困難較大，而求電勢(shì)分布要簡(jiǎn)單得多.

5-23已知均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為

2%r'

為電荷線密度.（1）求在，和r=r2兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）在點(diǎn)電荷的電

場(chǎng)中，我們?cè)S一8處的電勢(shì)為零，求均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電勢(shì)時(shí)，能

否這樣??？試說(shuō)明.

解（1）由于電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，若沿徑向積分，則有

U|2=『Edr="ln豆

（2）不能.嚴(yán)格地講，電場(chǎng)強(qiáng)度E=」一e,只適用于無(wú)限長(zhǎng)的均勻帶電直

2mor

線，而此時(shí)電荷分布在無(wú)限空間，r-8處的電勢(shì)應(yīng)與直線上的電勢(shì)相等.

5-24水分子的電偶極矩p的大小為6.20X10-3°cm.求在下述情況

下，距離分子為，?=5.00X1（T9m處的電勢(shì).（1）6=0。；（2）6=45。；

（3）6=90。，8為r與p之間的夾角.

解由點(diǎn)電荷電勢(shì)的疊加

吟=匕+丫=，_+」_=笆

4兀4/24%/

(I)若。=0"Vp=P,=2.23x10-3V

4%/

/JCS45(3

(2)若。=45°Vp=°=1.58xlQ-V

4叫了

⑶若。=90°<=〃cos90"二。

4叫廠

5-25一個(gè)球形雨滴半徑為0.40mm,帶有電量1.6pC,它表面的電勢(shì)有

多大？?jī)蓚€(gè)這樣的雨滴相遇后合并為一個(gè)較大的雨滴，這個(gè)雨滴表血的電

勢(shì)又是多大？

分析取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)參考點(diǎn)，半徑為R帶電量為q的帶電球形雨滴

表面電勢(shì)為

4%R

當(dāng)兩個(gè)球形雨滴合并為一個(gè)較大雨滴后，半徑增大為啦R,代入上式后可

以求出兩雨滴相遇合并后，雨滴表面的電勢(shì).

解根據(jù)已知條件球形雨滴半徑R=0.40mm,帶有電量3=1.6pC,可

以求得帶電球形雨滴表面電勢(shì)

V.=」--36V

4%/?|

當(dāng)兩個(gè)球形雨滴合并為一個(gè)較大雨滴后，雨滴半徑&=蚯凡，帶有電量42

=2qi,雨滴表面電勢(shì)

V--___2._57V

L4吸臟R、ev

5-26電荷面密度分別為和一。的兩塊“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板，

如圖(a)放置，取坐標(biāo)原點(diǎn)為零電勢(shì)點(diǎn)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)分布并畫(huà)出電勢(shì)

隨位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線.

題5-26圖

分析由于“無(wú)限大”均勻帶電的平行平板電荷分布在“無(wú)限”空間，不能

采用點(diǎn)電荷電勢(shì)疊加的方法求電勢(shì)分布：應(yīng)該首先由“無(wú)限大”均勻帶電平

板的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，然后依照電勢(shì)的定義式求電勢(shì)分布.

解由“無(wú)限大”均勻帶電平板的電場(chǎng)強(qiáng)度土上-i,疊加求得電場(chǎng)強(qiáng)度的

2%

分布，

0(x<-a)

(-a<x<a)

2%

0(x>a)

電勢(shì)等于移動(dòng)單位正電荷到零電勢(shì)點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功

V=fE-dZ=--x(-a<x<a)

工%

V=raE-dZ+f)E-dl=—a(x<-a)

V=+Edl=--a{x>a

電勢(shì)變化曲線如圖(b)所示.

5-27兩個(gè)同心球面的半徑分別為R和/?2，各自帶有電荷Qi和。2.求:

(1)各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫(huà)出分布曲線；(2)兩球面間的電勢(shì)差為多少？

題5-27圖

分析通常可采用兩種方法(1)由于電荷均勻分布在球面上，電場(chǎng)分布也具

有球?qū)ΨQ(chēng)性，因此，可根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求電勢(shì).取同心球面

為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，再由匕=

可求得電勢(shì)分布.(2)利用電勢(shì)疊加原理求電勢(shì).一個(gè)均勻帶電的球面，在球

面外產(chǎn)生的電勢(shì)為

V=—

4兀％r

在球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)處處相等，等于球面的電勢(shì)

V=—^—

4%R

其中R是球面的半徑.根據(jù)上述分析，利用電勢(shì)疊加原理，將兩個(gè)球面在各

區(qū)域產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，可求得電勢(shì)的分布.

解1(1)由高斯定理可求得電場(chǎng)分布

6=0(「＜鳥(niǎo))

E2=-^er(&<"4)

4%r

當(dāng)=*當(dāng)*Q4)

4%/

由電勢(shì)y=可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布.

當(dāng)rWR時(shí)，有

乂=（6-（1/+A&7/+1區(qū)劃

=0+」］+儲(chǔ)+。2

4g）/?,R24兀qR）

_QI+。2

4?！辏ㄈ?jC￡0/?2

當(dāng)RWrW&時(shí)，有

V2=pE2dZ+￡E.-dl

a「1iLe,+e2

4?！辍尺24兀//?2

_Q1?。2

47120r4兀%/?2

當(dāng)r2燈時(shí)，有

匕=「當(dāng)d/=Q+Q

4m0r

(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差

解2(1)由各球面電勢(shì)的疊加計(jì)算電勢(shì)分布.若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面內(nèi)，即r

WRi,貝IJ

4冗￡國(guó)4TU-()R2

若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之間，即尺WrWRz,則

_4712v4TO07?2

若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之外，即尸》/?2，則

Y=21+02

,4兀%r

(2)兩個(gè)球面間的電勢(shì)差

12=(匕一眩上-1=—^---------------

24鵬內(nèi)47r￡()&

5-28一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷的

體密度為？現(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫(huà)出分布曲線.

V

@5-28圖

分析無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒電荷分布呈軸對(duì)稱(chēng),其電場(chǎng)和電勢(shì)的分布也呈軸

對(duì)稱(chēng).選取同軸柱面為高斯面，利用高斯定理

亞」口丫

%

可求得電場(chǎng)分布EG）,再根據(jù)電勢(shì)差的定義

V?-Vfc=fE（r）.d/

并取棒表面為零電勢(shì)（％=0），即可得空間任意點(diǎn)。的電勢(shì).

解取高度為/、半徑為/且與帶電棒同軸的圓柱面為高斯面，由高斯定理

當(dāng)rWR時(shí)

E-271/7=ur'lpl

得￡（「）=F

2%

當(dāng)時(shí)

2

E-2nrl=nRlp/￡0

得雙尸）=遮

取棒表面為零電勢(shì)，空間電勢(shì)的分布有

當(dāng)r<K時(shí)

當(dāng)r2R時(shí)

如圖所示是電勢(shì)丫隨空間位置r的分布曲線.

5-29一圓盤(pán)半徑R=3.00XIO、m.圓盤(pán)均勻帶電，電荷面密度c=

2.00X10-5cm、.（1）求軸線上的電勢(shì)分布；（2）根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯

度的關(guān)系求電場(chǎng)分布；（3）計(jì)算離盤(pán)心30.0cm處的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.

題5-29圖

分析將圓盤(pán)分割為一組不同半徑的同心帶電細(xì)圓環(huán)，利用帶電細(xì)環(huán)軸線上

一點(diǎn)的電勢(shì)公式，將不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)積分相加，即

可求得帶電圓盤(pán)在軸線上的電勢(shì)分布，再根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)之間的微分關(guān)

系式可求得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布.

解（1）帶電圓環(huán)激發(fā)的電勢(shì)

,,,1cr2nrdr

dV----------一

4%7r2+x2

由電勢(shì)疊加，軸線上任一點(diǎn)尸的電勢(shì)的

（2）軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

電場(chǎng)強(qiáng)度方向沿x軸方向.

（3）將場(chǎng)點(diǎn)至盤(pán)心的距離x=30.0cm