三個(gè)無窮級(jí)數(shù)展開式傳入中國(guó)1701年法國(guó)耶穌會(huì)傳教士杜德美（P.Jartoux,1668—1720）到中國(guó)，帶來三個(gè)級(jí)數(shù)展開式：牛頓（I.Newton）1667年π的展開式：格列高里（J.Gregory）1676年正弦、正矢展開式：

三式使用方便，計(jì)算精確，為中算所無，引起中國(guó)數(shù)學(xué)家的注意

第一頁第二頁，共14頁。明安圖的懷疑

但杜德美并未將三式的證明或推導(dǎo)過程一同帶來，使人僅知其當(dāng)然而不知其所以然明安圖20多歲時(shí)，懷疑他們是否不愿將其中的道理一并傳來，這就激發(fā)了他一定要把這個(gè)問題的原理搞清楚的決心后來他曾對(duì)兒子明新說，此三式“實(shí)古今所未有也，……惜僅有其法而未詳其義，恐人有金針不度之疑?！?/p>

第二頁第三頁，共14頁。

明安圖刻苦鉆研，走自己的路

明安圖對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有深刻了解，開始在業(yè)余時(shí)間刻苦鉆研，走自己的路，創(chuàng)造了完整的“割圓連比例法”，不僅證明了此三式，而且獲得另六式特別是在世界上首創(chuàng)卡塔蘭數(shù)，推出正弦二、四、……倍角的無窮級(jí)數(shù)展開式，獲得了一系列重要數(shù)學(xué)成果

第三頁第四頁，共14頁。在中國(guó)首開無窮級(jí)數(shù)運(yùn)算1、把原有的連比例法在n分弧法的基礎(chǔ)上發(fā)展成為“割圓連比例法”2、在代數(shù)方面完成了“明安圖變換”3、與“明安圖變換”密切相關(guān)，建立了“明安圖多項(xiàng)式”4、把“率”的概念應(yīng)用于無窮級(jí)數(shù)，獨(dú)創(chuàng)一套極數(shù)記法5、在中國(guó)數(shù)學(xué)史上奠定了無窮級(jí)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)

第四頁第五頁，共14頁。在世界上首創(chuàng)卡塔蘭數(shù)6、在世界數(shù)學(xué)史上首先提出并應(yīng)用了卡塔蘭數(shù)7、創(chuàng)立用含卡塔蘭數(shù)的級(jí)數(shù)無窮逼近平方根的算法8、創(chuàng)立無窮級(jí)數(shù)求反函數(shù)的理論和算法，獲得四組互反公式9、在級(jí)數(shù)回求過程中建立并應(yīng)用了兩種特殊的計(jì)數(shù)結(jié)構(gòu)10、用遞推法從事高位數(shù)值計(jì)算，最高達(dá)54位第五頁第六頁，共14頁。提出“形數(shù)相生”和極限理論11、在中國(guó)數(shù)學(xué)史上首開無窮級(jí)數(shù)證明的先河，證明長(zhǎng)達(dá)2.5萬字12、提出“形數(shù)相生”的理論，“堪與笛卡兒軔解析幾何媲美”（李儼）13、提出曲線和直線在無窮分割的條件下可以達(dá)到同一的極限理論14、首次將三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)公式應(yīng)用于天文計(jì)算之中15、采用近似計(jì)算和簡(jiǎn)便算法減少計(jì)算量第六頁第七頁，共14頁。對(duì)幾個(gè)數(shù)學(xué)概念的解釋標(biāo)志明安圖割圓水平的工作是他的n分弧法，原著中的“通弦八法”是一些特例。n分弧法把傳統(tǒng)的二分弧法和西方三分弧法引而伸之，表達(dá)了弦矢的和與積的一般關(guān)系“明安圖變換”是他在代數(shù)方面的出色成就，奠定了清代級(jí)數(shù)論的基礎(chǔ)，不僅割圓連比例的初始解、一般解均由該變換導(dǎo)出，清代級(jí)數(shù)論的每一步重要進(jìn)展都以它為出發(fā)點(diǎn)。所以在明安圖之后的一百多年里，中算家的無窮級(jí)數(shù)運(yùn)算基本上是沿著這一方向前進(jìn)“明安圖多項(xiàng)式”是關(guān)于“明安圖變換”的一個(gè)重要概念，因?yàn)檫@種變換的矩陣是由該多項(xiàng)式的值所構(gòu)成，開方式系數(shù)同卡塔蘭數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別由此得到說明第七頁第八頁，共14頁。明安圖1730~60年著書30余年明安圖在青年時(shí)決心按自己的方式解決無窮級(jí)數(shù)的疑難，使他進(jìn)入了數(shù)學(xué)的一個(gè)廣闊的新天地經(jīng)過十多年的醞釀和推算，他感到新的思想和方法都已經(jīng)成熟了，便在1730年前后開始著書《割圓密率捷法》工作時(shí)斷時(shí)續(xù)，“次第相求，以至成書，約三十余年”，因公務(wù)繁重，僅在業(yè)余研究數(shù)學(xué)第八頁第九頁，共14頁。明安圖臨終的遺囑從檔案中能查到明安圖進(jìn)見皇帝的許多記錄，大多與月食、月食、觀候、編時(shí)憲書相關(guān)他兩赴新疆從事大地測(cè)量，無暇著書特別是在擔(dān)任欽天監(jiān)監(jiān)正之后，每年皇帝接見的記錄都有二、三十次在他臨終時(shí)（約在1763年），“以遺稿一帙囑其季子景臻（即他的三兒子明新），命際新（即他的學(xué)生陳際新）續(xù)而成之”，并說：“余積解有年，未能卒業(yè)，汝與同學(xué)者務(wù)續(xù)而成之，則余志也。”第九頁第十頁，共14頁。明安圖唯一的遺著百年后出版明安圖去世后，陳際新“尋緒推究，質(zhì)以平日所聞面授之言，遇有疑義，則與先生之季子景臻及門人張良亭相與討論；且良亭、景臻亦時(shí)同推步、校錄。越數(shù)年，甲午（1774）始克成書?！薄陡顖A密率捷法》書稿續(xù)成后為數(shù)學(xué)家張敦仁（1754—1834）所秘藏。但它的抄本曾經(jīng)流傳開，知道的人漸漸多起來。歷經(jīng)曲折，在明安圖開始著書的一百多年之后，數(shù)學(xué)家羅士琳（1789—1853）從自己的老師戴簡(jiǎn)恪家中將原本影抄下來，請(qǐng)石梁岑建功校對(duì)出版，這已是1