第5講數(shù)列與不等式

一、單選題

1.（2022?全國?高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,88',CC',O。是桁，相鄰桁的水平距離稱為步,

垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖.其中0A，CG，B綜例是舉，OR,OG，CB1,即是相等的

步，相鄰桁的舉步之比分別為票=05*=匕，萼=附普=%.已知尢，&入成公差為0.1的等差數(shù)列，且直

L/C]CO]D/i1

線。4的斜率為0.725,則%=（）

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)OR=OG=C4=8A=1,則可得關(guān)于%的方程，求出其解后可得正確的選項.

【詳解】

設(shè)OD、=DC1=CB、=B\—1,則CCj=k、,BBX=k?、A4,=k3,

DDi+CC\+BB、+AA

依題意，有七-0.2=匕,&-0.1=融，且=0.725,

OD、+DC、+CB]+BA]

…0.5+3七—0.3八……八八

所以-------------=0.725,故%=0.9,

4

故選：D

2.（2022?全國?高考真題（理））嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛

行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛〃｝：4=1+1，2-+/+_L，

11

a2

a=[+--------—

%+——p，…，依此類推，其中&eN*（A=l,2,…）.則（）

Ct-y+---

A.B.b3VbsC.b6<b2D.々<4【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)4eN>(R=l,2,…)，再利用數(shù)列出｝與4的關(guān)系判斷出｝中各項的大小，即可求解.

【詳解】

解:因為%eN*(%=1,2,…)，

11

-->-----i-

所以％<%+一,%a：，得到4>b?,

a,%T

%

11

Ct.H—>aH-----：-

同理?,〃+1,可得用<么，仇>&

%

1111

--->—j—,%+?----「</+——j—

又因為心a,+——--a、4—a?+———

Q-%-%+_L

%%

故4,4>4;

以此類推,可得。>么>么>&>…,可>4,故A錯誤;

故B錯誤;

1

—>-----

%%+——[，得h<4,故C錯誤;

a3+…——

4

11

%+------j—>/+---------j-

%+-----j-%+…-----「，得白，故口正確.

。3+--+--

a4a7

故選：D.

3.(2022,全國?高考真題(文))已知等比數(shù)列｛4｝的前3項和為168,a2-a｝=42,則6=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為夕國力0，易得q*l,根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.

【詳解】

解：設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4國工0,若g=i,則%-%=o,與題意矛盾,

所以4工1,

%(1-叫4=96

4+凡+%=---.--6-8,解得.

則1一夕1

4q=3

a2-a5=a]q-a}q=42

所以％=4/=3.

故選:D.

4.(2021?北京?高考真題)《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色

黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長4,。3M4，%(單位:cm)成等差數(shù)列，對應(yīng)的寬為

〃也也也,4(單位:cm),且長與寬之比都相等，已知4=288,a,=96,。=192,則4=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】

【分

設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d,求得d=T8,得到%=192,結(jié)合黨旗長與寬之比都相等和4=192,列出方程，即可求

解.

【詳解】

由題意，五種規(guī)格黨旗的長4,(單位:cm)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

因為4=288,%=96,可得~:=963?80=—48,

可得。3=288+0-1)x(-48)=192,

又由長與寬之比都相等，且偽=192,可得，=譽，所以好殳色」黑：92=]28

仄by4288

故選：C.

5.(2021?北京?高考真題)已知｛可｝是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且％23,若“,+%+…+%=100,則〃的最大值為

()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

使數(shù)列首項、遞增幅度均最小，結(jié)合等差數(shù)列的通項及求和公式求得”可能的最大值，然后構(gòu)造數(shù)列滿足條件，即

得到〃的最大值.

【詳解】若要使“盡可能的大，則里，遞增幅度要盡可能小，

不妨設(shè)數(shù)列｛%｝是首項為3,公差為1的等差數(shù)列，其前〃項和為

3+14

則.=i?+2,電=^^12=102>100.

所以"W11.

對于.=抑+2,A=qixU=88<100,

取數(shù)列｛4｝各項為4=J?+2(〃=L2,...1O),4=25,

貝ij%+w+…+q]=1(X),

所以”的最大值為11.

故選：C.

6.(2021?全國?高考真題(文))記S,,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和.若$2=4,S4=6,則$6=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題目條件可得邑，S4~S2,4-S4成等比數(shù)列，從而求出品-$4=1，進一步求出答案.

【詳解】

回S.為等比數(shù)列｛q｝的前，7項和，

回邑，S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列

0S,=4,S4-S2=6-4=2

0S6-S4=1,

SS6=l+S4=l+6=7.

故選：A.

7.（2021?全國?高考真題（理））等比數(shù)列｛q｝的公比為q,前〃項和為S“，設(shè)甲：4>0,乙：｛S,,｝是遞增數(shù)列，

則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】當(dāng)4>。時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當(dāng)｛S,,｝是遞增數(shù)列時，必有?！?gt;0成立即可說明4>0成

立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案.

【詳解】

由題，當(dāng)數(shù)列為-2,-4,-8,…時，滿足4>0,

但是｛Sj不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.

若｛S,｝是遞增數(shù)列，則必有為>0成立，若4>0不成立，則會出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則。>0成立，所

以甲是乙的必要條件.

故選：B.

【點睛】

在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程.

8.（2022?上海?高考真題）已知a>b>c>4,下列選項中正確的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>beD.aobd

【答案】B

【解析】

【分析】

用不等式的基本性質(zhì)得解.

【詳解】

Q3>2>l>0,（□.3+0=24-1,3x0<2xl,A、C錯

（2a>h>c>d,>ci>c,h>d,所以a+c>Z?+d.B正確.

Q30>2>—l>—2,但30X（-1）<2X（—2）,D錯.

故選B

9.（2021?全國?高考真題（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.丫=卜也小|^|

4

C.y=2'+22TD.y=lnx+——

Inx

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出仇。不符合題意，

C符合題意.

【詳解】對于A,y=x2+2x+4=（x+l）2+3>3,當(dāng)且僅當(dāng)x=-l時取等號，所以其最小值為3,A不符合題意；

對于B,因為0<同11X41,），=卜inx|+島224=4,當(dāng)且僅當(dāng)卜inx|=2時取等號，等號取不到，所以其最小值

不為4,B不符合題意；

對于C,因為函數(shù)定義域為R,而2、>0，產(chǎn)2'+22-'=2'+924=4,當(dāng)且僅當(dāng)2，=2,即x=l時取等號，所

以其最小值為4,C符合題意；

對于D,y=lnx+——,函數(shù)定義域為（0,l）U（L+°°），而InxwR且InxHO,如當(dāng)lnx=-l,v=-5,D不符合題意.

Inx

故選：C.

【點睛】

本題解題關(guān)鍵是理解基本不等式的使用條件，明確"一正二定三相等"的意義，再結(jié)合有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)即可解出.

二、多選題

10.（2021?全國?高考真題）設(shè)正整數(shù)”=旬?2°+4/2+...+4_「21+%",其中4To,1},記

磯〃）=4+4+…貝I］（）

A.69（2/?）=&>（?）B.6y（2”+3）=0（”）+1

C.0（8〃+5）=<w（4〃+3）D.0（2"-1）=〃

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用。（〃）的定義可判斷ACD選項的正誤，利用特殊值法可判斷B選項的正誤.

【詳解】

X']J'A選項，=4+。]+???+,2H=&,2,+4,2~+…+怎_1?2"+a*,2*+l,

所以,6y（2〃）=%+O]+…+%=0（〃）,A選項正確;

對于B選項，取〃=2,2〃+3=7=卜2°+1"+1",，⑼7）=3,

而2=0?2°+12,則。（2）=1,即。（7）/。（2）+1,B選項錯誤;

}4M234k+3

對于C選項，Sn+5=a0-2+at-2+---+ak-2+5=]-2°+\-2+a0-2+ac2+---+ak-2,

所以，3（8"+5）=2+4+qH----i-ak,

23+20l23+2

4/7+3=a0-2+iZ]-2+-..+ar2*+3=l-2+l-2+a0-2+?l-2+...+6zr2*,

所以，3（4〃+3）=2+/+q+…+4,因此，3（8〃+5）=3（4〃+3）,C選項正確；對于D選項，2"-1=20+2'+---+2"~'>

故。（2"-1）=〃，D選項正確.

故選：ACD.

1L（2022?全國?高考真題）若x,y滿足Y+丁-盯=1,則（）

A.x+y41B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】

因為"審）<^^L（a,htR）,由/+/_孫=1可變形為，a+y『_]=3孫，解得-24x+y42,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=T時，x+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B正確；

由x、y2-肛=i可變形為卜2+）,2）_]=盯《=￡,解得/+丁42,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時取等號，所以C正確；

、24rr]2

因為―+丁-孫=1變形可得x--|-1+~y2=1J設(shè)x—g=cose，Ty=sing,所以x=cos6+耳sin6,y=耳$皿8,

521

因此/+y2=cos2+-sin2O+-j=s\n0cos0=\+-j=sin20--cos20+-

33

=l+|sin（20-^6r1,2L所以當(dāng)x=3,y=-3時滿足等式，但是/+不成立，所以D錯誤.

33I6八3」33

故選：BC.

三、雙空題

12.（2021?全國?高考真題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格

為20dmx12dm的長方形紙，對折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

Sl=240dm-,對折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和

2

52=180dm,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折〃次，那么￡$?=

k=\

dm2.

【答案】5720」§粵）

【解析】

【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得5,,再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.

【詳解】

（1）由對折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：

-xl2,5x6,10x3：20x-,共4種不同規(guī)格（單位dn?）；

故對折4次可得到如下規(guī)格：j5xl2,|5x6,5x3,10x3p20x（3,共5種不同規(guī)格；

（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為g

的等比數(shù)列，首項為120（5叫,第〃次對折后的圖形面積為120x（；，，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，

根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為〃+1種（證明從略），故得猜想=

J120x2120x3120x4T120（H+1）

120x2120x3l20n1205+1)

5=----：----1----------F…H----：—F

嗚2'222'i2“

兩式作差得:

120(〃+1)

l5=240+120[l+±+...U120(〃+1)

-T-~T-

=36。導(dǎo)出第為3

閨葉c-790240（〃+3）15（〃+3）

I人IIrL,3-72。-72（）?

2"2"4

故答案為：5；720」5（：：3）

0“一4

【點睛】

方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：

（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解;

（2）對于｛凡d｝結(jié)構(gòu)，其中｛4｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；

（3）對于｛%+%｝結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；

⑷對■于［結(jié)構(gòu)，其中仇｝是等差數(shù)列，公差為d（dxo）,則一!一=:'—-匚，利用裂項相消法求和.

dya???+1）

四、填空題

13.（2022?全國?高考真題（文））記S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項和.若2s3=35+6,則公差d=

【答案】2

【解析】

【分析】

轉(zhuǎn)化條件為2（4+加）=羽+d+6,即可得解.

【詳解】

由2s3=3S2+6uj■得2（4+%+4）=3（4+0,）+6,化簡得2%=q+%+6,

即2（4+%）=24+d+6,解得"=2.

故答案為：2.

14.（2022?上海?高考真題）不等式上」<0的解集為.

x

【答案】e0。<1｝

【解析】

【分析】

根據(jù)分式的運算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.

【詳解】

x-\fx-l<0fx-l>0

:—<0=八或八，解第一個不等式組，得0<xvl,第二個不等式組的解集為

x[x>0[x<0

故答案為：｛%|0<%<1｝

【點睛】

本題考查了分式不等式的解集，考查了數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2021?天津?高考真題）若a>0,b>0,則十+*+6的最小值為.

【答案】2及

【解析】

【分析】

兩次利用基本不等式即可求出.

【詳解】

,:a>0,b>0,

6+黃+通行\(zhòng)方=觸22商=26當(dāng)且僅當(dāng)十哈且￡=也即〃=/2=正時等號成立，

所以+的最小值為2&.

故答案為：2夜.

五、解答題

16.（2022?全國?高考真題）已知｛4｝為等差數(shù)列，也｝是公比為2的等比數(shù)列，且%-%=%-仇=用-

⑴證明：%="；

（2）求集合卜期=4+4，14加4500｝中元素個數(shù).

【答案】⑴證明見解析；

(2)9.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)數(shù)列｛/｝的公差為d，根據(jù)題意列出方程組即可證出：

(2)根據(jù)題意化簡可得加=21，即可解出.

⑴

,、fa+d-2b.=a,+2J-4/7.j

設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d，所以，ja+1_24=8：_(”+3])’即可解得，4=0=]，所以原命題得證.

(2)

由(1)知，b1=a、=g,所以4=a,“+4X2?T=4+(加一1)4+4,即2"'=2相，亦即加=2*々w[l,500],解得

24&410,所以滿足等式的解％=2,3,4,…,10,故集合的。=。,“+%14,公500川」的元素個數(shù)為10-2+1=9.

17.(2022?全國?高考真題)記S“為數(shù)列｛4｝的前〃項和，已知4=1,|肅|是公差為;的等差數(shù)列.

⑴求｛4｝的通項公式；

111c

(2)證明：一+—+…+?—<2.

q%

【答案】(1)4=岑D

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項公式求得顯=1+：(”-1)=手，得到$“=(〃+2)%,利用和與項的關(guān)系得到當(dāng)

433"3

“22時，4=S,—S,-=,進而得:B=善’利用累乘法求得叫詈，檢驗對于相=1也

成立，得到｛4｝的通項公式a“=*D；

(2)由(1)的結(jié)論，利用裂項求和法得到,+'+…+,=2(1二)，進而證得.

%a2an\n+1)

(1)

S

L

團4=1,團S]=4=1,0—=l/

%

又回[1]是公差為:的等差數(shù)列，

3

S“..1/i\〃+2+

OU=§("_)二亍'回'

J

回當(dāng)”22時.，S“_1,

〃+2”“+

圖q=S—S.=

nnn-l-33

整理得：(/7-l)a?=(n+l)a?_,

a?〃+1

即亡E

a,a.a.an

團〃〃=axx上x-x...x———

4a2an-2an-\

,34nn+\H(?+1)

=lx—x—x...x---x----=-----

23ft—2n—12

顯然對于〃=1也成立，

帆％｝的通項公式%=當(dāng)W;

(2)

1扃=2小?尾+".'=2L+D+.f]]=2(「舟<2

18.（2022?全國?高考真題（理））記S,,為數(shù)列｛叫的前〃項和.已知3+〃=2a“+l.

n

⑴證明：｛%｝是等差數(shù)列；（2）若包,%,%成等比數(shù)列，求S,,的最小值.

【答案】⑴證明見解析；

⑵-78.

【解析】

【分析】

（1）依題意可得2s"+"2=2也"+",根據(jù)為=二、，，作差即可得到4-4“=1,從而得證;

S-S,,?>2

（2）山（1）及等比中項的性質(zhì)求出6,即可得到｛4｝的通項公式與前”項和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.

（1）

2V

解：因為一+〃=2a“+l,B[J2S?+n2=2nG?+M（l）,

n

當(dāng)“N2時，2s,T+（〃-l）2=2（“_l）/T+（〃-l）②，

①—②得，2S"+”2_2S,I—1)2=2也“+”—2(N-1)4T-(”一1)，

即2an+2n-\-2nan-2（/i-l）a/i_l+1,

即2（〃-1）氏一2（〃-=2（〃-1）,所以“22且〃eN*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

⑵

解：由（1）可得%=4+3,%=4+6,%=4+8,

又知,?7,“9成等比數(shù)列，所以％2=%.%，

即（4+6）2=（4+3）?+8）,解得4=-12,

2、1_iog、i。，??(n-l)12251(25?625

川T以〃“一〃-13,川］以S“=—12〃H-----------=—n~---n=—\n--------，

“2222(2J8

所以，當(dāng)〃=12或〃=13時(S.)1nhi=-78.

19.(2021?全國?高考真題)記S,,是公差不為。的等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，若43=55，%%=54.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式凡；

(2)求使S“>%成立的〃的最小值.

【答案】(1)““=2〃-6；(2)7.

【解析】

【分析】

⑴由題意首先求得4的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項公式；

⑵首先求得前n項和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】

(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:$5=5%,則:(h=5a3,:.a3=0,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有：02a4=(4—d)(4+d)=-筋，

$4=4+%+%+%=(%一24)+3-”)+%+(4-d)=-2d,

從而：—屋=-2d,由于公差不為零，故：<7=2,

數(shù)列的通項公式為：q=%+(〃-3)△=2〃-6.

⑵由數(shù)列的通項公式可得：0=2-6=-4,則：S,=WX(-4)+W"X2=〃2-5〃，

則不等式即:n2-5M>2/7-6,整理可得:(n-l)(n-6)>0,

解得：或〃>6,又"為正整數(shù)，故〃的最小值為7.

【點睛】

等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能

靈活運用.

20.(2021?全國?高考真題(文))記S.為數(shù)列｛叫的前〃項和，已知4>0,%=3%且數(shù)列｛四｝是等差數(shù)列，證明：

｛%｝是等差數(shù)列.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分

先根據(jù)百-網(wǎng)求出數(shù)列｛瘋｝的公差d，進一步寫出｛四｝的通項，從而求出｛可｝的通項公式，最終得證.

【詳解】

回數(shù)列｛￡｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為&=至一蘇=不%+%_弧=如

回￡=施+(〃-1)底="底，(〃eN,)

2

團5“=a｝n,(?7eN")

團當(dāng)〃22時，an=Sn-5?_,=卬/一4(九一=2a｛n-q

當(dāng)”=1時，2qxl-q=4,滿足a.=2w，

帆?！埃耐椆綖閍“=2w-4，（”eN*）

回a“-%=（2%〃-4）-[2%（〃-1）一4]=24

回｛4｝是等差數(shù)列.

【點睛】

在利用4,=S,-S,i求通項公式時一定要討論n=1的特殊情況.

21

21.（2021?全國?高考真題（理））記S”為數(shù)列｛4｝的前〃項和，"為數(shù)列｛S,,｝的前〃項積，已知丁+百=2.

（1）證明：數(shù)列｛以｝是等差數(shù)列；

（2）求｛%｝的通項公式.

3,

—,n=1

2

【答案】（1）證明見解析；（2）1.

--7~

【解析】

【分析】

2]2b2b2b2b

（1）由已知不+=2得=—^-,￡L2#。，取〃=1,得々=<,山題意得病七'京七京七=%，消枳得到項

，肛一12物-122T22T

2bJ）

的遞推關(guān)系Lh=》，進而證明數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

[31

—,71=1

（2）由（1）可得。的友達(dá)式，由此得到Sn的表達(dá)式/然后利用和與項的關(guān)系求得見=；

--12

n[n+\）

【詳解】

（1）[方法一]:

21cc2aI

由已知不+祀=2得5〃=不鼻，且〃尸0,b產(chǎn)3,

7

取“=1,由E=4得4=全

由于"為數(shù)列⑸｝的前〃項積,

2b,2b.

所以西二T詬工

2b,2b、

所以布?布2%7向'

所以2%=媼

「2%-1b?1

山丁也+i*0

211

所以五二二7二初，即如一"二Q，其中

所以數(shù)列｛"｝是以4=3a為首項，以d=］1為公差等差數(shù)列；

【方法二］【最優(yōu)解】：由已知條件知〃=S「S「S3……S?.,-S?①

于是%=5「邑$…-S?.,（n>2）.②

由①②得9=5.③

Un-\

21c八

又不+廠2,④

nit

1

由③④得〃，-"l=2-

令〃=1,由S1=4，得仇=1.

所以數(shù)列｛〃｝是以I為首項，g為公差的等差數(shù)列.

［方法三］:

21S

由丁+7=2,得"=行"W，且S產(chǎn)0,…,S“#l.

又因為4=SJS,T……?耳=5”也1，所以〃1=?=萬二5，所以2-",1=芨々-瓦二5=戒三0=5（”*2）.

21c3

隹丁+7=2中，當(dāng)”=1時，=5,=-.

故數(shù)列也｝是以|■為首項，g為公差的等差數(shù)列.

［方法四］:數(shù)學(xué)歸納法

由己知尹卷=2,得S“=浣7優(yōu)=|,d=2,4=|,猜想數(shù)歹式包｝是以|為首項，g為公差的等差數(shù)列，

且4=］+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.

當(dāng)〃=1時顯然成立.

假設(shè)當(dāng)〃=0寸成立，即4=>+l,S*=*.

那么當(dāng)〃=K+1時，++D+

）攵+222

綜上，猜想對任意的"eN都成立.

即數(shù)列｛〃｝是以|?為首項，g為公差的等差數(shù)列.

（2）由（1）可得，數(shù)列｛〃｝是以々=：a為首項，以為公1差的等差數(shù)列，

二2b〃=2+〃

z

〃2hn-[\+n

3

當(dāng)n-1時，q=S[=/,

cc2+〃1+〃1

當(dāng)n>2時,4=S〃-S〃_1="了一：一二一而用，顯然對于n=l不成立，

[31

2

0??=11

1—〃（7~〃+1）

【整體點評】

（1）方法一從卷+看=2得5“=券p然后利用仇的定義，得到數(shù)列也｝的遞推關(guān)系，進而替換相除消項得到

相鄰兩項的關(guān)系，從而證得結(jié)論；

方法二先從"的定義，替換相除得到m一S,,再結(jié)合京+；=2得到從而證得結(jié)論，為最優(yōu)解；

方法三由號+《=2,得"=不三，由"的定義得〃1=去=/二，進而作差證得結(jié)論；方法四利用歸納猜想

b"2，,一2與3,一2

得到數(shù)列2=；〃+1,然后利用數(shù)學(xué)（H納法證得結(jié)論.

（2）由（1）的結(jié)論得到2=g〃+l,求得S”的表達(dá)武然后利用和與項的關(guān)系求得｛6,｝的通項公式；

22.（2021?全國?高考真題（理））已知數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，記S,為｛%｝的前〃項和，從下面①②③中選取兩

個作為條件，證明另外一個成立.

①數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列：②數(shù)列｛后｝是等差數(shù)列；③“2=34.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】證明過程見解析

【解析】

【分析】

選①②作條件證明③時，可設(shè)出底，結(jié)合見，S”的關(guān)系求出《,，利用｛%｝是等差數(shù)列可證的=3q；也可分別設(shè)

出公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進行證明.選①③作條件證明②時，

根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出￡,結(jié)合等差數(shù)列定義可證；

選②③作條件證明①時，設(shè)出瘋=曲+6,結(jié)合?！?，S,的關(guān)系求出%，根據(jù)%=3%可求6,然后可證｛4｝是等差

數(shù)列；也可利用前兩項的差求出公差，然后求出通項公式，進而證明出結(jié)論.

【詳解】

選①②作條件證明③：

[方法一]:待定系數(shù)法+。.與5”關(guān)系式

=an+b(a>0),則S“=(a"+0)2,

當(dāng)"=1時，，4=S［=(a+b)~；

2

當(dāng)“22時，an=S“-S“_1-(an+b)-(^an-a+by=a(2an-a+2b)；

因為｛%｝也是等差數(shù)列，所以(a+b)2=a(2a-a+?),解得〃=0：

所以%=/(2〃_1),a,=a2,故"2=3a2=3q.

［方法二］:待定系數(shù)法

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,等差數(shù)列｛￡｝的公差為4,

則瘋=弧+(〃-1)4，將5"="4+代入底=6+("T)4，

化簡得g〃2+1%-〃=d；/+卜荷4-2d：)〃+-dJ對于V〃eN+恒成立.

d=2d：,

則有<2q-3=4苑4-4小，解得4=百,"=2%.所以a2=3q.

、口=0,

選①③作條件證明②：

因為“2=34，｛《,｝是等差數(shù)列，

所以公差〃=的一4=24，

所以S〃=na+d=rra,即=屈n,

1"："x

因為67-底=相"+1)_%=用，

所以｛四｝是等差數(shù)列.

選②③作條件證明①：

［方法一］:定義法

設(shè)6^=。〃+。(。>0)，則s“=(an+h^2,

當(dāng)〃=］時，a,=S,=(a+b)~；當(dāng)“22時，an=Sn-S,,,.=^an+b\-(an-a+b^=a(2an-a+2h)；

因為%=3<2］,所以a(3a+?)=3(a+A)2,解得方=0或b=—與；

當(dāng)人=0時，4=/,%=/(2〃—1),當(dāng)〃22時，%-可」=2〃2滿足等差數(shù)列的定義，此時｛4｝為等差數(shù)列；

當(dāng)6=-弓?時，&=an+b=an-*i,6=-六。不合題意，舍去.

綜上可知｛4｝為等差數(shù)列.

【方法二］【最優(yōu)解】：求解通項公式

因為%=3q,所以&=亞,底=.+%=2苑,因為｛￡｝也為等差數(shù)列，所以公差4=瘋一同=>/］，所

22

以=施+("-1)4=〃施，故S"="Z，當(dāng)"22時，an=Slt-Sn_t=na］-(?-1)a,=(2?-1)a,,當(dāng)〃=1時，滿

足上式，故｛叫的通項公式為為=(2〃-1)4,所以a,1=(2〃-3兒，2a,,符合題意.

【整體點評】

這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，選①②時，法一:

利用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于〃的一次函數(shù)，直接設(shè)出瘋=加+優(yōu)。＞0),平方后得到5“的關(guān)系式，利用

S"二］

'''得到｛%｝的通項公式，進而得到％=3q,是選擇①②證明③的通式通法；法二：分別設(shè)出｛%｝

七一，1，〃之2

4｛5,,｝的公差，寫出各自的通項公式后利用兩者的關(guān)系，對照系數(shù),得到等量關(guān)系4=用，4=2q,進而得到外=3《；

選①③時，按照正常的思維求出公差，表示出凡及S，進而由等差數(shù)列定義進行證明；選②③時，法一：利

用等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于"的一次函數(shù)，直接設(shè)出點=曲+伙。＞0),結(jié)合4,S,,的關(guān)系求出根據(jù)%=3q

可求匕，然后可證｛4｝是等差數(shù)列；法二：利用底是等差數(shù)列即前兩項的差4=病-衣=飄■求出公差，然后

S,,/?=1,、

求出后的通項公式，利用q=J、.，求出｛%｝的通項公式，進而證明出結(jié)論.

3“c，〃—2

23.(2021?全國?高考真題(文))設(shè)｛叫是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列他,｝滿足么=瞥.己知外,3%，9%成等

差數(shù)列.

(1)求｛%｝和也｝的通項公式;

c

(2)記S〃和7；分別為｛4｝和也｝的前〃項和.證明：T〃＜=.

【答案】⑴4=(*',1=，；(2)證明見解析.

【解析】【分析】

(1)利用等差數(shù)列的性質(zhì)及可得到9/-6q+l=0,解方程即可；

(2)利用公式法、錯位相減法分別求出S”，，再作差比較即可.

【詳解】

(1)因為｛5｝是首項為1的等比數(shù)列且G，3/,9%成等差數(shù)列,

所以6a2=4+9%,所以6。悶=4+9a/,

即9/_6q+l=0,解得＜?=：,所以《,=(：)”',

所以么=拳=/?

(2)［方法一］:作差后利用錯位相減法求和

T12n-1n

1.=3+3+…+產(chǎn)+三，

f4l7+7+7+???+*),

123n111I10--1--2--n—\——

區(qū)=|二+q+q+…+^^+-^=222n

2(33233y?+++???+2H--

3"13"

0-11-12-1〃-1-I

設(shè)r=」■+」+」，⑧

+???+___，__2

"303'323z

0-1i,1

n-\—

則*于十?+常⑨

+?,■+_____2.

3〃

由⑧-⑨得/

_3

所以「-1"

“—4x3"-2x3'i_2x3"-'

qnnn

因此(一寸<0.

三-2X3”T2x3”

故看帶q.

［方法二］【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法

1x(1——)411n_1

證明：由(1)可得s“=--------j^—=-(1-^7)><?+…+-^+謙，①

1----

3

1.12〃一1n小

■=*+于+…+丁+產(chǎn)，②

GG，”2T1111n”一牙)n11n

①一②得手=鼻+至+予■+,,,+*-*?=-----1-----*?=不(1一至)一/，

Jj乙33

-3

31〃

所以(=小-菊)-K，

4JZ-J

山1“丁S”3八1、n3..1.n八

所以T-----=—(1------)--------------(1-----)=--------<0,

〃n243“2?3”43“2?3"

所以《吟.

［方法三］:構(gòu)造裂項法

由(S)知”=“(g),

令cn=(cm+￡)(；)，且bn=c?-c,即咽=(即+陪)一[a(〃+l)+叫),

"+1，

通過等式左右兩邊系數(shù)比對?易得aq夕=］,所以%=序+胃］捫

則7；=4+4+…+2=q-*=,-((+］)&),下同方法二

［方法四］:導(dǎo)函數(shù)法

'幾工(一)

設(shè)/(x)=x+x92+Ja+…+爐=_\1---X”/,

1-X

r_i+"+l-（〃+1）