江西省上饒2024年高三數(shù)學第一學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若單位向量，夾角為，，且，則實數(shù)（）A．－1 B．2 C．0或－1 D．2或－13．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．4．我國著名數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就，哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”（注：如果一個大于的整數(shù)除了和自身外無其他正因數(shù)，則稱這個整數(shù)為素數(shù)），在不超過的素數(shù)中，隨機選取個不同的素數(shù)、，則的概率是（）A． B． C． D．5．已知集合，，若，則實數(shù)的值可以為（）A． B． C． D．6．記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．97．函數(shù)f(x)＝的圖象大致為()A． B．C． D．8．已知函數(shù)在上可導且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、9．已知，則，不可能滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．10．設(shè)，則復數(shù)的模等于()A． B． C． D．11．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）A． B． C． D．12．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．能說明“在數(shù)列中，若對于任意的，，則為遞增數(shù)列”為假命題的一個等差數(shù)列是______.（寫出數(shù)列的通項公式）14．已知二項式的展開式中各項的二項式系數(shù)和為512，其展開式中第四項的系數(shù)__________．15．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.16．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，若，且，，成等差數(shù)列，則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．18．（12分）已知數(shù)列滿足：，，且對任意的都有,（Ⅰ）證明：對任意，都有；（Ⅱ）證明：對任意，都有；（Ⅲ）證明：.19．（12分）已知橢圓，點為半圓上一動點，若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.（1）求證：；（2）當時，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù).21．（12分）在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，且滿足，求的面積.22．（10分）已知函數(shù)，為的導數(shù)，函數(shù)在處取得最小值．（1）求證：；（2）若時，恒成立，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

對分類討論，當，函數(shù)在單調(diào)遞減，當，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，求出單調(diào)遞增區(qū)間，即可求解.【詳解】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，的遞增區(qū)間是，所以，即.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性，熟練掌握簡單初等函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

利用向量模的運算列方程，結(jié)合向量數(shù)量積的運算，求得實數(shù)的值.【詳解】由于，所以，即，，即，解得或.故選：D【點睛】本小題主要考查向量模的運算，考查向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數(shù)的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.4、B【解析】

先列舉出不超過的素數(shù)，并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過的素數(shù)中，隨機選取個不同的素數(shù)、，滿足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過的素數(shù)有：、、、、、，在不超過的素數(shù)中，隨機選取個不同的素數(shù)，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共種情況，其中，事件“在不超過的素數(shù)中，隨機選取個不同的素數(shù)、，且”包含的基本事件有：、、、，共種情況，因此，所求事件的概率為.故選：B.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，一般利用列舉法列舉出基本事件，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由題意可得，根據(jù)，即可得出，從而求出結(jié)果．【詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【點睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運算．6、A【解析】

先令，找出的關(guān)系，再令，得到的關(guān)系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數(shù)列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.7、D【解析】

根據(jù)函數(shù)為非偶函數(shù)可排除兩個選項，再根據(jù)特殊值可區(qū)分剩余兩個選項.【詳解】因為f(－x)＝≠f(x)知f(x)的圖象不關(guān)于y軸對稱，排除選項B，C.又f(2)＝＝－<0.排除A，故選D.【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的對稱性及特值法區(qū)分函數(shù)圖象，屬于中檔題.8、A【解析】

設(shè)，利用導數(shù)和題設(shè)條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進而變形即可求解.【詳解】由題意，設(shè)，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.9、C【解析】

根據(jù)即可得出，，根據(jù)，，即可判斷出結(jié)果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，以及基本不等式：和不等式的應用，屬于中檔題10、C【解析】

利用復數(shù)的除法運算法則進行化簡,再由復數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因為,所以,由復數(shù)模的定義知,.故選:C【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算法則和復數(shù)的模;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

設(shè)球的半徑為R，根據(jù)組合體的關(guān)系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為.故選：C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學史了解，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率．【詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．【點睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、答案不唯一，如【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得到滿足條件的數(shù)列.【詳解】由題意知，不妨設(shè)，則，很明顯為遞減數(shù)列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對等差數(shù)列的概念和性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是假設(shè)出一個遞減的數(shù)列，還需檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

先令可得其展開式各項系數(shù)的和，又由題意得，解得，進而可得其展開式的通項，即可得答案.【詳解】令，則有，解得，則二項式的展開式的通項為，令，則其展開式中的第4項的系數(shù)為，故答案為：【點睛】此題考查二項式定理的應用，解題時需要區(qū)分展開式中各項系數(shù)的和與各二項式系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題.15、（或?qū)懗桑窘馕觥?/p>

設(shè)與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計算能力.16、.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），；（3）證明見解析．【解析】

（1）由的正負可確定的單調(diào)區(qū)間；（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導數(shù)的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；（3）由極值點的定義可知是的兩個不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時得到韋達定理的形式；化簡為，結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，當時，，，當和時，；當時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），所以（當且僅當，即時取等號），切線的斜率存在最小值，，解得：，，即切點為，從而切線方程，即：．（3），分別在，處取得極值，，是方程，即的兩個不等正根．則，解得：，且，．，，，即不等式成立．【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)證明不等式等知識；本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.18、（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】分析：(1)用反證法證明，注意應用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應用反證法證題的步驟；(2)將式子進行相應的代換，結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果；(3)結(jié)合題中的條件，應用反證法求得結(jié)果.詳解：證明：（Ⅰ）證明：采用反證法，若不成立，則若,則,與任意的都有矛盾；若,則有,則與任意的都有矛盾；故對任意，都有成立；（Ⅱ）由得，則，由（Ⅰ）知，，即對任意，都有；.（Ⅲ）由（Ⅱ）得：，由（Ⅰ）知，，∴，∴，即，若，則,取時，有，與矛盾.則.得證.點睛：該題考查的是有關(guān)命題的證明問題，在證題的過程中，注意對題中的條件的等價轉(zhuǎn)化，注意對式子的等價變形，以及證題的思路，要掌握證明問題的方法，尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分兩種情況討論：①兩切線、中有一條切線斜率不存在時，求出兩切線的方程，驗證結(jié)論成立；②兩切線、的斜率都存在，可設(shè)切線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出關(guān)于的二次方程，利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為，進而可得出結(jié)論；（2）求出點、的坐標，利用兩點間的距離公式結(jié)合韋達定理得出，換元，可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】（1）由于點在半圓上，則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時，可求得兩切線方程為，或，，此時；②當兩切線、的斜率都存在時，設(shè)切線的方程為（、的斜率分別為、），，，，.綜上所述，；（2）根據(jù)題意得、，，令，則，所以，當時，，當時，.因此，的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明，同時也考查了弦長的取值范圍的計算，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)求導后分析導函數(shù)的正負再判斷單調(diào)性即可.(2),有零點等價于方程實數(shù)根,再換元將原方程轉(zhuǎn)化為,再求導分析的圖像數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】（1）的定義域為,,當時,,所以在單調(diào)遞減；當時,,所以在單調(diào)遞增,所以的減區(qū)間為,增區(qū)間為.（2）,有零點等價于方程實數(shù)根,令則原方程轉(zhuǎn)化為,令,.令,,∴,,,,,當時,,當時,.如圖可知①當時,有唯一零點,即有唯一零點；②當時,有兩個零點,即有兩個零點；③當時,有唯一零點,即有唯一零點；④時,此時無零點,即此時無零點.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性的方法,同時也考查了利用導數(shù)分析函數(shù)零點的問題,屬于中檔題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)離心率以及，即可列方程求得，則問題得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達定理，根據(jù)題意中轉(zhuǎn)化出的，即可求