專題31中考熱點(diǎn)新定義問題專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）專題詮釋：新定義題型是近幾年來中考的熱點(diǎn)問題。它常集合數(shù)形結(jié)合思想，類比思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，方程思想，函數(shù)思想于一體。常以壓軸題身份出現(xiàn)。一．選擇題1．（2021?河北模擬）對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，我們定義符號(hào)max{x，y}的意義：當(dāng)x≥y時(shí)，max{x，y}＝x，當(dāng)x＜y時(shí)，max{x，y}＝y(tǒng)．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，則關(guān)于x的函數(shù)y＝max{3x，x+2}的圖象為（）A． B． C． D．思路引領(lǐng)：令3x＝x+2，解得x＝1，畫出直線y＝3x和直線y＝x+2的圖象即可判斷．解：令3x＝x+2，解得x＝1，直線y＝3x和直線y＝x+2的圖象如圖所示，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），由圖象可知，x＜1時(shí)，x+2＞3x；當(dāng)x＞1時(shí)，3x＞x+2，故關(guān)于x的函數(shù)y＝max{3x，x+2}的圖象是選項(xiàng)C中的圖象．故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查了函數(shù)的圖象，正確畫出函數(shù)圖象并得出交點(diǎn)坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．二．填空題2．（2021?深圳模擬）用“●”“□”定義新運(yùn)算：對(duì)于數(shù)a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，則（2020□2021）●（2021□2020）＝．思路引領(lǐng)：根據(jù)“●”“□”的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：∵a●b＝a，a□b＝b，∴（2020□2021）●（2021□2020）＝2021●2020＝2021．故答案為：2021．總結(jié)提升：本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，讀懂題目信息，理清新定義的運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．3．（2021?碑林區(qū)校級(jí)模擬）（正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，對(duì)角線BF的延長(zhǎng)線與邊DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則∠M的大小為．思路引領(lǐng)：根據(jù)正求出多邊形的內(nèi)角和公式∠DEF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠BFE，計(jì)算即可．解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∴∠FEM＝45°，∴∠DEF＝∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB＝∠BFG=12∠EFG＝∵∠BFE＝∠FEM+∠M，∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，∴∠M＝22.5°．故答案為：22.5°．總結(jié)提升：本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．4．（2019?福田區(qū)三模）對(duì)于m，n（n≥m）我們定義運(yùn)算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，請(qǐng)你計(jì)算A42＝．思路引領(lǐng)：將n＝4，m＝2代入公式求解可得．解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案為：12．總結(jié)提升：本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握新定義規(guī)定的運(yùn)算法則．5．（2022春?塔城地區(qū)期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“⊕”，其運(yùn)算規(guī)則為：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．則不等式x⊕4＞0的解集為．思路引領(lǐng)：根據(jù)新定義規(guī)定的運(yùn)算規(guī)則列出不等式，解不等式即可求得．解：不等式x⊕4＞0化為：2x+12＞0，2x＞﹣12，x＞﹣6，故答案為：x＞﹣6．總結(jié)提升：本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出關(guān)于x的不等式及解不等式的步驟．6．（2022秋?魏縣期中）若x是不等于1的實(shí)數(shù)，我們把11-x稱為x的差倒數(shù)，如2的差倒數(shù)是11-2=-1，﹣1的差倒數(shù)為11-(-1)=12，現(xiàn)已知x1=13，x2是x1的差倒數(shù)，x3是x2的差倒數(shù)，x4思路引領(lǐng)：根據(jù)差倒數(shù)的定義，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每3次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)一次，由此可得x2022＝x3＝﹣2．解：∵x1∴x2=11-13=32，x3∴每3次運(yùn)算結(jié)果循環(huán)出現(xiàn)一次，∵2022÷3＝674，∴x2022＝x3＝﹣2，∴x2022的值為﹣2，故答案為：﹣2．總結(jié)提升：本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過計(jì)算探索出運(yùn)算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．三．解答題7．（2021秋?漢陽(yáng)區(qū)期中）對(duì)任意一個(gè)四位數(shù)n，如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個(gè)位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．（1）請(qǐng)任意寫出兩個(gè)“極數(shù)”，；（2）猜想任意一個(gè)“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請(qǐng)說明理由；（3）如果一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D（m）=m33，則滿足D（m）是完全平方數(shù)的所有m的值是思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“極數(shù)”的定義，任意寫出兩個(gè)“極數(shù)”即可；（2）由“極數(shù)”的定義可得出n＝99（10a+b+1），進(jìn)而可得出任意一個(gè)“極數(shù)”都是99的倍數(shù)；（3）由（2）可得出D（m）＝3（10x+y+1），由D（m）為完全平方數(shù)，可得出10x+y+1＝12，10x+y+1＝27，10x+y+1＝48，10x+y+1＝75，解之可得出x，y的值，進(jìn)而可得出m的值，即可得出結(jié)論．解：（1）由“極數(shù)”的定義得，1287，2376，故答案為1287，2376；（2）任意一個(gè)“極數(shù)”都是99的倍數(shù)，理由如下：設(shè)任意一個(gè)“極數(shù)”為ab(9-a)(9-b)（1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b為整數(shù)），則ab(9-a)(9-b)=1000a+100b+10（9﹣a）+（9﹣b）＝990a+99b+99＝99（10a+b+1∵1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b為整數(shù)，∴10a+b+1是整數(shù)，∴任意一個(gè)“極數(shù)”都是99的倍數(shù)．（3）設(shè)四位數(shù)m為xy(9-x)(9-y)（1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y為整數(shù)），∵四位數(shù)m為“極數(shù)”，D（m）=m∴D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+∵D（m）是完全平方數(shù)，1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y為整數(shù)，∴10x+y+1＝3×4＝12，10x+y+1＝3×9＝27，10x+y+1＝3×16＝48，10x+y+1＝3×25＝75，∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7∴m可以為1188或2673或4752或7425．總結(jié)提升：本題考查了完全平方數(shù)以及倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)“極數(shù)”的定義，任意寫出兩個(gè)“極數(shù)”；（2）根據(jù)“極數(shù)”的定義，找出n＝99（10a+b+1）；（3）根據(jù)D（m）是完全平方數(shù)，找出10x+y+1的值．8．（2022秋?膠州市期末）《道德經(jīng)》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”道出了自然數(shù)的特征．在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)對(duì)其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時(shí)，我們研究了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等．現(xiàn)在我們來研究另一種特殊的自然數(shù)——“純數(shù)”．定義：對(duì)于自然數(shù)n，在計(jì)算n+（n+1）+（n+2）時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，則稱這個(gè)自然數(shù)n為“純數(shù)”．例如：32是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算32+33+34時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位；23不是“純數(shù)”，因?yàn)橛?jì)算23+24+25時(shí)，個(gè)位產(chǎn)生了進(jìn)位．（1）判斷2022是否是“純數(shù)”？請(qǐng)說明理由；（2）請(qǐng)直接寫出2023到2050之間的“純數(shù)”；（3）不大于100的“純數(shù)”的個(gè)數(shù)為．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)“純數(shù)”的定義判斷；（2）根據(jù)“純數(shù)”的定義求解；（3）根據(jù)“純數(shù)”的定義寫出數(shù)，再查個(gè)數(shù)．解：（1）∵計(jì)算2022+2023+2024時(shí)，各數(shù)位都不產(chǎn)生進(jìn)位，∴2022是“純數(shù)”；（2）2023到2050之間的“純數(shù)”有：2030，2031，2032，；（3）不大于100的“純數(shù)”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13個(gè)，故答案為：13．總結(jié)提升：本題考查了整式的加減，理解新定義是解題的關(guān)鍵．9．（2021?任城區(qū)二模）如果一個(gè)三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個(gè)三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．如圖1，對(duì)于△ABC，BC邊上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此時(shí)，稱△ABC是“BC邊半高三角形”，AD是“BC邊半高”；如圖2，對(duì)于△EFG，EF邊上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此時(shí)，稱△EFG是EF邊半高三角形，GH是“EF邊半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC邊半高三角形”，則AC＝cm；（2）若一個(gè)三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長(zhǎng)為2cm，則該等腰三角形底邊長(zhǎng)的所有可能值為．（3）如圖3，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線y＝x+2與拋物線y＝x2交于R，S兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線y＝x2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，且使得△RSQ為“RS邊半高三角形”．當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間，且PQ取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．思路引領(lǐng)：（1）設(shè)AC＝h，則BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；（2）分“半高”是底邊上的高、“半高”是腰上的高兩種情況，分別求解即可；（3）當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間時(shí)，與RS平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P′時(shí)，PQ取得最小值，即可求解．解：（1）設(shè)AC＝h，則BC＝2AC＝2h，由勾股定理得：h2+（2h）2＝102，解得：h＝25，故答案為25；（2）①當(dāng)“半高”是底邊上的高時(shí)，如圖1，AD是“半高”，AB、AC為等腰三角形的腰，由題意得：AD＝2，BC＝4；②當(dāng)“半高”是腰上的高時(shí)，如下圖，底邊為BC、“半高”CD為腰上的高，如圖2，當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，CD＝2，AB＝AC＝4，在Rt△ADC中，AD=AC2在Rt△BCD中，BC=BD2+CD如圖3，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，CD＝2，AB＝AC＝4，同理可得：BC＝26+22故答案為：4或26+22或26-2（3）將拋物線的表達(dá)式y(tǒng)＝x2與直線方程y＝x+2聯(lián)立并解得：x＝﹣1或2，即：點(diǎn)R、S的坐標(biāo)分別為（﹣1，1）、（2，4），則RS＝32，則RS邊上的高為：12×3則點(diǎn)Q在于RS平行的上下兩條直線上，如下圖，設(shè)直線RS與y軸交于點(diǎn)N，故點(diǎn)N作NQ⊥TQ于點(diǎn)Q，則NQ=322，則QT點(diǎn)T（0，5），則點(diǎn)M（0，5），點(diǎn)M于點(diǎn)T重合，則點(diǎn)Q的直線方程為：y＝x+5，當(dāng)該直線在直線RS的下方時(shí)，y＝x﹣1，故點(diǎn)Q所在的直線方程為：y＝x+5或y＝x﹣1；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P介于點(diǎn)R與點(diǎn)S之間時(shí)，設(shè)與RS平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P′的直線方程為：y＝x+d，將該方程與拋物線方程聯(lián)立并整理得：x2﹣x﹣d＝0，△＝1+4d＝0，解得：d=-1此時(shí)，x2﹣x+14=0，解得：點(diǎn)P′（12，14），此時(shí)，P（P′）總結(jié)提升：本題主要考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、根的判別式、三角形有關(guān)計(jì)算等，此類新定義型題目，通常按題設(shè)順序逐次求解．10．（2022春?梁平區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A（a，b），B（c，d），若點(diǎn)T（x，y）滿足x=a+c3，y=b+d3那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)例如：A＝（﹣1，8），B＝（4，﹣2），當(dāng)點(diǎn)T（x，y）滿足x=-1+43=1，y=8+(-2)3=2時(shí)，則點(diǎn)T（1，（1）已知點(diǎn)A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），請(qǐng)說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn)．（2）如圖，點(diǎn)D（3，0），點(diǎn)E（t，2t+3）是直線l：y＝2x+3上任意一點(diǎn)，點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)．①試確定y與x的關(guān)系式．②若直線ET交x軸于點(diǎn)H，當(dāng)∠TDH為直角時(shí)，求直線ET的解析式．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)點(diǎn)T是點(diǎn)A，B的融合點(diǎn)的定義判斷即可；（2）①根據(jù)融合點(diǎn)的定義，構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論；②圖中，當(dāng)∠TDH＝90°時(shí)，點(diǎn)T、D橫坐標(biāo)相同，再根據(jù)①中得到的橫縱坐標(biāo)關(guān)系即可求出點(diǎn)T坐標(biāo)，再根據(jù)融合點(diǎn)定義求出點(diǎn)E坐標(biāo)，求一次函數(shù)解析式即可．解：（1）∵A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），∴x=13×（﹣1+7）＝2，y=13∴點(diǎn)C是點(diǎn)A、B的融合點(diǎn)；（2）①∵點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)，∴x=13（3+t），y=13（∴y＝2x﹣1；②如圖，當(dāng)∠TDH＝90°時(shí)，∴點(diǎn)T、D橫坐標(biāo)相同，xT＝xD＝3，∴yT＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5，即T（3，5），∵點(diǎn)E（t，2t+3），點(diǎn)T（3，5），點(diǎn)D（3，0），且點(diǎn)T（x，y）是點(diǎn)D，E的融合點(diǎn)．∴3=13（3+∴t＝6，∴點(diǎn)E（6，15），設(shè)直線ET的解析式為：y＝kx+b，把E（6，15），T（3，5），代入得：6k+b=153k+b=5解得：k=10∴直線ET的解析式為：y=103x﹣總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，融合點(diǎn)的定義，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．11．（2019?浙江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為好點(diǎn)．點(diǎn)P為拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m+2的頂點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，求該拋物線下方（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù)．（2）當(dāng)m＝3時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求m的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）如圖1中，當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2+2，畫出函數(shù)圖象，利用圖象法解決問題即可．（2）如圖2中，當(dāng)m＝3時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結(jié)合圖象即可解決問題．（3）如圖3中，∵拋物線的頂點(diǎn)P（m，m+2），推出拋物線的頂點(diǎn)P在直線y＝x+2上，由點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F(xiàn)（2，2），觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外），求出拋物線經(jīng)過點(diǎn)E或點(diǎn)F時(shí)m的值，即可判斷．解：（1）如圖1中，當(dāng)m＝0時(shí)，二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x2+2，函數(shù)圖象如圖1所示．∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，2）和（1，1），觀察圖象可知：好點(diǎn)有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5個(gè)．（2）如圖2中，當(dāng)m＝3時(shí)，二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5．如圖2．∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4，∴拋物線經(jīng)過（1，1），（2，4），（4，4），根據(jù)圖象可知，拋物線上存在好點(diǎn)，坐標(biāo)分別為（1，1），（2，4），（4，4）．（3）由于0＜m＜2，取m＝1開始，發(fā)現(xiàn)拋物線內(nèi)有10個(gè)好點(diǎn)，不符合意思，所以拋物線向下并向左移動(dòng)，可得如圖3中，∵拋物線的頂點(diǎn)P（m，m+2），∴拋物線的頂點(diǎn)P在直線y＝x+2上，∵點(diǎn)P在正方形內(nèi)部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F(xiàn)（2，2），觀察圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在正方形OABC內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)時(shí)，拋物線與線段EF有交點(diǎn)（點(diǎn)F除外），當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)E時(shí)，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m=5-132當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)F時(shí)，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍棄），∴當(dāng)5-132≤m＜1時(shí)，頂點(diǎn)P在正方形OABC總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，好點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．12．（2022?亭湖區(qū)校級(jí)三模）定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，E，F(xiàn)分別是BD，AD上的點(diǎn)．求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形．（2）如圖2，在5×4的方格紙中，A，B在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF，使AB是鄰余線，E，F(xiàn)在格點(diǎn)上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取EF中點(diǎn)M，連接DM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)EF交AC于點(diǎn)N．若N為AC的中點(diǎn)，DE＝4BE，QB＝6，求鄰余線AB的長(zhǎng)．思路引領(lǐng)：（1）由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得AD⊥BC，則可得∠DAB與∠DBA互余，即∠FAB與∠EBA互余，從而可得答案；（2）畫出圖形即可．（3）先由等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，從而列出比例式，將已知線段的長(zhǎng)代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB與∠EBA互余，∴四邊形ABEF是鄰余四邊形；（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形AFEB為所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC∵QB＝6，∴NC=54∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108∴AB＝AC=108總結(jié)提升：本題考查了四邊形的新定義，綜合考查了等腰三角形的“三線合一“性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂定義并明確相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．13．（2021?南豐縣模擬）如果一個(gè)四邊形的對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)三角形，一個(gè)是等邊三角形，另一個(gè)是該對(duì)角線所對(duì)的角為60°的三角形，我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的理想對(duì)角線，這個(gè)四邊形稱為理想四邊形．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E為BC中點(diǎn)，連接DE．求證：四邊形ADEC為理想四邊形；（2）如圖2，△ABD是等邊三角形，若BD為理想對(duì)角線，為使四邊形ABCD為理想四邊形，小明同學(xué)給出了他的設(shè)計(jì)圖（見設(shè)計(jì)后的圖），其中圓心角∠BOD＝120°；請(qǐng)你解釋他這樣設(shè)計(jì)的合理性．（3）在（2）的條件下，①若△BCD為直角三角形，BC＝3，求AC的長(zhǎng)度；②如圖3，若CD＝x，BC＝y(tǒng)，AC＝z，請(qǐng)直接寫出x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系．思路引領(lǐng)：（1）證明△ACB∽△ADC，推出∠ADC＝∠ACB＝90°，再證明△CDE是等邊三角形即可．（2）如設(shè)計(jì)后的圖中，△ABD是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)C在BCD上時(shí)，∠DCB=12∠DOB＝（3）①分兩種情形：如圖3中，當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，如圖4中，當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，分別利用勾股定理求解即可．②以CD為邊作等邊△ECD，連接BE，作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F．利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理可得結(jié)論．解：（1）如圖1，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵E為BC中點(diǎn)，∴DE＝CE，∴△CDE是等邊三角形，∴四邊形ADEC為理想四邊形；（2）如設(shè)計(jì)后的圖中，△ABD是等邊三角形，OD＝OB，∠BOD＝120°，當(dāng)點(diǎn)C在BCD上時(shí)，∠DCB=12∠DOB＝60°，故四邊形（3）①當(dāng)∠CDB＝90°時(shí)，如圖3中，∵∠CDB＝90°，∠BCD＝60°，BC＝3，∴BD＝BC?sin60=332，∠CBD∵△ABD是等邊三角形，∴AB＝BD=332，∠ABD∴∠ABC＝90°，∴AC=A當(dāng)∠CBD＝90°時(shí)，如圖4中，同法可得AC=AD2綜上所述，AC的值為372或3②如圖5中，結(jié)論：x2+xy+y2＝z2．理由如下：以CD為邊作等邊△ECD，連接BE，作EF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F．∵∠EDC＝∠ADB＝60°，∴∠EDB＝∠CDA，∵ED＝CD，BD＝AD，∴△EDB≌△CDA（SAS），∴AC＝BE＝z，∵∠ECD＝∠DCB＝60°，CD＝CE＝x，∴∠ECF＝60°，∠CEF＝30°，∴CF=12EC=12x．EF=在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，∴z2＝（32x）2+（y+12x整理得：x2+xy+y2＝z2．總結(jié)提升：本題屬于四邊形綜合題，考查了理想四邊形的定義，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解并運(yùn)用新定義“理想四邊形”和“理想對(duì)角線”，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題．14．（2020?朝陽(yáng)區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射線OC上存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形，就稱點(diǎn)P為線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)．（1）如圖，t＝0，①若n＝0，則線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的坐標(biāo)是；②若n＜0，且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于1，求n的取值范圍；（2）若n=33，且射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)，則t的取值范圍是思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的定義可知OP＝AB＝2，由此即可解決問題．②如圖2中，當(dāng)OP＝AB時(shí)，作PH⊥x軸于H．求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，利用圖象法即可解決問題．（2）如圖3﹣1中，作CH⊥y軸于H．分別以A，B為圓心，AB為半徑作⊙A，⊙B．首先證明∠COH＝30°，∵由射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)，推出射線OC與⊙A，⊙B只有一個(gè)交點(diǎn)，求出幾種特殊位置t的值，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．解：（1）①如圖1中，由題意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵點(diǎn)P是線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案為（0，2）．②如圖2中，當(dāng)OP＝AB時(shí)，作PH⊥x軸于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=O觀察圖象可知：若n＜0，且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于1時(shí)，n＜-（3）如圖3﹣1中，作CH⊥y軸于H．分別以A，B為圓心，AB為半徑作⊙A，⊙B．由題意C（33，1∴CH=33，OH＝∴tan∠COH=CH∴∠COH＝30°，當(dāng)⊙B經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，B（﹣2，0），此時(shí)t＝﹣4，∵射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)，∴射線OC與⊙A，⊙B只有一個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象可知當(dāng)﹣4＜t≤﹣2時(shí)，滿足條件，如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí)，∵∠POB＝60°，此時(shí)兩圓的交點(diǎn)P在射線OC上，滿足條件，此時(shí)t＝0，如圖3﹣3中，當(dāng)⊙B與OC相切于P時(shí)，連接BP．∴OC是⊙B的切線，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝60°，∴OB=PBcos60°=43如圖3﹣4中，當(dāng)⊙A與OC相切時(shí)，同法可得OA=433，此時(shí)如圖3﹣5中，當(dāng)⊙A經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，A（2，0），此時(shí)t＝2，觀察圖形可知，滿足條件的t的值為：433-2＜t綜上所述，滿足條件t的值為﹣4＜t≤﹣2或t＝0或433-2＜t≤2故答案為：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或433-2＜t≤2或總結(jié)提升：本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的定義，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．15．（2022?房山區(qū)模擬）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形W1和圖形W2，給出如下定義：在圖形W1上存在兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A，B可以重合），在圖形W2上存在兩點(diǎn)M，N（點(diǎn)M，N可以重合）使得AM＝2BN，則稱圖形W1和圖形W2滿足限距關(guān)系．（1）如圖1，點(diǎn)C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），點(diǎn)P在線段CE上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)C，E重合），連接OP，DP．①線段OP的最小值為，最大值為；線段DP的取值范圍是；②在點(diǎn)O，點(diǎn)D中，點(diǎn)與線段DE滿足限距關(guān)系；（2）在（1）的條件下，如圖2，⊙O的半徑為1，線段FG與x軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)F，G，且FG∥EC，若線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)F橫坐標(biāo)的取值范圍；（3）⊙O的半徑為r（r＞0），點(diǎn)H，K是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以H，K為圓心，2為半徑作圓得到⊙H和⊙K，若對(duì)于任意點(diǎn)H，K，⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）①根據(jù)垂線段最短以及已知條件，確定OP，DP的最大值，最小值即可解決問題；②根據(jù)限距關(guān)系的定義判斷即可；（2）根據(jù)兩直線平行k相等計(jì)算設(shè)FG的解析式為：y=-33x+b，得G（0，b），F(xiàn)（3b，0），分三種情形：①線段FG在⊙O內(nèi)部，②線段FG與⊙O有交點(diǎn)，③線段FG與⊙（3）如圖3﹣1中，不妨設(shè)⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，根據(jù)⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系，構(gòu)建不等式求解即可．解：（1）①如圖1中，∵點(diǎn)C（3，0），E（0，1），∴OE＝1，OC=3∴EC＝2，∠ECO＝30°，當(dāng)OP⊥EC時(shí)，OP的值最小，當(dāng)P與C重合時(shí)，OP的值最大是3，Rt△OPC中，OP=12OC=32，即如圖2，當(dāng)DP⊥EC時(shí)，DP的值最小，Rt△DEP中，∠OEC＝60°，∴∠EDP＝30°，∵DE＝2，∴cos30°=DP∴DP2∴DP=3當(dāng)P與E重合時(shí)，DP的值最大，DP的最大值是2，∴線段DP的取值范圍是：3≤DP≤2故答案為：32，3，3≤DP≤②根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段DE上存在兩點(diǎn)M，N，滿足OM＝2ON，如圖3，故點(diǎn)O與線段DE滿足限距關(guān)系；根據(jù)限距關(guān)系的定義可知，線段DE上存在兩點(diǎn)M，N，滿足DM＝2DN，如圖3，故點(diǎn)D與線段DE滿足限距關(guān)系；故答案為：O和D；（2）∵點(diǎn)C（3，0），E（0，1），∴設(shè)直線CE的解析式為：y＝kx+m，∴3k+m=0m=1，解得：∴直線CE的解析式為：y=-33x∵FG∥EC，∴設(shè)FG的解析式為：y=-33x+∴G（0，b），F(xiàn)（3b，0），∴OG＝b，OF=3b當(dāng)0＜3b＜1時(shí)，如圖5，線段FG在⊙O內(nèi)部，與⊙O此時(shí)⊙O上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為1-3b，最大距離為1+3∵線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，∴1+3b≥2（1-3解得3b≥1∴b的取值范圍為13≤3b當(dāng)1≤3b≤6時(shí)，線段FG與⊙O有公共點(diǎn)，線段FG與⊙O當(dāng)3b＞6時(shí)，如圖6，線段FG在⊙O的外部，與⊙O沒有公共點(diǎn)，此時(shí)⊙O上的點(diǎn)到線段FG的最小距離為3b﹣1，最大距離為3b+1，∵線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，∴3b+1≥2（3b﹣1），而3b+1≥2（3b﹣1）總成立，∴3b＞6時(shí)，線段FG與⊙O滿足限距關(guān)系，綜上所述，點(diǎn)F橫坐標(biāo)的取值范圍是：3b≥1（3）如圖3﹣1中，不妨設(shè)⊙K，⊙H的圓心在x軸上位于y軸的兩側(cè)，兩圓的距離的最小值為2r﹣4，最大值為2r+4，∵⊙H和⊙K都滿足限距關(guān)系，∴2r+4≥2（2r﹣4），解得r≤6，故r的取值范圍為0＜r≤6．總結(jié)提升：本題屬于圓綜合題，考查了解直角三角形，垂線段最短，直線與圓的位置關(guān)系，限距關(guān)系的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建不等式解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．16．（2022?西城區(qū)校級(jí)模擬）點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐標(biāo)系中不同的兩個(gè)點(diǎn)，且x1≠x2．若存在一個(gè)正數(shù)k，使點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)滿足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，則稱P，Q為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，k叫做點(diǎn)P，Q的“限斜系數(shù)”，記作k（P，Q）．由定義可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．例：若P（1，0），Q（3，12），有|0-12|=14|1﹣3|，所以點(diǎn)P已知點(diǎn)A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12（1）在點(diǎn)A，B，C，D中，找出一對(duì)“限斜點(diǎn)”：，它們的“限斜系數(shù)”為；（2）若存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E，A是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，點(diǎn)E，B也是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且它們的“限斜系數(shù)”均為1．求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）⊙O半徑為3，點(diǎn)M為⊙O上一點(diǎn)，滿足MT＝1的所有點(diǎn)T，都與點(diǎn)C是一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且都滿足k（T，C）≥1，直接寫出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)定義通過計(jì)算求解即可；（2）設(shè)E（x，y），由題意可得|y|＝|x﹣1|，|y|＝|x﹣2|，求解方程即可求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）由題意可知C點(diǎn)在直線y＝﹣x上，T點(diǎn)在以M為圓心1為半徑的圓上，M點(diǎn)在以O(shè)為圓心3為半徑的圓上，則T點(diǎn)在以O(shè)為圓心2為半徑的圓上或以O(shè)為圓心4為半徑的圓上，當(dāng)T點(diǎn)在直線y＝﹣x上時(shí)，k＝1，再由k（T，C）≥1，可知T點(diǎn)在直線y＝﹣x的上方，T點(diǎn)在直線y＝﹣x的上方，直線y＝x﹣4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部．解：（1）A（1，0），C（2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，∴A、C為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為2；A（1，0），D（2，12），有|0-12|=1∴A、D為一對(duì)“限斜點(diǎn)”，且“限斜系數(shù)”為12故答案為：A、C或A、D，2或12（2）設(shè)E（x，y），∴|y|＝|x﹣1|，|y|＝|x﹣2|，∴|x﹣1|＝|x﹣2|，解得x=3∴y＝±12∴E（32，12）或（32（3）∵C（2，﹣2），∴C點(diǎn)在直線y＝﹣x上，∵M(jìn)T＝1，∴T點(diǎn)在以M為圓心1為半徑的圓上，∵M(jìn)點(diǎn)在以O(shè)為圓心3為半徑的圓上，∴T的軌跡是半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)，當(dāng)T點(diǎn)在直線y＝﹣x上時(shí)，設(shè)T（m，﹣m），∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，∴k＝1，∵k（T，C）≥1，∴T點(diǎn)在直線y＝﹣x的上方，直線y＝x﹣4的上方，半徑為2的圓和半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，如圖所示，∴-322≤x總結(jié)提升：本題考查圓的綜合應(yīng)用，弄清定義，熟練掌握?qǐng)A與直線的關(guān)系，絕對(duì)值方程的解法，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．17．（2020?密云區(qū)一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)P，給出如下定義：經(jīng)過點(diǎn)P且平行于兩坐標(biāo)軸夾角平分線的直線，叫做點(diǎn)P的“特征線”．例如：點(diǎn)M（1，3）的特征線是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若點(diǎn)D的其中一條特征線是y＝x+1，則在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三個(gè)點(diǎn)中，可能是點(diǎn)D的點(diǎn)有D2；（2）已知點(diǎn)P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夾角平分線的特征線與x軸相交于點(diǎn)A，直線y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點(diǎn)P，且與x軸交于點(diǎn)B．若使△BPA的面積不小于6，求k的取值范圍；（3）已知點(diǎn)C（2，0），T（t，0），且⊙T的半徑為1．當(dāng)⊙T與點(diǎn)C的特征線存在交點(diǎn)時(shí)，直接寫出t的取值范圍．思路引領(lǐng)：（1）畫出圖形，根據(jù)點(diǎn)的特征線的定義解決問題即可．（2）過點(diǎn)P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y＝﹣x+b，求出△PAB的面積為6時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求直線PB的解析式，結(jié)合圖形即可解決問題．（3）如圖3中，由題意點(diǎn)C的特征線的解析式為y＝x﹣2或y＝﹣x+2，設(shè)當(dāng)⊙T與直線y＝﹣x+2相切于點(diǎn)M時(shí)，當(dāng)⊙T′與直線y＝x﹣2相切于點(diǎn)N時(shí)，分別求出OT，OT′結(jié)合圖象即可解決問題．解：（1）如圖1中，觀察圖象可知，點(diǎn)D2的特征線是y＝x+1．故答案為D2．（2）如圖2中，設(shè)過點(diǎn)P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y＝﹣x+b，∴1+b＝2，∴b＝1，∴過點(diǎn)P平行于第二四象限角平分線的特征線的解析式為y＝﹣x+1，∴A（1，0），當(dāng)△BPA的面積＝6時(shí)，12?AB?2＝6∴AB＝6，∴B（﹣5，0）或（7，0），當(dāng)y＝kx+b′經(jīng)過P（﹣1，2），B（﹣5，0）時(shí)，-k+b'=2-5k+b'=0解得k=當(dāng)直線y＝kx+b′經(jīng)過P（﹣1，2），B（7，0）時(shí)，-k+b'=27k+b'=0，解得k=-觀察圖形可知滿足條件的k的值為-14≤k≤12（3）如圖3中，由題意點(diǎn)C的特征線的解析式為y＝x﹣2或y＝﹣x+2，當(dāng)⊙T與直線y＝﹣x+2相切于點(diǎn)M時(shí)，連接TM，在Rt△TCM中，∵∠TMC＝90°，∠MCT＝45°，∴MT＝MC＝1，∴TC=2TM=∴OT＝2-2，此時(shí)t＝2-當(dāng)⊙T′與直線y＝x﹣2相切于點(diǎn)N時(shí)，同理可得OT′＝2+2，此時(shí)t＝2+結(jié)合圖象可知滿足條件的t的值為：2-2≤t≤2總結(jié)提升：本題屬于圓綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，點(diǎn)P的“特征線”的定義，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題，屬于中考?jí)狠S題．18．（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)y＝x2+bx+c（x≥2）的圖象過點(diǎn)A（2，1），B（5，4）．（1）直接寫出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如圖，請(qǐng)補(bǔ)全分段函數(shù)y=-并回答以下問題：①寫出此分段函數(shù)的一條性質(zhì)：；②若此分段函數(shù)的圖象與直線y＝m有三個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，記（2）中函數(shù)的圖象與直線y=12x-1思路引領(lǐng)：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①根據(jù)函數(shù)圖象寫出性質(zhì)即可；②由圖象可求出m的取值范圍；（3）根據(jù)圖象求整點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4解得b=-6c=9∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式為y＝x2﹣6x+9；（2）如圖所示：①性質(zhì)：拋物線關(guān)于點(diǎn)（2，1）成中心對(duì)稱，故答案為：拋物線關(guān)于點(diǎn)（2，1）成中心對(duì)稱；②由圖象可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍為0＜m＜2；（3）如圖：由函數(shù)圖象可得：“W區(qū)域“內(nèi)所有整點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），（1，1）．總結(jié)提升：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的掌握和運(yùn)用．19．（2021春?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過⊙T（半徑為r）外一點(diǎn)P引它的一條切線，切點(diǎn)為Q，若0＜PQ≤2r，則稱點(diǎn)P為⊙T的伴隨點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，①在點(diǎn)A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴隨點(diǎn)是；②點(diǎn)D在直線y＝﹣x+3上，且點(diǎn)D是⊙O的伴隨點(diǎn)，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)d的取值范圍；（2）⊙M的圓心為M（m，0），半徑為3，直線y＝2x+3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．