第七章復(fù)數(shù)7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.2.2復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算，理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

復(fù)數(shù)的乘法法則

知識(shí)點(diǎn)

1設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________________.(ac－bd)＋(ad＋bc)i復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)

2對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝________結(jié)合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)分配律z1(z2＋z3)＝______________想一想：|z|2＝z2成立嗎？提示：不一定成立．例如|i|2＝1，而i2＝－1.z2·z1z1z2＋z1z3A2．復(fù)數(shù)(1＋i)2(2＋3i)的值為(

)A．6－4i B．－6－4iC．6＋4i D．－6＋4i[解析]

(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.故選D．D[拓展]

對(duì)復(fù)數(shù)乘法的三點(diǎn)說明(1)類比多項(xiàng)式運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類似，可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(i2換成－1)．(2)運(yùn)算律：多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立，乘法公式也適用．(3)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則

知識(shí)點(diǎn)

3[拓展]

對(duì)復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)說明(1)實(shí)數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，化簡后即得結(jié)果，這個(gè)過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似．(2)代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開．特別提醒：復(fù)數(shù)的除法類似于根式的分母有理化．C關(guān)鍵能力?攻重難A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i題|型|探|究題型一復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的乘法運(yùn)算典例1BD(3)若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)[分析]

利用乘法公式進(jìn)行運(yùn)算．B[歸納提升]

兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開．(2)再將i2換成－1.(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．

(1)(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)·(1－2i)＝(

)A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i(2)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是(

)A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)對(duì)點(diǎn)練習(xí)?DC[解析]

(1)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故選D．(2)A項(xiàng)，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是純虛數(shù)；B項(xiàng)，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)；C項(xiàng)，(1＋i)2＝2i,2i是純虛數(shù)；D項(xiàng)，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C．題型二復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算A．1 B．－1C．i D．－i(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i是虛數(shù)單位)，則z為(

)A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i[分析]

復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算就是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行．典例2DA[歸納提升]

1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟(1)首先將除式寫為分式．(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式

(1)已知復(fù)數(shù)z滿足i·z＝1－i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)等于(

)A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋iA．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限對(duì)點(diǎn)練習(xí)?BD題型三實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)根的問題

已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個(gè)根．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個(gè)根，并給予證明．[分析]

解決實(shí)系數(shù)一元二次方程的基本方法是復(fù)數(shù)相等的充要條件．典例3[解析]

(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.設(shè)另一個(gè)根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，∴x2＝－1－i是方程的另一個(gè)根．[歸納提升]

(1)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對(duì)出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a－bi是該方程的另一根．(2)和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)比，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，韋達(dá)定理和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發(fā)生改變了．

(多選題)方程x2－2x＋2＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為(

)A．1＋i B．1－iC．1＋2i D．1－2i[解析]

原方程Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，對(duì)點(diǎn)練習(xí)?AB易|錯(cuò)|警|示誤認(rèn)為|z|2＝z2

已知復(fù)數(shù)z滿足條件z2－|z|－6＝0，求復(fù)數(shù)z.[錯(cuò)解]

由z2－|z|－6＝0?(|z|－3)(|z|＋2)＝0.因?yàn)閨z|＋2≠0，所以|z|＝3.則在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上的所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)均符合要求．[錯(cuò)因分析]

本題將復(fù)數(shù)z的模等同于實(shí)數(shù)的絕對(duì)值，誤認(rèn)為|z|2＝z2.典例4[正解]

設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得故z＝3或z＝－3.[誤區(qū)警示]

設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi