常微分方程

OrdinaryDifferentialEquation教材(TextBook)<<常微分方程>>〔第三版〕

王高雄周之銘朱思銘王壽松編高等教育出版社課程評(píng)分方法(GradingPolicies)

LectureGrade(100)=DailyGrade(20)+FinalExam(80)二、如何學(xué)習(xí)常微分方程?1.課前預(yù)習(xí),培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣.聰明在于學(xué)習(xí),天才在于積累.學(xué)而優(yōu)那么用,學(xué)而優(yōu)那么創(chuàng).由薄到厚,由厚到薄.馬克思一門科學(xué),只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí),才能到達(dá)真正完善的地步.華羅庚2.認(rèn)真聽(tīng)課，養(yǎng)成正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣.3.課后復(fù)習(xí)，鍛造扎實(shí)的學(xué)習(xí)根底.常微分方程的根本情況介紹一、常微分方程模型例1試求作一曲線y=f(x)，使在其上每一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率均是該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，且過(guò)點(diǎn)(1,2)。例2物體冷卻問(wèn)題將某物體置于空氣中，在t＝0時(shí)刻時(shí)，測(cè)得它的溫度為u0=150oC。10分鐘后測(cè)得它的溫度為u1=100oC，試確定該物體溫度u與時(shí)間t的關(guān)系，并計(jì)算20分鐘后該物體的溫度。這里假定空氣的溫度始終保持為ua=24oC。

例3R－L－C電路問(wèn)題。如下圖，R－L－C電路是由電阻R、電感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路。其中，R、L、C常數(shù)，電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)：E=e(t)。試建立當(dāng)開(kāi)關(guān)K合上后電流I(t)應(yīng)滿足的微分方程。例4單擺運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

單擺是一根長(zhǎng)為l的線段的上端固定而下端系一質(zhì)量為m的擺錘的簡(jiǎn)單機(jī)械裝置。開(kāi)始時(shí)將單擺拉開(kāi)一個(gè)小角度φ0，然后放開(kāi)，使其在擺錘的重力作用下在垂直平面上擺動(dòng)。試建立單擺的運(yùn)動(dòng)方程。

此外，還有人口模型、傳染病模型、生物種群模型等

二、微分方程的根本概念和開(kāi)展歷史方程對(duì)于學(xué)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比方線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。解這類問(wèn)題的根本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的根本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式－－－即求解微分方程。

牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，在公元17世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。三、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來(lái)導(dǎo)出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問(wèn)題。2、利用數(shù)學(xué)分析或非線性分析理論來(lái)研究微分方程解的存在性、延展性、解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性問(wèn)題。3、微分方程解析理論由于絕大多數(shù)微分方程不能通過(guò)求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)〔即解〕的表示成級(jí)數(shù)形式，并引進(jìn)特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來(lái)，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論

1900年，希爾波特提出的23個(gè)問(wèn)題中的第16個(gè)問(wèn)題之一，至今未解決。4、微分方程的數(shù)值解法四、微分方程的講授內(nèi)容〔學(xué)時(shí)64〕1、根本概念2、一階微分方程的初等解法3、微分方程解的存在性理論4、高階線性方程5、線性微分方程組6、微分方程的定性穩(wěn)定性理論初步五、微分方程的教材特點(diǎn)1.1常微分方程的有關(guān)模型1.2常微分方程的有關(guān)概念1.3微分方程的開(kāi)展歷史本章主要內(nèi)容第一章緒論本章主要介紹微分方程、微分方程的解以及微分方程的階、解，微分方程組，動(dòng)力系統(tǒng)等有關(guān)概念，同時(shí)介紹一些有關(guān)的微分方程模型。同學(xué)們應(yīng)著重掌握微分方程的一些根本概念:解、通解、特解、階數(shù)、初值條件等，了解微分方程的有關(guān)模型。1、單種群增長(zhǎng)模型〔Logistic方程〕一、導(dǎo)出微分方程的一些實(shí)例§1.1微分方程的概念2、數(shù)學(xué)單擺模型凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔或微分〕的方程稱為微分方程。例如：1〕如果微分方程中未知數(shù)只依賴于一個(gè)自變量，稱為常微分方程。例如：二、微分方程的根本概念2〕如果微分方程中未知數(shù)依賴于兩個(gè)或更多的自變量，稱為偏微分方程。例如：注：我們不特別聲明，就稱常微分方程為微分方程或方程。方程的階數(shù)：一個(gè)微分方程中，未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階數(shù)。如果一個(gè)微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是線性的，那么稱它為線性微分方程，否那么稱之為非線性微分方程。一般的n階微分方程的形式為：其中：的函數(shù)。例如：是二階非線性微分方程。是變量解和隱式解：為方程的解。將其代入方程后，能使它變成恒等式，那么稱函數(shù)假設(shè)關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是為方程的隱式解。上述方程解稱設(shè)例：有隱式解（任意常數(shù)）上的解。例：是在是在上的解。是定義在區(qū)間〔a,b〕上的n階可微函數(shù)，把含有n個(gè)相互獨(dú)立的任意常數(shù)稱為n階方程的通解。的解n階方程的通解：若存在的一個(gè)鄰域，使得那么稱含有n個(gè)相互獨(dú)立的常數(shù)。例：是的通解。因?yàn)槎亟猓涸谕ń庵写_立了一組任意常數(shù)后所得的解稱為特解。定解條件：為了確定微分方程的一個(gè)特定的解，我們通常給出這個(gè)解所必需滿足的條件，這就是定解條件常見(jiàn)的定解條件是初始條件。是指如下的n個(gè)條件：的初始條件所謂階微分方程其中是給定的個(gè)常數(shù)。求微分方程滿足定解條件的解就是所謂的定解問(wèn)題。當(dāng)定解條件為初始條件時(shí)，相應(yīng)的定解問(wèn)題也就為初值問(wèn)題。例：驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解。滿足初始條件的解為微分方程的特解。初始條件不同，對(duì)應(yīng)的特解也不同。解：求出所給的函數(shù)導(dǎo)數(shù)把及的表達(dá)式代入方程，得因此，函數(shù)是微分方程的解。內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的根本概念線性微分方程，非線性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的階P272，3，4，6，8〔1〕〔3〕〔5〕初始條件作業(yè)微分方程的解，通解，特解牛頓(1642–1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家和自然科學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的卓越奉獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正并于1671他萊布尼茲(1646–1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家,哲學(xué)家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,

他在?學(xué)藝?雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓,

所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓.

他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī),

系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái).(雅各布第一·伯努利)

書(shū)中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年上的一件大事,而伯努利定理那么是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過(guò)十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外,他對(duì)雙紐線,懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究.歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學(xué)家.他寫(xiě)了大量數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,如?無(wú)窮小分析引論?,?微還寫(xiě)了大量力學(xué),幾何學(xué),變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁(yè)創(chuàng)造性的論文.他的最大奉獻(xiàn)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無(wú)窮級(jí)數(shù),微分方