4.2.1等差數(shù)列的概念第四章

數(shù)列2024/1/124.2等差數(shù)列高二數(shù)學(xué)備課組引

入事實(shí)下定義表示方法性質(zhì)特殊元素1.數(shù)列的定義：按確定的順序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做數(shù)列的項(xiàng).如果數(shù)列的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.數(shù)列的通項(xiàng)公式：3.數(shù)列的遞推公式：如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.問(wèn)題1請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？引

入

1.北京天壇圜丘壇的地面是由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外的石板數(shù)依次為

圜丘壇是我國(guó)明朝嘉慶年間建立的一個(gè)三層露天圓臺(tái)，別名祭天臺(tái)，有圜丘，皇穹宇、神廚、三庫(kù)及宰牲亭等組成。其位于天壇南部，為皇帝冬至日祭天大典的場(chǎng)所.9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

引

入2.XXS,XS,S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上對(duì)應(yīng)的意大利尺碼分別是：34，36，38，40，42，44，46，48②探究新知3.測(cè)量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大氣溫度，得到從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：

25，24，23，22，21．

③4.某人向銀行貸款a萬(wàn)元，貸款時(shí)間為n年，如果個(gè)人貸款月利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開(kāi)始，每月應(yīng)還本金b(=a/12n)元，每月支付給銀行的利息(單位:元)依次為

ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④探究新知對(duì)于數(shù)列①，我們發(fā)現(xiàn)：18＝9＋9，27＝18＋9，…，81＝72＋9，換一種寫(xiě)法，就是：18－9＝9，27－18＝9，…，81－72＝9.如果用{an}表示數(shù)列①，則有：a2－a1＝9，a3－a2＝9，…，a9－a8＝9.9，18，27，36，45，54，63，72，81.①

34，36，38，40，42，44，46，48②25，24，23，22，21．

③ar,ar-br,ar-2br,ar-3br,...④問(wèn)題1請(qǐng)看下面幾個(gè)問(wèn)題中的數(shù)列，你能發(fā)現(xiàn)他們的規(guī)律嗎？追問(wèn)：你能寫(xiě)出它的遞推公式嗎？從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).數(shù)列②—④也有這樣的取值規(guī)律an+1-an=9探究新知

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.【注意】①判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，由定義判斷：an+1-an是不是同一個(gè)常數(shù)？②公差d是每一項(xiàng)（第2項(xiàng)起）與它的前一項(xiàng)的差，千萬(wàn)別把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒了！?、酃羁梢允钦龜?shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0.1.等差數(shù)列的定義

這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.符號(hào)表示：an+1-an=d（d為常數(shù)，n∈N*）例如數(shù)列①②③④的公差依次為9,2,-0.6,-br.探究新知1.判斷對(duì)錯(cuò)：1.常數(shù)列是等差數(shù)列.()2.若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.()

差都是同一個(gè)常數(shù).3.數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝1(n＞1)，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列.(){an}不一定是等差數(shù)列，忽略了第1項(xiàng).4.數(shù)列a，2a，3a，4a，…是等差數(shù)列

（

）5.數(shù)列a－2，2a－3，3a－4，4a－5，…是等差數(shù)列（

）6.若an－an+1=3（n∈N*），則{an}是公差為3的等差數(shù)列（

）7.若a2－a1=a3－a2，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列（

）√××√√××探究新知2.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列，若是，求出首項(xiàng)和公差（1）1，3，5，7，9，2，4，6，8，10（2）3，3，3，3，3，3（3）3x，6x，9x，12x，15x（4）95，82，69，56，43，30（5）1，，，，（6）1，－2，3，－4，5，－6（7）a1=3，公差d=0常數(shù)列a1=3x公差

d=3x×a1=95公差

d=－13××a1=1公差

d=探究新知3.在如下的兩個(gè)數(shù)之間，插入一個(gè)什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列：（1）2，（），4（2）-12，（），03-6由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng).2.等差中項(xiàng)由等差數(shù)列的定義可知問(wèn)題2如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿足什么條件？由等差數(shù)列的定義，有：A－a＝b－A，所以2A＝a＋b，即探究新知練習(xí)3寫(xiě)出等差中項(xiàng)（1）2，___，4；（2）－1，___，5；（3）a

，_______，b；（4）0，___，0.320例題講解

a2=a1+da3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2da4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d

…an=an-1+d=a1+（n-1）d（n≥2）又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立∴an=a1+（n-1）d方法1：由等差數(shù)列的定義可得不完全歸納法an+1-an=d問(wèn)題3

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？例題講解

問(wèn)題3

你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？∴a2-a1=da3-a2=da4-a3=d

…an-an-1=d（n≥2）累加以上n-1個(gè)式子得an-a1=（n-1）d方法2：∵由等差數(shù)列的定義可得累加法又∵當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立

∴an=a1+（n-1）dan+1-an=d∴

an=a1+（n-1）d例題講解練習(xí)4求下列等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）9，18，27，36，45，54，63，72...（2）38，40，42，44，46，48...（3）25，24，23，22，21.

（1）an=9+（n－1）×9=9n

（2）an=38+（n－1）×2=2n+36（3）an=25+（n－1）×（-1）=－n+26(1)可以由首項(xiàng)和公差求出等差數(shù)列中的任一項(xiàng)；3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a1

、an、n、d知三求一首項(xiàng)a1公差d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為(2)已知等差數(shù)列的任意兩項(xiàng)，就可以求出首項(xiàng)和公差從而可求等差數(shù)列中的任一項(xiàng)；通項(xiàng)公式的一般形式：an＝am＋（n－m）d(3)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)，也可判斷某數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)及是第幾項(xiàng)．例題講解①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)（n，an）組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b（k，b為常數(shù)），則f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b}，其首項(xiàng)為_(kāi)_______，公差為_(kāi)___.（k＋b）k4.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系問(wèn)題4

我們知道數(shù)列是自變量為n的函數(shù)，你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類(lèi)函數(shù)有關(guān)？

an＝a1＋（n－1）d=dn＋（a1－d）③等差數(shù)列{an}的單調(diào)性與公差d有關(guān).當(dāng)d>0時(shí)，等差數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；

當(dāng)d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為常數(shù)列；

當(dāng)d<0時(shí)，等差數(shù)列{an}為遞減數(shù)列．

課堂練習(xí)在數(shù)列{an}中,

an=pn+q(p、q是常數(shù))，證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列.證明:an+1-an=[p(n+1)+q]-(pn+q)

=

p(n∈N*),故該數(shù)列為等差數(shù)列.結(jié)論：數(shù)列{an}是等差數(shù)列?an=pn+q(p、q是常數(shù)).課堂練習(xí)

方法符號(hào)語(yǔ)言結(jié)論定義法{an}是等差數(shù)列等差中項(xiàng)法通項(xiàng)公式為

n

的一次函數(shù)判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列有以下方法：探究新知例1(1)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求{an}公差和首項(xiàng);

(2)求等差數(shù)列8，5，2，···的第20項(xiàng).解:(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)

＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，

a1＝5－2＝3.∴{an}公差為－2，首項(xiàng)為3.(2)由已知條件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋

(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.例題講解在下列等差數(shù)列{an}中，（1）已知a1=2，d=3，n=10，求a10解：a10=a1+9d=2+9×3=29（2）已知a1=3，an=21，d=2，求n解：∵21=3+（n-1）×2∴n=10（3）已知a1=12，a6=27，求d解：∵a6=a1+5d，即27=12+5d

∴d=3（4）已知d=-1/3，a7=8，求a1解：∵a7=a1+6d8=a1+6×（-1/3）∴a1=10探究新知例2－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，···的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？解:由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4，得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

an＝a1＋(n－1)d

＝－5－4(n－1)＝－4n－1.

設(shè)

－4n－1＝－401，解得

n＝100.

∴－401是這個(gè)數(shù)列第100項(xiàng).變式已知在等差數(shù)列{an}中，a15＝33，a61＝217，試判斷153是不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？例題講解3.已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，請(qǐng)?jiān)谙卤碇械目崭裉幪钊脒m當(dāng)?shù)臄?shù).4.已知在等差數(shù)列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12.

求a4.a1a3a5a7d－782－6.515－11－24例題講解5.在7和21中插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.例題講解

6.

在等差數(shù)列中，已知a5=10，a12=31，求首項(xiàng)與公差.解：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1與公差為d由題意可知即這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是-２，公差是３.

解得探究新知思考:an=a1

+(n-1)dam=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dd=an-am

/(n-m)am=?an-am

=?an

=am+(n-m)d例題講解

等差數(shù)列的判定與證明例題講解等差中項(xiàng)的性質(zhì)例4

已知遞減等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)和為18，前三項(xiàng)的乘積為66.求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷－34是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？解：設(shè)等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為

，

，

，即

，

，.則

，解得

，又∵{an}是遞減等差數(shù)列，所以d<0.故

，

，通項(xiàng)公式.令

，解得

，所以-34是數(shù)列的第10項(xiàng).課堂練習(xí)(1)在等差數(shù)列中，由定義有

，即，從而由等差中項(xiàng)的定義知，等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)．(2)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：a－d，a，a＋d，公差為d

.此題巧妙地設(shè)出了等差數(shù)列的前三項(xiàng)，大大地減少了運(yùn)算量，為解題帶來(lái)極大的方便，這種設(shè)法稱為對(duì)稱項(xiàng)設(shè)法.

課堂練習(xí)7.已知等差數(shù)列{