奇妙的一筆畫奇妙的一筆畫例題精講例題精講所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù)．從圖中容易看出：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖．但是否所有的連通圖都可以一筆畫出呢？下面，我們就來(lái)探求解決這個(gè)問題的方法．什么樣的圖形能一筆畫成呢？這就是一筆畫問題，它是一種有名的數(shù)學(xué)游戲．我們把一個(gè)圖形中與偶數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)．相應(yīng)的把與奇數(shù)條線相連接的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)．一筆畫問題：(1)能一筆畫出的圖形必須是連通的圖形；(2)但凡只由偶點(diǎn)組成的連通圖形．一定可以一筆畫出．畫時(shí)可以由任一偶點(diǎn)作為起點(diǎn)．最后仍回到這點(diǎn)；(3)但凡只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形一定可以一筆畫出．畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)作為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；(4)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過兩個(gè)的圖形，一定不能一筆畫．多筆畫問題：我們把不能一筆畫成的圖，歸納為多筆畫．多筆畫圖形的筆畫數(shù)恰等于奇點(diǎn)個(gè)數(shù)的一半．事實(shí)上，對(duì)于任意的連通圖來(lái)說，如果有2n個(gè)奇點(diǎn)(n為自然數(shù))，那么這個(gè)圖一定可以用n筆畫成．我們把一個(gè)圖形上與偶數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做偶點(diǎn)，與奇數(shù)條線相連的點(diǎn)叫做奇點(diǎn)．以下圖中，哪些點(diǎn)是偶點(diǎn)？哪些點(diǎn)是奇點(diǎn)？奇點(diǎn)：JDHF偶點(diǎn)：AEBCGI判斷以下圖a、圖b、圖c能否一筆畫．圖a能，因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)，圖b不能，因?yàn)閳D形不是連通的，圖c能，因?yàn)橐驗(yàn)閳D中全是奇點(diǎn)下面圖形能不能一筆畫成？假設(shè)果能，應(yīng)該怎樣畫？圖1能因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)，圖2能因?yàn)閳D中全是偶點(diǎn)，圖3不能因?yàn)橛?個(gè)奇點(diǎn)．下面的圖形，哪些能一筆畫出？哪些不能一筆畫出？第1個(gè)能，2、3不能以下圖中不能一筆畫成，請(qǐng)你在以下圖中添加最少的線段，將其改成一筆畫的圖形，并畫出路線圖．不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有EHGF四個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)EH就可以使圖形一筆畫出．以下圖中的線段表示小路，請(qǐng)你仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，能夠不重復(fù)的爬遍小路的是甲螞蟻還是乙螞蟻？該怎樣爬？要想不重復(fù)爬出，需要圖形能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以應(yīng)該從奇點(diǎn)出發(fā)才能一筆畫出圖形，所以甲螞蟻能夠．能否用剪刀從左以下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？可以．以下圖是兒童樂園的道路平面圖，要使游客走遍每條路并且不重復(fù)，那么出、入口應(yīng)設(shè)在哪里？要想不重復(fù)，需要路線能一筆畫出，由于圖中有兩個(gè)奇點(diǎn)，所以入口和出口應(yīng)該分別放在兩個(gè)奇點(diǎn)出，即F和I點(diǎn)．郵遞員叔叔向11個(gè)地點(diǎn)送信一次信，不走重復(fù)路，怎樣走最適宜？不走重復(fù)路，一筆能畫出路線圖，圖中有2個(gè)奇點(diǎn)，應(yīng)該從奇點(diǎn)處出發(fā)，下面有一種參考路線：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7觀察下面的圖，看各至少用幾筆畫成？圖(1)有8個(gè)奇點(diǎn)，所以要4筆畫出，圖(2)有12個(gè)奇點(diǎn)，所以要一筆畫出，圖(3)能一筆畫出．判斷以下圖形能否一筆畫．假設(shè)能，請(qǐng)給出一種畫法；假設(shè)不能，請(qǐng)加一條線或去一條線，將其改成可一筆畫的圖形．圖(1)不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，連結(jié)BD，或者去掉BF都可以使圖形能一筆畫出．圖(2)不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉KL，或者BK都可以使圖形能一筆畫出．圖(3)不能一筆畫出，因?yàn)閳D中有4個(gè)奇點(diǎn)，去掉AB可以使圖形能一筆畫出．一個(gè)K(K＞1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)．如左以下圖中的B，C兩個(gè)奇點(diǎn)在右以下圖中都變成了偶點(diǎn)．所以只要在K筆畫的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加(K-1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫．18世紀(jì)的哥尼斯堡城是一座美麗的城市，在這座城市中有一條布勒格爾河橫貫城區(qū)，這條河有兩條支流在城市中心集合，集合處有一座小島A和一座半島D，人們?cè)谶@里建了一座公園，公園中有七座橋把河兩岸和兩個(gè)小島連接起來(lái)(如圖a)．如果游人要一次走過這七座橋，而且對(duì)每座橋只許走一次，問如何走才能成功？歐拉解決這個(gè)問題的方法非常巧妙．他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長(zhǎng)短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個(gè)點(diǎn)，而橋那么可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線．這樣，一個(gè)實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何圖形(如以下圖)能否一筆畫出的問題了．而圖B中有4個(gè)奇點(diǎn)顯然不能一筆畫出．【穩(wěn)固】如以下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七座橋連接這兩個(gè)島及河岸．問：一個(gè)散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？能右圖是某展覽廳的平面圖，它由五個(gè)展室組成，任兩展室之間都有門相通，整個(gè)展覽廳還有一個(gè)進(jìn)口和一個(gè)出口，問游人能否一次不重復(fù)地穿過所有的門，并且從入口進(jìn)，從出口出？將圖形中的6個(gè)區(qū)域看成6個(gè)點(diǎn)，每個(gè)門看成連結(jié)他們的線段，顯然6個(gè)點(diǎn)都是偶點(diǎn)，所以有人能一次不重復(fù)的走過所有的門．【穩(wěn)固】右圖是某展覽館的平面圖，一個(gè)參觀者能否不重復(fù)地穿過每一扇門？如果不能，請(qǐng)說明理由．如果能，應(yīng)從哪開始走？不能一條小蟲沿長(zhǎng)6分米，寬4分米，高5分米的長(zhǎng)方體的棱爬行．如果它只能進(jìn)不能退，并且同一條棱不能爬兩次，那么它最多能爬多少分米？8個(gè)定點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以至少需要4筆．多畫長(zhǎng)和高能保證總路程最長(zhǎng)，為A－B－G－H－A－D－C－F－E－D總長(zhǎng)為6×4＋5×4＋4×1＝48分米．【穩(wěn)固】一只木箱的長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3厘米(見右圖)，有一只甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)，沿棱爬行，每條棱不允許重復(fù)，那么甲蟲回到A最多34如圖是某餐廳的平面圖，共有五個(gè)小廳，相鄰兩廳之間有門相通，并且設(shè)有入口．請(qǐng)問你能否從入口進(jìn)入一次不重復(fù)地穿過所有的門．如果可以，請(qǐng)指明穿行路線，如果不能，應(yīng)關(guān)閉哪個(gè)門就可以辦到？可以將圖中的五個(gè)小廳以及廳外的局部都抽象成點(diǎn)，為方便解題，給它們分別編號(hào)．這時(shí)，連通廳與廳之間的門就相當(dāng)于各點(diǎn)之間的連線．于是題目中餐廳的平面圖就抽象成為一個(gè)連通的圖形，求穿形路線的問題就轉(zhuǎn)化成一筆畫的問題．在抽象出的圖形中，我們可以找到四個(gè)奇點(diǎn)，即①、④、③和廳外，所以圖形不能一筆畫出也就是說，從入口進(jìn)入不可能一次不重復(fù)的穿過所有的門．但根據(jù)一筆畫問題的知識(shí)，只要關(guān)閉門，把③、④變?yōu)榕键c(diǎn)，就可以辦到，可行路線如以下圖：B在3×3的方陣中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是100米．小明沿線段從A點(diǎn)到B這道題大多數(shù)同學(xué)都采用試畫的方法，實(shí)際上可以用一筆畫原理求解．首先，圖中有8個(gè)奇點(diǎn)，在8個(gè)奇點(diǎn)之間至少要去掉4條線段，才能使這8個(gè)奇點(diǎn)變成偶點(diǎn)；其次，從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)必須是奇點(diǎn)，現(xiàn)在A，B都是偶點(diǎn)，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點(diǎn)．所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800一個(gè)郵遞員投遞信件要走的街道如右圖所示，圖中的數(shù)字表示各條街道的千米數(shù)，他從郵局出發(fā)，要走遍各街道，最后回到郵局．怎樣走才能使所走的行程最短