第56講帶電粒子在電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)1．（2022?廣東）密立根通過(guò)觀測(cè)油滴的運(yùn)動(dòng)規(guī)律證明了電荷的量子性，因此獲得了1923年的諾貝爾獎(jiǎng)。如圖是密立根油滴實(shí)驗(yàn)的原理示意圖，兩個(gè)水平放置、相距為d的足夠大金屬極板，上極板中央有一小孔。通過(guò)小孔噴入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴帶上了電荷。有兩個(gè)質(zhì)量均為m0、位于同一豎直線上的球形小油滴A和B，在時(shí)間t內(nèi)都勻速下落了距離h1。此時(shí)給兩極板加上電壓U（上極板接正極），A繼續(xù)以原速度下落，B經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后向上勻速運(yùn)動(dòng)。B在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t內(nèi)上升了距離h2（h2≠h1），隨后與A合并，形成一個(gè)球形新油滴，繼續(xù)在兩極板間運(yùn)動(dòng)直至勻速。已知球形油滴受到的空氣阻力大小為f＝km1（1）比例系數(shù)k；（2）油滴A、B的帶電量和電性；B上升距離h2電勢(shì)能的變化量；（3）新油滴勻速運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向?！窘獯稹拷猓海?）因?yàn)閮蓚€(gè)油滴在未加電壓時(shí)均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，對(duì)A油滴進(jìn)行分析，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：v1根據(jù)平衡狀態(tài)得：m0g＝f結(jié)合空氣阻力的表達(dá)式f＝km1聯(lián)立解得：k=（2）因?yàn)榧与妷汉驛油滴的速度不變，所以A油滴不帶電；B油滴最終向上做勻速運(yùn)動(dòng)，由此可知，B油滴受到的電場(chǎng)力應(yīng)向上，故B油滴帶負(fù)電。B油滴向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：v2其受到的空氣阻力向下，根據(jù)平衡狀態(tài)得：m0解得：q=根據(jù)功能關(guān)系得：ΔEp＝﹣W電聯(lián)立解得：ΔEp=?（3）油滴相遇時(shí)，質(zhì)量為2m0，電荷量等于B油滴的電荷量，則新油滴受到的電場(chǎng)力為F=qU此時(shí)要對(duì)電場(chǎng)力進(jìn)行分類討論①若F＞2m0g，即h2＞h1，新油滴最終向上勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)達(dá)到平衡時(shí)速度為v'，則有2m0g+k?2m0解得：v'=②若F＜2m0g，即h1＞h2，新油滴最終向下勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)達(dá)到平衡時(shí)速度為v''，則有2m0g＝F+k?2解得：v′'=答：（1）比例系數(shù)為m0（2）油滴A不帶電，油滴B帶負(fù)電，電荷量為m0gd(?1+（3）①若h2＞h1，則新油滴的速度大小為?2??132t，方向豎直向上；②一.知識(shí)回顧1．帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)加速問(wèn)題分析帶電粒子加速問(wèn)題的兩種思路：(1)利用牛頓第二定律結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式來(lái)分析；適用于勻強(qiáng)電場(chǎng)且涉及運(yùn)動(dòng)時(shí)間等描述運(yùn)動(dòng)過(guò)程的物理量的情景。(2)利用靜電力做功結(jié)合動(dòng)能定理來(lái)分析；適用于涉及位移、速率等動(dòng)能定理公式中的物理量或非勻強(qiáng)電場(chǎng)的情景。2帶電粒子(體)在電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)1.帶電粒子(體)在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)是否考慮重力的處理方法(1)基本粒子：如電子、質(zhì)子、α粒子、離子等，除有說(shuō)明或有明確的暗示以外，一般都不考慮重力(但并不忽略質(zhì)量)。(2)帶電顆粒：如液滴、油滴、塵埃、小球等，除有說(shuō)明或有明確的暗示以外，一般都要考慮重力。3．做直線運(yùn)動(dòng)的條件(1)粒子所受合力F合＝0，粒子靜止或做勻速直線運(yùn)動(dòng)。(2)粒子所受合力F合≠0，且合力與初速度方向在同一條直線上，帶電粒子將做變速直線運(yùn)動(dòng)。4．解題思路(1)用動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)分析Eq＋F其他＝ma，E＝eq\f(U,d)(勻強(qiáng)電場(chǎng))，v2－veq\o\al(2,0)＝2ad(勻變速直線運(yùn)動(dòng))。(2)用功能觀點(diǎn)分析①勻強(qiáng)電場(chǎng)中：W電＝Eqd＝qU，W電＋W其他＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)。②非勻強(qiáng)電場(chǎng)中：W電＝qU，W電＋W其他＝Ek2－Ek1。二.典型例題例1．如圖所示，兩個(gè)相同的平行板電容器均與水平方向成θ角放置，兩極板與直流電源相連。若帶電小球分別以速度v0沿邊緣水平射入電容器，均能沿圖中所示水平直線恰好穿出電容器，穿出時(shí)的速度分別為v1和v2。下列說(shuō)法正確的是（）A．小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等 B．小球的速度滿足關(guān)系2v02＝v12+v22 C．小球的速度滿足關(guān)系v0＝v1＝v2 D．兩電容器極板間的電壓不相等【解答】解：D、根據(jù)題意可知，兩小球受到重力和電場(chǎng)力作用做直線運(yùn)動(dòng)，所以其合力和小球的速度方向共線，令小球的重力為G，則兩小球的受力如圖所示：，小球在水平方向做直線運(yùn)動(dòng)，則豎直方向的合力為零，所以有F1cosθ=qU1F2cosθ=qU2dcosθ＝G，則F1＝F2，UAC、根據(jù)題意可知，兩小球一個(gè)做加速運(yùn)動(dòng)，一個(gè)做減速運(yùn)動(dòng)，而初速度和位移相同，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間不同，到達(dá)右端時(shí)的末速度也不同，故AC錯(cuò)誤；B、根據(jù)牛頓第二定律可知，兩小球在電容器中運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等，令小球運(yùn)動(dòng)的加速度大小為a，運(yùn)動(dòng)的位移為x，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：v12﹣v02＝﹣2ax，v22﹣v02＝2ax兩式聯(lián)立可得球的速度滿足關(guān)系2v02＝v12+v22，故B正確。故選：B。例2．如圖所示，三塊平行放置的帶電金屬薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分別位于O、M、P點(diǎn)。由O點(diǎn)靜止釋放的電子恰好能運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)?，F(xiàn)將C板向右平移到P′點(diǎn)，則由O點(diǎn)靜止釋放的電子（）A．運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)返回 B．運(yùn)動(dòng)到P和P′點(diǎn)之間返回 C．運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)返回 D．穿過(guò)P′點(diǎn)【解答】解：設(shè)AB間電場(chǎng)強(qiáng)度為E1，BC間場(chǎng)強(qiáng)為E2，根據(jù)題意由O點(diǎn)釋放的電子恰好能運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理，有：eE1xOM﹣eE2xMP＝0﹣0…①BC板電量不變，BC板間的場(chǎng)強(qiáng)為：E2=U由②知BC板間的場(chǎng)強(qiáng)不隨距離的變化而變化，當(dāng)C板向右平移到P'時(shí)，BC板間的場(chǎng)強(qiáng)不變，由①知，電子仍然運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)返回，故A正確，BCD錯(cuò)誤；故選：A。三.舉一反三，鞏固練習(xí)如圖，一平行板電容器連接在直流電源上，電容器的極板水平，兩微粒a、b所帶電荷量大小相等、符號(hào)相反，使它們分別靜止于電容器的上、下極板附近，與極板距離相等?，F(xiàn)同時(shí)釋放a、b，它們由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在隨后的某時(shí)刻t，a、b經(jīng)過(guò)電容器兩極板間上半?yún)^(qū)域的同一水平面，a、b間的相互作用和重力可忽略。下列說(shuō)法正確的是（）A．在t時(shí)刻，a和b的電勢(shì)能相等 B．在t時(shí)刻，a的動(dòng)能比b的大 C．a(chǎn)的質(zhì)量比b的大 D．在t時(shí)刻，a和b的加速度大小相等【解答】解：A、t時(shí)刻，a、b經(jīng)過(guò)電場(chǎng)中同一水平面，電勢(shì)相等，它們的電荷量也相等，符號(hào)相反，由Eφ＝qφ知，a和b的電勢(shì)能不相等，故A錯(cuò)誤；B、根據(jù)動(dòng)能定理得Ek﹣0＝qEy，即t時(shí)刻粒子的動(dòng)能為Ek＝qEy，a的位移小，電場(chǎng)力做功少，所以在t時(shí)刻，a的動(dòng)能比b的小，故B錯(cuò)誤；C、兩個(gè)粒子都做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有y=12at2=12?qEmD、由牛頓第二定律得：加速度a=qEm，由題意知，電荷量大小相等，場(chǎng)強(qiáng)相同，因?yàn)閙a＞mb，所以aa＜a故選：C。如圖所示，一帶負(fù)電的粒子以初速度v進(jìn)入范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)E中，初速度方向與電場(chǎng)方向平行，粒子不計(jì)重力。下列說(shuō)法正確的是（）A．粒子一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng) B．粒子一直做勻減速直線運(yùn)動(dòng) C．粒子先做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，再反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng) D．粒子先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再反向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)【解答】解：因?yàn)榱Ｗ訋ж?fù)電，受電場(chǎng)力方向與初速度方向相反，粒子是向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后再向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，故C正確，ABD錯(cuò)誤。故選：C。（多選）如圖，絕緣座放在光滑水平面上，間距為d的平行板電容器豎直固定在絕緣座上，A板有小孔O，水平絕緣光滑桿穿過(guò)O固定在B板上，電容器、底座和絕緣桿的總質(zhì)量為M。給電容器充電后，一質(zhì)量為m的帶正電環(huán)P套在桿上以某一速度v0，對(duì)準(zhǔn)O向左運(yùn)動(dòng)，在電容器中P距B板最近的位置為S，OS=d2A．P在S處的速度為0 B．P從O至S的過(guò)程中，絕緣座的位移大小為md2MC．P從O至S的過(guò)程中，絕緣座的位移大小為md2(M+m)D．P從O至S的過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)電勢(shì)能的增加量為mM【解答】解：A、帶電圓環(huán)進(jìn)入電場(chǎng)后，在電場(chǎng)力的作用下，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，而電容器則在電場(chǎng)力的作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)他們速度相等時(shí)，帶電圓環(huán)與電容器的左極板相距最近，取向左為正方向，有系統(tǒng)動(dòng)量守恒mv0＝（m+M）v可得v=則P在S處的速度不為0，故A錯(cuò)誤；BC、該過(guò)程電容器（絕緣座）向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有x=環(huán)向左做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，有x'由題意可知x'解得x'P從O至S的過(guò)程中，絕緣座的位移大小為md2(M+m)D，P從O至S的過(guò)程中，帶電環(huán)減速，動(dòng)能減少，電容器動(dòng)能增加，系統(tǒng)動(dòng)能減少，電勢(shì)能增加，增加的電勢(shì)能△故D正確。故選：CD。（多選）如圖所示，在xOy平面內(nèi)有勻強(qiáng)電場(chǎng)，半徑為R的圓周上有一粒子源P，以相同的速率v0在平行于圓周面內(nèi)沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、帶電量為+q的微粒，微?？梢缘竭_(dá)圓周上任意一個(gè)位置。比較到達(dá)圓上各個(gè)位置的微粒，發(fā)現(xiàn)到達(dá)Q點(diǎn)的微粒的動(dòng)能最小，從C點(diǎn)離開(kāi)的微粒的機(jī)械能最大，已知∠BOP＝30°，∠AOQ＝37°，取重力加速度為g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取最低點(diǎn)D所在水平面為零重力勢(shì)能面，不計(jì)空氣阻力及帶電微粒間的相互作用。則（）A．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為3mg3qB．勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為4mg3q，方向沿x軸負(fù)方向C．通過(guò)D點(diǎn)的微粒動(dòng)能為12mv02+（32D．微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)過(guò)程中電勢(shì)能增加2mgR【解答】解：ABC、在C點(diǎn)微粒機(jī)械能最大，說(shuō)明P到C電場(chǎng)力做功最大，由數(shù)學(xué)關(guān)系可知，過(guò)C點(diǎn)做圓的切線為電場(chǎng)的等勢(shì)線，即電場(chǎng)力沿OC方向，因帶電粒子帶正電，場(chǎng)強(qiáng)方向沿OC方向，即沿x軸負(fù)方向；而在Q點(diǎn)，微粒動(dòng)能最小，即重力與電場(chǎng)力的合力方向沿QO，則有：Eqtan37°＝mgF合sin37°＝mg解得E=mgqtan37°=4mg從P到D根據(jù)動(dòng)能定理可得：EkD﹣EkP＝W合則有EkD=12mv02+mgR（1+cos37°D、微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)過(guò)程中克服電場(chǎng)中做的功為WPQ＝qER（cos37°﹣sin30°）=2mgR5，所以電勢(shì)能增加故選：BCD。如圖所示，ACB是一條足夠長(zhǎng)的絕緣水平軌道，軌道CB處在方向水平向右、大小E＝1.0×106N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一質(zhì)量m＝0.25kg、電荷量q＝﹣2.0×10﹣6C的可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，從距離C點(diǎn)L0＝6.0m的A點(diǎn)處，在拉力F＝4.0N的作用下由靜止開(kāi)始向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)撤去拉力，小物體滑入電場(chǎng)中。已知小物體與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.4，g取10m/s2．求：（1）小物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大?。唬?）小物體在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間?！窘獯稹拷猓海?）未進(jìn)入電場(chǎng)中由牛頓第二定律得：加速度大小為a=F?μmgm到達(dá)C點(diǎn)的速度大?。簐2＝2aL0代入數(shù)據(jù)解得：v＝12m/s（2）小物體向右減速的加速度大小為：a1=qE+μmgm向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t1=v向右運(yùn)動(dòng)的位移：x1=v由于qE＞μmg，所以小物體送減速后反向向左加速，直到滑出電場(chǎng)小物體向左加速的加速度為：a2=qE?μmgm向左運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t2=2x總時(shí)間為：t＝t1+t2＝（1+3答：（1）小物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為1m/s；（2）小物體在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（1+3多反射飛行時(shí)間質(zhì)譜儀是一種測(cè)量離子質(zhì)量的新型實(shí)驗(yàn)儀器，其基本原理如圖所示，從離子源A處飄出的離子初速度不計(jì)，經(jīng)電壓為U的勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后射入質(zhì)量分析器。質(zhì)量分析器由兩個(gè)反射區(qū)和長(zhǎng)為l的漂移管（無(wú)場(chǎng)區(qū)域）構(gòu)成，開(kāi)始時(shí)反射區(qū)1、2均未加電場(chǎng)，當(dāng)離子第一次進(jìn)入漂移管時(shí)，兩反射區(qū)開(kāi)始加上電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等、方向相反的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度足夠大，使得進(jìn)入反射區(qū)的離子能夠反射回漂移管。離子在質(zhì)量分析器中經(jīng)多次往復(fù)即將進(jìn)入反射區(qū)2時(shí)，撤去反射區(qū)的電場(chǎng)，離子打在熒光屏B上被探測(cè)到，可測(cè)得離子從A到B的總飛行時(shí)間。設(shè)實(shí)驗(yàn)所用離子的電荷量均為q，不計(jì)離子重力。（1）求質(zhì)量為m的離子第一次通過(guò)漂移管所用的時(shí)間T1；（2）反射區(qū)加上電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，求離子能進(jìn)入反射區(qū)的最大距離x；（3）已知質(zhì)量為m0的離子總飛行時(shí)間為t0，待測(cè)離子的總飛行時(shí)間為t1，兩種離子在質(zhì)量分析器中反射相同次數(shù)，求待測(cè)離子質(zhì)量m?！窘獯稹拷猓海?）設(shè)離子經(jīng)加速電場(chǎng)加速后的速度大小為v，根據(jù)動(dòng)能定理可得：qU=12mv2離子在漂移管中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則：T1=l聯(lián)立①②式，得：T1=m（2）從開(kāi)始加速到反射區(qū)速度為零過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有：qU﹣qEx＝0…④解得：x=U（3）離子在加速電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)和反射區(qū)電場(chǎng)中每次單向運(yùn)動(dòng)均為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，平均速度大小均相等，設(shè)其為v，有：v=通過(guò)⑤式可知，離子在反射區(qū)的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)路程是與離子本身無(wú)關(guān)的，所以不同離子在電場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的總路程相等，設(shè)為L(zhǎng)1，在無(wú)場(chǎng)區(qū)的總路程設(shè)為L(zhǎng)2，根據(jù)題目條件可知，離子在無(wú)場(chǎng)區(qū)速度大小恒為v，設(shè)離子的總飛行時(shí)間為t總，有：t總=L聯(lián)立①⑥⑦式，得：t總＝（2L1+L2）m2qU可見(jiàn)，離子從A到B的總飛行時(shí)間與m成正比，依題意可得：t1解得：m1=(t所以待測(cè)離子質(zhì)量為：m＝m1=(t答：（1）質(zhì)量為m的離子第一次通過(guò)漂移管所用的時(shí)間為ml（2）反射區(qū)加上電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，離子能進(jìn)入反射區(qū)的最大距離為UE（3）待測(cè)離子質(zhì)量為(t1反射式速調(diào)管是常用的微波器件之一，它利用電子團(tuán)在電場(chǎng)中的振蕩來(lái)產(chǎn)生微波，其振蕩原理與下述過(guò)程類似．如圖所示，在虛線MN兩側(cè)分別存在著方向相反的兩個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，一帶電微粒從A點(diǎn)由靜止開(kāi)始，在電場(chǎng)力作用下沿直線在A、B兩點(diǎn)間往返運(yùn)動(dòng)．已知電場(chǎng)強(qiáng)度的大小分別是E1＝2.0×103N/C和E2＝4.0×103N/C，方向如圖所示，帶電微粒質(zhì)量m＝1.0×10﹣20kg，帶電量q＝1.0×10﹣9C，A點(diǎn)距虛線MN的距離d1＝1.0cm，不計(jì)帶電微粒的重力，忽略相對(duì)論效應(yīng)．求：（1）B點(diǎn)距虛線MN的距離d2；（2）帶電微粒從A點(diǎn)