第四章相似理論與量綱分析

§4.1相似理論與模型試驗

§4.2量綱分析與π定理§4.1相似理論與模型試驗4.1.1幾何相似、運動相似與動力相似

幾何相似的定義幾何相似是指模型與原型中的對應(yīng)線性長度成比例。

幾何相似常數(shù)定義為模型與原型的線性長度之比：

運動相似的定義運動相似是指模型和原型中對應(yīng)點上的速度方向相同，大小成比例。運動相似常數(shù)定義為模型與原型的對于速度之比：運動相似時，流體質(zhì)點走過對應(yīng)距離所需的時間也成比例：§4.1相似理論與模型試驗

動力相似的定義動力相似是指模型和原型中對應(yīng)點上的流體質(zhì)點所受到的同名力方向相同，大小成比例。力相似常數(shù)：

三個相似條件的關(guān)系幾何相似是必要的前提，因為只有幾何相似的條件下，才能找到模型與原型流場的對應(yīng)點，沒有幾何相似就談不上運動相似和動力相似。動力相似是決定性條件。運動相似則是幾何相似和動力相似的表現(xiàn)?！?.1相似理論與模型試驗4.1.2動力相似準則

牛頓數(shù)合外力與慣性力之比。

牛頓相似準則要求模型和原型的所有單項力（如粘性力、重力、壓力、彈性力等）均相似。牛頓相似準則：流場動力相似時，模型與原型的牛頓數(shù)必

然相等：如果只考慮作用在流體上的某種單項力（如粘性力、重力、壓力、彈性力等），則牛頓相似準則便退化為單項力相似準則?！?.1相似理論與模型試驗1.重力相似準則

在重力作用下的相似流動，其重力場必須相似。由牛頓第二定律，有：弗勞德數(shù)：弗勞德數(shù)實際上是作用在流體上的慣性力與重力的比值。在重力相似時，

，這就是重力相似準則?！?.1相似理論與模型試驗2.粘性力相似準則

在粘性力作用下的相似流動，其粘性力必須相似。由牛頓第二定律，有：雷諾數(shù)：雷諾數(shù)實際上是作用在流體上的慣性力與粘性力的比值。在粘性力相似時，

，這就是粘性力相似準則?！?.1相似理論與模型試驗3.壓力相似準則

在壓力作用下的相似流動，其壓強場必須相似。由牛頓第二定律，有：歐拉數(shù)：歐拉數(shù)實際上是作用在流體上的慣性力與總壓力的比值。在壓力相似時，

，這就是壓力相似準則。§4.1相似理論與模型試驗4.非定常性相似準則

對非定常流動，還必須保證模型與原型的流動隨時間變化相似。由當?shù)丶铀俣纫鸬膽T性力之比為：由牛頓第二定律，有：斯特勞哈爾數(shù)：斯特勞哈爾數(shù)是當?shù)貞T性力與遷移慣性力的比值?！?.1相似理論與模型試驗5.彈性力相似準則

可壓縮流體因變形而引起彈性力，作用在兩流場流體上的彈性力之比為：由牛頓第二定律，有：柯西數(shù)：柯西數(shù)是作用在流體上的慣性力與彈性力的比值。對氣體流動，體積模量

K與聲速c存在關(guān)系：則柯西準則轉(zhuǎn)換為馬赫準則：馬赫數(shù)：§4.1相似理論與模型試驗6.表面力相似準則

在表面力作用下的相似流動，其表面力分布必相似。由牛頓第二定律，有：韋伯數(shù)：韋伯數(shù)是作用在流體上的慣性力與表面張力的比值。在表面力相似時，

，這就是表面力相似準則?！?.1相似理論與模型試驗4.1.3流動相似條件

相似條件是指保證流動相似的充要條件，模型實驗必須遵循相似條件。共有三個相似條件：（1）相似第一條件：相似的流動屬于同一類流動，其運動微分方程必相同。（2）相似第二條件：單值條件相似。

所謂單值條件就是把某一特定的流動從無數(shù)個同類的相似流動中區(qū)分開來的條件。單值條件包括幾何條件、邊界條件、物性條件和初始條件。因為同一微分方程的通解有無窮多個，應(yīng)用單值條件才能得到唯一的確定解。（3）相似第三條件：由單值條件中涉及的物理量組成的相似準則數(shù)相等?！?.1相似理論與模型試驗

相似條件概括為：對同一類流動，單值條件相似且由單值條件中物理量所組成的相似準則數(shù)相等時，則這些流動必相似。在上述相似準則中，除歐拉準則外，其它準則都是決定性相似準則。因流場中各點速度及物性參數(shù)決定后，各點的壓強隨之確定。就是說，只要其它決定性準則得到滿足，壓強也就相似。相似條件解決了模型實驗所必須遵循的原則：（1）根據(jù)單值條件相似和相似準則數(shù)相等的原則去設(shè)計模型，選擇流動介質(zhì)。（2）實驗時，應(yīng)測定相似準則數(shù)包含的所有物理量，并整理成相似準則數(shù)。（3）根據(jù)相似準則數(shù)整理出來的準則方程可以應(yīng)用于所有的相似流動。§4.1相似理論與模型試驗4.1.4近似模型試驗

兩個流動動力相似時，各相似常數(shù)的取值不能是任意的，它們之間存在著相互約束關(guān)系。例如，在重力場中，重力相似準則使得：如還要求粘性力相似，則雷諾數(shù)應(yīng)相等（假設(shè)模型與原型的流體相同）：顯然是矛盾的。實際上，涉及的相似準則越多，各種相似常數(shù)間的制約也就越多。有時甚至使實驗根本無法進行。工程上常采用近似相似的模型實驗方法，忽略次要的定性準則，只考慮起主要作用的力而忽略其它力對流動的影響?！?.2

量綱分析與π定理4.2.1物理方程量綱一致性原則

基本量綱：長度[L]，質(zhì)量[M]，時間[T]等屬于基本量綱。物理方程量綱一致性原則：任何物理方程中，各項的量綱必定相同。角度和弧度屬于輔助量綱，但在量綱運算中都視為無量綱數(shù)。

量綱的定義物理量單位的屬性或種類稱為量綱。量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱。不能由其它量綱導(dǎo)出、具有獨立性的量綱稱為基本量綱；可通過基本量綱導(dǎo)出的稱為導(dǎo)出量綱§4.2

量綱分析與π定理4.2.2π定理

π定理如果一個物理過程涉及到

n個物理量，則它的規(guī)律可以用這

n個物理量的某個函數(shù)進行描述：假設(shè)這

n個物理量包含了

m個基本量綱，則這個物理過程可以用這n個物理量所組成的(n-m)個無量綱量（相似準則數(shù)）的函數(shù)關(guān)系來描述：§4.2

量綱分析與π定理

無量綱數(shù)π的具體求法（1）在

n個物理量中任選

m個作為獨立變量，但這

m個獨立變量的量綱不能相同，而且它們必須包含有

n個物理量所涉及的全部

m個基本量綱；（2）將剩余的(n-m)個物理量分別用所選定的

m個獨立變量的乘冪組合來表示，相差的倍數(shù)就是相應(yīng)的無量綱數(shù)π。在一般流體力學(xué)問題中，通常選取與流動特性密切相關(guān)的特征長度、流速以及流體密度作為基本量綱。因為三者既包含了所有基本量綱，又相互獨立，而且還代表了幾何、運動、動力學(xué)三方面的變量。該壓強降與管徑、管長、管壁粗糙度、管內(nèi)流體密度、流體的動力粘度以及斷面平均流速有關(guān)。因此，這一流動過程可用下面的物理方程來表示：例4-2流動過程涉及7個物理量，包含3個基本量綱。其準則方程應(yīng)為：試用π定理導(dǎo)出不可壓粘性流體在水平等直徑圓管內(nèi)流動的壓強降公式。解§4.2

量綱分析與π定理選取密度、速度、直徑為基本變量。無量綱數(shù)為：由量綱的一致性原則可確定待定系數(shù)，各無量綱數(shù)如下：§4.2

量綱分析與π定理無量綱準則方程為：根據(jù)實驗結(jié)果，沿管道的壓強降與管長成正比，于是沿程阻力系數(shù)為：§4.2

量綱分析與π定理4.2.3瑞利法

如果物理量

y

是物理量

x1，x2，…xn的函數(shù)，即：式中，k為無量綱系數(shù)，其值由實驗確定；待定指數(shù)

a1，a2，…an由量綱一致性原則求出。影響顆粒沉降運動的主要物理參數(shù)包括顆粒直徑、重力加速度、流體粘度和密度、顆粒與流體的密度差。故有：例4-3用瑞利法求小顆粒在靜止流體中的沉降速度。解根據(jù)瑞利法，可以寫成：由量綱的一致性原則，可得到待定系數(shù)有如下關(guān)系：§4.2

量綱分析與π定理沉降速度的表達式為：根據(jù)實驗及理論分析，球形顆粒的沉降速度與其直徑的平方成正比，于是：于