2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共10小題，滿分30分）1．（3分）﹣2的相反數(shù)是（）A． B．±2 C．2 D．﹣2．（3分）如圖所示的幾何體是由4個(gè)大小相同的小立方體組成，其俯視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）總投資647億元的西成高鐵預(yù)計(jì)2017年11月竣工，用科學(xué)記數(shù)法表示647億元為（）A．647×108 B．6.47×109 C．6.47×1010 D．6.47×10114．（3分）使函數(shù)y＝有意義的自變量x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x≥0 C．x≤3 D．x≤05．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）A．a(chǎn)5+a5＝a10 B．a(chǎn)7÷a＝a6 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a66．（3分）不等式3x+6≥9的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．（3分）在學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)并組織了“生活中的平行四邊形”比賽，全班同學(xué)的比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示，則得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）得分（分）60708090100人數(shù)（人）7121083A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分8．（3分）如圖，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別落在x軸、y軸上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）9．（3分）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8，則其內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．210．（3分）如圖，已知?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，連接AC．若EF＝2，F(xiàn)G＝GC＝5，則AC的長(zhǎng)是（）A．12 B．13 C． D．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：ax2﹣ay2＝．12．（3分）一個(gè)不透明的袋中共有5個(gè)小球，分別為2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，它們除顏色外完全相同．隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，摸出兩個(gè)顏色相同的小球的概率為．13．（3分）已知圓錐的底面圓半徑是1，母線是3，則圓錐的側(cè)面積是．14．（3分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）．若2＜m＜3，則a的取值范圍是．15．（3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，則AF＝．三、解答題（本題共7小題，共55分）16．解方程和不等式組：（1）＝﹣3；（2）．17．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．18．隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)境問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注，某校學(xué)生會(huì)為了解節(jié)能減排、垃圾分類知識(shí)的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有人，估計(jì)該校1200名學(xué)生中“不了解”的人數(shù)是人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2兩名男生，B1，B2兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人向全校做環(huán)保交流，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D（1）求證：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的長(zhǎng)．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（a，﹣2），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)C，連接PO，若△POC的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．21．問(wèn)題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；遷移應(yīng)用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．①求證：△ADB≌△AEC；②請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．①證明△CEF是等邊三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的長(zhǎng)．22．已知點(diǎn)A（﹣1，1）、B（4，6）在拋物線y＝ax2+bx上，（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；（3）如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM＝2PM，直接寫(xiě)出t的值．

2023-2024學(xué)年廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共10小題，滿分30分）1．（3分）﹣2的相反數(shù)是（）A． B．±2 C．2 D．﹣【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2；故選：C．2．（3分）如圖所示的幾何體是由4個(gè)大小相同的小立方體組成，其俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上邊看一層三個(gè)小正方形，故選：C．3．（3分）總投資647億元的西成高鐵預(yù)計(jì)2017年11月竣工，用科學(xué)記數(shù)法表示647億元為（）A．647×108 B．6.47×109 C．6.47×1010 D．6.47×1011【解答】解：647億＝64700000000＝6.47×1010，故選：C．4．（3分）使函數(shù)y＝有意義的自變量x的取值范圍是（）A．x≥3 B．x≥0 C．x≤3 D．x≤0【解答】解：由題意，得3﹣x≥0，解得x≤3，故選：C．5．（3分）下列運(yùn)算中正確的是（）A．a(chǎn)5+a5＝a10 B．a(chǎn)7÷a＝a6 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6【解答】解：A．a(chǎn)5+a5＝2a5，故選項(xiàng)A不合題意；B．a(chǎn)7÷a＝a6，故選項(xiàng)B符合題意；C．a(chǎn)3?a2＝a5，故選項(xiàng)C不合題意；D．（﹣a3）2＝a6，故選項(xiàng)D不合題意．故選：B．6．（3分）不等式3x+6≥9的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：移項(xiàng)，得：3x≥9﹣6，合并同類項(xiàng)，得：3x≥3，系數(shù)化為1，得：x≥1，故選：C．7．（3分）在學(xué)習(xí)平行四邊形時(shí)，數(shù)學(xué)興趣學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)并組織了“生活中的平行四邊形”比賽，全班同學(xué)的比賽結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示，則得分的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）得分（分）60708090100人數(shù)（人）7121083A．70分，70分 B．80分，80分 C．70分，80分 D．80分，70分【解答】解：∵70分的有12人，人數(shù)最多，∴眾數(shù)為70分；處于中間位置的數(shù)為第20、21兩個(gè)數(shù)，都為80分，中位數(shù)為80分．故選：C．8．（3分）如圖，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D分別落在x軸、y軸上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，7） B．（3，7） C．（3，8） D．（4，8）【解答】解：過(guò)C作CE⊥y軸于E，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB，∠ADC＝90°，∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠ADO，∴△CDE∽△ADO，∴，∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，∴OA＝3，CD：AD＝，∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，∴OE＝7，∴C（2，7），故選：A．9．（3分）已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、7、8，則其內(nèi)切圓的半徑為（）A． B． C． D．2【解答】解：根據(jù)已知畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，令A(yù)B＝5，BC＝7，AC＝8，設(shè)AD＝x，則BD＝5﹣x，由勾股定理可得CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，解得x＝4，∴CD＝＝4．∵△ABC的面積＝×（AB+BC+AC）r，∴×5×4＝×（5+7+8）r，∴r＝．故選：C．10．（3分）如圖，已知?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，連接AC．若EF＝2，F(xiàn)G＝GC＝5，則AC的長(zhǎng)是（）A．12 B．13 C． D．【解答】解：如圖，作AP⊥CH交CH的延長(zhǎng)線于P．∵四邊形ABCD是平行四邊形，?ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H，∴易證四邊形EFGH是矩形，四邊形AEHP是矩形，△ABE≌△CDG，可得PA＝FG＝5，AE＝PH＝CG＝5，CP＝CG+PH+GH＝2+10＝12，在Rt△APC中，AC＝＝＝13．故選：B．二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）分解因式：ax2﹣ay2＝a（x+y）（x﹣y）．【解答】解：ax2﹣ay2，＝a（x2﹣y2），＝a（x+y）（x﹣y）．故答案為：a（x+y）（x﹣y）．12．（3分）一個(gè)不透明的袋中共有5個(gè)小球，分別為2個(gè)紅球和3個(gè)黃球，它們除顏色外完全相同．隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，摸出兩個(gè)顏色相同的小球的概率為．【解答】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：由樹(shù)狀圖可知，共有20種等可能結(jié)果，其中取出的小球顏色相同的有8種結(jié)果，∴兩次取出的小球顏色相同的概率為＝，故答案為：13．（3分）已知圓錐的底面圓半徑是1，母線是3，則圓錐的側(cè)面積是3π．【解答】解：∵圓錐的底面圓半徑是1，∴圓錐的底面圓的周長(zhǎng)＝2π，則圓錐的側(cè)面積＝×2π×3＝3π，故答案為：3π．14．（3分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）．若2＜m＜3，則a的取值范圍是＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），∴當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝，x2＝﹣a，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為（，0）和（﹣a，0）．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，0）且2＜m＜3，∴當(dāng)a＞0時(shí)，2＜＜3，解得＜a＜；當(dāng)a＜0時(shí)，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．故答案為：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．15．（3分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接OE交AD于點(diǎn)F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，則AF＝．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OM∥AD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴OM是△ABD的中位線，∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴＝，∴＝，∴AF＝，故答案為．三、解答題（本題共7小題，共55分）16．解方程和不等式組：（1）＝﹣3；（2）．【解答】解：（1）兩邊同時(shí)乘以（x﹣2）得，2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2）去括號(hào)，得2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6移項(xiàng)，得2x﹣3x+3x＝6﹣3+5合并同類項(xiàng)，得2x＝8系數(shù)化為1，得x＝4．檢驗(yàn)：當(dāng)x＝4時(shí)，x﹣2≠0，則x＝4是原分式方程的解．（2）由①得x≥﹣3，由②得x＜1，不等式組的解集為﹣3≤x＜1．17．先化簡(jiǎn)，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝?＝，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝＝﹣﹣2．18．隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)境問(wèn)題越來(lái)越受到人們的關(guān)注，某校學(xué)生會(huì)為了解節(jié)能減排、垃圾分類知識(shí)的普及情況，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，調(diào)查結(jié)果分為“非常了解”“了解”“了解較少”“不了解”四類，并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖．（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有50人，估計(jì)該校1200名學(xué)生中“不了解”的人數(shù)是360人；（2）“非常了解”的4人有A1，A2兩名男生，B1，B2兩名女生，若從中隨機(jī)抽取兩人向全校做環(huán)保交流，請(qǐng)利用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．【解答】解：（1）4÷8%＝50（人），1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）＝360（人）；故答案為：50，360；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖，共有12種可能的結(jié)果，恰好抽到一男一女的結(jié)果有8個(gè)，∴P（恰好抽到一男一女的）＝＝．19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，CO的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)D（1）求證：AO平分∠BAC；（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)AO交BC于H，連接BO，如圖1所示：∵AB＝AC，OB＝OC，∴A、O在線段BC的垂直平分線上，∴AO⊥BC，又∵AB＝AC，∴AO平分∠BAC；（2）解：延長(zhǎng)CD交⊙O于E，連接BE，如圖2所示：則CE是⊙O的直徑，∴∠EBC＝90°，BC⊥BE，∵∠E＝∠BAC，∴sinE＝sin∠BAC，∴＝，∴CE＝BC＝10，∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5，∵AH⊥BC，∴BE∥OA，∴，即＝，解得：OD＝，∴CD＝5+＝，∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，∴OH是△CEB的中位線，∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，∴AH＝5+4＝9，在Rt△ACH中，AC＝＝＝3．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（a，﹣2），B兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）P是第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)C，連接PO，若△POC的面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y＝x，可得a＝﹣4，∴A（﹣4，﹣2），把A（﹣4，﹣2）代入y＝，可得k＝8，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝，∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B（4，2）；（2）如圖所示，過(guò)P作PE⊥x軸于E，交AB于C，設(shè)P（m，），則C（m，m），∵△POC的面積為3，∴m×|m﹣|＝3，解得m＝2或2，∴P（2，）或（2，4）．21．問(wèn)題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；遷移應(yīng)用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．①求證：△ADB≌△AEC；②請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE并延長(zhǎng)交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．①證明△CEF是等邊三角形；②若AE＝5，CE＝2，求BF的長(zhǎng)．【解答】遷移應(yīng)用：①證明：如圖②∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB＝∠CAE，在△DAB和△EAC中，，∴△DAB≌△EAC，②解：結(jié)論：CD＝AD+BD．理由：如圖2﹣1中，作AH⊥CD于H．∵△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，在Rt△ADH中，DH＝AD?cos30°＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．拓展延伸：①證明：如圖3中，作BH⊥AE于H，連接BE．∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴△ABD，△BDC是等邊三角形，∴BA＝BD＝BC，∵E、C關(guān)于BM對(duì)稱，∴BC＝BE＝BD＝BA，F(xiàn)E＝FC，∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓，∴∠ADC＝∠AEC＝120°，∴∠FEC＝60°，∴△EFC是等邊三角形，②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2，∴AH＝HE＝2.5，F(xiàn)H＝4.5，在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，∴＝cos30°，∴BF＝＝3．22．已知點(diǎn)A（﹣1，1）、B（4，6）在拋物線y＝ax2+bx上，（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，m）（m＞2），直線AF交拋物線于另一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作x軸的垂線，垂足為H．設(shè)拋物線與x軸的正半軸交于點(diǎn)E，連接FH、AE，求證：FH∥AE；（3）如圖2，直線AB分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線CD方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度；同時(shí)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)M是直線PQ與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，QM＝2PM，直接寫(xiě)出t的值．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝ax2+bx中，，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x．（2）證明：（方法一）設(shè)直線AF的解析式為y＝kx+m，將點(diǎn)A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1，∴k＝m﹣1，∴直線AF的解析式為y＝（m﹣1）x+m．聯(lián)立直線AF和拋物線解析式成方程組，，解得：，，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2m，2m2﹣m）．∵GH⊥x軸，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2m，0）．∵拋物線的解析式為y＝x2