高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1甘肅省張掖市2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)全集，若集合，則（）A.{-2，0，2，3} B.{-2，2，3} C.{0，2，3} D.{-2，-1}〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故選：C．2.已知，則（）A.2 B. C.4 D.10〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋裕?故選：B.3.已知向量滿足，則（）A. B. C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋?，所以，故選:A.4.已知命題；命題，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦函數(shù)性質(zhì)知：為真，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故為假，所以為假，為真，綜上，為假，為假，為真，為假.故選：C5.在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)的絕對(duì)值小于的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)取到的數(shù)為，則有，所以，由幾何概型知識(shí)可知，取到的數(shù)的絕對(duì)值小于的概率為．故選：C.6.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗注意到，.則原式.故選：A.7.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，，，滿足循環(huán)條件，，……，，不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是〖答案〗C〖解析〗由得，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，∴有最大值，最大值為.故選：C.9.定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以的周期?．又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則．故選：A.10.函數(shù)是（）A.奇函數(shù)，且最小值為 B.奇函數(shù)，且最大值為C.偶函數(shù)，且最小值為 D.偶函數(shù)，且最大值為〖答案〗C〖解析〗由題可知，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，而，即函數(shù)為偶函數(shù)；所以，又，即，可得函數(shù)最小值0，無最大值.故選：C11.在四面體中，，則四面體外接球表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，此四面體可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故〖答案〗為：B.12.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率的最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝__________．〖答案〗〖解析〗，由題是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則由韋達(dá)定理，所以又是的等比中項(xiàng)且與同號(hào)，則.故〖答案〗為：.14.某校有高三學(xué)生1200名，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法從中抽取200名學(xué)生進(jìn)行核酸檢測(cè)，用電腦對(duì)這1200名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1，2，3，…，1200，已知隨機(jī)抽取的一個(gè)學(xué)生編號(hào)為10，則抽取的學(xué)生最大編號(hào)為____.〖答案〗1198〖解析〗根據(jù)系統(tǒng)抽樣法可知，分段間隔為6，編號(hào)共分為200段，編號(hào)10屬于第2段，所以最大編號(hào)在第200段，號(hào)碼為10＋6×(200－2)＝1198．故〖答案〗為：1198.15.寫出與直線和圓都相切的一個(gè)圓的方程________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，只需滿足與直線和圓都相切即可）.〖解析〗設(shè)圓的方程為:和直線相切可以得：和圓相切得：或若則此時(shí)圓的方程：故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，只需滿足與直線和圓都相切即可）.16.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且與該拋物線在第一象限交于點(diǎn)，若軸，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由拋物線得焦點(diǎn)，因?yàn)檩S，所以把代入中，得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，由橢圓得焦點(diǎn)，所以，所以因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以，即，解得或，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的離心率為.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大?。唬?）若，求c取值范圍．解：（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，，為底面圓兩條互相垂直的直徑，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）若，且直線與平面所成角正切值為，求該圓錐的體積.（1）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為底面圓兩條互相垂直的直徑，所以為底面圓的圓心，所以為圓錐的高，所以底面圓，因?yàn)榈酌鎴A，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；?）解：過作于，連接.由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，則，因?yàn)椋?，所以，則，所以，故該圓錐的體積為.19.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．某研究小組為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，計(jì)算得，，，．作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，除了明顯偏離比較大的兩個(gè)樣本點(diǎn)，外，其它樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個(gè)樣本點(diǎn)，重新抽樣補(bǔ)充了兩個(gè)偏離比較小的樣本點(diǎn)，．（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量y的線性回歸方程；（3）經(jīng)過進(jìn)一步治理，如果每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測(cè)該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加的數(shù)量．參考公式：線性回歸方程，其中，．解：（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，而地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物估計(jì)值為．（2）將樣本點(diǎn)，替換為，，構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得，，，，所以，，所求回歸方程為．（3）由（2）回歸方程可知：每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，則野生動(dòng)物數(shù)量增加10，故該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加數(shù)量的估計(jì)值為：．20.已知函數(shù)．（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（1）證明：∵當(dāng)時(shí)，∴成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）解：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)時(shí)，，所以令，令，在上成立，∴在上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴即在上成立，在上單調(diào)遞減，∴∴．21.已知雙曲線C：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線C的方程；（2）若A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，若MA與C的另一交點(diǎn)為P，MB與C的另一交點(diǎn)為Q（P與A，Q與B均不重合）求證：直線PQ過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．（1）解：由題意可知，解得,故雙曲線C的方程為．（2）證明：①A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，，又當(dāng)時(shí)，可得，，，又點(diǎn)P在雙曲線上，∴，∴．設(shè)，，：，與雙曲線C的方程聯(lián)立得，，，，，解得，此時(shí)滿足，∴直線PQ恒過點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，P與B重合，Q與A重合，此時(shí)直線PQ的方程為．綜上，直線PQ恒過點(diǎn)．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）說明是什么曲線，并將的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，是否存在實(shí)數(shù)b，使與的公共點(diǎn)都在上，若存在，求出b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）由消去參數(shù)t得到的普通方程為，因此曲線是以為圓心，b為半徑的圓；將代入的普通方程中，得的極坐標(biāo)方程為，所以曲線是以為圓心，b為半徑的圓，其極坐標(biāo)方程為.（2）曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組，消去整理得，把代入的方程中，得，把代入，得，而，解得，所以存在實(shí)數(shù)，使與的公共點(diǎn)都在上．23.已知函數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：.（1）解：因?yàn)?，則，由可得.①當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，則有，解得，此時(shí).綜上所述，當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：要證，即證.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，，，因?yàn)?，其中為銳角，且，所以，，所以，恒成立，故甘肅省張掖市2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1設(shè)全集，若集合，則（）A.{-2，0，2，3} B.{-2，2，3} C.{0，2，3} D.{-2，-1}〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故選：C．2.已知，則（）A.2 B. C.4 D.10〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所?故選：B.3.已知向量滿足，則（）A. B. C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，故選:A.4.已知命題；命題，則下列命題中為真命題的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由余弦函數(shù)性質(zhì)知：為真，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故為假，所以為假，為真，綜上，為假，為假，為真，為假.故選：C5.在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)的絕對(duì)值小于的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)取到的數(shù)為，則有，所以，由幾何概型知識(shí)可知，取到的數(shù)的絕對(duì)值小于的概率為．故選：C.6.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗注意到，.則原式.故選：A.7.執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的是，，輸出的結(jié)果為，則判斷框中“”應(yīng)填入的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)程序框圖，輸入，，則，滿足循環(huán)條件，，，滿足循環(huán)條件，，……，，不滿足循環(huán)條件，輸出結(jié)果.故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C.8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，都有，若，則（）A.的最小值是 B.的最小值是C.的最大值是 D.的最大值是〖答案〗C〖解析〗由得，∴數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，∵，∴，，∴當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，∴有最大值，最大值為.故選：C.9.定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以的周期?．又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則．故選：A.10.函數(shù)是（）A.奇函數(shù)，且最小值為 B.奇函數(shù)，且最大值為C.偶函數(shù)，且最小值為 D.偶函數(shù)，且最大值為〖答案〗C〖解析〗由題可知，的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，而，即函數(shù)為偶函數(shù)；所以，又，即，可得函數(shù)最小值0，無最大值.故選：C11.在四面體中，，則四面體外接球表面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，此四面體可以看成一個(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，所以此四面體的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即,解得.所以四面體外接球表面積是.故〖答案〗為：B.12.已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率的最大值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等比數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則＝__________．〖答案〗〖解析〗，由題是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則由韋達(dá)定理，所以又是的等比中項(xiàng)且與同號(hào)，則.故〖答案〗為：.14.某校有高三學(xué)生1200名，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣法從中抽取200名學(xué)生進(jìn)行核酸檢測(cè)，用電腦對(duì)這1200名學(xué)生隨機(jī)編號(hào)1，2，3，…，1200，已知隨機(jī)抽取的一個(gè)學(xué)生編號(hào)為10，則抽取的學(xué)生最大編號(hào)為____.〖答案〗1198〖解析〗根據(jù)系統(tǒng)抽樣法可知，分段間隔為6，編號(hào)共分為200段，編號(hào)10屬于第2段，所以最大編號(hào)在第200段，號(hào)碼為10＋6×(200－2)＝1198．故〖答案〗為：1198.15.寫出與直線和圓都相切的一個(gè)圓的方程________．〖答案〗（〖答案〗不唯一，只需滿足與直線和圓都相切即可）.〖解析〗設(shè)圓的方程為:和直線相切可以得：和圓相切得：或若則此時(shí)圓的方程：故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，只需滿足與直線和圓都相切即可）.16.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，且與該拋物線在第一象限交于點(diǎn)，若軸，則橢圓C的離心率為______．〖答案〗〖解析〗由拋物線得焦點(diǎn)，因?yàn)檩S，所以把代入中，得，解得，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，由橢圓得焦點(diǎn)，所以，所以因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，所以，即，解得或，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的離心率為.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且．（1）求角C的大??；（2）若，求c取值范圍．解：（1）由已知及正弦定理，得，即，∴．又∵，∴；（2）由（1）及正弦定理得，∵，∴，∴．∵，∴，，∴，∴．18.如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，，為底面圓兩條互相垂直的直徑，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面.（2）若，且直線與平面所成角正切值為，求該圓錐的體積.（1）證明：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為底面圓兩條互相垂直的直徑，所以為底面圓的圓心，所以為圓錐的高，所以底面圓，因?yàn)榈酌鎴A，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面；?）解：過作于，連接.由（1）知平面平面，且平面平面，所以平面，所以為直線與平面所成的角，則，因?yàn)?，所以，所以，則，所以，故該圓錐的體積為.19.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．某研究小組為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，計(jì)算得，，，．作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，除了明顯偏離比較大的兩個(gè)樣本點(diǎn)，外，其它樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個(gè)樣本點(diǎn)，重新抽樣補(bǔ)充了兩個(gè)偏離比較小的樣本點(diǎn)，．（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量y的線性回歸方程；（3）經(jīng)過進(jìn)一步治理，如果每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測(cè)該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加的數(shù)量．參考公式：線性回歸方程，其中，．解：（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，而地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物估計(jì)值為．（2）將樣本點(diǎn)，替換為，，構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得，，，，所以，，所求回歸方程為．（3）由（2）回歸方程可知：每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，則野生動(dòng)物數(shù)量增加10，故該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加數(shù)量的估計(jì)值為：．20.已知函數(shù)．（1）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．（1）證明：∵當(dāng)時(shí)，∴成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）解：當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立當(dāng)時(shí)，，所以令，令