第4講

數(shù)陣圖初步

興趣篇

1、在圖中的三個(gè)圓圈內(nèi)填入三個(gè)不同的自然數(shù)，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。

2、請分別將1,2,4,6這四個(gè)數(shù)填在圖中的各空白區(qū)域內(nèi)，使得每個(gè)圓圈里四個(gè)數(shù)之和都等于15。

3、如圖所示，請?jiān)谌齻€(gè)空白圓圈內(nèi)填入三個(gè)數(shù)，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和都相等。

4、把1至8分別填入圖的八個(gè)方格內(nèi)，使得各列上兩個(gè)數(shù)之和都相等，各行四個(gè)數(shù)之和也相等。

5、把1至8分別填入圖的圓圈內(nèi)，使圖中三個(gè)小三角形三條邊上的六個(gè)數(shù)之和相等。

oo

6、在如圖所示的3X3方格表內(nèi)填入1、2、3這三個(gè)數(shù)字各三次，使得每行每列以及兩條對角線上的三個(gè)

數(shù)字之和都相等。

7、把1至6分別填入圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)之和都為13。

8、把1至6分別填入圖的六個(gè)方格內(nèi)，使得橫行三個(gè)數(shù)之和與豎列四個(gè)數(shù)之和相等。這個(gè)和最大是多少？

最小是多少？

9、把1至7這七個(gè)數(shù)分別填入圖中各圓圈內(nèi)，使每條直線上三個(gè)圓圈內(nèi)所填數(shù)之和都相等。如果中心圓內(nèi)

填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法。請寫出所有可能的填法。

10、在圖的6個(gè)圓圈內(nèi)分別填入不同的自然數(shù)，使得每一個(gè)數(shù)都是與它相連的上面兩個(gè)數(shù)之和，那么最下

面那個(gè)數(shù)最小是幾？

拓展篇

1、將1至9分別填入圖中的圓圈內(nèi)，可以使得圖中所有三角形（共七個(gè)）的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和都等于15。

現(xiàn)在已經(jīng)填好了其中三個(gè)，請你在圖中填出剩下的數(shù)。

2、在圖中的八個(gè)圓圈內(nèi)分別填入八個(gè)不同的自然數(shù)，使得正方形每條邊上三個(gè)數(shù)的和相等?，F(xiàn)在如果已經(jīng)

填好了五個(gè)數(shù)，那么每條邊上各數(shù)之和應(yīng)該是多少？并將其補(bǔ)充完整。

3、圖是由四個(gè)交疊的長方形組成的。在交點(diǎn)處有八個(gè)小圓圈。請你把1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)自

然數(shù)分別填入這些小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)長方形上的四個(gè)數(shù)之和都相等。

4、在圖中的方格內(nèi)填入三個(gè)0、兩個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)4,使得每個(gè)箭頭所指的列中各方格內(nèi)數(shù)字之和都是

6,并且使得從上到下第二行與第三行的數(shù)字之和都是7。

5、請?jiān)趫D的每個(gè)小圓圈內(nèi)填入1或2,使得每個(gè)大圓圈上四個(gè)數(shù)之和兩兩不同。那么所填數(shù)的總和是多少？

6、把1至8分別填入圖的把個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段直接相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字只差都不等于1。

7、在圖的其個(gè)圓圈內(nèi)填入七個(gè)連續(xù)自然數(shù)，使得每兩個(gè)相鄰圓圈內(nèi)所填數(shù)之和都等于它們連線上的已知數(shù)。

請問：標(biāo)有☆的圓圈內(nèi)填的數(shù)是多少？

M12

8、小悅是8月11日15點(diǎn)整出生的，她想把1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)填入圖的七個(gè)方框里，每個(gè)數(shù)只填一

次，使三條直線上的三個(gè)數(shù)之和恰好是8,11,15。問：在圓上的三個(gè)數(shù)的乘積最大可能是多少？

9、把1至6這六個(gè)數(shù)字填入圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這個(gè)和最小是

多少？最大是多少？

10、把1至11填入圖“六一”圖形的是一個(gè)空格內(nèi)，使得每一條直線上的兩個(gè)或三個(gè)數(shù)之和都相等。

11、請將1至6填入圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得四條直線上的數(shù)字之和都相等.

12、如圖，有一座長方形城堡，四周有十個(gè)掩體。守城的士兵有十件武器，各種武器的威力數(shù)如下表。為

了使城堡四條邊上的武器威力總數(shù)相同，并且盡量大，應(yīng)如何在十個(gè)掩體中配備武器？

武器手槍步槍自動步槍沖鋒槍輕機(jī)槍

威力數(shù)12345

武器重機(jī)槍迫擊炮火箭筒加農(nóng)炮榴彈炮

威力數(shù)678910

超越篇:

1、如圖，四個(gè)圓共被分為十二個(gè)區(qū)域，其中已有六個(gè)區(qū)域內(nèi)填有數(shù)，請將1至12中的另六個(gè)數(shù)填入其他

區(qū)域內(nèi)，使得每個(gè)圓中四個(gè)數(shù)之和都是28。

2、如圖，請?jiān)谌齻€(gè)圓圈內(nèi)分別填入三個(gè)數(shù)，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和都等于大圓上三個(gè)數(shù)之和。

3、把1至8填入圖中正方體八個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)，使得正方體每個(gè)面上的四個(gè)數(shù)都相等。

4、把1至12分別填入圖所示六角星團(tuán)的十二個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線上四個(gè)數(shù)之和都相等?，F(xiàn)在已經(jīng)填

好了六個(gè)數(shù)，那么每條直線上各數(shù)之和應(yīng)該是多少？并把下圖補(bǔ)充完整。

（6）

5、把1至8填入圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和相等，且小正方形頂點(diǎn)的數(shù)字之和

是大正方形頂點(diǎn)的數(shù)字之和的一半。

6、圖中一共有6條線段，請將九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)（其中一個(gè)是6）填入其中的九個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線

上圓圈內(nèi)的數(shù)加起來都等于23。

7、如圖，5X5的方格表被分成了五塊，請你在每格中填入1、2、3、4、5中的一個(gè)（其中兩個(gè)格子已經(jīng)分

別填入1和2）,使得每行、每列、每條對角線的五個(gè)數(shù)各不相同，且每塊上所填的和都相等。請問：ABCDE

是多少？

8、圖是奧林匹克五環(huán)標(biāo)志，五個(gè)圓圈內(nèi)共分成了九個(gè)部分.請?jiān)谶@九個(gè)部分中填入1至9這九個(gè)數(shù)字，使

得每個(gè)圓環(huán)內(nèi)的各數(shù)之和都相等。請問：這個(gè)和最大是多少？最小是多少？

第4講

數(shù)陣圖初步

興趣篇

7,在圖中的三個(gè)圓圈內(nèi)填入三個(gè)不同的自然數(shù)，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。

【解析】

2+5+。=11=＞。=4

a+l+c=ll=4+l+c=llnc=6

2+Z?+c=lln2+b+6=lln/?=3

【答案】

8、請分別將1,2,4,6這四個(gè)數(shù)填在圖中的各空白區(qū)域內(nèi)，使得每個(gè)圓圈里四個(gè)數(shù)之和都等于15。

【解析】

a+d=3

b+d=1

c+d=5

a、b、c、d為1,2,4,6,三偶一奇，組成左邊的3,5,7為3奇，那么d=La=2,b=6,c=4o

【答案】

9、如圖所示，請?jiān)谌齻€(gè)空白圓圈內(nèi)填入三個(gè)數(shù)，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和都相等。

【解析】

8+9+〃=8+c+7nc=〃+2

8+3+/?=8+9+。=＞力=。+6?=＞。=4,c=6

8+9+。=7+〃+/?=＞/?=10

【答案】

10、把1至8分別填入圖的八個(gè)方格內(nèi)，使得各列上兩個(gè)數(shù)之和都相等，各行四個(gè)數(shù)之和也相等。

【解析】

四列相等，只能是1+8=2+7=3++=4+5。

兩行相等應(yīng)該都是和為18,只能是

1+7+6+4

8+2+3+5

【答案】答案不唯一，例如

1764

8235

11、把1至8分別填入圖的圓圈內(nèi)，使圖中三個(gè)小三角形三條邊上的六個(gè)數(shù)之和相等。

【解析】

只要每條邊上和一樣，那么三解形和必然一樣，共六條邊，分為

1+12,2+11,3+10,4+9,5+8,6+7

分對填入即可。

【答案】答案不唯一，例如

12、在如圖所示的3X3方格表內(nèi)填入1、2、3這三個(gè)數(shù)字各三次，使得每行每列以及兩條對角線上的

三個(gè)數(shù)字之和都相等。

【解析】

【答案】答案不唯一，例如

rrz

KH

&H

7、把1至6分別填入圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)之和都為13。

【解析】

@------?-------?

=>〃+b+c+d+c+d+e+/=13+13=26

?------?a+"c+d+e+/+c+d=26

I6

21+c+d=26

c+d=5

=>a+b=8,e+/=8

=2+6=8,3+5=8,1+4=5

a=2,b=6,e=3f/=5,c=LJ=4

（不唯一）

【答案】答案不唯一，例如@--0--@

?--?--@

8、把1至6分別填入圖的六個(gè)方格內(nèi)，使得橫行三個(gè)數(shù)之和與豎列四個(gè)數(shù)之和相等。這個(gè)和最大是多少？

最小是多少？

【解析】

和最大時(shí),〃最大，和最小時(shí)b最小,21+一為2個(gè)和。

21+人為偶數(shù)，人為奇數(shù)，最大6=5,最小6=1。

和最大=(21+5)+2=13

和最小=(21+1)+2=11

【答案】最大13；最小11。

9、把1至7這七個(gè)數(shù)分別填入圖中各圓圈內(nèi)，使每條直線上三個(gè)圓圈內(nèi)所填數(shù)之和都相等。如果中心圓內(nèi)

填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法。請寫出所有可能的填法。

【解析】

設(shè)每邊和為k,

(a+b+c)+(c+d+e)+(c+f+g)=k+k+k

(a+b+c+d+e+f+g)+2c=3k

28+2c=3Z

28+2c是3的倍數(shù)

c=1或4或7

)=10或12或14

n

10、在圖的6個(gè)圓圈內(nèi)分別填入不同的自然數(shù)，使得每一個(gè)數(shù)都是與它相連的上面兩個(gè)數(shù)之和，那么最下

面那個(gè)數(shù)最小是幾？

【解析】

a+26+c最小，a,c可以是2,3,b=\,

a,c可以是2,4,b=\?

【答案】8

拓展篇

1、將1至9分別填入圖中的圓圈內(nèi)，可以使得圖中所有三角形（共七個(gè)）的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之和都等于15。

現(xiàn)在已經(jīng)填好了其中三個(gè)，請你在圖中填出剩下的數(shù)。

5

【解析】

=a=4

nb=2

c=7

d=3

3+4+e=15ne=8

6+e+/=15=>/=l

【答案】

2、在圖中的八個(gè)圓圈內(nèi)分別填入八個(gè)不同的自然數(shù)，使得正方形每條邊上三個(gè)數(shù)的和相等?，F(xiàn)在如果已經(jīng)

填好了五個(gè)數(shù)，那么每條邊上各數(shù)之和應(yīng)該是多少？并將其補(bǔ)充完整。

【解析】

(DO

0⑨

-@@a+9+6=7+6+bna=4=>l+16+4=21=

【答案】21；

3、圖是由四個(gè)交疊的長方形組成的。在交點(diǎn)處有八個(gè)小圓圈。請你把1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)自

然數(shù)分別填入這些小圓圈內(nèi)，使得每個(gè)長方形上的四個(gè)數(shù)之和都相等。

【解析】

a+h+c+d=〃+Z?+e+/

=>c+d=e+,f

同理可得

a+b=c+d=e+f=g+h

可得l+8=2+7=3+6=4+5

【答案】答案不唯一，例如

4、在圖中的方格內(nèi)填入三個(gè)0、兩個(gè)2、兩個(gè)3、兩個(gè)4,使得每個(gè)箭頭所指的列中各方格內(nèi)數(shù)字之和都是

6,并且使得從上到下第二行與第三行的數(shù)字之和都是7。

【解析】

(a+b+c)+(d+e)+(/+g)+〃+i=3x0+2x2+2x3+2x4

6+6+6+6+7=18

〃+i=O

4

304

03220

（不唯一）

【答案】答案不唯一，例如

5、請?jiān)趫D的每個(gè)小圓圈內(nèi)填入1或2,使得每個(gè)大圓圈上四個(gè)數(shù)之和兩兩不同。那么所填數(shù)的總和是多少？

;

【解析】

么口果Q=b=C=d,

則A圓之*口=a+e+c+f

B圓之和=d+e+b+f

A=B

所以a,b,c,d不能全一樣

所以一個(gè)圓之和最小=1+1+1+2=5

所以一個(gè)圓之和最大=2+2+2+1=7

所以三個(gè)圓之和分別為5,6,7

,一…2'X

1+2+2+2

【答案】9

6、把1至8分別填入圖的把個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段直接相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字只差都不等于1。

1~8中數(shù)字最多差7,最少差1,

a與b,c,d,e,f,g的差都不是1,所以分別差2?7

a只能是1或8,同理，d只能是1或8。

（不唯一）

【答案】答案不唯一，例如

7、在圖的其個(gè)圓圈內(nèi)填入七個(gè)連續(xù)自然數(shù)，使得每兩個(gè)相鄰圓圈內(nèi)所填數(shù)之和都等于它們連線上的已知數(shù)。

請問：標(biāo)有☆的圓圈內(nèi)填的數(shù)是多少？

76

10

【解析】

812

填入每個(gè)數(shù)都屬于2個(gè)和

8+12+9+6+10+7+7

=56=2個(gè)和

28=1個(gè)和

1+2+3+4+5+6+7=28

填入之?dāng)?shù)為1?7

a+b必是1+3=4,a=l,b=3或a=3,=1=>

【答案】5

8、小悅是8月11日15點(diǎn)整出生的,她想把1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)填入圖的七個(gè)方框里，每個(gè)數(shù)只填一

次，使三條直線上的三個(gè)數(shù)之和恰好是8,11,15。問：在圓上的三個(gè)數(shù)的乘積最大可能是多少？

【解析】

三線之和為：8+11+15=34

(〃+b+c>c^-d+e+t+jf+g=

1+2-43+4+各46c523

2c=6

c=3

使。+6+c=8=〃+〃=5nl+4=5

c+d+e=ll=>d+e=8=>2+6=8

c+f+g=15=f+g=12=5+7=12

使axexg最大4x6x7=168。

【答案】168

9、把1至6這六個(gè)數(shù)字填入圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得三角形每條邊上三個(gè)數(shù)之和都相等，那么這個(gè)和最小是

多少？最大是多少？

【解析】

設(shè)每邊之和為k,

女+A+&=l+2+3+4+5+6+〃+〃+c

32=21+〃+/?+。

%最大時(shí)32=21+4+5+6

&=12

%最小時(shí)弘=1+2+3

k=9

10、把1至11填入圖“六一”圖形的是一個(gè)空格內(nèi)，使得每一條直線上的兩個(gè)或三個(gè)數(shù)之和都相等。

【解析】

設(shè)每條直線上之和為k,

圖中一共5條

5%=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+。

=66+a

a=4或9=>

10

川6|7|

（不唯一）

【答案】答案不唯一，例如

2310

11、請將1至6填入圖的六個(gè)圓圈內(nèi)，使得四條直線上的數(shù)字之和都相等。

【解析】

設(shè)每條直線上之和為k,

(。+8+c)+(a+d+/)+(c+d+e)+(e+f)=4k

2a+b+2c+2d+2e+2f=4k

2(1+2+3+4+5+6)-〃=4&

42—b=4k

b=2或6

【答案】

12、如圖，有一座長方形城堡，四周有十個(gè)掩體。守城的士兵有十件武器，各種武器的威力數(shù)如下表。為

了使城堡四條邊上的武器威力總數(shù)相同，并且盡量大，應(yīng)如何在十個(gè)掩體中配備武器？

武器手槍步槍自動步槍沖鋒槍輕機(jī)槍

威力數(shù)12345

武器重機(jī)槍迫擊炮火箭筒加農(nóng)炮榴彈炮

威力數(shù)678910

【解析】

設(shè)各邊和為左,

乎4k=(1+2+3+lO)+a+b+c+d

I=55+a+b+c+d

Q55+a+b+c+d最大55+7+8+9+10=89

89不是砸倍數(shù)，所以用88

-?55+6+8+9+10=

【答案】

超越篇:

1、如圖，四個(gè)圓共被分為十二個(gè)區(qū)域，其中已有六個(gè)區(qū)域內(nèi)填有數(shù)，請將1至12中的另六個(gè)數(shù)填入其他

區(qū)域內(nèi)，使得每個(gè)圓中四個(gè)數(shù)之和都是28。

【解析】

a+b+7+8=28

〃+b=13

b+c+5+2=28

b+c=21

未填數(shù)為1、3、6、9、11、12

12+1=131

其中>=>/?=12,a=bc=9

12+9=21

￡>+5+10+9=28

e+f=9=>3+6=9

=d+e+4+7=28

d+e=17nll+6=17

所以e=6,f=3,d=ll

【答案】

2、如圖，請?jiān)谌齻€(gè)圓圈內(nèi)分別填入三個(gè)數(shù)，使得每條直線上三個(gè)數(shù)之和都等于大圓上三個(gè)數(shù)之和。

【解析】

9+1+。=9+9+。

a=S+b

a—S=b

9+1+a=9+7+c

a-6=c

u

。+。+8+。-6=。+1+9

3。-14=。+10

2。=24

a=\2

=>

【答案】

12,

1

L%

4J6

3、把1至8填入圖中正方體八個(gè)頂點(diǎn)處的圓圈內(nèi)，使得正方體每個(gè)面上的四個(gè)數(shù)都相等。

【分析】設(shè)未選中的數(shù)為x,則8個(gè)頂點(diǎn)數(shù)字之和為45-x,再設(shè)每個(gè)面上數(shù)字之和為《。將所有面上的和

求出來時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)計(jì)算了三次。顯然6%=3(45-x)n2Z=45-x,所以x是奇數(shù)。

分別討論x=1,3,5,7,9,只有當(dāng)x=7時(shí)，解出女=19不能被x整除，而其余x的取值所對應(yīng)的《都

能被x整除，不合題意。構(gòu)造一種符合要求的填法如上圖。

答案不唯一，例如

4、把1至12分別填入圖所示六角星團(tuán)的十二個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線上四個(gè)數(shù)之和都相等。現(xiàn)在已經(jīng)填

好了六個(gè)數(shù)，那么每條直線上各數(shù)之和應(yīng)該是多少？并把下圖補(bǔ)充完整。

6

2

6+2+7+c=c+5+l+〃

9=a

每行和=9+3+8+6=18+8

設(shè)填數(shù)為4、8、10、11、12

d+e+2+b=iS+b

"+e=16=>4+12=16=>d=4,e=12

【答案】26；

5、把1至8填入圖的八個(gè)圓圈內(nèi)，使得每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的數(shù)字之和相等，且小正方形頂點(diǎn)的數(shù)字之和

是大正方形頂點(diǎn)的數(shù)字之和的一半。

【解析】

a+b+c+d+e+f+g+h

=(〃+c+/+/O+(/?+d+e+g)

=2S+d+e+g)+(Z?+d+e+g)=3(〃+d+e+g)

=1+2+3+4+5+6+7+8=36

nb+d+e+g=12

1+2+3+6=12

1+2+4+5=12

設(shè)每個(gè)三角和為k,

(〃+/?+d)+(b+c+e)+(/+d+g)+(g+e+/?)=4A

〃+b+c+d+c+/+g+%+2(/?+d+e+g)=4左

(1+2+3+8)+2(b+d+g+e+g)=4Z

36+2x12=44

60=4k

15=k

可得答案:

（不唯一）

【答案】答案不唯一，例如

6、圖中一共有6條線段，請將九個(gè)連續(xù)的自然數(shù)（其中一個(gè)是6）填入其中的九個(gè)圓圈內(nèi)，使得每條直線

上圓圈內(nèi)的數(shù)加起來都等于23。

【解析】

設(shè)每線之和為&(k=23)

(a+8+c)+(a+c+d)++c+e)+(e+/+力)+(d+/+g)+(g+/?)=6〃

2(。+/?+c+d+e+/+g+//)+6=138

a+b+c+d+e+f+g+h-66

a+b+c+d+e+f+g+h+6-12

一共9個(gè)數(shù)連續(xù)的，

平均數(shù)為72+9=8,9個(gè)數(shù)為4?12,答案不唯一

但g+〃=23ng,〃為11,12。

【答案】答案不唯一，