2022年高考臨考沖刺卷（六）

數(shù)學(xué)（浙江）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將

自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答第1卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，寫本試卷上無效.

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷（共40分）

一、單選題（本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的）

1.已知集合4={x|log2K>1},B=||<%<3j,則AnB=（）

A.G，3）B.&2）C.（1,3）D.（2,3）

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合A,利用交集的定義可求得結(jié)果.

【詳解】

因為4={x|log2x>1]={x\x>2},因此，AC\B=（2,3）.

故選：D.

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足（l+j）z=（—l+i）2,貝ijz3為（）

A.V2B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的運算法則可得z=即得.

【詳解】

：(l+i)Z=(-l+i)2,

s-i+i1

二z-z—(—1—j)(—1+j)=2.

故選：B.

3.已知OCR,則“cos。＞0”是“角0為第一或第四象限角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不

必要

【答案】B

【解析】

【分析】

利用定義法進行判斷.

【詳解】

充分性：當cos。＞0時，不妨取cos。=1,。=0時軸線角不成立.故充分性不滿足；

必要性：角。為第一或第四象限角，則cos8＞0,顯然成立.

故選：B.

4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

A.48B.34C.24D.12

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)三視圖還原立體圖形可知幾何體由長方體力BCD-。［切去一個三棱臺

GN"-CDB所得，則用長方體的體積減去三棱臺的體積即得所求

【詳解】

圖示幾何體由長方體ABCD-48傳1。1切去一個三棱臺GNM-CDB所得，

三棱臺上底工=2,下底$2=8,

所以V=4x4x3-：x(2+8+V23T8)x3=34

故選擇：B

■3x+y+1>0

5.已知實數(shù)x,y滿足「2x+3y-4S0,貝U2x—y的最小值為（）

,x-2y-2<0

A.-3B.-1C.0D.-4

【答案】D

【解析】

【分析】

畫出約束條件的可行域，求出最優(yōu)解，然后求解即可.

【詳解】

解析：根據(jù)約束條件，可得可行域如圖中陰影所示，目標函數(shù)t=2x-y,

變?yōu)橹本€y=2x-t,，要最小，直線在y軸截距要求最大，當直線經(jīng)過可行域的B時,

目標函數(shù)的截距取得最小值，此時t=2x-y取得最小值.由［矍匚?二解得

(^JX十y十1—u

6.如圖，在正方體48。。一41%口。1中，點尸是線段3。1上的一個動點，有下列三個結(jié)

論：

①41Pll面ACDi；

②B]D14P；

③面41PB1面&CD.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.②③C.①③D.①②

【答案】A

【解析】

【分析】

對于①.先證明平面AC。】〃平面&C1B即可判斷；對于②.先證明&D，平面&BG即可

判斷；對于③.由②有當。_L平面&BC1從而可判斷.

【詳解】

對于①.在正方體ABC。-AiBiCWi連結(jié)4cMic1

可得A$〃CDi，又為BC平面4CZ）i，DiCu平面Ze。1，所以〃平面ACQ

4c〃&Ci，又41clC平面4C%4Cu平面/皿，所以4?//平面4皿

又n41cl=4,所以平面Ze%〃平面為CiB

乂4Pu平面41GB,所以4P〃面ACDi，故①正確.

對于②.連結(jié)41clM以

在正方體4BC0-41B1GD1中，BBi1平面力iBiQDi，則84J.4?

又DiBi1&G，且BBinBR=Bi，所以4的J■平面88也。

而OB】u平面峭。也所以叫1

又BG1BCCDJL平面BCCi&,BGu平面BCQBi，則CD18cl

由BiCnCD=C,所以BCi1平面CD/

而。/u平面CDJ,所以當。1BQ,有BQnAiCi=Cr

所以BW1平面AiBCi/Ju平面&BCi，所以當。14P,故②正確.

對于③.由②可知B]D_L平面41BQ,又DBiu平面COB1

所以面4BCi_L面/CD,即面&PB_1_面當（?。，故③正確.

故選：A

7.函數(shù)y=x[cos2（x-：）一,在區(qū)間[一n,兀]上的圖象大致是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

分別求出％=看，x=-5,%=當時的函數(shù)值符號，結(jié)合圖象，利用排除法即可得出答

12124

案.

【詳解】

解：當x=S時，y=^x[cos2(-7)=^>0,故排除C；

當x=一卷時，y=-^x[cos2(-J)-l]=2L>0,故排除B；

1ZL\ozZJ4o

當％=等時，y=.X[cos?]-寺=一票<0,故排除D.

故選：A.

8.已知實數(shù)a,4c滿足2a2+2標+。2=1,則2ab+3c的最小值為()

3

A.-3B.—C.-2D.—5

2

【答案】D

【解析】

【分析】

先分離出“2+62,應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進而求出最小值.

【詳解】

若出?+c取最小值，則就>異號，c<0,

根據(jù)題意得：2a2+2匕2=1一02,

又由+b2>2\ab\=—2ab,即有1—c2>—4ab,

c2-l

2ab>―--

??.2ab+3cN-+3C=?+3C-；XC+3)2-52-5，

當c=-3,。*分別取±壺時，等號成立，

即2ab+3c的最小值為-5,

故選：D

9.平面直角坐標系中，若兩點S(xi，yj7系2，丫2)，滿足忱121■或1%-yzlNL

則稱點S和點T保持了合理間距.正方形OABC中,頂點0(0,0),4(3,0),8(3,3),C(0,3),

動點P,。都在正方形。力BC內(nèi)(包括邊界)，且點P在拋物線y=/上，則下列說法錯

誤的是()

A.若點P與點O,A,B都保持了合理間距，則點P的橫坐標的取值范圍是[1,遮]

B.若點。與點。，A,B都保持了合理間距，則點。的軌跡所形成的面積為6

C.若點。與點尸，O,A,8都保持了合理間距，則點。的軌跡所形成的面積最大值為

6

D.若點。與點P,O,A,B都保持了合理間距，則點。的軌跡所形成的面積最小值為

[1+V3]

【答案】D

【解析】

【分析】

對于A：可得｛建:2：和(㈤>1或1。2|>1)且(|a-3|>1或周>1)且(|a-3|>

1或|。2-3|21),求解即可；對于B：根據(jù)幾何意義理解即可；對于C、D：若點。與

點P保持了合理間距，則以P為中心、邊長為2的正方形E/內(nèi)的點是不符合題意，

月.Q(a+l,a2+l),結(jié)合圖像分情況討論.

【詳解】

設(shè)點P(a,a2),動點尸在正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，則｛晨，解得0SaS舊

若尸與點O,A,B都保持了合理間距，則(⑷>1或周>1)且(|a—3|>1或|a2|>1)

且(|。一3|21或|(12-3|21),解得a21

點P的橫坐標的取值范圍是［1,%］,故A正確.

如圖，點Q與點。，A,8都保持了合理間距，圖中陰影部分是不符合題意，點。的

軌跡所形成的面積為6,故B正確.

若點。與點P保持了合理間距，則以P為中心、邊長為2的正方形EFQH內(nèi)的點是不

符合題意，且Q(a+l,a2+i)

設(shè)點。的軌跡所形成的面積為/(a),

當OWaWl時，如圖，陰影部分是不符合題意，f(a)=7-S0GQD=7—(a+

23

l)(a+1)=—a—Q2_Q+6在［0,1］上單調(diào)遞減

則/(Q)e[3,6].

當IVaV魚時，如圖，陰影部分是不符合題意,

f⑷=6-4+Si+S2+S3

=2+(2—a)(2—Q?)+(Q—1)(2—a?)+—1)(Q2-1)=o?—2小—a+5

r(a)=3a2-4a-1<0當1vav加恒成立

f(Q)在(1,a)上單調(diào)遞減，則/(a)G(1+V2,3).

當魚工。三百時，如圖，陰影部分是不符合題意，/(a)=6-SEFDG+=6-

22

2(4—a)+(a—1)=2a+a—3,則/(Q)6[14-V2,3+V3]?

綜上/(a)W[1+所以C正確，D錯誤.

故選：D.

10.已知數(shù)列｛an｝滿足臼=1,Qn=Qn_i+4（?Z；+iM）5wN*/N2）,Sn為數(shù)

列｛*｝的前，7項和，則（）

75

A77c/8

A?§<^2022<3B.2Vs2022VlC.5Vs2022V2D.1V$2022<3

【答案】D

【解析】

【分析】

先判斷出即>即_1,通過放縮得到2<（^==-戈）向士T，再通過分析法證得

函二味J<|>結(jié)合裂項相消即可證得$2022<

又由廝>昨1證得S2022>合1即可.

【詳解】

a

當neN*,n>2時,因為Qn—n-l0,所以即>Qn_i，

又因為搟=窟<而念=（急一念）1

\/an~y/an-l

______________1_______________yJan-l

且(x/^-Van-i)(#^+Van-i)-Max+l)'

fln-an-l

下證_____J______________Jan-lQ^i+Jan-l）v2

（歷一?…）-4（%1T+1）3’

即證何二問〈四尸+“

一\

即證3/。九<5yle1n+-J===t

64

即證9aV25a_i4--------F80,

nzian-l

即證9azit+36（JQ九-i+j：）<25an_i+-+80,

即證（師;+式/

9V4aTH———F20

71an-i

令￡=氏:+/三22,即證9t<4/+12+公，當tN2,a-i21時:不等式恒

成立.

3Oan~lV^n/'

因此‘豆一嬴V7anfln-l一（?…一扃）.1<

\lan~\lan-i

所以

+^—<—+|1

aaa

2Q22l3V2021

5215

------------r?<1

33J。20223

又因為52022=—+—+—+…H--->—a1,

a2022l

故選：D.

第II卷（共110分）

二、填空題（本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分）

11.中國折扇有著深厚的文化底蘊.如圖所示，在半徑為30cm的半圓O中作出兩個扇

形0AB和。CD,用扇環(huán)形ABQC圖中陰影部分）制作折扇的扇面，記扇環(huán)形48OC的

面積為Si，扇形OAB的面積為S2,當卷=寫時，扇形的形狀較為美觀，則此時扇形

OCD的半徑為cm.

【答案】15(近一1)

【解析】

【分析】

根據(jù)比例結(jié)合題意可得自=等=學(xué)，計算整理求。C.

S22

【詳解】

記扇形OCD的面積為S3,所對的圓心角為a

???1=匹2,則1=2=2吃=空=七與即"=在二

2

S22t2S2iaOA0A22OA2

OC=早OA=15(75-1)

故答案為：15(通—1).

12.設(shè)a€R,函數(shù)若/嗚]之9,則實數(shù)a的取值范圍是

【答案】(一8,—2]

【解析】

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義和指數(shù)的運算性質(zhì)即可得到結(jié)果

【詳解】

/(I)=log3^=-1，/(/(|))=/(-I)=3->9

所以一a之2即Q<—2

故答案為：(-8,-2]

nnn22n

13.設(shè)（2+x）=a02++a22~x■）---Fanx=%+瓦+x）+

2n

d2（|+x）+.??+bn（，x）（其中n為偶數(shù)），若對任意的kG{0,1,2「小},總有以<a4

成立，則n=，加+瓦+b2H---卜與=.

【答案】8短

【解析】

【分析】

先得到以=片，根據(jù)二項式性質(zhì)可知n=8,賦值法求解為+瓦+%+???+%=￡.

ku**-Zoo

【詳解】

由題意得：ak=cH，

因為以式&4,n為偶數(shù)，所以由二項式性質(zhì)可知：5=4,解得：n=8,

由于H+e+x）（=bo+A（|+x）+b2（3+x）+■-+beQ+x），

令％=-1得：=/+bi+Z>2H---Fb8?所以b（）+瓦+^---=壺

故答案為：8,7^-

14.在△ABC中，P是BC邊上靠近B點得四等分點/APC=60°,AB=2^3fS?ABP=V3,

則BP=,貝IJCOSZJICP=.

【答案】2也

14

【解析】

【分析】

利用余弦定理和三角形面積公式求出AP=PB=2,再根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果.

【詳解】

022

由余弦定理，得陽=AP2+PB2_24P,pB.COS120=AP+PB+AP-PB,

又SAABP=\AP-PB-sinl20°=V3,得4P?PB=4，

所以422+282=12-4=8,聯(lián)立得4P=PB=2,

3P"+PB，=8

所以CP=3PB=6,AC2=AP2+CP2-2AP-CPcos60°=4+36-2x2x6x|=28,

心+0。2一4p2_28+36-4_5x^7

所以C0S41CP

2ACCP-2X2V7X6-14'

故答案為：2；迎.

14

15.袋中有6個大小相同的球，其中1個紅球，"?個白球，〃個黑球，現(xiàn)依次取球，每

次取出一個，取出不放回，直到取出的球中有兩種不同顏色的球時結(jié)束，已知取到1個

紅球1個白球的概率為:，則機=,用X表示終止時取球的次數(shù)，則隨機變量

X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.

【答案】3139

60

【解析】

【分析】

直接求出取到1個紅球1個白球的概率先=：,從而解出m,進而得到6個中各種顏色

6X55

的球的個數(shù)，所以隨機變量X的取值為：2,3,4,求出各個概率，可得期望.

【詳解】

取到1個紅球1個白球,則取球2次,則取到1個紅球1個白球的概率先=占解得m=3

6X55

所以袋中的6個球中，其中I個紅球，3個白球，2個黑球

隨機變量X的取值為：2,3,4

r(A=Z)=-3-x2-x-2-+-3-x-2-4-2-x-2=——11

、76x515

3x2x2+3x2+2+2x313

P(X=3)=

6x5x460

1

P(X=4)=1—尸(X=2)-P(X=3)=—

隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2x3+3x橙+4x5=密

1560NU60

故答案為：3；啜

oU

已知是雙曲線?一看=的左右焦點，過的直線與雙曲線左支交于

16.Fi，F(xiàn)2,C：1Fi

點A,與右支交于點B,△A&F2與△B&F2內(nèi)切圓的圓心分別為A，%，半徑分別為6，

則人的橫坐標為；若則雙曲線離心率為.

r2,r1：72=1:3,

【答案】-V32

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義可得雙曲線焦點三角形內(nèi)切圓圓心

的橫坐標為士a；利用三角形相似及兩個內(nèi)切圓半徑的比值，構(gòu)造a、c的齊次方程，即

可求解離心率.

【詳解】

如圖，在ABF1F2中，圓％為△BF/2內(nèi)切圓，切點分別為C、D、E，

故

BD=BC,F2c=F2E,F1D=&E,

又B是雙曲線C上的一點，故8F]—8尸2=2a,即F[E-F2E=2a,

又F1E+F2E=2C,故FiE=a+c,則。E=a.

故4B&F2的內(nèi)切圓與的圓心橫坐標為a，

同理可得，△4居尸2的內(nèi)切圓L的圓心橫坐標為一a,即一遍;

Xr1:r2=1:3,則r[:r2=[(—a)—(―c)]:[a—(—c)]=(c—a):(c+a)=1:3,

即竽=三=；,解得e=2.

c+ae+13

故答案為：—國；2.

17.設(shè)立,b為不共線的向量,滿足5=23+32+4〃=2(兒〃ER)，且|F|=|G—萬|=

\b-c\,若|五一司=3,則Qd|.向)2_(五@2的最大值為.

【答案】324

【解析】

【分析】

采用建系法，令五=瓦?,3=而e=沅，將各個點用坐標表示，然后表達出AOAB面

積的最大值，進而求得(忻|.|b|)2_①.歷2的最大值；

【詳解】

令G=OA,b=OB,c=0C>又因為?=|a-c|=|b—c|?

即甌|=|西=|函，

則點C為A04B的外心，因為怔-b\=\AB\=3,

設(shè)B(—|,0),4(|,0),C(0,7n),不妨取m>0

則點。0o，yo)在圓C:%2+(y-m)2=m2+[上，

由OC=AOA+'代入坐標,(一曲,Tn—%)—=義(|一-、。)+4(-1-％o,一Vo),

解得&=3吊/。一根=斗堯，

聯(lián)立3a+4u=2和C:/+(y—m)2=m2+

解得7n=雪代也6<3,故|%|=6+中霽手

2\2/I1—X—gI2—A

當且僅當J9~A=，=即4=-1時取"="?

故SAOAB=與力司?|y°lW9,于是

(|a|?\b\)2-(a-b)2=\OA\2■\OB\2-(1-cos2^AOB)

22

=|O^4|?\OB\-siMzjlOB=4Sl0AB=324.

故答案為：324

三、解答題(本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

18.(本題滿分14分)已知函數(shù)/'(x)=2sin-§,(3>0).

(1)若/。)的圖像與直線y=2相鄰兩個交點的距離為兀，求3的值及/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當3=2時，求函數(shù)9。)=/(乃"(％+,)在X€[0用上的最大值.

【答案】⑴3=2；單調(diào)遞增區(qū)間為卜卷+時,居+同水門

(2)2—遍

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意求出周期，再求出3,分析求單調(diào)性即可；(2)根據(jù)題意得g(x)=

2sin(4x-^)-V3,再分析求值域即可.

(1)

因為f(x)的圖像與直線y=2相鄰兩個交點的距離為兀，所以f(x)的最小正周期為兀，

所以§=兀=3=2,所以f(x)=2sin卜無一§,

一12碗W2x=轉(zhuǎn)+2時=-尹而邙或+而，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：卜卷+時冷+k7r],kez；

(2)

當3=2時，/(%)=2sin(2x-

所以f(x+居)=2sin(2x+])=2cos2x,

所以g(x)=4sinQx—§?cos2x=4Qsin2x-fcos2x)?cos2x

=2sin2xcos2x—2V3cos22x=sin4x-V3cos4x—V3=2sin(4x--V3,

因為xe[。,1，所以4x—g6卜或副，所以sin(4x—g)T[—苧,1〉

所以2sin(4x-9-Be[―2b,2—網(wǎng)，所以g(x)的最大值為2-百.

19.(本題滿分14分)如圖，在四棱臺4BC。一4當6。1中，底面四邊形4BC。是菱形,

CGJ■面力BCD,且4BAD=60。(。=CCi=2GA=4,E是棱的中點.

⑵求多面體4BCD-&EC1D1(四棱臺ABCD-&B1C1D1切掉三棱錐&-&GE剩下的

部分)的體積;

(3)求直線A4i與平面4EC1所成線面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)1873

(3挈

【解析】

【分析】

(1)由CC1_L底面ABCC,得到CG_LBD,再由底面4BCD是菱形，得到B。14C,然

后利用線面垂直的判定定理證明；

(2)由題意，先求得四棱臺/BCD—4B1GD1的體積，再減去三棱錐名―&GE的體

積即可；

(3)以。為原點，。4、0B、。公所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，

設(shè)元=(x,y,z)為平面E4C1的一個法向量，直線441與平面4EC1所成線面角為。，由

sin?=可求解

sin"|京卜同"昨

(1)

證明：因為CGJ■底面4BCD,

所以CQ1BD,

因為底面ABC。是菱形，

所以BD14C,

又4cnCC1=c,

所以BD1平面4GC，

又由四棱臺ABCD-AiBiGDi知，4，A,C四點共面，

所以8。144]；

(2)

由題意得棱臺的上底面積為：Si=2x?x2x2xsin60°=2b，

下底面面積為S2=2x[x4x4xsin60°=8V3,

四棱臺48。0—48也1。1的體積為：匕=*Si+y/S^+S2)/i=|(2V34-4V3+

8V3)x4=竽

三棱錐B]—&GE的體積為：IZ2=|xx|/i=|xV3x2=警，

所以多面體4BCD-AiECWi的體積為：V=V1-V2=18百；

(3)

設(shè)4c交BD于點0,依題意，41ci〃0C且41cl=0C,

所以四邊形40CC1是平行四邊形，則4iO〃CG，

因為CCi1底面力BCD,所以4。JL底面ABCD,

以。為原點，04、OB、04所在直線分別為%軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系

如圖，

則4=(2次,0,0),A1=(0,0,4),Ct=(-273,0,4),B=(0,2,0),

由=|AB，得&=(-V3,1,4),

因為E是棱BBi中點，所以E(-苧,|,2),

所以西=(今-|,2),福=(-2次,0,0),^=(-273,0,4).

設(shè)元=(x,y,z)為平面E41cl的一個法向量，

[n-砧T=-2V3x=0

則一一733，取z=3,得元=(0,4,3),

(n?EA1=-x--y+2z=0

設(shè)直線4必與平面&ECi所成線面角為。，則sin。=圖得=某

所以直線與平面&EC1所成線面角的正弦值哈

本題滿分分)已知數(shù)列｛加滿足:%=。

20.(142=2,an+1=^+^+-+^(n>2).

(1)證明：an>n,nEN*；

1ii

(2)證明：-+-+??-+—<10,ne*.

aia2anNN

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)驗證n=l、2、3時，anNn,然后假設(shè)當"=23)時，/2k,證明出以+i2

fc+1,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論成立；

(2)先利用數(shù)學(xué)歸納法證明出即2卷以n+1),然后利用放縮法結(jié)合裂項求和法可證

得結(jié)論成立.

(1)

證明：對任意neN*，a”2n.

因為%=221,a2=2>2,a3=^-+a2=1.+2=3>3,

假設(shè)當n=k(kN3)時，ak>k,則2牛+亨之k+?2k+1,

這說明當《=卜+1時，cik+iNk+l也成立，

綜上所述，anNn,n6

(2)

證明：先歸納證明：對任意k6{1,2,…,n},ak>^/c(/c+l),

C、1X2__2x3?、3X4、“、4X5、u、5x6

因為的=22而，a2=2>—<?3=3>—,a44>—(a55>—)

、z、6X7

。6262

假設(shè)當n=k(k26,/ceN*￥'h、k(k+l)

a-k102-----

則當九=k+1時，???3k2+k—2(k24-3k+2)=/c2-5k-4>62-5x6-4>0,

、,Qj、k(k+l)?k(k-l)_3k2+k、k2+3k+2_(k+l)(k+2)

ak+i>?k+—+=10=-—'

這說明當《=々+1(426,ke/)時，8+iN("+:『),

綜上所述,an>^n(n+l),nGN*,所以,即W就不=1。(；一素)，

故工+—+,,?+-?<10fl-：+：—…+----<10,得證！

ara2an\223nn+1/n+1

21.(本題滿分14分)如圖，已知拋物線C:y2=2px(p>0)和點P(5,-2),點P到拋物

線C的準線的距離為6.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點P作直線匕交拋物線C于A,3兩點，M為線段4B的中點，點。為拋物線C上

的一點且始終滿足|4B|=2|QM|,過點。作直線％交拋物線C于另一點。，N為線

段QD的中點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，記△ONF的面積為品，△OMF的面積為S2,求工+S2

的最小值.

【答案】(Dy2=4x

(2)2

【解析】

【分析】

(1)利用點到準線的距離公式和p的幾何意義進行求解；

(2)先將|4B|=2|QM|等價于Q41QB,再轉(zhuǎn)化為斜率之積，聯(lián)立直線和拋物線方程，

利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率公式得到4m(yo-2)+%-4=0,再利用恒成立求出定點

(2(1,2)；再利用三角形的面積公式和基本不等式進行求解.

(1)

解：由題知5+：=6,解得p=2,

所以拋物線C的標準方程為/=4x：

(2)

解：當。不經(jīng)過點。時，|4B|=2|QM|等價于QA1QB,

即%4,=-1.

因為匕分別交C于A,B兩點,

所以。不平行于x軸，

設(shè)k：x=my+2m+5,4a2J,B(x2,y2)，Q(x0,y0),

聯(lián)立，i與C方程，得y2—4my—8m-20=0,

且A=167n2+4(8m+20)=16(m2+2m+5)>0,

由韋達定理，得y1+%=4m,yty2=-8m-20,

「卜_y「y。_乃-y。_-4

又一與-。一好_業(yè)一%+%，

44

所以=

所以力為+yo(yi+y2)+詔+16=o,

代入整理得4m(y()—2)+光一4=0,

要使該式恒成立，則琮二；二；，解得yo=2,3=l,

又經(jīng)檢驗，當。經(jīng)過點Q時，|4B|=2|QM|仍然成立，

所以存在定點QQ2)使得|4B|=2|QM|；

因為％分別交。于A，B兩點，

所以％不平行于X軸，且血工0，

又因為，2,設(shè)G：%=—藐'+藍+1，。(%3，丫3)，

聯(lián)立％與C方程，得y2+》一合4=0,

且A=16('+1)2>0,所以小。一1；

因為N為QD中點，所以丫'=鋁=一2,

所以Si+Si=]|OF|,|yM-yNl=|m+《|，

所以S=+曰=|m|+扁22,當m=l時取到等號，

所以折線。-M-F-N-。圍成面積的最小值為2,

即4+S2最小值為2.

2xx

22.(本題滿分14分)已知函數(shù)/(%)=ae-(a+l)e+ex(a>0),g(x)=竺孝(x*