第17章投影多邊形等角共軛點(diǎn)定義1從平面上一點(diǎn)向凸多邊形各邊作垂線，以各垂足為頂點(diǎn)的多邊形稱為投影多邊形．如三角形三條高線的垂足作為頂點(diǎn)的三角形，就是垂心的投影三角形〔常稱為垂心的垂足三角形〕．性質(zhì)1假設(shè)點(diǎn)關(guān)于的投影三角形是．(1)當(dāng)是的內(nèi)心或旁心時(shí)，是的外心．(2)當(dāng)是的外心時(shí)，是的垂心．(3)當(dāng)是的垂心時(shí)，假設(shè)是銳角三角形，是的內(nèi)心；假設(shè)是鈍角三角形，是的旁心．證明只證(3)中是鈍角三角形的情形，如圖17-1，是鈍角，是的垂心，那么在和的外部，在的內(nèi)部，易證故是的旁心．性質(zhì)2一點(diǎn)的投影三角形的面積，與點(diǎn)關(guān)于外接圓的冪成比例．證明如圖17-2，點(diǎn)在的邊、、上的投影分別為、、，聯(lián)結(jié)并延長的外接圓于點(diǎn)．那么，又，從而．于是，〔其中為半徑〕．〔注意到〕．注：性質(zhì)2常稱為施坦納(Steiner)定理．推論1投影三角形的面積為一定的點(diǎn)的軌跡，是一個(gè)與三角形外接圓同心的圓．在外接圓內(nèi)的點(diǎn)，外心的投影三角形面積最大．推論2三角形外接圓上的點(diǎn)的投影三角形面積為零．推論3一點(diǎn)的投影點(diǎn)外接圓的半徑．事實(shí)上，由及等三式即得．推論4的外心的投影三角形面積．事實(shí)上，由即得．推論5的內(nèi)心的投影三角形面積．事實(shí)上，由即得．推論6的重心的投影三角形面積．事實(shí)上，由即得．推論7的垂心的投影三角形面積．事實(shí)上，由即得．推論8的九點(diǎn)圓圓心的投影三角形面積．事實(shí)上，由且，得即得．將性質(zhì)2推廣，那么有如下結(jié)論：性質(zhì)3自所在平面內(nèi)一點(diǎn)向三角形三邊作同向等角的射線，分別交邊，，于點(diǎn)，，．設(shè)外接圓的半徑為，，那么．①證明如圖17-3，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)，，延長交圓于，聯(lián)結(jié)，．由題意知點(diǎn)，，，共圓，由正弦定理得．同理．又，，那么．在中，，而，即．從而．設(shè)為過，的直徑，那么．又因，那么．當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，如圖17-4所示，類似可證得．故性質(zhì)3得證．顯然，當(dāng)時(shí)，有，此即為性質(zhì)2．定義2凸多邊形所在平面內(nèi)兩點(diǎn)分別與各頂點(diǎn)連線，如果同一頂點(diǎn)所連的線與靠近的邊所成的角都相等，那么稱這兩點(diǎn)為凸多邊形的等角共軛點(diǎn)．例如，給定一個(gè)和兩個(gè)點(diǎn)，，如果使其滿足，，，那這樣的，兩點(diǎn)即為的等角共軛點(diǎn)．性質(zhì)4三角形的外心與垂心是三角形的等角共軛點(diǎn)〔參見第4章性質(zhì)2〕．性質(zhì)5調(diào)和四邊形兩條對角線的中點(diǎn)是調(diào)和四邊形的等角共軛點(diǎn)(參見第16章性質(zhì)4)．對三角形而言，顯然內(nèi)心是重合的等角共軛點(diǎn)〔稱為自等角共軛點(diǎn)〕；三個(gè)旁心也都是自等角共軛點(diǎn)．對于一個(gè)三角形而言，我們可推知：(1)三角形外接圓上除3個(gè)頂點(diǎn)外，其余所有點(diǎn)均無實(shí)在的等角共軛點(diǎn)和它們相配．或者說外接圓上除頂點(diǎn)外，其等角共軛點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)．(2)每個(gè)頂點(diǎn)可有無限多個(gè)等角共軛點(diǎn)，即對邊所在直線上的所有點(diǎn)．(3)每邊及延長線上的所有點(diǎn)同以對頂點(diǎn)為它們的等角共軛點(diǎn)．(4)除以上所說的點(diǎn)外，每一點(diǎn)都有唯一的等角共軛點(diǎn)和它配成點(diǎn)對．性質(zhì)6設(shè)，是的一對等角共軛點(diǎn)，那么，在邊，，〔所在直線〕上的射影必共圓，其共圓圓心是等角共軛點(diǎn)，連線的中點(diǎn)，如圖17-5所示．事實(shí)上，這個(gè)命題對多邊形來說也是成立的．性質(zhì)7如果一個(gè)多邊形有等角共軛點(diǎn)，那這對等角共軛點(diǎn)在各邊〔所在直線〕上的射影必共圓，所共圓圓心是這對等角共軛點(diǎn)連線的中點(diǎn)．證明如圖17-6，設(shè)、為凸多邊形……的等角共軛點(diǎn)．設(shè)、在各邊、、…、上的投影分別為、、、，…，、．聯(lián)結(jié)、、、，那么知、、、四點(diǎn)共圓，有．又由、、、四點(diǎn)共圓，有．由等角共軛點(diǎn)的定義，有．從而，有，即知、、、四點(diǎn)共圓，這圓的圓心應(yīng)是線段、的中垂線的交點(diǎn)．但這兩條中垂線顯然交于的中點(diǎn)，即為該圓的圓心．同樣的方法，可證、、、四點(diǎn)共圓，且圓心也是的中點(diǎn)．同理，得其他的圓，且這些圓既同心，又輪回有公共點(diǎn)，那么自必合而為一．注：此命題的逆命題雖然成立．從而上述條件為充分必要條件．于是我們可以得到：(1)假設(shè)兩點(diǎn)在一個(gè)多邊形各邊〔所在直線〕上的射影共圓，那么它們必是該多邊形的等角共軛點(diǎn)；(2)假設(shè)一點(diǎn)在一個(gè)多邊形各邊〔所在直線〕上的射影共圓，那么該點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)〔關(guān)于該多邊形而言〕必定存在．其實(shí)我們還可以把性質(zhì)6加強(qiáng)為如下一個(gè)等價(jià)形式的命題．性質(zhì)6設(shè)給定及，兩點(diǎn)，那么，兩點(diǎn)是的等角共軛點(diǎn)的充要條件是：點(diǎn)，在各邊〔所在直線〕上的射影必共圓．性質(zhì)8設(shè)給定及，兩點(diǎn)，那么，兩點(diǎn)是的等角共軛點(diǎn)的充要條件是：點(diǎn)，到各邊的距離成反比．證明略〔由直角三角形相似來證．〕性質(zhì)9三角形的一對等角共軛點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離乘積之比等于其等角共軛點(diǎn)到各邊的距離乘積之比．證明如圖17-7，由，，，易知有，所以．同理由，得 于是．同理，．所以 ．性質(zhì)10三角形的一對等角共軛點(diǎn)對于三角形的投影三角形的面積之比等于其等角共軛點(diǎn)與各頂點(diǎn)連線所分成對應(yīng)的三個(gè)三角形的面積乘積之比．為了證明此性質(zhì)，先給出如下引理．引理設(shè)，是的等角共軛點(diǎn)，如圖17-8，那么有，，．事實(shí)上，如圖17-8，延長至，使，聯(lián)結(jié)，．由，有 ．那么 ， ①且，從而，，，四點(diǎn)共圓，即． ②由①②知．同理 ，．下面給出性質(zhì)10的證明．證明如圖17-9，因，，，，，分別是等角共軛點(diǎn)，在的邊，，所在直線上的投影，由定理1知，，，，，，六點(diǎn)共圓，所以． ③又由，知，，，四點(diǎn)共圓，且為圓的直徑，所以．同理，，，，，于是． ①利用三角形面積公式，有，，．所以．同理．再由引理知，，，所以．⑤由式③，④，⑤，可得．由上述性質(zhì)10的證明過程，不難推證如下推論．推論9的等角共軛點(diǎn)，對于的投影三角形(如圖17-9中的，)的邊長由下式給出…其中表示邊的長，表示的外接圓半徑．推論10的等角共軛點(diǎn)(或)對于的投影三角形，如圖17-9中的，的邊垂直于所對的頂點(diǎn)與等角共軛點(diǎn)〔或〕的連線如圖17-9中的〔或〕等．推論11的等角共軛點(diǎn)(，)對于的投影三角形的邊，與的對應(yīng)邊乘這邊相對的頂點(diǎn)到等角共軛點(diǎn)的距離的積成比例．推論12的一對等角共軛點(diǎn)(，)及其在相應(yīng)兩邊上的投影為頂點(diǎn)的兩個(gè)對應(yīng)三角形相似如圖17-9中的等．推論13的等角共軛點(diǎn)〔或〕到各頂點(diǎn)的距離之積，與其等角共軛點(diǎn)對于的投影三角形如圖17-9中的或的三邊之積的比是一定值，其中，分別表示的面積、外接圓半徑．推論14三角形的等角共軛點(diǎn)對于三角形的投影三角形的面積之比等于其等角共軛點(diǎn)與頂點(diǎn)連線所分成對應(yīng)的三個(gè)三角形外接圓半徑的乘積之比．例1在四邊形中，假設(shè)，那么兩對角線的等角線交于一點(diǎn)，且、、、的垂心共線．證明由于，注意到：在兩對角線互相垂直的四邊形中，過對角線交點(diǎn)向每邊作垂線得四垂足，又假設(shè)每垂線與對邊相交得四交點(diǎn)，那么所得八點(diǎn)共圓；兩點(diǎn)是多邊形的等角共軛點(diǎn)的充要條件是這兩點(diǎn)在各邊上的射影共圓．由此知點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)存在．設(shè)為．令、、、的垂心分別為，，，．那么，，又，故．所以，即知、、三點(diǎn)共線．同理，、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線．故、、、四點(diǎn)共線．例2〔2023年國家集訓(xùn)隊(duì)測試題〕設(shè)、、分別是銳角三角形的邊、、上的點(diǎn)，使得是正三角形，并且它還是這樣的內(nèi)接正三角形中面積最小的．求證：點(diǎn)到的垂線、點(diǎn)到的垂線和點(diǎn)到的垂線，這三條直線共點(diǎn)．證明如圖17-11，作、、的外接圓，交得密克爾點(diǎn)，那么．同理，．由上知，為定點(diǎn)，所有這樣的正三角形〔面積不一定最小〕都相當(dāng)于以為中心，將其中的一個(gè)三角形作剛體旋轉(zhuǎn)而得．因此，這些三角形都有共同的旋轉(zhuǎn)中心．要使面積最小，即需最小，這要求為在上的垂足．同理，，分別為在、上的垂足．現(xiàn)在任取一點(diǎn)，使得，那么．因此，到的垂線在中是的等角線．從而，到的垂線，到的垂線，到的垂線，都是經(jīng)過點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)．故這三條直線共點(diǎn)于定點(diǎn)的等角共軛點(diǎn)．例3〔2023年國家集訓(xùn)隊(duì)測試題〕設(shè)，是內(nèi)兩點(diǎn)，滿足，，，、、的外心分別為、、，、、的外心分別為、、．設(shè)是經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓之圓心，是經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓之圓心．求證：．證明設(shè)、聯(lián)線和、聯(lián)線交于點(diǎn)．因、分別為、的外心，那么它們同在的中垂線上，即．同理，，，．從而，①． ②由①，②及條件，知．這就說明、、、四點(diǎn)共圓．由圓冪定理，有．③③說明點(diǎn)到及的冪相等，是這兩圓根軸上的一點(diǎn)．另一方面，由于既在的中垂線上，又在的中垂線上，因此，．④④說明點(diǎn)也在線段的中垂線上．類似地，假設(shè)設(shè)、的聯(lián)線和、，聯(lián)線交于點(diǎn)．同理可證點(diǎn)到及的冪相等，且點(diǎn)也在線段的中垂線上．從而，的中垂線就是及的根軸．故垂直于兩圓的根軸．從是兩圓的連心線，由此知．例4圓內(nèi)接四邊形的對角線與相交于點(diǎn)，那么與，與的垂心，外心分別四點(diǎn)共圓．證明為了證明該結(jié)論，先看如下引理：引理過圓內(nèi)接四邊形兩對角線交點(diǎn)作任一邊的垂線，那么垂線必過以其對邊為一邊，以交點(diǎn)為一頂點(diǎn)的三角形的外心．事實(shí)上，如圖17-13，過作于，作的中垂線交于，交于，過作，交于，那么，為的中點(diǎn)．由知，，，四點(diǎn)共圓．又是直角，所以，知為的外心．下面，回到原問題的證明：如圖17-14，設(shè)、與、分別為、的外心與垂心．由上述引理知，、、、及、、、分別四點(diǎn)共線．由于三角形的外心與垂心是等角共軛點(diǎn)，有，．所以，．所以，．即知，．從而，〔〕于是，即，故，，，四點(diǎn)共圓．同理，與的外心，垂心四點(diǎn)共圓．例5〔2023年第37屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克題〕非等腰，是其外接圓孤的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，、分別是、的內(nèi)心．證明：、、、四點(diǎn)共圓．證明如圖17-15，設(shè)是關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，、、，那么．故、關(guān)于的平分線對稱．同理，、關(guān)于的平分線對稱．這說明、，是的一對等角共軛點(diǎn)．因此，，從而．故、、、四點(diǎn)共圓．例6過內(nèi)一點(diǎn)引三邊、、的平行線與其他兩邊的交點(diǎn)分別為、，、，、．過作外接圓的弦．求證：．證明如圖17-16，設(shè)的三邊的長為，，，對應(yīng)的高為、、，又設(shè)、、與的相似比分別為，，．過作、、的垂線，垂足分別為、、，那么由性質(zhì)2，知．〔其中為三角形釙接圓半徑〕．注意到，，，那么由〔其中“〞表循環(huán)和〕有再注意到性質(zhì)2，有．又．由此即證得結(jié)論．注：其中，而，即．同理，，故．同理，，．練習(xí)十七1．及兩點(diǎn)在的三邊，，所在直線上的身影為，，及，，，求證：與是的等角共軛點(diǎn)的必要且充分的