試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：幾何探究題專項訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，點D是平面內(nèi)一動點（不與點C重合），連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段DE（點E不與點B重合），連接BE．取CD的中點P，連接AP．(1)如圖（1），當點E落在線段AC上時，=，直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為________．(2)如圖（2），當點E落在平面內(nèi)其他位置時，（1）中的結(jié)論是否仍舊成立？若成立，請就圖（2）的情形給出證明；若不成立，請說明理由．(3)若AC=6，CP=3，當點B，D，E在同一條直線上時，請直接寫出線段AP的長．2．如圖，點E為正方形ABCD邊BC延長線上的一個點，連接AE交BD于點F、交CD于點G．(1)求證：；(2)如圖2，連接AC交BD于點O，連接OE交CD于點H，連接FH：①若，，求的值；②若，求．3．如圖，在、中，，，設(shè)．連接，以、為鄰邊作，連接．(1)若，當、分別與、重合時（圖1），易得．當繞點順時針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時，請直接寫出線段、的數(shù)量關(guān)系________；(2)若，當繞點順時針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時，試推斷線段、的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若為任意角度，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)一周（圖4），當、、三點共線時，請直接寫出的長度．4．已知，四邊形是邊長為的正方形，點在射線上運動，連結(jié)，在射線下方作以為邊的矩形，且．(1)如圖①，當點與點重合，則的長為______．(2)如圖②，當點在線段上，且時、求點到直線的距離．(3)當點或點落在正方形的邊所在的直線上時，求矩形的面積．5．如圖1，在等邊△ABC中，AB=2，過點C作CE⊥AB，垂足為E，P為CE上任意一點（點P與點C不重合），把AP繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°，點P的對應(yīng)點為點D，分別連接BD、PD、ED．(1)求證：BD=CP；(2)當點P與點E重合時，請你依據(jù)題干要求，在圖2中作出圖形，并延長CE交BD于點F，求出BF的長；(3)直接寫出線段DE長度的最小值．6．某數(shù)學(xué)愛好小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條相互垂直的線段做了如下探究：(1)【觀看與猜想】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，，則的值為______；(2)【類比探究】如圖2，在矩形ABCD中，，，點E是AD上的一點，連接CE，BD，日．求的值；(3)【拓展延長】如圖3，在四邊形ABCD中，，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，且，，求AB的長；7．已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,點E是邊AD上的一個點(與點A,D不重合)．連接CE，作∠CEF=90°，交直線BC點F，點G為線段EF的中點．(1)如圖1，若點E是AD的中點，四邊形FHAB是矩形，求證：△HEF∽ΔDCE；(2)如圖2，若將邊AD向左平移1個單位得平行四邊形A′BCD′，當點G落在邊A′B上時，求A′E的長；(3)如圖3，連接DF，點H是DF的中點，連接GH，EH，是否存在點E，使△EGH為等腰三角形？若存在，直接寫出DE的值.8．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，CE⊥AB于E，點F是CE上一點，連接AF并延長交BC于點D，CG⊥AD于點G，連接EG．(1)求證：CD2＝DG?DA；(2)如圖1，若點D是BC中點，求證：CF＝2EF；(3)如圖2，若GC＝2，GE＝2，求證：點F是CE中點．9．感知發(fā)覺：如圖①，在正方形中，為邊上一點，連接，過點作交于點．易證：．（不需要證明）類比探究：如圖②，在矩形中，為邊上一點，連接，過點作交于點．(1)求證：．(2)若，，為的中點，求的長．(3)如圖③，在中，，，．為邊上一點（點不與點、重合），連接，過點作交于點．當為等腰三角形時，的長為__________．10．如圖，已知△ABC中，AB=AC，．點D是△ABC所在平面內(nèi)不與點A、C重合的任意一點，連接CD，將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段DE，連接AD、BE．(1)如圖1，當時，線段BE與AD的數(shù)量關(guān)系是______；直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是______．(2)如圖2，當時，①（1）中的結(jié)論是否仍舊成立，請說明理由；②當，，時，請直接寫出△DCE的面積．11．已知正方形ABCD中，點E是邊CD上一點（不與C、D重合），將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，如圖1，連接EF分別交AC、AB于點P、G．(1)請推斷△AEF的外形；(2)求證：(3)如圖2，當點E是邊CD的中點時，PE=1，求AG的長．12．如圖1，正三角形中，是邊上的一點，以點為頂點作，分別交，于點，．(1)當時，與的關(guān)系是______；(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當時，求的值；(3)如圖2，若在正三角形中邊的延長線上，點與點重合，點落在延長線上，，，求長．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，m，D是邊BC上一點，將△ABD沿AD折疊得到△AED，連接BE．(1)特例發(fā)覺：如圖1，當m＝1，AE落在直線AC上時．求證：∠DAC＝∠EBC；(2)類比探究如圖2，當m≠1，AE與邊BC相交時，在AD上取一點G，使∠ACG＝∠BCE，CG交AE于點H．探究的值（用含m的式子表示），并寫出探究過程；(3)拓展運用在（2）條件下，當，D是BC的中點時，若EB?EH＝6，直接寫出CG的長．14．如圖1，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ACB＝∠ADE＝90°，ABC＝∠AED＝α°．(1)當α＝30°時，①當點D，E分別落在邊AC，AB上，猜想BE和CD的數(shù)量關(guān)系是______；②當△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時（45°＜∠CAD＜90°）．分別連接CD，BE，則①的結(jié)論是否仍舊成立？若成立，請給出證明；若不成立．請說明理由．(2)當時，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)到∠DEB＝90°，若AC＝10，，直接寫出線段CD的長．15．小志同學(xué)在玩一副直角三角尺時發(fā)覺：含45°角的直角三角尺的斜邊可與含30°角的直角三角尺的較長直角邊完成重合（如圖①），即△CDA的頂點A′，C分別與△BAC的頂點A，C重合現(xiàn)在，他讓△CDA固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經(jīng)過△CDA的直角頂點D．(1)如圖②將△BAC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)a（0°＜a＜180°），使邊BC經(jīng)過點D，則a＝_______；(2)如圖③，將△BAC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)使邊BC經(jīng)過點D，求證：BC∥AC；(3)如圖④，若AB＝2，將△BAC沿射線AC‘的方向平移m個單位長度使邊BC經(jīng)過點D，求m的值．16．綜合與探究問題情境：如圖，正方形ABCD的邊長為12，點E在BC邊上運動．探究發(fā)覺：(1)如圖1，當時，連接AE，過點B作于點G，交CD于點F，請直接寫出線段BG和BF的長度；(2)如圖2，以BE為邊作正方形BEFG，并把正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，連接AG和DF，發(fā)覺DF與AG之間存在數(shù)量關(guān)系，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．探究拓廣：(3)如圖3，點E運動到與點C重合，連接AC，在AB上取點F，使，以CF為邊作正方形CFMN，連接AM，在圖3中補全圖形并直接寫出AM的長．17．如圖，△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，D在BC邊上、△BDE為等邊三角形，連接AE，F(xiàn)為AE中點，連CF，DF．(1)請直接寫出CF、DF的數(shù)量關(guān)系，不必說明理由；(2)將圖1中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（），其它條件不變，如圖2，試回答（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；(3)若將圖（1）中的△DBE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，其它條件不變，請完成圖3，并直接給出結(jié)論，不必說明理由．18．如圖，在等邊的邊上各取一點E，D，使相交于點O．(1)求證：；(2)若，求的長．(3)在（2）的條件下，動點P在從點C向終點E勻速運動，點Q在上，連結(jié)，滿足，記為x，的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出x的取值范圍．19．問題提出：如圖①所示，在矩形和矩形中，，點A，O，D不在同始終線上，連接．是的中線，那么之間存在怎樣的關(guān)系？(1)問題探究：先將問題特殊化，如圖②所示，當且時，的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)問題拓展：再探究一般情形如圖③所示，當，時，證明（1）中的結(jié)論仍舊成立．(3)問題解決：回歸圖①所示，探究之間存在怎樣的關(guān)系（數(shù)量關(guān)系用k表示）？20．已知矩形的一條邊，將矩形折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．(1)若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求的度數(shù)；(2)如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結(jié)AP、OP、OA．①求證：；②若與的面積比為，求邊AB的長；(3)如圖2，（2）的條件下，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且，連結(jié)MN交PB于點F，作于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，懇求出線段EF的長度．參考答案：1．(1)解：①如圖所示，延長BE交AP于F，取BE中點G，BC中點H，連接AH，AG，GH，∵在中，，，H是BC的中點，∴，，∠ACB=60°，∴AC=AH=BH=CH，同理可得，∵將線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60度得到線段DE，∴∠D=60°，DE=DC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠ECD=60°，CE=CD，∵P是CD的中點，∴，∵G、H分別是BE，BC的中點，∴GH是△ACE的中位線，∴,，∴∠BHG=∠ACB=60°，HG=CP，在△AGH和△BGH中，∴△AGH≌△BGH（SSS），∴∠AHG=∠BHG=60°，∠HBG=∠HAG；∵∠ECD=60°，點E在AC上，∴∠AHG=∠ECD=60°，在△AHG和△ACP中，，∴△AHG≌△ACP（SAS），∴AG=AP，∴；②∵△AHG≌△ACP∴∠HAG=∠CAP∵∠HBG=∠HAG，∴∠HBG=∠CAP，∵∠AFB=180°-∠CAP-∠AEF，∠ACB=180°-∠HBG-∠BEC，∠BEC=∠AEF，∴∠AFB=∠ACB=60°，∴直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60°；(2)解：（1）中結(jié)論仍舊成立，理由如下：如圖所示，連接CE，延長AP交BE延長線于G，同理可得CE=CD，∠DCE=60°，∵∠ACB=90°-∠ABC=60°，∴∠ACP=∠BCE，∵，∴△ACP∽△BCE，∴，∠CAP=∠CBE，∴∠CAP+∠ACB=∠CBE+∠G，∴∠G=∠ACB=60°，即直線AP與直線BE相交所成的較小角的度數(shù)為60°；(3)解：如圖（3）所示，當點E在線段BD上時，過點C作CN⊥BD于N，∵CP=3，P是CD的中點，∴CD=6，由（2）知△DCE是等邊三角形，∴CE=DE=CD=6,，∴，在中，，，∴BC=2AC=12，∴,∴，∴；如圖（4）所示，當點E在線段BD的延長線上時，過點C作CN⊥DE于N，同理可得，，∴，∴；綜上所述，或2．(1)證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴．(2)①解：∵，，，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，解得，∴，，如圖1，作于，由題意知，，∵，，∴，∴即，解得，∴，∴的值為．②解：如圖2，延長交于，由正方形的性質(zhì)可知，，，∵，∴，，設(shè)，，則，，，，，∵，∴，又∵，∴，∴即，∴，，∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，同理，∴，∴，∴，整理得，∴，∵，∴，∴的值為2．3．(1)解：如圖2，連接EC，∵，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵，，∴（SAS），∴，，∴，∵四邊形BDFC是平行四邊形，∴BC∥DF，BD=CF∴，，∴，又∵，∴，當時，，∴是等邊三角形，∴EF=CF；(2)解：同理（1）可得：，，當時，，∴是等腰直角三角形，；(3)解：分兩種狀況進行爭辯：如圖3-1：AF=AE+EF，同理1可得：，，又∵，，．∴，∴，∴，，∵，，，∴，，由（1）得：（SAS），∴，∴∴當、、三點共線時，，∴當、、三點共線時，、、三點共線，如圖4-1，過A點作AH⊥DE，∵AD=AE，∴，∴，∴，∴∵，∴，∴，如圖4-2，AF=EF-AE，同理可得：，，∴∵，∴，∴，綜上所述：AF長為或．4．(1)解：在正方形中，，，在中，，點與點重合，，故答案為：；(2)解：如圖，過點作，交的延長線于點，，，，在中，，，，，，，即，，，即點到直線的距離為；(3)解：分三種狀況爭辯：如圖，當點落在的延長線上時，則；如圖，當點落在的延長線上時，過點作于點，，，在中，，，，，，，，，，；如圖，當點落在延長線上時，，，，，，．綜上，矩形的面積為或或．5．(1)證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，由旋轉(zhuǎn)知，∴AD=AP，∠DAP=60°，∴∠DAB+∠BAP=∠BAP+∠CAP，∴∠DAB=∠CAP，∴△DAB≌△PAC（SAS），∴BD=CP；(2)解：如圖2，由旋轉(zhuǎn)知，AD=AP，∠DAP=60°，∴△ADP是等邊三角形，∴當點P與點E重合時，有AE=DE，∠AED=60°，∵CE⊥AB，∴AE=BE=DE，∠BCE=∠ACB=30°，∴∠EBD=30°，∴∠DBC=90°，在Rt△BCF中，∵BC=2，tan∠BCE=，∴BF=2tan30°=；(3)解：DE長度的最小值是，理由是：如圖3，由（1）知：△DAB≌△PAC，∴取AC的中點H，連接PH，則PH=DE，∴PH長度的最小值就是DE長的最小值，過點F作HG⊥CE于G，垂足G就是PH最小時點P的位置，此時PH=，故DE長度的最小值是．6．(1)解：設(shè)DE與CF的交點為G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，在△AED與△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE=CF，∴=1，故答案為：1；(2)解：如圖2，設(shè)DB與CE交于點G，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，(3)解：如圖3，過點C作交AF的延長線于點H，∵，∴，∴四邊形ABCH為矩形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴.7．(1)作于，，由題意可得，，，，，，，，，(2)如圖2，作于，作于，，由（1）得：，設(shè)，，，由（1）知：，，，，；(3)如圖3，作于，于，設(shè)，則，是的中點，是的中點，是的中位線，，由（1）可得，，，，，，，，，當時，，或（舍去），當時，，，當時，，，綜上所述：或32或16．8．(1)證明：∵CG⊥AD，∠ACB＝90°，∴∠CGD＝∠ACB＝90°，∵∠CDA＝∠CDG，∴△ACD∽△CGD，∴CD：DG＝DA：CD，∴CD2＝DG?DA；(2)如圖1，過E作EH∥AD交BC于點H，∵HE∥AD，∴BH：HD＝BE：EA，CD：HD＝CF：EF，∵CB＝CA，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴E為AB的中點，∴BE：EA＝1，∴BH：HD＝BE：EA＝1∵D為BD的中點∴CD=BD，∴CD：HD＝2，∵EH∥AD∴CD：HD＝CF：EF＝2∴CF＝2EF．(3)∵CB＝CA，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∵CE⊥AB，CG⊥AD，∴∠AGC＝∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴A、C、G、E四點共圓，∴∠EGF＝∠ACF＝45°，過點E作EM⊥AD于點M，∴△EGM是等腰直角三角形，EM＝GE?sin45°＝2＝2，∵CG＝2，∴CG＝EM，∵∠CFG=∠EFM，∠CGF=∠EMF=90°，∴△CGF≌△EMF，∴CF＝EF，即點F是CE中點．9．(1)證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．(2)解：∵為中點，∴，由（1）知，∴，即，∴．(3)解：如圖，①假如，則，，則點與點重合，點與點重合，不符合題意．②假如，則，∵為的外角，∴，∵，，∴，∴，，∴，又∵，，∴，∴，∵，，，∴，∴．③假如，則，∴，在中，，∴，∴，又∵，∴點為中點，∴．綜上所述，的長為或2．10．(1)解：由題意AB=AC，；，，△ABC和△DCE是等邊三角形，，，，，，，，如圖1，延長AD交BE的延長線于F，即為直線BE與AD相交所成的銳角，，故答案為：BE＝AD，60°；(2)解：①不成立，，直線BE與AD相交所成的銳角的度數(shù)是45°．理由如下：如圖2，設(shè)直線BE交AD于點N，AD交EC于點M．當時，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴，同理可得，，∴∵∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°，∠DCE＝∠ACE+∠DCA＝45°，∴∠ECB＝∠DCA，∴，∴，∴，∠CDA＝∠CEB．∵∠DMC＝∠EMN，∴∠DNE＝∠DCE＝45°，∴直線BE與直線AD相交所成的銳角的度數(shù)是45°．②△DCE的面積是13或25．解：當點D在△ABC外時，作交CB的延長線于點G，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，；點D在△ABC內(nèi)時，如下圖所示，同理可得，故△DCE的面積是13或25．11．(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AF=AE，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴∠FAE=90°，∴△AEF是等腰直角三角形。(2)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∠CAB=45°，即∠PAG=45°由（1）可得∠AFE=45°，∴∠PAG=∠AFP=45°，又∵∠APG=∠FPA，∴△APG∽△FPA，∴，∴；(3)解：設(shè)正方形的邊長為2a．∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF，∵∠ABC=90°，∴∠FBC=180°，∴F，B，C共線，∵DE=EC=BF=a，BC=2a，∴CF=3a，，∵，∴，∴，，，∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴，∴，∴，∴．12．(1)解：相等，理由：∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠BED＝∠BDE+∠CDF＝120°，∴∠BED＝∠CDF，∵BE＝CD，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BD＝CF，故答案為：相等；(2)解：∵△ABC為正三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠DEB＋∠B，又∠EDF＝60°，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴，∵BE＝2CD，∴；(3)解：∵∠ADC＝∠ADB＋∠FDC＝60°，∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝60°，∴∠DAB＝∠FDC，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠DCF，∴△BDA∽△CFD，∴，，∴，∵AB＝2，∴CD＝4，∴BD＝2，作△ABC的高AH，則BH＝1，DH＝3，在△ABH中，由勾股定理得，，在△ABH中，由勾股定理得，，∴DF＝2AD＝4.13．(1)解：如圖1，延長AD交BE于F，由折疊知，AB=AE，∠BAF=∠EAF，∴AF⊥BE，∠AFB=90°=∠ACB，∴∠DAC+∠ADC=∠BDF+∠EBC=90°，∵∠ADC=∠BDF，∴∠DAC=∠EBC；(2)解：如圖2，延長AD交BE于F，由（1）①知，∠DAC=∠EBC，∵∠ACG=∠BCE，∴△ACG∽△BCE，(3)（3）由折疊知，∠AFB=90°，BF=FE，∵點D是BC的中點，∴BD=CD，∴DF是△BCE的中位線，∴DF∥CE，∴∠BEC=∠BFD=90°，∠AGC=∠ECG，∠GAH=∠CEA，由（2）知，△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=90°，2m，∴tan∠GAC，設(shè)CG=x，則AGx，BE＝2x，∴AG=CE，∴△AGH≌△ECH（AAS），∴AH=EH，GH=CH，∴GHx，在Rt△AGH中，依據(jù)勾股定理得，AHx，∵EB?EH=6，∴2x?x=6，∴x或x（舍），即CG．14．(1)①解：∠ACB=∠ADE=90，∠ABC=∠AED=30°，AB=2AC，AE=2AD，.BE=AB-AE=2(AC-AD)，CD=AC-CD，BE=2CD，故答案為：BE=2CD；②解：BE=2CD仍舊成立，理由如下：∠ACB=∠ADE=90，∠ABC=∠AED=30°，AB=2AC，AE=2AD，，∠BAC=∠DAE，∠CAD=∠BAE，，，BE=2CD；(2)當點E在AB右側(cè)時，如圖3，過點A作AF⊥BE，交BE的延長線于F，∠ABC=∠AED=，，是等腰直角三角形，AC＝10，，，AE=AD，∠BAC=∠DAE，∠DAC=∠BAE，，，，，∠DEB=∠DEF=90°，AF⊥BF，∠ADE=90°，四邊形ADEF是矩形，AF=DE=，EF=AD=，BF=，BE=，CD=；當點E在AB的左側(cè)時，如圖4，過點A作AF⊥BE于點F，同理可求：BF=，BE=，CD=；綜上所述：CD的長為或.15(1)解：如圖②，；故答案為：15°；(2)解：如圖③，過點作于點，，，，，，，，，；(3)解：如圖④，過點作，垂足為，，，，，所以的值為：．16．(1)解：在正方形ABCD中，∠ABE=∠C=90°，AB=BC=12，在直角△ABE中，AE=，又∵S△ABE=，∴BG=，又∵∠ABG+∠EBG=∠ABG+∠EBG=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE=13；故BG=，BF=13．(2)DF=；證明：如圖，連接BF、BD，在正方形ABCD中，∠ABD=45°，BD=，同理∠GBF=45°，BF=，∴∠ABD+∠ABF=∠GBF+∠ABF，即∠ABG=∠DBF，又∵，∴△ABG∽△DBF，∴，即DF=．(3)解：如圖，當正方形CFMN在CF上方時，連接CM，由（2）知，AM=，又BF=AB-AF=4，∴AM=4；如圖，當正方形CFMN在CF下方時，連接CM、DF，由（2）知，AM=，在直角△ADF中，DF=，度AM=4，故AM的長為4或4．17．(1)解：，理由如下：延長DF，交AC于G；∵∠CDE＝∠ACD＝120°，∴；∵F是AE的中點，∴F是GD的中點，即AE、DG相互平分，∴四邊形AGED是平行四邊形，∴AG＝DE＝DB；∵BC＝AC，∴CG＝CD，在等腰△CGD中，F(xiàn)是DG的中點，則CF⊥GD，且，故．(2)延長DF至G，使得DF＝FG；則DG、AE相互平分，連接AG、CG；故四邊形AGED是平行四邊形；∴AG＝DE＝BD，且；∴∠AGM＝∠MDE＝∠3＋∠4＝∠3＋60°；四邊形AGMC中，∠1＋120°＋∠CAG＋∠AGF＝360°，即∠1＋120°＋∠CAG＋∠3＋60°＝360°?∠1＋∠3＋∠CAG＝180°；△DBM中，∠CBD＋∠2＋∠3＝180°，∵∠1＝∠2，∴∠CAG＝∠CBD＝α；又∵AG＝BD，AC＝BC，∴△AGC≌△BDC，得GC＝CD，∠ACG＝∠DCB；∴∠BCD＋∠GCB＝∠ACG＋∠GCB＝∠ACB＝120°，在等腰△GCD中，F(xiàn)是GD的中點，則CF⊥GD，且∠FCD＝60°，故，所以（1）的結(jié)論照舊成立．(3)，如圖．（解法與（2）完全相同）．18．(1)解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，又∵AE=CD，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴AD=BE；(2)解：由（1）得△BAE≌△ACD，∴∠ABO=∠CAD，AD=BE∴∠BAO+∠ABO=∠AOE=∠EAO+∠BAO=∠BAC=∠C=60°，又∵∠CAD=∠OAE，∴△CAD∽△OAE，∴，∵，∴，∴，∵CD=AE，∴，∴CD=2；(3)解：如圖所示，過點E作EF⊥AB于F，過點O作OG∥AB交AC于G，有（2）得，∵∠FAG=60°，∠AFE=30°，∴，∴，∴，∴，∴，∵OG∥AB，∴△OGE∽△BAE，∠OGF=∠BAC=60°∴，∴，，∴，∵∠AOE=60°，∴∠OEP=∠AOE+∠OAE=60°+∠OAE，∵∠EPQ=∠C+∠PQC=∠OPQ+∠OPE，∠C=∠OPQ=60°，∴∠OPE=∠CQP，∴△PQC∽△OPG，∴，∵，∴，∴，∵，∴．∵動點P在CE從點C向終點E勻速運動，且滿足，∴.19．(1)解：HO，CF的數(shù)量關(guān)系是：CF=2OH，位置關(guān)系是：OH⊥CF，理由是：連接HO并延長交CG于點L，如圖當k=1且∠AOD=90°時，∴AO=CO，OF=OD∴矩形AOCB和矩形ODEF是正方形∴∠AOC=∠DOF=90°∴∠C