第1頁（共1頁）2023-2024學年重慶市縉云教育聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2∈A}，則A∩B＝（）A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．?2．（5分）已知在R上的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，滿足f（x）＜f（2x﹣3）的x的取值范圍是（）A．（﹣2，+∞） B．（3，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣3，+∞）3．（5分）下列關(guān)于空集的說法中，錯誤的是（）A．0∈? B．??? C．?∈{?} D．??{?}4．（5分）已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．[﹣1，1） C．（0，+∞） D．[0，1]5．（5分）若函數(shù)f（x）的定義域為D，對于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有，稱函數(shù)f（x）滿足性質(zhì)ψ，有下列四個函數(shù)①f（x）＝，x∈（0，1）；②g（x）＝；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）＝其中滿足性質(zhì)ψ的所有函數(shù)的序號為（）A．①②③ B．①③ C．③④ D．①②6．（5分）已知，tanα﹣tanβ＝3，則cos（α+β）的值為（）A． B． C． D．7．（5分）已知直線y＝kx+m與曲線y＝x3﹣6x2+13x﹣8交于A，B，C三點，且AB＝BC，則2k+m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)F（x）＝af（x）﹣x有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。（多選）9．（5分）已知a＞b＞0，c∈R則下列關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+c B．a(chǎn)c＞bc C． D．若a＞c，則c＞b（多選）10．（5分）下列結(jié)論正確的是（）A． B．集合A，B，若A∪B＝A∩B，則A＝B C．若A∩B＝B，則B?A D．若a∈A，a∈B，則a∈A∩B（多選）11．（5分）下列說法正確的有（）A．若，則的最大值是﹣1 B．若x＞﹣2，則 C．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，則x+2y的最大值是2 D．若x＜1，則有最大值﹣5（多選）12．（5分）當0＜a＜b＜1時，下列不等式中不正確的是（）A． B．（1+a）a＞（1+b）b C． D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）計算：sin90°＝．14．（5分）以角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，角θ終邊過點P（1，2），則＝．15．（5分）若△ABC的內(nèi)角A，B滿足＝2cos（A+B），則當B取最大值時，角C大小為．16．（5分）若實數(shù)a，b∈（0，2）且ab＝1，則+的最小值為四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+cos2x﹣sin2x，求（1）f（x）的最小正周期；（2）當時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．18．（12分）已知函數(shù)．（1）當a＝2時；解不等式f（2x）≤0；（2）若a＞2，解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．19．（12分）在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為200m2的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排2m寬的綠化，綠化造價為200元/m2，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/m2，設(shè)矩形的長為x（m），總造價為y（元）．（1）將y表示為關(guān)于x的函數(shù)；（2）當x取何值時，總造價最低．20．（12分）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的關(guān)系如下：當0≤x≤4時，；當4＜x＜10時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．（1）若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？（2）若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a（1≤a≤4）個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）21．（12分）已知命題p：?x∈{x|0≤x≤1}，x2﹣a≥0，命題q：?x∈R，x2+2ax+a+2＝0，若命題p，q一真一假，求實數(shù)a的取值范圍．22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝4x﹣2x+1+a．（1）求關(guān)于x的不等式f（x）＜a的解集；（2）已知函數(shù)g（x）＝f（x）?[f（x+1）﹣22x+1]+a2，若g（x）的最小值為g（a），求滿足g（a）＝2a的a的值．

2023-2024學年重慶市縉云教育聯(lián)盟高一（上）期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2∈A}，則A∩B＝（）A．{1} B．{1，2} C．{1，4} D．?【分析】先求出集合B，再利用交集運算求解即可．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，∴B＝{x|x2∈A}＝{﹣1，﹣，﹣，﹣2，﹣，1，，，2，}，則A∩B＝{1，2}，故選：B．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（5分）已知在R上的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，滿足f（x）＜f（2x﹣3）的x的取值范圍是（）A．（﹣2，+∞） B．（3，+∞） C．（2，+∞） D．（﹣3，+∞）【分析】此題利用函數(shù)的單調(diào)性去掉抽象符號，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，得到一個不等式，解不等式組即可【解答】解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，則滿足f（x）＜f（2x﹣3），∴x＜2x﹣3，∴x＞3，在R上的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，滿足f（x）＜f（2x﹣3）的x的取值范圍是：（3，+∞）．故選：B．【點評】本題主要考查利用函數(shù)單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，基本知識的考查．3．（5分）下列關(guān)于空集的說法中，錯誤的是（）A．0∈? B．??? C．?∈{?} D．??{?}【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合的關(guān)系檢驗各選項即可判斷．【解答】解：根據(jù)元素與結(jié)合關(guān)系可知，0??，A錯誤；根據(jù)空集是任何集合的子集可知，B顯然正確；根據(jù)元素與集合關(guān)系可知，?∈{?}，C正確；根據(jù)集合與集合的關(guān)系可知，??{?}，D正確．故選：A．【點評】本題主要考查了元素與集合，集合與集合的關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|＜1}，則A∩B＝（）A．（﹣1，1] B．[﹣1，1） C．（0，+∞） D．[0，1]【分析】求出集合A、B，利用定義寫出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，B＝{x|＜1}＝{x|x＞0或x＜﹣1}，∴A∩B＝（0，+∞）．故選：C．【點評】本題考查了集合的定義與函數(shù)的定義域和值域的應用問題，是基礎(chǔ)題目．5．（5分）若函數(shù)f（x）的定義域為D，對于任意的x1，x2∈D，x1≠x2，都有，稱函數(shù)f（x）滿足性質(zhì)ψ，有下列四個函數(shù)①f（x）＝，x∈（0，1）；②g（x）＝；③h（x）＝x2（x≤﹣1）；④k（x）＝其中滿足性質(zhì)ψ的所有函數(shù)的序號為（）A．①②③ B．①③ C．③④ D．①②【分析】本題屬于新定義題，對每一個函數(shù)按照定義要求化簡，判斷即可．【解答】解：①，故①正確；②，當x1＞4，x2＞4時，，，故②不正確；③，當x1≤﹣1，x2≤﹣1時，|x1+x2|≥2，故③正確；④，因為，所以，同理，所以，故④不正確，故選：B．【點評】本題為新定義題目，對每一個函數(shù)按照定義要求化簡判斷即可，只有④的化簡略為難點，但放縮過程比較經(jīng)典，可以重點掌握．6．（5分）已知，tanα﹣tanβ＝3，則cos（α+β）的值為（）A． B． C． D．【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和同角三角函數(shù)的關(guān)系時的變換求出結(jié)果．【解答】解：tanα﹣tanβ＝3，且，則：＝＝＝＝3，整理得：，則：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，整理得：sinαsinβ＝﹣，所以：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝，故選：D．【點評】本題考查的知識要點：同角三角函數(shù)關(guān)系式的應用，誘導公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．7．（5分）已知直線y＝kx+m與曲線y＝x3﹣6x2+13x﹣8交于A，B，C三點，且AB＝BC，則2k+m＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x0，y0），C（x2，y2），由已知可得，代入解析式將兩式相加得x0＝2，求出y0可得答案．【解答】解：因為A，B，C三點在直線y＝kx+m，AB＝BC，所以B為A、C的中點，設(shè)A（x1，y1），B（x0，y0），C（x2，y2），可得，所以，兩式相加得，＝，所以，整理得，又因為，所以有，整理得，因為，所以x0＝2，可得，此時直線y＝kx+m過點（2，2），則2k+m＝2，所以2k+m＝2．故選：D．【點評】本題考查了直線過定點問題，直線和曲線的相交問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．8．（5分）已知函數(shù)，若函數(shù)F（x）＝af（x）﹣x有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，將F（x）的零點問題轉(zhuǎn)化為f（x）與有6個交點問題來解決，畫出圖象，根據(jù)圖象確定a的取值范圍．【解答】解：當x∈[2，4）時，x﹣2∈[0，2），；當x∈[4，6）時，x﹣2∈[2，4），；當x∈[6，8）時，x﹣2∈[4，6），；令F（x）＝af（x）﹣x＝0，易知a≠0，則，故依題意，函數(shù)f（x）與有6個交點，作出函數(shù)f（x）的圖象如下所示，由圖可知，，而，，∴，∴．故選：D．【點評】本小題主要考查分段函數(shù)圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得2分。（多選）9．（5分）已知a＞b＞0，c∈R則下列關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)+c＞b+c B．a(chǎn)c＞bc C． D．若a＞c，則c＞b【分析】由題意及不等式的性質(zhì)可得A，B，C，D的真假．【解答】解：因為a＞b＞0，c∈R，由不等式的性質(zhì)可得a+c＞b+c，所以A正確；當c≤0時，則ac≤bc，所以B不正確；可得ab＞0，由不等式的性質(zhì)可得＞，即＞，所以C正確；因為a＞b＞0，若a＞c，則b，c的關(guān)系不定，所以D不正確；故選：AC．【點評】本題考查不等式性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）下列結(jié)論正確的是（）A． B．集合A，B，若A∪B＝A∩B，則A＝B C．若A∩B＝B，則B?A D．若a∈A，a∈B，則a∈A∩B【分析】利用元素與集合的關(guān)系及有理數(shù)集的性質(zhì)，集合與集合的運算性質(zhì)，直接求解即可求得答案．【解答】解：對于A，是無理數(shù)，Q是有理數(shù)集，故A錯誤，對于B，集合A，B，若A∪B＝A∩B，必有A＝B，故B正確，對于C，集合A，B，若A∩B＝B，必有B?A，故C正確，對于D，如果一個元素即屬于集合A又屬于集合B，則這個元素一定屬于A∩B，故D正確，故選：BCD．【點評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，有理數(shù)集、集合與集合的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）下列說法正確的有（）A．若，則的最大值是﹣1 B．若x＞﹣2，則 C．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy＝8，則x+2y的最大值是2 D．若x＜1，則有最大值﹣5【分析】利用基本不等式求和的最小值，逐項求解，結(jié)合取相反數(shù)、分離常數(shù)項以及建立不等式，可得答案．【解答】解：對于A，由，則2x﹣1＜0，即，當且僅當，即x＝0時，等號成立，故A正確；對于B，由x＞﹣2，則x+2＞0，即，當且僅當，即x＝2時，等號成立，故B正確；對于C，由，當且僅當x＝2y時等號成立，且2xy＝﹣x﹣2y+8，則，整理可得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0，[（x+2y）+8]?[（x+2y）﹣4]≥0，由x＞0，y＞0，解得x+2y≥4，故C錯誤；對于D，，當且僅當，即x＝﹣2時，等號成立，故D正確．故選：ABD．【點評】本題主要考查基本不等式及其應用，屬于中檔題．（多選）12．（5分）當0＜a＜b＜1時，下列不等式中不正確的是（）A． B．（1+a）a＞（1+b）b C． D．（1﹣a）a＞（1﹣b）b【分析】根據(jù)題意，利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小，即可得到本題的答案．【解答】解：∵0＜a＜1，即0＜1﹣a＜1，∴y＝（1﹣a）x為減函數(shù)，∵0＜b＜1，可得，∴，可知A，C均不正確；又∵1＜1+a＜1+b，可得y＝（1+b）x和y＝xa（x＞0），y＝xb（x＞0）均為增函數(shù)，∴（1+a）a＜（1+b）a＜（1+b）b，可知B不正確；對于D，（1﹣a）a＞（1﹣a）b，且（1﹣a）b＞（1﹣b）b，所以（1﹣a）a＞（1﹣b）b，可得D正確．故選：ABC．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)、利用函數(shù)單調(diào)性比較大小等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）計算：sin90°＝1．【分析】直接結(jié)合三角函數(shù)的特殊值，即可求解．【解答】解：sin90°＝1．故答案為：1．【點評】本題主要考查三角函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）以角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，建立平面直角坐標系，角θ終邊過點P（1，2），則＝﹣3．【分析】根據(jù)題意任意角三角函數(shù)的定義即可求出tanθ，進而利用兩角和的正切函數(shù)公式即可計算得解．【解答】解：由題意可得x＝1，y＝2，∴tanθ＝＝2，∴＝＝＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的正切函數(shù)公式的應用，利用任意角的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）若△ABC的內(nèi)角A，B滿足＝2cos（A+B），則當B取最大值時，角C大小為．【分析】已知等式變形后，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡，利用基本不等式求出tanB的最大值，進而求出B的最大值，即可求出C的度數(shù)．【解答】解：已知等式變形得：sinB＝2sinAcos（A+B），∴sinB＝2sinAcosAcosB﹣2sin2AsinB，∴tanB＝＝，∵，∴C為鈍角，A與B為銳角，tanA＞0，∴tanB＝≤，當且僅當tanA＝，即A＝時取等號，∴（tanB）max＝，即B的最大值為，則C＝．故答案為：．【點評】此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．16．（5分）若實數(shù)a，b∈（0，2）且ab＝1，則+的最小值為【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：實數(shù)a，b∈（0，2）且ab＝1，則b＝，故+＝＝＝＝＝＝≥，當且僅當，即a＝時，等號成立，故+的最小值為．故答案為：．【點評】本題主要考查基本不等式及其應用，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝2sinxcosx+cos2x﹣sin2x，求（1）f（x）的最小正周期；（2）當時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．【分析】（1）利用倍角公式化簡整理函數(shù)f（x）的表達式，由周期；（2）先求解，由正弦函數(shù)性質(zhì)求解最值即可．【解答】解：（1）因為f（x）＝2sinxcosx+cos2x﹣sin2x＝sin2x+cos2x＝，所以函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）因為，所以又，則f（x）min＝﹣1，此時，即，即f（x）取最小值時x的集合為．【點評】本題考查了三角恒等變換，重點考查了三角函數(shù)最值的求法，屬基礎(chǔ)題．18．（12分）已知函數(shù)．（1）當a＝2時；解不等式f（2x）≤0；（2）若a＞2，解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．【分析】（1）將a＝2代入可得不等式，解二次不等式后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得解集；（2）將不等式因式分解，根據(jù)a的范圍比較和a的大小關(guān)系即可求得不等式的解集．【解答】解：（1）當a＝2時，函數(shù)化為，則，所以不等式化為，即，解不等式可得﹣1≤x≤1，∴不等式的解集為[﹣1，1]；（2）函數(shù)可化為，不等式，因為a＞2，則，所以此時不等式的解集為．【點評】本題考查了二次不等式和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．19．（12分）在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為200m2的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排2m寬的綠化，綠化造價為200元/m2，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/m2，設(shè)矩形的長為x（m），總造價為y（元）．（1）將y表示為關(guān)于x的函數(shù)；（2）當x取何值時，總造價最低．【分析】（1）分別計算綠化的面積、中間區(qū)域硬化地面的面積，從而可得y表示為關(guān)于x的函數(shù)；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：（1）矩形局域的面積為200m2，則矩形的寬為，綠化的面積為＝，中間區(qū)域硬化地面的面積為，故y＝＝，由，解得4＜x＜50，故y＝，4＜x＜50；（2）≥＝，當且僅當，即x＝10時，等號成立，故當x取10時，總造價最低．【點評】本題主要考查函數(shù)的實際應用，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．20．（12分）某單位購入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的關(guān)系如下：當0≤x≤4時，；當4＜x＜10時，．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．（1）若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達幾小時？（2）若第一次噴灑2個單位的消毒劑，6小時后再噴灑a（1≤a≤4）個單位的消毒劑，要使接下來的4小時中能夠持續(xù)有效消毒，試求a的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）【分析】（1）將給定的數(shù)值代入相應的公式即可；（2）列出方程后，利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：（1）∵一次噴灑4個單位的凈化劑，∴濃度，則當0≤x≤4時，由，解得x≥0，此時0≤x≤4，當4＜x＜10時，由20﹣2x≥4，解得4＜x≤8，綜合得0≤x≤8，∴若一次噴灑4個單位的消毒劑，則有效殺滅時間可達8小時．（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)x（6≤x＜10）時，濃度＝，∵14﹣x∈（4，8]，而1≤a≤4，∴，故當且僅當14﹣x＝4時，g（x）有最小值為，令，解得，∴a的最小值為．【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題選擇合適的函數(shù)模型，屬于中檔題．21．（12分）已知命題p