第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)1.5全稱量詞與存在量詞學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1．通過已知的數(shù)學(xué)實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義數(shù)學(xué)抽象2．能正確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題進(jìn)行否定邏輯推理3．能正確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題進(jìn)行否定邏輯推理|自學(xué)導(dǎo)引|

全稱量詞命題1．短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做___________，并用符號(hào)“______”表示．含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．常見的全稱量詞還有“一切”“每一個(gè)”“任給”等．2．通常，將含有變量x的語(yǔ)句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱量詞命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為________________．全稱量詞?

?x∈M，p(x)

3．一個(gè)全稱量詞命題可以包含多個(gè)變量，如“?x∈R，y∈R，x2＋y2≥0”．4．全稱量詞命題含有全稱量詞，有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需把它補(bǔ)充出來．例如，命題“平行四邊形對(duì)角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形對(duì)角線都互相平分”．【預(yù)習(xí)自測(cè)】下列命題是全稱量詞命題的是________(填序號(hào))．①每個(gè)四邊形的內(nèi)角和都是360°；②任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根；③?x∈Z，2x＋1是整數(shù)；④存在一個(gè)x∈R，使2x＋1＝3．【答案】①②③

存在量詞命題1．短語(yǔ)：“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做__________，并用符號(hào)“_______”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．常見的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對(duì)某些”“有的”等．2．存在量詞命題“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為_______________．存在量詞

x∈M，p(x)3．一個(gè)存在量詞命題可以包含多個(gè)變量，如“

a，b∈R，使(a＋b)2＝(a－b)2”．4．含有存在量詞“存在”“有一個(gè)”等的命題，或雖沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題．【預(yù)習(xí)自測(cè)】下列語(yǔ)句是存在量詞命題的是________(填序號(hào))．①任意一個(gè)自然數(shù)都是正整數(shù)；②存在整數(shù)n，使n能被11整除；③?x∈R，x2＋1≥1；④有些整數(shù)只有兩個(gè)正因數(shù)．【答案】②④

全稱量詞命題和存在量詞命題的否定1．全稱量詞命題：?x∈M，p(x)，它的否定：________________．2．存在量詞命題：

x∈M，p(x)，它的否定：_______________．

x∈M，?p(x)

?x∈M，?p(x)

【預(yù)習(xí)自測(cè)】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)命題?p的否定是p．

(

)(2)

x0∈M，p(x0)與?x∈M，?p(x)的真假性相反． (

)(3)從存在量詞命題的否定看，是對(duì)“量詞”和“p(x)”同時(shí)否定．

(

)【答案】(1)√

(2)√

(3)√|課堂互動(dòng)|題型1全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷

判斷下列語(yǔ)句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題．(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)矩形的對(duì)角線不相等；(3)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；(4)有些實(shí)數(shù)a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；(5)方程3x－2y＝10有整數(shù)解．解：(1)可以改為：所有的凸多邊形的外角和等于360°，故為全稱量詞命題．(2)可以改為：所有矩形的對(duì)角線不相等，故為全稱量詞命題．(3)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱量詞命題．(4)含存在量詞“有些”，故為存在量詞命題．(5)可改寫為：存在整數(shù)x，y，使3x－2y＝10成立，故為存在量詞命題．全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷思路提醒：全稱量詞命題可能省略全稱量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．1．給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)x＞1，使x2＞1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使ax2－ax＋1＝0的根為負(fù)數(shù)．其中存在量詞命題的個(gè)數(shù)為 (

)A．1

B．2C．3

D．4【答案】C

【解析】①③④為存在量詞命題，②為全稱量詞命題．故選C．題型2全稱量詞命題、存在量詞命題的真假判斷

判斷下列命題的真假．(1)

x∈Z，x3＜1；(2)存在一個(gè)四邊形不是平行四邊形；(3)在平面直角坐標(biāo)系中，任意有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)都對(duì)應(yīng)一點(diǎn)P；(4)?x∈N，x2＞0．解：(1)因?yàn)椋?∈Z，且(－1)3＝－1＜1，所以“

x∈Z，x3＜1”是真命題．(2)真命題，如梯形．(3)由有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，它是真命題．(4)因?yàn)?∈N，02＝0，所以命題“?x∈N，x2＞0”是假命題．判斷全稱量詞命題與存在量詞命題真假的技巧(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱量詞命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x，使得p(x)不成立即可．(2)要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x使p(x)成立即可；否則，這個(gè)存在量詞命題就是假命題．2．(多選)下列結(jié)論中正確的是

(

)A．?n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命題B．?n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題C．

n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命題D．

n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命題【答案】CD

【解析】當(dāng)n＝1時(shí)，2n2＋5n＋2不能被2整除，當(dāng)n＝2時(shí)，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B錯(cuò)誤，C，D正確．故選CD．題型3全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)命題“存在實(shí)數(shù)x，使x＞1”的否定是 (

)A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x＞1B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤1C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1(2)命題“?x∈R，

n∈N*，使得n≥x2”的否定是 (

)A．?x∈R，

n∈N*，使得n＜x2B．?x∈R，?n∈N*，使得n＜x2C．

x∈R，

n∈N*，使得n＜x2D．

x∈R，?n∈N*，使得n＜x2【答案】(1)C

(2)D

【解析】(1)利用存在性命題的否定為全稱命題可知，原命題的否定為“對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有x≤1”．故選C．(2)由于存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，所以“?x∈R，

n∈N*，使得n≥x2”的否定為“

x∈R，?n∈N*，使得n＜x2”．故選D．全稱量詞命題與存在量詞命題的否定的思路(1)一般地，寫含有一個(gè)量詞的命題的否定，首先要明確這個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，并找到量詞及相應(yīng)結(jié)論，然后把命題中的全稱量詞改成存在量詞，存在量詞改成全稱量詞，

同時(shí)否定結(jié)論．(2)對(duì)于省略量詞的命題，應(yīng)先挖掘命題中隱含的量詞，改寫成含量詞的完整形式，再依據(jù)規(guī)則來寫出命題的否定．3．命題p：“有些三角形是等腰三角形”，則?p是 (

)A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等邊三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形【答案】C

【解析】在寫命題的否定時(shí)，一是更換量詞，二是否定結(jié)論．更換量詞，“有些”改為“所有”，否定結(jié)論，“是等腰三角形”改為“都不是等腰三角形”，故?p為“所有三角形都不是等腰三角形”．題型4根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍

已知命題“?x∈R，函數(shù)y＝x2＋x＋a的圖象和x軸至多有一個(gè)公共點(diǎn)”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：全稱量詞命題“?x∈R，函數(shù)y＝x2＋x＋a的圖象和x軸至多有一個(gè)公共點(diǎn)”的否定為“

x∈R，函數(shù)y＝x2＋x＋a的圖象和x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)”．由命題真假求參數(shù)的范圍的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)命題和它的否定的真假性只能一真一假，解決問題時(shí)可以相互轉(zhuǎn)化．(2)求參數(shù)范圍問題，通常根據(jù)有關(guān)全稱量詞命題和存在量詞命題的意義列不等式求范圍．4．命題“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值構(gòu)成的集合．解：命題“存在x＞a，使得2x＋a＜3”是假命題，所以此命題的否定“任意x＞a，使得2x＋a≥3”是真命題．因?yàn)閷?duì)任意x＞a有2x＋a≥3，所以3a≥3，解得a≥1．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≥1}．易錯(cuò)警示對(duì)含量詞命題的否定把握不準(zhǔn)

“?x∈R，若y＞0，則x2＋y＞0”的否定是____________．錯(cuò)解：

x∈R，若y≤0，則x2＋y≤0易錯(cuò)防范：本題答案看似正確，量詞由“?”改為“

”，結(jié)論中“＞”改為“≤”，但是“若y＞0”改成了“若y≤0”就出現(xiàn)了錯(cuò)誤，原因是“若y＞0”不是結(jié)論，而是條件．防范措施是記準(zhǔn)兩點(diǎn)：一是否定量詞，二是否定結(jié)論．正解：

x∈R，若y＞0，則x2＋y≤0|素養(yǎng)達(dá)成|1．全稱量詞命題與存在量詞命題(體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng))．(1)全稱量詞命題含有全稱量詞，有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時(shí)需把它補(bǔ)充出來．例如，命題“平行四邊形對(duì)角線互相平分”應(yīng)理解為“所有的平行四邊形對(duì)角線都互相平分”．(2)含有存在量詞“存在”“有一個(gè)”等的命題，或雖沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”“有一個(gè)”等特征的命題都是存在量詞命題．2．全稱量詞命題和存在量詞命題的否定(體現(xiàn)了邏輯推理核心素養(yǎng))．對(duì)全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，我們可以這樣理解：(1)要否定全稱量詞命題“?x∈M，p(x)”，只需在M中找到一個(gè)x，使得p(x)不成立，也就是命題“?x∈M，?p(x)”成立；(2)要否定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”，需要驗(yàn)證對(duì)M中的每一個(gè)x，均有p(x)不成立，也就是命題“?x∈M，?p(x)”成立．在書寫這兩種命題的否定時(shí)，要將相應(yīng)的存在量詞變?yōu)槿Q量詞，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~．1．(題型1)(2022年南京期中)已知命題：①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角；③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；④所有數(shù)與0相乘，都等于0．其中，含存在量詞的命題的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．2 C．3

D．4【答案】A

【解析