第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年吉林省通化市梅河口市博文學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若c＝，b＝，B＝120°，則a等于（）A． B． C． D．22．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，sinB＝sinCcosA，則C＝（）A． B． C． D．3．（5分）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為56，59，60，62，a，若這組數(shù)據(jù)的極差為7，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．30 B．6 C．25 D．54．（5分）已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的均值和方差分別為（）A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，125．（5分）某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有20人，他們的年齡分布如下表所示：年齡45403632302928人數(shù)2335241下列說法正確的是（）A．29.5是這20人年齡的一個(gè)25%分位數(shù) B．29.5是這20人年齡的一個(gè)75%分位數(shù) C．36.5是這20人年齡的一個(gè)中位數(shù) D．這20人年齡的眾數(shù)是56．（5分）甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）A． B． C． D．7．（5分）已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面．給出下列命題：①若m⊥α，m⊥n，則n∥α；②若m⊥β，n⊥β，則n∥m；③若m⊥α，m⊥β，則α∥β；④若α∥β，m?α，n?β，則n∥m；⑤α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n，則命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，若AB＝BC＝AA1＝2，若P為線段BA1中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面A1B1C的距離為（）A． B． C． D．2二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）（多選）9．（5分）下面結(jié)論正確的是（）A．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件 B．若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則與也是相互獨(dú)立事件 C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，A與B相互獨(dú)立，那么P（A∪B）＝0.68 D．若P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，A與B相互獨(dú)立，那么（多選）10．（5分）將顏色分別為紅、綠、白、藍(lán)的4個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一個(gè)，則（）A．事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對(duì)立事件 B．事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是互斥不對(duì)立事件 C．事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”的對(duì)立事件是“丙分得白球，丁分得紅球” D．當(dāng)事件“甲分得紅球”的對(duì)立事件發(fā)生時(shí)，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是（多選）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D，AD＝1，cosA＝，以下結(jié)論正確的是（）A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面積為（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別是BC，AA1，C1D1，BB1的中點(diǎn)則（）A．直線A1G，EF是異面直線 B．平面DMC1截正方體所得截面的面積為 C．三棱錐A﹣MC1D1的體積為 D．三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分。）13．（5分）已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋棗味、3袋原味，若小明從中任取兩袋，則取到棗味牛奶的概率為．14．（5分）某高中的三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，該?，F(xiàn)在要了解學(xué)生對(duì)校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取50人進(jìn)行訪談，若采取分層抽樣，且按年級(jí)來分層，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是．15．（5分）已知正四面體P﹣ABC棱長為2，則PA與平面ABC所成角的余弦值為．16．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，M，N分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，AM，BN相交于P，則∠MPN的余弦值為．四、解答題：（共6小題共70分）17．（10分）已知復(fù)數(shù)z＝1+xi（i是虛數(shù)單位），且?（1+i）為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)x的值及復(fù)數(shù)z的模；（2）若復(fù)數(shù)ω＝在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）某次軍事演習(xí)中，空軍同時(shí)出動(dòng)了甲、乙、丙三架不同型號(hào)的戰(zhàn)斗機(jī)對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行轟炸，已知甲擊中目標(biāo)的概率是；甲、丙同時(shí)轟炸一次，目標(biāo)未被擊中的概率是；乙、丙同時(shí)轟炸一次都擊中目標(biāo)的概率是．（Ⅰ）求乙、丙各自擊中目標(biāo)的概率．（Ⅱ）求目標(biāo)被擊中的概率．19．（12分）某市為了解疫情期間本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本市居民中隨機(jī)抽取若干人進(jìn)行滿意度測評(píng)（測評(píng)分滿分為100分）．根據(jù)測評(píng)的數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：根據(jù)頻率分布直方圖，回答下列問題：（1）估計(jì)本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.01）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）估計(jì)本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的第85百分位數(shù)（精確到0.01）；（3）若該市居民約為250萬人，估計(jì)全市居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鳚M意度測評(píng)分?jǐn)?shù)在85分以上的人數(shù)．20．（12分）為進(jìn)一步加強(qiáng)中華傳統(tǒng)文化教育，提高學(xué)生的道德素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的民族精神，更好地讓學(xué)生傳承和發(fā)揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化和傳統(tǒng)美德，某校組織了一次知識(shí)競賽．現(xiàn)對(duì)參加活動(dòng)的1280名學(xué)生的成績（滿分100分）做統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．請(qǐng)大家完成下面問題：（1）求a值；（2）若從該校80分至100分之間的同學(xué)按分層抽樣抽取一個(gè)容量為7的樣本，再從該樣本任選2人參加與其他學(xué)校之間的比賽，求抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率．21．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝AB＝CD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．（1）求證：BE⊥平面PCD；（2）若PA＝PD，求二面角P﹣BC﹣D的余弦值．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，且．（1）求角C的值；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求的取值范圍．

2022-2023學(xué)年吉林省通化市梅河口市博文學(xué)校高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若c＝，b＝，B＝120°，則a等于（）A． B． C． D．2【分析】由題意和正弦定理求出sinC，由內(nèi)角的范圍和條件求出C，由內(nèi)角和定理求出A，利用邊角關(guān)系求出a．【解答】解：∵c＝，b＝，B＝120°，∴由正弦定理得，，則sinC＝＝＝，∵0°＜C＜120°，∴C＝30°，∴A＝180°﹣B﹣C＝30°，即A＝C，a＝c＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，以及內(nèi)角和定理，注意內(nèi)角和的范圍，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，sinB＝sinCcosA，則C＝（）A． B． C． D．【分析】由sinB＝sin（A+C），然后化簡即可求解．【解答】解：因?yàn)閟inB＝sinCcosA，則sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝sinCcosA，所以sinAcosC＝0，又sinA≠0，所以cosC＝0，解得C＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為56，59，60，62，a，若這組數(shù)據(jù)的極差為7，則這組數(shù)據(jù)的方差為（）A．30 B．6 C．25 D．5【分析】根據(jù)這組數(shù)據(jù)的極差為7可得a﹣56＝7，進(jìn)一步確定a值即可求出方差．【解答】解：∵56，59，60，62，a這組數(shù)據(jù)的極差為7，∴a﹣56＝7，∴a＝63，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為＝（56+59+60+62+63）＝60，∴這組數(shù)據(jù)的方差為s2＝[（56﹣60）2+（59﹣60）2+（60﹣60）2+（62﹣60）2+（63﹣60）2]＝6．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一組數(shù)據(jù)的極差與方差，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）已知數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值為2，方差為3，那么數(shù)據(jù)2x1+3，2x2+3，…，2x10+3的均值和方差分別為（）A．2，3 B．7，6 C．7，12 D．4，12【分析】利用平均數(shù)和方差的求法分別列式，求出平均數(shù)和方差．【解答】解：因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值為2，所以＝2，所以新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：＝＝2×+3＝7，則原數(shù)據(jù)的方差為：[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]＝3，則新數(shù)據(jù)的方差為：[（2x1+3﹣7）2+（2x2+3﹣7）2+…+（2x10+3﹣7）2]＝[（2x1﹣4）2+（2x2﹣4）2+…+（2x10﹣4）2]＝[4（x1﹣2）2+4（x2﹣2）2+…+4（x10﹣2）2]＝4×3＝12．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查均值和方差的意義，掌握平均數(shù)和方差的計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．5．（5分）某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有20人，他們的年齡分布如下表所示：年齡45403632302928人數(shù)2335241下列說法正確的是（）A．29.5是這20人年齡的一個(gè)25%分位數(shù) B．29.5是這20人年齡的一個(gè)75%分位數(shù) C．36.5是這20人年齡的一個(gè)中位數(shù) D．這20人年齡的眾數(shù)是5【分析】分別計(jì)算25%，75%分位數(shù)得到A正確，B錯(cuò)誤，再計(jì)算中位數(shù)和眾數(shù)得到CD錯(cuò)誤，得到答案．【解答】解：對(duì)選項(xiàng)A：20×25%＝5，25%分位數(shù)為，正確；對(duì)選項(xiàng)B：20×75%＝15，75%分位數(shù)為，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：這20人年齡的中位數(shù)是，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：這20人年齡的眾數(shù)是32，錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）A． B． C． D．【分析】用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值．【解答】解：甲校的3名教師記為A，B，1，乙校的3名教師記為C，2，3，其中A，B，C表示男教師，1，2，3表示女教師，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果有：AC，A2，A3，BC，B2，B3，1C，12，13，共計(jì)9個(gè)，選出的2名教師性別相同的結(jié)果有AC，BC，12，13，共計(jì)4個(gè)；則選出的2名教師性別的概率為P＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列舉法求古典概型的概率問題，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面．給出下列命題：①若m⊥α，m⊥n，則n∥α；②若m⊥β，n⊥β，則n∥m；③若m⊥α，m⊥β，則α∥β；④若α∥β，m?α，n?β，則n∥m；⑤α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n，則命題正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】在①中，n∥α或n?α；在②中，由線面垂直的性質(zhì)定理得n∥m；在③中，由面面平行的判定定理得α∥β；在④中，n與m平行或異面；在⑤中，m與n相交、平行或異面．【解答】解：由m，n是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，知：在①中，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故①錯(cuò)誤；在②中，若m⊥β，n⊥β，則由線面垂直的性質(zhì)定理得n∥m，故②正確；在③中，若m⊥α，m⊥β，則由面面平行的判定定理得α∥β，故③正確；在④中，若α∥β，m?α，n?β，則n與m平行或異面，故④錯(cuò)誤；在⑤中，α⊥β，m?α，n?β，則m與n相交、平行或異面，故⑤錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．8．（5分）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，若AB＝BC＝AA1＝2，若P為線段BA1中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面A1B1C的距離為（）A． B． C． D．2【分析】連接BC1，CB1相交于N，可證BC1⊥平面A1B1C，進(jìn)而可求點(diǎn)B到平面A1B1C的距離，進(jìn)而求得點(diǎn)P到平面A1B1C的距離．【解答】解：連接BC1，CB1相交于N，由A1B1⊥B1C1，BB1⊥A1B1，BB1∩B1C1＝B1，∴A1B1⊥平面BB1C1C，∵BC1?平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1，又四邊形BB1C1C是正方形，∴BC1⊥CB1，∵A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C，∴BN為點(diǎn)B到平面A1B1C的距離，由BC＝AA1＝2，可得BN＝BC1＝，∴P為線段BA1中點(diǎn)，∴點(diǎn)P到平面A1B1C的距離為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到面的距離的求法，考查推理論證能力，屬中檔題．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）（多選）9．（5分）下面結(jié)論正確的是（）A．若事件A與B是互斥事件，則A與也是互斥事件 B．若事件A與B是相互獨(dú)立事件，則與也是相互獨(dú)立事件 C．若P（A）＝0.6，P（B）＝0.2，A與B相互獨(dú)立，那么P（A∪B）＝0.68 D．若P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，A與B相互獨(dú)立，那么【分析】由相互獨(dú)立和互斥事件的定義可判斷A、B；由相互獨(dú)立的乘法公式和對(duì)立事件的定義可判斷C，D．【解答】解：對(duì)于A，由互斥事件的定義可知，事件A，B互斥，但是A與也是互斥事件不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若A與B相互獨(dú)立，則A與，B與，與都是相互獨(dú)立事件，故B正確；對(duì)于C，如果A與B相互獨(dú)立，則P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.6+0.2﹣P（AB）＝0.8﹣P（A）P（B）＝0.8﹣0.6×0.2＝0.68，故C正確；對(duì)于D，如果A與B相互獨(dú)立，則，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相互獨(dú)立和互斥事件的定義，考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（5分）將顏色分別為紅、綠、白、藍(lán)的4個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一個(gè)，則（）A．事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”是互斥不對(duì)立事件 B．事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”是互斥不對(duì)立事件 C．事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”的對(duì)立事件是“丙分得白球，丁分得紅球” D．當(dāng)事件“甲分得紅球”的對(duì)立事件發(fā)生時(shí)，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是【分析】由已知結(jié)合互斥事件及對(duì)立事件的定義及古典概率公式檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：事件“甲分得紅球”與事件“乙分得白球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A錯(cuò)誤；事件“甲分得紅球”與事件“乙分得紅球”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，除了甲分得紅球或者乙分得紅球以外，丙或者丁也可以分得紅球，B正確；事件“甲分得綠球，乙分得藍(lán)球”與事件“丙分得白球，丁分得紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，C錯(cuò)誤；事件“甲分得紅球”的對(duì)立事件是“甲沒有分得紅球”，因此乙、丙、丁三人中有一個(gè)人分得紅球，事件“乙分得紅球”發(fā)生的概率是，D正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互斥事件及對(duì)立事件的判斷，還考查了古典概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分線交BC于點(diǎn)D，AD＝1，cosA＝，以下結(jié)論正確的是（）A．AC＝ B．AB＝8 C．＝ D．△ABD的面積為【分析】由已知結(jié)合正弦定理及和角公式化簡可求C＝，然后結(jié)合銳角三角函數(shù)定義可得cosA＝，再結(jié)合角平分線定理及勾股定理和三角形的面積公式對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：因?yàn)閎＝ccosA，由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA＝sin（A+C），所以sinAcosC＝0，因?yàn)閟inA≠0，所以cosC＝0即C＝，∵＝cosA＝，由角平分線定理可得，＝，設(shè)AC＝x，AB＝8x，則BC＝3x，CD＝，Rt△ACD中，由勾股定理可得，，解可得x＝，即AC＝，AB＝6，∵SABC＝＝，所以S△ABD＝＝．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了正弦定理，三角形的面積公式，角平分線定理及銳角三角函數(shù)定義在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔試題．（多選）12．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，M分別是BC，AA1，C1D1，BB1的中點(diǎn)則（）A．直線A1G，EF是異面直線 B．平面DMC1截正方體所得截面的面積為 C．三棱錐A﹣MC1D1的體積為 D．三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為【分析】對(duì)于A，取B1C1的中點(diǎn)P，連接PE，取PE的中點(diǎn)Q，連接A1Q，證明EF∥A1Q，即可判斷；對(duì)于B，延長C1M，CB交于點(diǎn)H，連接HD交AB點(diǎn)N，連接MN，AB1，說明平面DMC1截正方體所得截面為四邊形MNDC1，從而可以判斷；對(duì)于C，連接BC1，B1C，證明B1C⊥平面ABC1D1，再根據(jù)即可判斷；對(duì)于D，利用等體積法可求三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而可求體積．【解答】解：對(duì)于A，如圖，取B1C1的中點(diǎn)P，連接PE，取PE的中點(diǎn)Q，連接A1Q，則A1F∥EQ，A1F＝EQ，所以四邊形A1FEQ是平行四邊形，所以EF∥A1Q，又因A1G∩A1Q＝A1，所以直線A1G，EF是異面直線，故A正確；對(duì)于B，如圖，延長C1M，CB交于點(diǎn)H，連接HD交AB點(diǎn)N，連接MN，AB1，因?yàn)锽B1∥CC1，M為BB1的中點(diǎn)，則，所以B為HC的中點(diǎn)，因?yàn)锳B∥CD，所以N為AB的中點(diǎn)，則MN∥AB1，因?yàn)锳D∥B1C1，AD＝B1C1，所以AB1C1D為平行四邊形，所以AB1∥DC1，所以MN∥DC1，則平面DMC1截正方體所得截面為等腰梯形MNDC1，在等腰梯形MNDC1中，，則梯形的高為，所以等腰梯形MNDC1的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連接BC1，B1C，則BC1⊥B1C，因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1，B1C?平面BCC1B1，所以AB⊥B1C，又AB∩BC1＝B，AB，BC1?平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1，又因?yàn)镸為BB1的中點(diǎn)，所以三棱錐M﹣AC1D1的高為，，所以，故C正確；三棱錐A1﹣BDC1為正四面體，且棱長為4，每個(gè)側(cè)面的面積為×（4）2×＝8，三棱錐A1﹣BDC1的體積為43﹣4×××43＝，設(shè)三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的半徑為r，則4××8×r＝，解得r＝，所以三棱錐A1﹣BDC1的內(nèi)切球的體積為πr3＝，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間幾何體的性質(zhì)，考查異面直線，考查截面面積，考查內(nèi)切球的體積的求法，屬中檔題．三、填空題：（本大題共4小題，每小題5分。）13．（5分）已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋棗味、3袋原味，若小明從中任取兩袋，則取到棗味牛奶的概率為．【分析】根據(jù)樣本空間和所求事件包含的樣本點(diǎn)，由古典概型的概率公式求值．【解答】解：設(shè)4袋牛奶編號(hào)分別為a，b，c，d，其中a為棗味，b，c，d為原味，從中任取兩袋，則樣本空間Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，共6個(gè)樣本點(diǎn)，用事件A表示“取到棗味”，則A＝{ab，ac，ad}，共3個(gè)樣本點(diǎn)，根據(jù)古典概型的概率公式可得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）某高中的三個(gè)年級(jí)共有學(xué)生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，該?，F(xiàn)在要了解學(xué)生對(duì)校本課程的看法，準(zhǔn)備從全校學(xué)生中抽取50人進(jìn)行訪談，若采取分層抽樣，且按年級(jí)來分層，則高一年級(jí)應(yīng)抽取的人數(shù)是15．【分析】根據(jù)分層抽樣原則直接計(jì)算即可．【解答】解：由題意，從全校2000人中抽取50人訪談，按照年級(jí)分層，則高一年級(jí)應(yīng)該抽人．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知正四面體P﹣ABC棱長為2，則PA與平面ABC所成角的余弦值為．【分析】根據(jù)正四面體的幾何性質(zhì)，結(jié)合線面角的定義進(jìn)行求解，能求出PA與平面ABC所成角的余弦值．【解答】解：設(shè)頂點(diǎn)P在平面ABC的射影為O，連接AO，則∠PAO是PA與平面ABC所成角，∵正四面體P﹣ABC棱長為2，∴O是底面△ABC的中心，∴AO＝＝＝，∴cos＝＝，∴PA與平面ABC所成角的余弦值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四面體的結(jié)構(gòu)特征、線面角的余弦值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，M，N分別為BC，AC邊上的中點(diǎn)，AM，BN相交于P，則∠MPN的余弦值為．【分析】利用平面向量加法法則能求出，，再利用向量夾角公式cos∠MPN＝|cos＜，＞|＝||．由此能求出∠MPN的余弦值．【解答】解：設(shè)＝，＝，∴＝＝＝（）＝+，＝＝+＝﹣+．＝（+）2＝（++）＝，＝（﹣）2＝﹣+＝，∴＝（）?（﹣+）＝﹣﹣+＝3，∴cos∠MPN＝|cos＜，＞|＝||＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的表示、向量夾角余弦值的求法，考查向量夾角數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．四、解答題：（共6小題共70分）17．（10分）已知復(fù)數(shù)z＝1+xi（i是虛數(shù)單位），且?（1+i）為純虛數(shù)（是z的共軛復(fù)數(shù)）．（1）求實(shí)數(shù)x的值及復(fù)數(shù)z的模；（2）若復(fù)數(shù)ω＝在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算算出，然后可得答案；（2）對(duì)ω進(jìn)行運(yùn)算化簡，然后可得答案．【解答】解：（1）由題意得為純虛數(shù)，所以1+x＝0，1﹣x≠0，所以；（2），因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以m﹣1＜0，m+1＞0，解得﹣1＜m＜1，故m的取值范圍為（﹣1，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）某次軍事演習(xí)中，空軍同時(shí)出動(dòng)了甲、乙、丙三架不同型號(hào)的戰(zhàn)斗機(jī)對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行轟炸，已知甲擊中目標(biāo)的概率是；甲、丙同時(shí)轟炸一次，目標(biāo)未被擊中的概率是；乙、丙同時(shí)轟炸一次都擊中目標(biāo)的概率是．（Ⅰ）求乙、丙各自擊中目標(biāo)的概率．（Ⅱ）求目標(biāo)被擊中的概率．【分析】（1）利用甲擊中目標(biāo)的概率是；甲，丙同時(shí)轟炸一次，目標(biāo)未被擊中的概率是；乙、丙同時(shí)轟炸一次郡擊中目標(biāo)的概率是，且甲，乙，丙是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立，建立方程，求乙，丙各自擊中目標(biāo)的概率；（2）直接利用對(duì)立事件的概率求解．【解答】解：（1）記甲、乙、丙各自獨(dú)立擊中目標(biāo)的事件分別為A、B、C．則由已知得P（A）＝，P（）＝[1﹣P（C）]＝，∴P（C）＝，由P（BC）＝P（B）P（C）＝，得P（B）＝，∴P（B）＝；（2）目標(biāo)被擊中的概率P＝1﹣P（）＝1﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了相互獨(dú)立事件的概率及互斥事件的概率，是中檔題．19．（12分）某市為了解疫情期間本地居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從本市居民中隨機(jī)抽取若干人進(jìn)行滿意度測評(píng)（測評(píng)分滿分為100分）．根據(jù)測評(píng)的數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：根據(jù)頻率分布直方圖，回答下列問題：（1）估計(jì)本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)（精確到0.01）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）估計(jì)本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的第85百分位數(shù)（精確到0.01）；（3）若該市居民約為250萬人，估計(jì)全市居民對(duì)當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鳚M意度測評(píng)分?jǐn)?shù)在85分以上的人數(shù)．【分析】利用頻率分布直方圖以及樣本數(shù)字特征知識(shí)可解．【解答】解：（1）在頻率分布直方圖中，由（0.004+0.006+0.020）×10＝0.3＜0.5，（0.004+0.006+0.020+0.030）×10＝0.6＞0.5，所以中位數(shù)位于（70，80）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則（0.004+0.006+0.020）×10+0.030×（x﹣70）＝0.5，解得，即本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的中位數(shù)約為76.67，由頻率分布直方圖可知，本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為[0.004×45+0.006×55+0.020×65+0.030×75+0.024×85+0.016×95）×10＝76.20，即本次測評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)約為76.20．（2）在頻率分布直方圖中，前5組頻率之和為0.84，小于0.85，故第85百分位數(shù)位于第6組，所以≈90.63，即第85百分位數(shù)約為90.63，（3）由頻率分布直方圖知測評(píng)分在85分以上的頻率為，所以估計(jì)該市居民測評(píng)分在85分以上的人數(shù)約為250×0.28＝70（萬人）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、方差、中位數(shù)、分位數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等；考查統(tǒng)計(jì)與概率思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等；考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性．屬于中檔題．20．（12分）為進(jìn)一步加強(qiáng)中華傳統(tǒng)文化教育，提高學(xué)生的道德素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的民族精神，更好地讓學(xué)生傳承和發(fā)揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化和傳統(tǒng)美德，某校組織了一次知識(shí)競賽．現(xiàn)對(duì)參加活動(dòng)的1280名學(xué)生的成績（滿分100分）做統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的頻率分布直方圖．請(qǐng)大家完成下面問題：（1）求a值；（2）若從該校80分至100分之間的同學(xué)按分層抽樣抽取一個(gè)容量為7的樣本，再從該樣本任選2人參加與其他學(xué)校之間的比賽，求抽到的兩人至少一人來自90分至100分的概率．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和為1求解；（2）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，（0.005+a+0.035+a+0.010）×10＝1，解得a＝0.025；（2）由（1）知：（80，90）與（90，100）的樣本比例為5：2，所以7個(gè)個(gè)體有5個(gè)取自（80，90），2個(gè)取自（90，100），若（80，90）中5個(gè)分別為a，b，c，d，e，中2個(gè)分別為x，y，則從中抽取2人的所有組合為{ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，ax，ay，bx，by，cx，cy，dx，dy，ex，ey，xy}，有21種情況，其中兩人至少來一人自（90，10