2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義知識回顧BAbao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法則:2.向量加法平行四邊形法則:首尾相連首尾接起點相同連對角o.BAa-bab3.向量減法法則:共起點，連終點，方向指向被減數(shù)例3.在ABCD中，你能用表示嗎？DBAC變式一:本例中，當滿足什么條件時，

與互相垂直？變式二:本例中，當滿足什么條件時，

變式三:本例中，可能是相等向量嗎？

-a-a-aPQMNaaaABCOa已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)

當λ>0時,λa的方向與a方向相同；當λ<0時,λa的方向與a方向相反；

|λa|=|λ|·|a|

一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘運算，記作λa。一、向量的數(shù)乘定義它的長度和方向規(guī)定如下：(1)長度(2)方向特別地，當λ=0或a=0時,λa=0二、向量數(shù)乘的幾何意義a-3a3a幾何意義：將的長度擴大（或縮?。┍?，改變（或不改變）的方向，就得到了λa

|λ|aa結論:2a+2b=2(a+b)結論:

3(2a)=6a(1)根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比較。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比較。=觀察總結①λ(μa)=

運算律:設a、b為任意向量，λ、μ為任意實數(shù)，則有：②(λ+μ)a=

③λ(a+b)=(λμ)a

λa+μa

λa+λb（-λ）a=-(λa)=λ(-a)特別地，λ(a-b)=λa-λb結合律第一分配律第二分配律三、向量數(shù)乘運算滿足的運算律：（2）對于任意的向量a,b以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=計算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)

(3-2-1)a+(3+2)b=5b

(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c

-12aλμ1a±λμ2b牛刀小試結論：（1）向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算。例1：把下列各小題中的向量b表示為實數(shù)與向量a的積.1、如果b=λa,那么，向量a與b是否共線？

對于向量a(a≠0)、b，以及實數(shù)λ：2、如果a與b共線，那么是否有λ，使b=λa？？自主探究對于向量a(a≠0)、b，如果有一個實數(shù)λ，使得b=λa,那么，由數(shù)乘向量的定義知：向量a與b共線。當a與b同方向時，有b=μa;當a與b反方向時，有b=-μa，所以始終有一個實數(shù)λ，使b=λa。若向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是a的長度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且四、向量共線定理向量b與非零向量a共線當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使得b=λa.即：思考：解：作圖如右OABC依圖猜想:A、B、C三點共線∴

A、B、C三點共線.abbbba例2、已知任意兩非零向量a、b，試作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎？為什么？∵AB=OB-OA∴

AC=2AB又

AC=OC-OA

=a+3b-(a+b)=2b

=a+2b-(a+b)=b又AB與AC有公共點A，AEDCB解：

=3AC

=3(AB+BC)∵AB+BC=AC

=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC與AE共線如圖，已知AD=3AB、DE=3BC，試證明AC與AE共線。搖身一變例3：又AC與AE有公共點A，∴

A、C、E三點共線.定理應用向量共線定理可用來解決:向量共線和三點共線問題。

判斷下列各小題中的向量a與b是否共線.

二、知識應用：

1.證明向量共線；

2.證明三點共線:

一、概念與定理①λa的定義及運算律②向量共線定理(a≠0)b=λa向量a與b共線？C.A.B.2.設是非零向量,是非零實數(shù),下列結論正確的是().D.1.下列四個說法正確的個數(shù)有().B.2個A.1個C.3個D.4個

BC練習3.在中,設D為邊ＢＣ的中點,求證:ＡＢＣＤ解：因為（２）所以，所證等式成立ＡＢＣＤE過點B作BE,使連接CE則四邊形ABEC是平行四邊形,D是BC中點，則D也是AE中點.由向量加法平行四邊形法則有解2:（C

）分析:由所以在平行四邊形ABCD中,,M為BC的中點,則等于＿＿＿＿＿＿4.5.ABCD6.如圖，在平行四邊形