雨頷sH廁題匚至工魏六年級奧數(shù)講義

第一講分?jǐn)?shù)的速算與巧算

教學(xué)目標(biāo)

本講知識點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，分為三個(gè)方面系統(tǒng)復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)小升初常考計(jì)算題型.

1、裂項(xiàng)：是計(jì)算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過程，裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生掌握裂項(xiàng)技巧及尋找

通項(xiàng)進(jìn)行解題的能力

2、換元：讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過等量代換講復(fù)雜算式變成簡單算式。

3、循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分：掌握循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利

用運(yùn)算定律進(jìn)行簡算的問題.

4、通項(xiàng)歸納法

通項(xiàng)歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡，但換元法只是將''形同”的算式用字母代替并參與計(jì)算，使計(jì)算過程更加簡

便，而通項(xiàng)歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡為常見的一般形式.

知識點(diǎn)撥

一、裂項(xiàng)綜合

(一)、“裂差”型運(yùn)算

⑴對于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即J—形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即那么有

axb

axbb-aab

(2)對于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：

---------1-----------------------1-------------形式的，我們有：

〃x(〃+1)x(/?+2)〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)

〃x(〃+l)x(〃+2)2nx(n+l)(〃+1)(〃+2)

〃x(〃+1)x(〃+2)x(〃+3)3〃x(〃+1)x(/?+2)(〃+1)x(〃+2)x("+3)

裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征.

(1)分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將X提取出來即可轉(zhuǎn)

化為分子都是1的運(yùn)算。

(2)分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”

(3)分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。

(二)、“裂和”型運(yùn)算：

常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：

2

/八a+baZ?11/c、/+ya及ab

axhaxhaxbbaaxbaxbaxbba

裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對比：

裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的口的"，裂和型運(yùn)算的題口不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分

數(shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。

三、整數(shù)裂項(xiàng)

(1)1x2+2x3+3x4+...+(/7-1)x/?=-(/?-1)xnx(W+1)

3

(2)1x2x3+2x3x4+3x4x54-...4-(72-2)x(/?-l)xn=—(72-2)(拉-V)n(n+1)

4

二、換元

、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)

化，將復(fù)雜的式子化繁為簡.

三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)

1、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論:

純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)

「甌阻超固酶?施虛工口?六年級奧數(shù)講義

循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字

分子循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù)

所組成的數(shù)的差

按循環(huán)位數(shù)添9,不循環(huán)位數(shù)添0,組成分母，其中9在0

分母n個(gè)9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù)

的左側(cè)

「a八；ab八八；ab1ab?;,abc-a

0.Q=—;O.ah=—；O.Oab=—x—=O.abc=------

9999910990990

2、單位分?jǐn)?shù)的拆分：

1111111111

----=—+■=--------41-----------------+-F---------------+-1---------------H+---------

102020()0()0()0()()

分析：分?jǐn)?shù)單位的拆分，主要方法是：

從分母N的約數(shù)中任意找出兩個(gè)m和n,有:

11(m+〃)mn11

—=----------------=-------------------1------------------——I—

NN(m4-n)N(m+n)N(m+n)AB

本題10的約數(shù)有：1,10,2,5.o

例如：選1和2,有：

11(1+2)12_11

10-10(1+2)-10(1+2)10(1+2)-30+15

本題具體的解有：

11111111]

io-H+HO=------1------=-------1------=-------1------

126014351530

例題精講

模塊一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

[例1]--------------------1-----------------------1-----------------------F???H-----------------------1-----------------------

Ix2x3x42x3x4x53x4x5x66x7x8x97x8x9x10

【解析】原式—!—11+-1________M

-------1-------

311x2x32x3x42x3x43x4x57x8x98x9xl0j

1O_____

3X11x2x38x9xl0j2160

【鞏固】——-——+——-——+……+-------------

Ix2x3x42x3x4x517x18x19x20

【角單析】原式=3x[」x(―?--------5—+—?--------?—+…+——5——

18x19x20”

31x2x32x3x42x3x43x4x517x18x19

113x19x20-11139

1x2x318x19x2018x19x206840

35719

【例2】計(jì)算:------4-----------------+???-!------------------

1x2x32x3x48x9x10

【解析】如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題口.但是本題中分子不相同，而是成等差

數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2.相比較于2,4,6,……這一公差為2的等差數(shù)列（該數(shù)列的第〃個(gè)數(shù)恰好為〃的

2倍），原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3,所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和

再進(jìn)行計(jì)算.

店斗3+23+43+16

原式二-------+--------+???+--------

1x2x32x3x48x9x10

雨加國圖同廁於工霎魏六年級奧數(shù)講義

-1,1,1or1.2

11x2x32x3x48x9x10)11x2x32x3x4+3)

111

+2x+------+,?*d--------

2x33x48x93x49x10

1__1_

,+9-10

71123

460515

也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為2〃+3,所以

2〃+3232.

------------------------------=--------------------------1-------------------------------,再將每~*項(xiàng)的----------------與

幾x(〃+1)x(〃+2)(〃+l)x(〃+2)〃x(〃+l)x(〃+2)(〃+l)x(〃+2)

3

--—————；分別加在?起進(jìn)行裂項(xiàng).后面的過程與前面的方法相同.

〃x(〃+l)x(〃+2)

571719

【鞏固】計(jì)算：1155x(--—+—-—+..?+--—+—--)

2x3x43x4x58x9x109x10x11

57171Q

【解析】本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號內(nèi)的算式：--—+—-—+…+--—+—--.這個(gè)算式不同于我們

2x3x43x4x58x9x109x10x11

常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情

況.所以應(yīng)當(dāng)對分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式.

觀察可知5=2+3,7=3+4,……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以

571719

1F???H1

2x3x4-----3x4x5-------8x9x10--9x10x11

2+33+49+10

=--------------F--------------!-???+---------------

2x3x43x4x59x10x11

------+4++...++

3x42x44x53x510x119x11

1

9x11

11111111111111

―1-■■■...+—x——+———+———+???+-■—+——

44510112243546810911

1182831

4-—X2-10+3-17=----F—X-4--

233253355

所以原式=1155x—=651.

55

■eby、，田34512

［固】計(jì)算：----------1------------------------1-----------------------F???H------------------------

Ix2x4x52x3x5x63x4x6x710x11x13x14

【解析】觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、

分母都乘以分子中的數(shù).即：

rsi324252122

原式=--------------1-------------------------------1-------------------------------F??-------------------------------------

1x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無法全部相消，需要對分子進(jìn)行分拆，考慮到每?項(xiàng)中分子、分母的對稱性，可以用平方差公

式：32=1x5+4,42=2x6+4,52=3x7+4??????

324252I?2

［解析］原式:------------+-------------+-------------+???+-----------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

「甌阻超固幽的虛工口?六年級奧數(shù)講義

1x5+42x6+43x7+410x14+4

------------------------------1---------------------------------1---------------------------------F???H----------------------------------------

Ix2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

1111A

-------------1--------------1F…4

2x3x43x4x54x5x6--------11x12x13)

(4444

+------------------------------1---------------------------------1-------------------------------F???H------------------------------------------

11x2x3x4x52x3x4x5x63x4x5x6x710x11x12x13x14

12x13

fl11111

+--------------------------------------------------1---------------------------------------------------1-,??H--------------------------------------------------------------------

[1X2X3X42x3x4x52x3x4x53x4x5x610x11xl2xl311x12x13x14

1

=ixp---M+M--------------------]

2(2x312xl3j11X2X3X411x12x13x14^

1111177+1111175

-------------------------------1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------——

122x12x132411x12x13x14811x12x13x1482x11x148308616

12349

【例3】--J-------------J-------------------1-------------------------F???H--------------------------------

22x32x3x42x3x4x52x3x4…xlO

區(qū)一12349

【解析】原式=-H--------H---------------1--------------------------F.■■+

22x32x3x42x3x4x52x3x4---xlO

2-13-14-110-1

=------H----------F-------------F.■■+

22x32x3x42x3x4…xlO

11111________1________

=]——+——---+，-+■■■+

222x32x32x3x42x3x4…x92x3x4…x9xl0

=1---------------5----3--6--2--8-7-99

2x3x4…x9xl03628800

【例4】-H-------------F------------------1-..........+------------------------------

11+21+2+31+2+…+100

【解析】本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最簡單的項(xiàng)開始入手,

通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有！==，

1(1+l)xl1x2

2

2

1+2(1+2)x22x3

2

2222「八1、200”9

原式=-----F-----------1-------------F????H--------------=2x(1--------)=------=1—

1x22x33x4100x101101101101

23450

【鞏固】-------------+---------------------------++,??+

1x(1+2)(1+2)x(1+2+3)(1+2+3)x(l+2+3+4)(l+2+3+???+49)x(l+2+3+???+50)

2350

原式=--+二一十上+——-——+…+

1x33x66x1010x151225x1275

1、1274

+(-----------)+(

二(---)4-(1-1)-

1336610122512751275

234100

【鞏固】-------+-----------++...+

lx(l+2)(1+2)x(1+2+3)(l+2+3)x(l+2+3+4)(1+2+…+99)x(l+2+…+100)

胸珞?頷§同場?施霧10s六年級奧數(shù)講義

【解析】而占T.AT(1+2)X；1+2+3)*-TT^

(1+2+―+99)><(1+2+???+100)-1+2+.??+99-1+2+??,+100

原式=1—

1+2+...+100

?15049

=1---------=-------

50505050

_______________10_______________

【鞏固】1--z____________2

lx(l+2)(l+2)x(l+2+3)(l+2+3+???+9)x(l+2+3+???+10)

234

【解析】原式=1—(=+=-+，—+...+45x55)

1x33x66x10

55

111111

【例5】

32-152-172-192-1112-1132-1

【解析】這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)：a2-h2=(a-h)x(a+h),

原式=(~~~)+(~~-)+(-)+(-—京)+(———)+(—―2)

2x44x66x8o8x1010x1212x14

111111111111

-----1--------|---------1----------1-----------1----------)x—

44668810101212142

(--—)x1=3

214214

35715

【鞏固】計(jì)算:，+，+，+??■+

12X2222X3232X4272X82

222222

原式:與2-二I3-242-328-7

【解析】+22X32+…+

12X2272X82

111111

H---z-----r—T---T+…HT-----r

223232427282

32+152+172+119932+119952+1

【鞏固】計(jì)算:--------1---------1---------1-???4------------+-----------=

32-152-172-119932-119952—1------------

【解析】原式/+丹川+白川+舟)+…+(|+高川+舟)

=997+(義+△+...+199；996

1111111997

=997+———+———+...+=997+=997

244619942~19961996

雨頷薇姍瓢霎魏六年級奧數(shù)講義

I222325O2

【鞏固】計(jì)算:---------1------------1------------1-,,?H------------------=.

1x33x55x799x101

【解析】式子中每?項(xiàng)的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?2—1,42-1,

62-1,……,1002-1,可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后

進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了.

原式=—x

422-I42-162-11002-1)

x1+3+1+j+J+...+1+工

422-142-162-11002-1

11

=-x|50++----+----+-??+

4I1x33x55x99x101

1

=-x

4

1550-63

=-x50—=12—

4101101

2x24x46x68x810x10

【鞏固】--------+---------+---------+---------4-

1x33x55x77x99x11

【解析】（法1）：可先找通項(xiàng)-...=1+-----=1+--------------

n~-1n~-1(〃-1)x(〃+1)

原式=a+工)+a+-1-)+(1+—5—)+(1+-^―)+(1+—^―)

1x33x55x77x99x11

=5+-x(1——)=5+—=5—

2111111

（法2）：

型=1。一4色=53

1111II

1

【例6】_2_+______3______*...+____________1999_____________

1+；(l+；)x(l+；)(1+jx(l+；)x…X(l+M9)

11

="+1=_____?_____2x(—______1—)

【解析】=

,L/1,1\(\,1、〃+2(n4-1)(/7+2)n+\〃+2

(l+-)x(l+-)x...x(l+----)----、八/

23H+l2

,/1、/1、/I、/I

原式=[(5-5)+(1/+([?+…+(堿----)x2=1-------999

2000J10001000

【鞏固】計(jì)算:1H------1---------F.?.-------------

1+21+2+314-2+...2007

1?11

【解析】先找通項(xiàng)公式4=---------=---------=2(--------)

1+2+??皿〃x(〃+l)n714-1

1

原式=1+2x(2+l)+3x(3+l)2007x(2007717

222

「甌阻超固幽的虛工口?六年級奧數(shù)講義

22222007

=-----H-------+-----+…+=2x也

1x22x33x42007x20082008-T004

【鞏固】

1+J_+―!—+...+------!--------

33+53+5+73+5+7+…+21

_______1________________1_______

【解析】先找通項(xiàng)：a?

3+5+…+(2〃+1)gx(2〃+l+3)x〃〃(〃+2)

原式=----F-----+------4-------+???+--------1----------

1x32x43x54x69x1110x12

111111

------1--------1-,??++-------1---------F???+

1x33x59x112x44x610x12

175

~264

1+21+2+31+2+3+41+2+3+…+50

【例7】

22+32+3+42+3+…+50

(1+〃)xn

”大吊(

【解析】271X77+1)

(1+71)Xn7?X(774-1)-2

--------------------1

2

2x33x44x55x62x33x44x55x6

原式=----X----------X----------X---------X???=-----------X----------X----------X----------X???,

41018281x42x53x64x7

通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項(xiàng)，所以有

e一2x33x44x55x648x4949x5050x51350。23

原式—xxxx???xxx—x—2

1x42x53x64x747x5048x5149x5215226

I212+22-+22+32產(chǎn)+2z+32+4212+22+,..+262

【例8】I3P+231P+23+3-113+23+33+43113+23+...+263

nx(n+l)x(2n+l)

l2+22+...+n2622H+1211、

【解析】a=--------------------=------------------------=—x-------------=—x(—?--------)

〃I3+23+...+/73n2x(n-i-l)23〃x(〃+l)3n〃+1

4

原式:]*[(!+!)-(：+:)+(!+[)...—+1x(1一」)=

3122334262732781

(I+22-lM1+32-JX",X0+992-J

【鞏固】

15+1)2(n+1)2

【解析】ft-1_|_________—_________—________

(九+1)2-1(〃+1尸一1nx(n+2)

ei2x23x398x9899x99

J/j、式?—xX???Xx

(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(98+l)x(98-l)(99+1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x9929949

—____x____x____x____X???x______x_______—_x___—1__

-3x14x25x36x499x97100x98-110050

工的2232992

【例9】

22-132-1992-1

(n+1)2(屋+1「

【解析】通項(xiàng)公式：%=7_——穴==一七，

胸珞?頷§同場?施霧10s六年級奧數(shù)講義

2x23x34x498x9899x99

原式=-----------------X---------------------------X-------------------X…X------------------------------X--------------------------------

(2+l)x(2-l)(3+l)x(3-l)(4+l)x(4-l)(98+1)x(98-1)(99+1)x(99-1)

2x23x34x45x598x9899x99

-_______sz_______y_______V________...xz______________v_____________

-3x14x25x36x499x97100x98

2233449898999929999

=—X—X—X—X—X—X???XXXX------=—X-------=

I32435979998100110050

"22992

【鞏固】計(jì)算:----------------------------1-------------------------------1-???4---------------------------------

l2-100+500022-200+5000992-9900+5000

n2

【解析】本題的通項(xiàng)公式為,沒辦法進(jìn)行裂項(xiàng)之類的處理.注意到分母

n2-100/2+5000

n2-100n+5000=5000-n(100-n)=5000-(100-/7)[100-(100-n)],可以看出如果把”換成

100-M的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來，最后單獨(dú)剩下一個(gè)

502

將項(xiàng)數(shù)和為100的兩項(xiàng)相加,得

502-5000+5000'

2

n2(100-n)/+(100-")22/-200〃+10000

—Z...-----+=2,

100〃+5000(100)2-100(100-〃)+5000n2-100/1+5000n2-100〃+5000

所以原式=2x49+1=99.(或者，可得原式中99項(xiàng)的平均數(shù)為L所以原式=1x99=99)

11111

[例10]24x----------1-------------F???H-----------------------------+??.+

2x34x520x2112+22--------------/+22+...+102

【解析】雖然很容易看出」一='—?!■.1

……可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因?yàn)檫@不象分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)

2x3234x55

那樣能消去很多項(xiàng).我們再來看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式，于是我們又有

6

..減號前面括號里的式子有10項(xiàng)，減號后面括號里的式子

I2+2?+32+…MX(7?4-1)X(2/7+1)

也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對一個(gè)”呢？

1111[

24x

------1----+-------FFTI7+…+

2x34x520x21I2+22+---+102

1

=24x----------1-------------F,??4-----------------1----------------+…+

2x34x5-------20x211x2x32x3x510x11x21

111

=24x-----------1-------+----…+-24x--------+--------+…+

2x34x520x212x4x34x6x520x22x21

=24x++…+

2x32x4x34x54x6x520x2120x22x21

1160

=24x-----------1------------1-,??+=6x----------h---------1-???H---------------=6xM-YJ-

2x44x6-------20x221x22x310x1177

模塊二、換元與公式應(yīng)用

【例11】計(jì)算：P+33+53+73+93+113+133+153

【解析】^^=13+23+33+43+---+143+153-(