南京師大附中2021屆高三年級(jí)模擬考試

數(shù)字2021.05

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷。

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡。上規(guī)定的位置，否則不給分。

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名'準(zhǔn)考證號(hào)用0.5亳米色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡

上。

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、設(shè)復(fù)數(shù)Z”Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，Z]=3+4i,則Z|Z2=

A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i

2.已知集合A=(3,+oo),集合B={x|3x>9},則x^A是x^B的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知a,b為單位向量，且a-b=0,若c=3a-癡b,則cos(a,c)=

V5VlOx/15275

A.-----B.------C.------D.------

5555

4.函數(shù)/(x)=cosx?ln(+1+x)的圖像大致是

5.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群該塔群隨山

勢(shì)鑿石分階而建，依山勢(shì)自上而下，第一階1座，第二階3座，第三階3座，第四階5

座，第五階5座，從第五階開(kāi)始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)

108座，故名一百零八塔。則該塔的階數(shù)是（）

A.10B.llC.12D.13

6.^2sin160°+tan20°=6，則實(shí)數(shù)X的值為

A.3B.-C.2D.4

2

7.已知矩形ABCD,AB=1,AD=2,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)將4ABE沿AE翻折，得到四棱

錐B-AECD,且平面BAEL平面AECD,則四面體B-ECD的外接球的表面積為

,7C（萬(wàn)

A.171B.4兀D.5花

2

8.已知e"-2=@（a/2）,eh-3=-（阜3）,e"4=￡（/4）,則

234

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.高三（1）班有45人，擬采用無(wú)記名投票方式從5名候選人中選出3名優(yōu)秀學(xué)生。選舉

規(guī)則為每人必須投且只能投一票，限在候選人中選擇，候選人獲票數(shù)居前三名的當(dāng)選在

當(dāng)選的3名候選人中，由票數(shù)高低決定獲獎(jiǎng)等次，分別為省級(jí)三好學(xué)生、市級(jí)三好學(xué)生、

區(qū)級(jí)三好學(xué)生。由事前的民意調(diào)查得知，候選人張某的得票數(shù)剛好達(dá)到候選人得票數(shù)的平

均數(shù)，如果張某決定投自己一票，請(qǐng)問(wèn)下面預(yù)測(cè)張某當(dāng)選結(jié)果中正確的有

A.不可能獲省三好學(xué)生稱號(hào)B.可能獲市三好學(xué)生稱號(hào)

C.一定能獲獎(jiǎng)D.可能落選

TT

10.函數(shù)/（x）=cos（5+e）（0>0,^e（0,-））的部分圖像如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的

有

A.f(x)的周期為n

13

B.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2k-一,2k+-)(k￡Z)

44

C.f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程為x=A-'(kez)

4

D.f(2020)+f(2021)=0

x

11、已知橢圓C：r+J=l(a>b>0)的左，右兩焦點(diǎn)分別是F|,F2,其中F|F2=2C。直

a'b'

線1：y=k(x+c)(kGR)與橢圓交于A,B兩點(diǎn)則下列說(shuō)法中正確的有

A.AABF2的周長(zhǎng)為4a

B.若AB的中點(diǎn)為M,則向=r

a

C.若麗?亞'=302,則橢圓的離心率的取值范圍是乎,;

D.若AB的最小值為3c,則橢圓的離心率e=」

3

12.將2n(nGN*)個(gè)有編號(hào)的球隨機(jī)放入2個(gè)不同的盒子中，已知每個(gè)球放入這2個(gè)盒子

的可能性相同，且每個(gè)盒子容納球數(shù)不限記2個(gè)盒子中最少的球數(shù)為X(OWXWn,Xe

N*),則下列說(shuō)法中正確的有

A.當(dāng)n=l時(shí)，方差。(X)=；

3

B.當(dāng)n=2時(shí)，P(X=1)=-

8

C.V/?>3,弘eN*),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立

D.當(dāng)n確定時(shí)，期望E(X)=〃(2-；尸“)

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)f(x)=x(lnx+1),則f(x)在(1,f(1))處的切線方程為

14.已知隨機(jī)變量X~N(2,o2)，若P(X24)=0.1,則P(0<X<4)=

2

15.已知在(x-*)"(〃€N*)的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比

x

為5：2,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為,此時(shí)汽C：2'T=(結(jié)果用數(shù)字表

/=1

示)

16.三等分角是古希臘三大幾何難題之一。公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯利用雙曲線

解決了三等分角問(wèn)題如圖，已知圓心角ACB是待三等分的角(0<ZACB<n)具體操

作方法如下：在弦AB上取一點(diǎn)D,滿足AD=2DB,以AD為實(shí)軸，百AD為虛軸作雙

曲線，交圓弧AB于點(diǎn)M,則/ACM=2/MCB,即CM為NACB的三等分線已知雙

曲線E的方程為--2_=1,點(diǎn)A,D分別為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為其右焦點(diǎn)，

412

點(diǎn)C為雙曲線E的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且不在x軸上，線段CB交雙曲線E于點(diǎn)P若扇形CMB

四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

jr

17.(10分)在aABC中，ABAC=—,AC=2.

3

(1)若8C=J7,求AABC的面積；

(2)若。。=28萬(wàn)，AD，后,求BC的長(zhǎng)。

3

18.（12分）已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,*=5a0（neN*）,數(shù)列｛%｝是公差不為0的等差數(shù)

列。若｛bn｝滿足,。

在①bi，b2,b4成等比數(shù)列，②a2=b+b4,③優(yōu)“=22+1（〃€?\0這三個(gè)條件中任選兩個(gè),

補(bǔ)充到上面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的數(shù)列｛bj存在，求數(shù)列,九|的前n項(xiàng)和S”；若問(wèn)題中的

l?J

數(shù)列｛bn｝不存在，說(shuō)明理由。

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

19.（12分）2021年4月17日，江蘇園博會(huì)正式向公眾開(kāi)放。昔日廢棄采礦區(qū)化繭成

蝶，變身成了"世界級(jí)山地花園群園博園的核心景區(qū)蘇韻薈谷以流水串聯(lián)，再現(xiàn)了江蘇

13個(gè)地市歷史名園的芳華，行走其間，仿佛穿游在千年歷史長(zhǎng)河中，吸引眾多游客前來(lái)打

卡某旅行社開(kāi)發(fā)了江蘇園博園--日游線路，考慮成本與防疫要求，每團(tuán)人數(shù)限定為不少于

35人，不多于40人除去成本，旅行社盈利100元/人。已知該旅行社已經(jīng)發(fā)出的10個(gè)旅行

團(tuán)的游客人數(shù)如下表所示：

序號(hào)12345

游客人數(shù)3935383836

序號(hào)678910

游客人數(shù)3940374038

（1）該旅行社計(jì)劃從這10個(gè)團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)的游客，就服務(wù)滿意度進(jìn)行回訪，

求這3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同的概率；

（2）預(yù)計(jì)暑假期間發(fā)團(tuán)200個(gè)，將盈利總額記為X（單位：萬(wàn)元），用上表中的頻率估計(jì)

概率，求X的數(shù)學(xué)期望。。

20.(12分)如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成其中，ZFAB

90°,AB=AF=2，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C,G,D,E四點(diǎn)共面。

Q)證明：D,G,B,F四點(diǎn)共面：

(2)若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為四，求AD長(zhǎng)。

6

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)E(0,2),以O(shè)E為直徑的圓與拋物線

C：x2=2py(p>0)交于點(diǎn)M,N(異于原點(diǎn)O),MN恰為該圓的直徑過(guò)點(diǎn)E作直線交

拋物線與A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)分別做拋物線C的切線交于點(diǎn)P。

(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；

(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：NPFA=NPFB。

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=tanx-sinx，g(x)=x-sinx，xG

7T

(l)證明：關(guān)于X的方程f(x)-g(x)=*在(0,萬(wàn)).上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根;

(2)當(dāng)x￡(0,馬.時(shí)，f(x)>ag(x)，求實(shí)數(shù)a的最大值。

南京師大附中2021屆高三年級(jí)模擬考試

數(shù)學(xué)答案與解析

注意事項(xiàng)：

1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷。

2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡。上規(guī)定的位置，否則不給分。

3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上。

一、選擇題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1、設(shè)復(fù)數(shù)zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，zi=3+4i,則ziZ2=

A.-25B.25C.7-24iD.-7-24i

［答案］A

2.已知集合A=(3,+8),集合B={x|3、＞9},則xWA是xdB的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［答案］A

3.已知a,b為單位向量，且a?b=0,若c=3a-甚b,則cos(a,c)=

AV5DV10c店n2也

A.D.--------C.--------D.--------

5555

［答案］C

4.函數(shù)/(x)=cosx」n(Jx2+1+x)的圖像大致是

5.一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時(shí)期的喇嘛式實(shí)心塔群該塔群隨山

勢(shì)鑿石分階而建，依山勢(shì)自上而下，第一階1座，第二階3座，第三階3座，第四階5

座，第五階5座，從第五階開(kāi)始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5,公差為2的等差數(shù)列，總計(jì)

108座，故名一百零八塔。則該塔的階數(shù)是（）

A.10B.llC.12D.13

［答案］C

6.若丸sin160°+tan20°=百，則實(shí)數(shù)A的值為

3

A.3B.-C.2D.4

2

［答案］D

7.已知矩形ABCD,AB=1,AD=2,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)將4ABE沿AE翻折，得到四棱

錐B-AECD,且平面BAE_L平面AECD,則四面體B-ECD的外接球的表面積為

79

A.一乃B.4兀C.—71D.5TC

22

［答案］B

［解析］如圖所示，取AE,DE中點(diǎn)分別為G,H,連結(jié)BG,

作HI=BG，且HI//BG，設(shè)外接球球心為O,半徑為r,

由平面BAEJ_平面AECD,易知BG_L平面AECD,

則有IHL平面DEC,且易知球心O在IH上，四邊形BGIH為矩形,

設(shè)OH=t,則有/=/+_L=(走一/y+1,解得［=也，所以廠1,

222

此時(shí)點(diǎn)I與點(diǎn)O重合，外接球表面積為4n。

8.已知e"-2=0(aW2),萬(wàn)上(bW3),ec-4=-(cW4),則

234

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.a<c<b

［答案］A

f>x(v--n

［解析］記/(x)=—(x>0),有/'(x)=l)

XX

所以f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,

又有f(a)=f(2),f(b)=f(3),f(c)=f(4),

則f(2)<f(3)<f(4),所以f(a)<f(b)<f(c),

結(jié)合圖像，依題意可知a,b,cG(0,1),所以c<b<a。

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.高三(1)班有45人，擬采用無(wú)記名投票方式從5名候選人中選出3名優(yōu)秀學(xué)生。選舉

規(guī)則為每人必須投且只能投一票，限在候選人中選擇，候選人獲票數(shù)居前三名的當(dāng)選在

當(dāng)選的3名候選人中，由票數(shù)高低決定獲獎(jiǎng)等次，分別為省級(jí)三好學(xué)生、市級(jí)三好學(xué)生、

區(qū)級(jí)三好學(xué)生。由事前的民意調(diào)查得知，候選人張某的得票數(shù)剛好達(dá)到候選人得票數(shù)的平

均數(shù)，如果張某決定投自己一票，請(qǐng)問(wèn)下面預(yù)測(cè)張某當(dāng)選結(jié)果中正確的有

A.不可能獲省三好學(xué)生稱號(hào)B.可能獲市三好學(xué)生稱號(hào)

C.一定能獲獎(jiǎng)D.可能落選

［答案］BD

7T

10.函數(shù)/(x)=cos(0X+9)(啰>0,ee(0,耳))的部分圖像如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的

有

A.f(x)的周期為n

13

B.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2氏-一,2左+—)(k￡Z)

44

C.f(x)的圖像的對(duì)稱軸方程為彳=々一L(kGZ)

4

D.f(2020)+f(2021)=0

[答案]BCD

22

11、已知橢圓C：j+A=l(a>b>0)的左，右兩焦點(diǎn)分別是Fi，F(xiàn),其中FIF=2CO直

a'b'22

線1：y=k(x+c)(kGR)與橢圓交于A,B兩點(diǎn)則下列說(shuō)法中正確的有

A.AABF2的周長(zhǎng)為4a

b2

B.若AB的中點(diǎn)為M,則自

a

C.若麗?麗'=3/,則橢圓的離心率的取值范圍是乎,;

D.若AB的最小值為3c,則橢圓的離心率e=-

3

［答案］AC

［解析］=AF］+BF}+AF24-BF2=4a,A正確；

設(shè)A(xi，yi),B(X2，y2)，M(』j'2，"

有%二漢

x］+x2x］-x2

/+兄=12,,,

￡b\,，作差得：星二+七g=0,所以

由<2

江+貨=1才”玉

2_2L2

則有自M攵=’4=一4，B錯(cuò)誤;

X|-x2a

______________「2

22222

AF{AF2=x；+y；-c=-x[+/-2C-2c,a-c]

則有。2—2。2<3c?可得e=￡e,C正確;

a

2b2DR

易知AB的最小值為通徑——，則有式-=3c,即2片—3ac—2c2=0,

aa

1

解得a=2c,所以e=*c=上，D錯(cuò)誤。

a2

12.將2n(nCN*)個(gè)有編號(hào)的球隨機(jī)放入2個(gè)不同的盒子中，已知每個(gè)球放入這2個(gè)盒子

的可能性相同，且每個(gè)盒子容納球數(shù)不限記2個(gè)盒子中最少的球數(shù)為X(OWXWn,Xe

N*),則下列說(shuō)法中正確的有

A.當(dāng)n=l時(shí)，方差。(X)=；

3

B.當(dāng)n=2時(shí),P(X=1)=-

8

C.V/i>3,女e[O,〃)(k〃eN"),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立

D.當(dāng)n確定時(shí)，期望E(X)=〃(2"尸)

2

［答案］ACD

［解析］當(dāng)n=l時(shí)，P(X=O)=Lp(x=l)=LE(X)=LE(X2)=-

2222

則。(X)=E(X2)—E2(X)=_L,A正確；

4

當(dāng)n=2時(shí)，P(X=1)=2C；^-=1,B錯(cuò)誤；

易知產(chǎn)(X=Z)=20.《，尸(X=&+1)=2C￡*，kWn-2，

P(X=〃)=冬，又有當(dāng)-=二>1,所以P(X=n-1)>P(X=n),C正確；

22nn+\

knkn

易知玖x)=Z^-1O*kC+n猙C=Z"?笠kC一n算C

k=0乙N&=oZ乙

1?］〃n〃

=聲一〃4)=聲(Z4〃B〃C￡)=聲(￡4ct『禺)

,A=1乙k=i/A=1

悖嘗心-%)=各4告Y")="Q；尸),DIM。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)f(x)=x(lnx+1),則f(x)在(1,f(1))處的切線方程為

［答案］y=2x-l

14.已知隨機(jī)變量X~N(2,o2)，若P(X24)=0.1,則P(0<X<4)=。

［答案］0.8

15.已知在(x—')"(〃€N")的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比

x

為5：2,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，此時(shí)fC：2'T=(結(jié)果用數(shù)字表

7=1

示)

［答案］1120,3280

［解析］依題意有與=(”-2)(〃-3)=9,解得^8,

G122

通項(xiàng)為7；M=c；x8f(_2y=G(_2yx"2"取日，得常數(shù)項(xiàng)為i6c：=ii2()；

X

8I8I08_1

yC；2/-'=-YQ2Z--=q=3280

1=1Z1=0N乙

16.三等分角是古希臘三大幾何難題之一。公元3世紀(jì)末，古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯利用雙曲線

解決了三等分角問(wèn)題如圖，已知圓心角ACB是待三等分的角(0<ZACB<口)具體操

作方法如下：在弦AB上取一點(diǎn)D,滿足AD=2DB,以AD為實(shí)軸，百4。為虛軸作雙

曲線，交圓弧AB于點(diǎn)M,則NACM=2NMCB,即CM為NACB的三等分線已知雙

22

曲線E的方程為土-乙=1,點(diǎn)A,D分別為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為其右焦點(diǎn),

412

點(diǎn)C為雙曲線E的右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且不在x軸上，線段CB交雙曲線E于點(diǎn)P若扇形CMB

［答案］V2

［解析］設(shè)C(1,yc),ZACB=2a,則圓C：(x-l)?+(y-”)2=9+y；,

q冗3q冗3

EPtan2

易知S扇形CAB=。(9+4)=5,又有tana=-不，2(9+v)-t

K

y=x-4

22

可得yc=-3,則BC：y=x*4,聯(lián)立，xy,可得M，=3(Q—2)

1412

BP

所以」-二夜

BC-BP"一“

四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

JT

17。(10分)在aABC中，ZBAC=—,AC=2.

3

(1)若BC=J7,求AABC的面積；

(2)若萬(wàn)C=2375,AD=—\/2?,求BC的長(zhǎng)。

3

［解析］解析一：

(1)在aABC中，ZBAC=—,AC=2,BC=V7,

3

由余弦定理得，AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC=BC2,

所以AB2-2A8—3=0,即(AB-3)(AB+1)=0,又AB>0,

所以AB=3,所以AABC的面積S=』A8-AC-sinNBAC=Lx3x2xY^=3?.

2222

解法二：

在AABC中，ZBAC—,AC=2,BC="

3

BCAC

由正弦定理得,即二

sinABACsinZABCsin--sin/ABC

3

所以sinZABC=—<—

72

2萬(wàn)

又在aABC中，ZABCC(0,—).所以/ABC是銳角

所以cosZABC=>/l—sin*23Z.ABC=―—―

7

因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180。，

6rN?/“?//ADr-,12V7>/3_3>/21

所以sin/ACB—sin(NA3c+NBAC)-...x—i-----x—=-----

727214

所以AABC的面積S=LAC-8C-sinNACB=Lx2xSx^^=^

22142

(2)解析一：

因?yàn)榉?2而，所以由5=2通+工/

33

4

+

999-又乙BNC』、AC=2,AD=-y/2i

33

代入化簡(jiǎn)得，AB~+AB-20=0,即(AB-4)(AB+5)=0,又AB>0,

所以AB=4.

TT

在^ABC中，ABAC=—,AC=2,AB=4,

3

由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2/lBAC-cosZBAC=16+4-2x4x2x1=12

2

又BC>0,所以BC=26.

解析二：

7T

在△ABC中，設(shè)AB=x,又NBAC=—,,AC=2，由余弦定理得，

3

BC=7AB2+AC2-2AB-ACcosZABC=>Jx2-2x+4

此時(shí)cosZABC=/1

A/X2-2X+4

—?—?\l—2.x+4

因?yàn)镺C=25D,所以8D=Y-----——.

在4ABD中，由余弦定理，A。？=482+5。2—AB5O-cosNA5C

,dx2-2x+42c\lx~—2,x+4x-l444

=x+(-----------)-2x------------―/=-X2HXH

33&_2X+4999

2—4444

又AD=—標(biāo)y,所以―V+—x+—=—x21,化簡(jiǎn)得x2+x-20=0,

39999

即(x-4)(x+5)=0，又x>0,所以x=4,所以BC=2A/5.

18.(12分)已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,4M=eN*),數(shù)列｛、｝是公差不為0的等差數(shù)

列。若｛b,J滿足,。

在①b|,b2,b4成等比數(shù)列,②a2=bi+b4,③％,=22+1(〃€?\0這三個(gè)條件中任選兩個(gè),

補(bǔ)充到上面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的數(shù)列｛bn｝存在，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn；若問(wèn)題中的

數(shù)列｛bn｝不存在，說(shuō)明理由。

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分。

［解析］

選擇①②

設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d(d#0)。

因?yàn)閎l，b2,b4成等比數(shù)列，所以片=結(jié)4,即俗+1)2=4(4+3d),①

因?yàn)椤?=4+"，,又ai=l,4+［=5?！?，得a2=5,

所以bi+b1+3d=5,②

由①，②聯(lián)立可得24〃+/=3〃儲(chǔ)，即/=恒，因?yàn)閐HO,解得d=bl,代入②可

得d=L所以bn=n。

因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，所以4=2"工，所以九=3.

為5

「[23n

5“=1+蒙+宇+…+干，③

1_12/?—1n

-S?=—+-r+---+—r+—，④

551525“T5”

4

③-④得：-S,,

5"

解得5“=竺.—

165"4X5"T

選擇①③

設(shè)數(shù)列｛b“｝的公差為d(dWO)。

由③可知，b2=2b]+1,64=2匕2+1=2(24+1)+1=44+3,

由①，因?yàn)閎l，b2,b4成等比數(shù)列，所以優(yōu)=貼4，

即(24+1)2=4(44+3),解得也=-1,所以b2=-l,則d=0,

與題意矛盾，故數(shù)列｛%｝不存在。

選擇②③

設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d(dWO)。

由③可知,仇=2仇+1,4=2仇+1=2(2仇+1)+1=+3=4+3",

解得bi-d-1

因?yàn)椤?=4+2，又ai=l，4+1=5?！埃胊2=5,

72

所以乙+4+3d=5,即2(d-1)+3d=5,解得d=—,,b.——

1'515

7

因此2=不〃一1,因?yàn)椋鸻n｝是等比數(shù)列，所以⑸=5"T,

所以%

*5"

1—?_

⑤-⑥得：4s“=工+4+…+工-絲”2+工一解得

5"5n525"5,1+1525115n+1

5

。1528/1+15

O=------------------------.

"1616x5"

19.(12分)2021年4月17日，江蘇園博會(huì)正式向公眾開(kāi)放。昔日廢棄采礦區(qū)化繭成

蝶，變身成了"世界級(jí)山地花園群”。園博園的核心景區(qū)蘇韻薈谷以流水串聯(lián)，再現(xiàn)了江蘇

13個(gè)地市歷史名園的芳華，行走其間，仿佛穿游在千年歷史長(zhǎng)河中，吸引眾多游客前來(lái)打

卡某旅行社開(kāi)發(fā)了江蘇園博園一-日游線路，考慮成本與防疫要求，每團(tuán)人數(shù)限定為不少于

35人，不多于40人除去成本，旅行社盈利100元/人。已知該旅行社已經(jīng)發(fā)出的10個(gè)旅行

團(tuán)的游客人數(shù)如下表所示：

序號(hào)12345

游客人數(shù)3935383836

序號(hào)678910

游客人數(shù)3940374038

（1）該旅行社計(jì)劃從這10個(gè)團(tuán)隊(duì)中隨機(jī)抽取3個(gè)團(tuán)隊(duì)的游客，就服務(wù)滿意度進(jìn)行回訪，

求這3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同的概率；

（2）預(yù)計(jì)暑假期間發(fā)團(tuán)200個(gè)，將盈利總額記為X（單位：萬(wàn)元），用上表中的頻率估計(jì)

概率，求X的數(shù)學(xué)期望。。

［解析］

游客人數(shù)353637383940

次數(shù)統(tǒng)計(jì)111322

頻率1113]_]_

1010101()55

（注：上述表格不一定要出現(xiàn)，只要在解題中說(shuō)明各種人數(shù)出現(xiàn)次數(shù)就可以）

（1）設(shè)這3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同為事件A,

3111919

P(A)=1-尸(_A)=1—=c=1——,故這3個(gè)團(tuán)隊(duì)人數(shù)不全相同的概率是—1

%120120120

(2)X的可能取值為70,72,74,76,78,80.

X的分布列為

X707274767880

P1113

1010101055

E（X）=70x—+72x—+74x—+76x—+78xi+80xi=76（萬(wàn)元）

1010101055

20.（12分）如圖所示的幾何體是由一個(gè)直三棱柱和半個(gè)圓柱拼接而成其中，NFAB=

90°,AB=AF=2，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)，且C,G,D,E四點(diǎn)共面。

（1）證明：D,G,B,F四點(diǎn)共面；

（2）若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為叵，求AD長(zhǎng)。

6

［解析］

(1)解析一：

連接DG,因?yàn)锳BJ_AF,AF=AB,所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，Z

DCE=45°,

在半圓DGC上，G是弧CD中點(diǎn)，所以/GDC=45°,

所以DG〃EC,又EC〃FB,所以DG//FB,B、F、D、G四點(diǎn)共面。

解析二：

直三棱柱中，AB±AF,以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

AF=AB=2,設(shè)AD=h,

A(0,0,0)B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,h)G(-1,1,h)

則麗=(-1,1,0),FB=(-2,2,0),~FB=2DG,所以DG〃FBB、F、D、

G四點(diǎn)共面。

(2)直棱柱中，AB1AF,以A為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

AF=AB=2,設(shè)AD=h,F(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,h),

FD==(-2,0,h),BF=(2,-2,0),設(shè)平面BFD的法向量為n=(x,y,z)。

rh

則有《,化簡(jiǎn)得《2所以取n=(h,h,2),

2x-2y=0.

[x=y,

A(0,0,0),B(0,2,0),G(-1,1,h),AB=(0,2,0),AG=(-11,h),

設(shè)平面ABG的法向量為m=(r,s。t)

2g=0y—0

則有49,化簡(jiǎn)得《,一，所以取m=(h,0,1),

-r+s+ht=0[r=ht,

平面BDF與平面ABG所成二面角即n與m夾角或其補(bǔ)角，

所以lcos(〃.m〉l=+=解得力=逐，所以AO=6.

也一+4“2+]6

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)E(0,2),以O(shè)E為直徑的圓與拋物線

C：x?=2py(p>0)交于點(diǎn)M,N(異于原點(diǎn)O),MN恰為該圓的直徑過(guò)點(diǎn)E作直線交

拋物線與A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)分別做拋物線C的切線交于點(diǎn)P。

(1)求證：點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；

(2)若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明：ZPFA=ZPFBo

[解析]

以O(shè)C為直徑的圓為x2+(y-1)2=1.由題意可知該圓與拋物線交于一條直徑，由對(duì)稱性

可知交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),(-1,1)代入拋物線方程可得2P=1.

所以拋物線的方程為x2=y。

⑴設(shè)A(X|,X；),B(%2，X；)，所以)AB=)一/=%+々

玉一9

所以直線AB的方程為y-x；=(玉+%2)。一西)，即=(玉+x^x-x^..

因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)C(0,2),所以一2，所以玉龍2=一2①。

直線PA的方程為y-x：=2X1(x-X]),即y=2X]X-x；,同理直線PB的方程為

y=2X2X-%2

聯(lián)立兩直線方程，可得P（土言,菁/）。由①可知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-2.

（2）解析一：

1°當(dāng)FP_Lx軸時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)上產(chǎn)=0,則%+/=0，

可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，此時(shí)/PFA=/PFB,

k-kk-k

FBFP

2°當(dāng)FP斜率存在時(shí)，由到角公式得tan/PE4=口FA,tanZPFB=

1+kpF*kpA1+kpB,及口

20

又p（土上.，罰馬），由消去X2得P（土二2）,代入可求得

22%j

2-L

X14

玉

代入到角公式化簡(jiǎn)可得

tan/PE4=%一心

1+kFP,kFA

49

=_02X2Tt=2（x；+2）=2（x1引

%（—7年一；）7%lx】

同理，tan/PFB=_2（x；+2）=_2?X|X2）=2（%-々）

7%27馬7

綜上，可得tan/PFA=tan/PFB

注意到兩角都在（0,"）內(nèi)，可知NPFA=NPFB。

解析二：

FAFPFBFP

cosZPFA=cosZPFA=

I方川麗I\FB\-\FP\

注意到兩角都在（0,兀）內(nèi),

可知要證NPFA=NPFB,即證士=喳.(*)

|M||F^|

中=(3片-'，麗=(工1強(qiáng),-()

所以福?方=N?^^?_2(X2__L)=_NX：_2_=_2_(4X：+1)

124144'1616'

又|麗|=Jx；+(X；_4)2=2+L所以空空=_工

V44\FA\4

FBFP7

同理^=5=—」,(*)式得證

\FB\4

解析三：

可知點(diǎn)F(0,-),準(zhǔn)線1：)=—！

44

過(guò)A,B分別作AAiJJ,BBiL于點(diǎn)Ai，B1,

可知A岡廿)’所以%=一金’又心X]-X[%2_2x

X3+々—1

12

所以鼠尸,心戶=一1，所以AIFLAP

又AA|=AF,所以AAAiF是等腰三角形，可知PA是AF的中垂線，

所以PAi=PF,所以AAAiP絲AAFP,所以NPFA=NPA〕A,同理NPFB=NPB|B,

同理PB尸PF且/PFB=NPBiB,所以PB尸PAi，

所以NPAiB產(chǎn)/PBiA”所以/PA|A=/PB|B,所以NPFA=/PFB。

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=tanx-sinx,g(x)=x-sinx,xG(0,^).

TT

(1)證明：關(guān)于X的方程f(x)-g(x)=*在(0,5).上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)當(dāng)xG(0,、).時(shí)，f(x)》ag(x),求實(shí)數(shù)a的最大值。

[解析]

(1)解析一：

證明：令h(x)=f(x)-g(x)-x,貝|h(x)=tan?x-2x,

my,，/、1-1-2COS2X(1+>/2COSX)(1-V2cosx)

所以6(x)=——z——2=----z----=------------z----------

cosXcosXcosX

因此當(dāng)xG(0,5)時(shí),COSX>,h'(x)<0,當(dāng)xG(?,為時(shí),h'(x)>0,

所以h(x)=tanx-2x在xe(0,?)上單調(diào)遞減，在xW(7,搟)單調(diào)遞增，

又因?yàn)?/(-)<0,/z(—)=tan(—)--=2+73-->2+1.7-2.5>0

4121266

所