2022屆高三五月第二次限時訓練數(shù)學試卷

一、單項選擇題:本題共8道小題.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

4

1.設，?為虛數(shù)單位，復數(shù)Z=—，則|z—'1=()

1-Z

A.72B.6C.2D.V5

D

【分析】先對復數(shù)進行化簡，求出z—i的值，再利用復數(shù)z=a+仇?的模長計算公式

目;1^+/計算可得答案.

,44(l+z)廣

【詳解】解：Z=；-=-——---=2(l+z),所以|z—4=12+4=6.

1-z(l+z)(l-0

故選：D.

本題主要考查復數(shù)的四則運算及復數(shù)模的求解，考查學生的計算能力，屬于基礎題.

2.已知M,N均為R的子集，且務MqN,則()

A.0B.MC.ND.R

B

【分析】由題意利用集合的包含關系或者畫出論“"圖，結合論”"圖即可確定集合的運算結果.

【詳解】解法一：衛(wèi)據(jù)此可得.?.MU(QN)=M.

故選：B.

解法二：如圖所示，設矩形4BC。表示全集R,

矩形區(qū)域ABHE表示集合則矩形區(qū)域CDE”表示集合為用，

矩形區(qū)域CDFG表示集合N,滿足MMjN,

結合圖形可得.MU(5N)=M

故選：B.

AFED

BGHC

3.向量b，c在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，若0為與m同方向的單位向

量,則僅+5”()

【分析】首先建系，確定向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示求解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，由圖可知。=(-1,1),5=(—2,—1),0=(1,0),

則2+5=(—3,0),所以(@+5)包=-3.

故選：D

4.在平面直角坐標系X。)，中，角a與角/?均以Ox為始邊，它們的終邊關于x軸對稱.若

9R

cosa=---->則cos(cz-/7)=()

5

333

A.--B.-C.ID.-

554

B

【分析】根據(jù)角的對稱得到cosa=cos尸，sina=-sin以及兩角差的余弦公式即可求

出.

【詳解】解：???角a與角￡均以Or為始邊，它們的終邊關于x軸對稱，

2.

cosa=cos/?=—y^―,sina=—sin（3,

22283

cos（a-/7）=cosacos/?+sinasin"=cosa-sin-a=2cos~a-1=--1=-.

故選：B.

5.關于x的方程x?+ax+/>=0,有下列四個命題：甲：x=l是該方程的根；乙：x=3是

該方程的根：丙：該方程兩根之和為2：?。涸摲匠虄筛愄?如果只有一個假命題，則該命

題是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

A

【分析】

對甲、乙、丙、丁分別是假命題進行分類討論，分析各種情況下方程/+必+。=0的兩根,

進而可得出結論.

【詳解】若甲是假命題，則乙丙丁是真命題，則關于X方程丁+6a+8=0的一根為3,

由于兩根之和為2,則該方程的另一根為-1，兩根異號，合乎題意；

若乙是假命題，則甲丙丁是真命題，則x=l是方程/+以+6=（）的一根，

由于兩根之和為2,則另一根也為1，兩根同號，不合乎題意；

若丙是假命題，則甲乙丁是真命題，則關于x的方程+辦+人=o的兩根為1和3,兩根同

號，不合乎題意;

若丁是假命題，則甲乙丙是真命題，則關于X的方程V+◎+）=（）的兩根為1和3,

兩根之和為4,不合乎題意.

綜上所述，甲命題為假命題.

故選：A.

關鍵點點睛：本題考查命題真假的判斷，解題的關鍵就是對甲、乙、丙、丁分別是假命題進

行分類討論，結合已知條件求出方程的兩根，再結合各命題的真假進行判斷.

6.有一個非常有趣的數(shù)列叫做調和數(shù)列，此數(shù)列的前〃項和已經被研究了幾百年，但是

迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當〃很大時，

l+-+-+---+-?ln/?+/,其中/稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，0.577215664901...,至

23〃

今為止都還不確定7是有理數(shù)還是無理數(shù).由于上式在〃很大時才成立，故當”較小時計算出

的結果與實際值之間是存在一定誤差的，已知In2。0.693,In10a2.303.用上式估算出的

In5與實際的In5的誤差絕對值近似為（）

A.0.003B.0.096C.0.121D.0.216

B

【分析】直接通過兩種方法求出In5,作差取絕對值即可求出結果.

—,1111—,=137

【詳解】1H--11---F—aln5+y=In5H-----y,

234560

又ln5=lnl0-ln2a2.303-0.693=L610

137

In5與實際的ln5的誤差絕對值近似為--0.577-1.610?0.096.

60

故選：B.

7.耳、B分別為雙曲線一上=1的左、右焦點，過士的直線/與C的左、右兩支曲線

2

分別交于A、B兩點,若I上F?B,則亭.瓦》=（）

A.4-2百B.4+6C.6-275D.6+26

C

【分析】利用勾股定理結合雙曲線的定義可求得忸6|,結合平面向量數(shù)量積的運算性質可求

得結果.

?：ILF2B,則鳥為直角三角形，可得忸耳「+忸圖2=忻用2=]2,

由雙曲線的定義可得忸用—忸閭=2,所以，

4=（|%|-忸用）2=忸片+忸段2_2|瓦訃怛段=12-2|明.忸周，

可得忸周.忸閭=4,

聯(lián)立稿.鬲J解得網=有一1，

因此，可.可=（可+而）取=^?+麗.臣=（6一1『=6—2仆.

故選：C.

方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：

（1）利用定義：

（2）利用向量的坐標運算；

（3）利用數(shù)量積的幾何意義.

具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用.

8.若存在aeR且。。0,對任意的xwR,均有/（%+幻＜/*）+/（幻恒成立，則稱函數(shù)

/(x)具有性質尸，己知：5：/(幻單調遞減，且/(x)>0恒成立；%：/(x)單調遞增，存在

/<0使得f(x0)=0,則是f(x)具有性質P的充分條件是()

A.只有％B.只有火

C.0和。2D.%和%都不是

C

【分析】對于4,當。>0,根據(jù)減函數(shù)的定義和已知條件，結合不等式性質，可得

/(x+a)</(x)+/(a)成立；對于私，取”=與同理可得出結論.

【詳解】-7)：當a>0，f(a)>0,因為函數(shù)/(x)單調遞減，

所以/(x+a)</(x)<f(x)+/(a)

即/(x+a)</(%)+/(a),存在a>0,

當滿足命題小時，/(x)具有性質P.

%：當a=x()<0時，/(a)=0,

因為函數(shù)/(x)單調遞增，

所以/(x+a)</(x)=/(%)+/(?),

即f(x+a)<f(x)+/(a),

存在。<0,當滿足命題%時，“X)具有性質P.

綜上可知命題名、%都是具有性質P的充分條件.

故選：C

本題考查函數(shù)的新定義、函數(shù)的單調性以及不等式的性質，考查了理解辨析能力、運算求解

能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.某中學四位同學利用假期到一貧困村參加社會實踐活動，感受2020年該村精準扶貧及新農

村建設的變化.經過實地調查顯示，該村2020年的經濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番，精準扶貧

取得驚人成果.為更好地了解該村的經濟收入變化情況，為后期精準扶貧方向提供決策參考,

四位同學統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例.得到如下餅圖：

四位同學依據(jù)上述餅圖，分別得出以下四個結論，其中結論中正確的是（）

A.精準扶貧及新農村建設后，種植收入減少

B.精準扶貧及新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.精準扶貧及新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.精準扶貧及新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

BCD

【分析】設精準扶貧及新農村建設前和后的經濟收入分別為。和加，根據(jù)餅狀圖依次驗證各

項收入是否滿足選項中的要求，由此可得結論.

【詳解】設精準扶貧及新農村建設前，經濟收入為。，則精準扶貧及新農村建設后，經濟收入

為2a；

3

對于A,精準扶貧及新農村建設前，種植收入為60%-a=-a；精準扶貧及新農村建設后，

種植收入為37%2a=—a；

50

373

?.?一a〉一a,.?.精準扶貧及新農村建設后，種植收入增加，A錯誤;

505

對于B,精準扶貧及新農村建設前，其他收入為4%/=-!-a；精準扶貧及新農村建設后,

其他收入為5%?2a=-!-〃；

10

1

—。5

?.?*)-=5>2,.?.精準扶貧及新農村建設后，其他收入增加了一倍以上，B正確；

—CI

25

3

對于C,精準扶貧及新農村建設前，養(yǎng)殖收入為30%-。=2。；精準扶貧及新農村建設后,

10

3

養(yǎng)殖收入為30%?2a=

3

—a

精準扶貧及新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍，C正確;

,3'

一a

10

對于D,精準扶貧及新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入之和的占比為

28%+30%=58%,超過了總收入的一半，D正確.

故選：BCD.

10.己知正四棱柱—底面邊長為2,側棱AA=1,P為上底面A4G。上

的動點，給出下列四個結論中正確結論為()

A.若PD=3,則滿足條件的P點有且只有一個

B.若PD=C，則點P的軌跡是一段圓弧

C.若〃平面ACBt,則OP長的最小值為2

D.若"〃平面ACM，且P。=百，則平面BDP截正四棱柱ABC。-的外接球

所得平面圖形的面積為9二乃

4

ABD

【分析】

若PD=3,由于P與片重合時~D=3,此時P點唯一；PE>=GW(1,3),則P〃=J5,

即點p的軌跡是一段圓?。划攑為4G中點時，力尸有最小值為=6,可判斷c；平面BOP

3

截正四棱柱ABCD-aAGR的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為=],可得

D.

【詳解】如圖:

?.?正四棱柱ABCD-44aA的底面邊長為2,

:.B\D\=2叵,又側棱例=1,

DB1=?2何1+E=3,則p與用重合時尸。=3,此時P點唯一，故A正確；

：PQ=J^e(l,3),DD,=1,則尸〃=0,即點P的軌跡是一段圓弧，故B正確；

連接。A，DC,,可得平面〃平面Acg,則當p為AG中點時，。2有最小值為

+1?=>/3?故C錯誤；

由C知，平面BDP即為平面,平面8DP截正四棱柱A8CO-44GA的外接球所

得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為!亞百丁=』，面積為也，故。正確.

224

故選：ABD.

本題考查了立體幾何綜合，考查了學生空間想象，邏輯推理，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，

屬于較難題.

11.摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之光''摩天輪，如圖所示，某

摩天輪最高點離地面高度128米，轉盤直徑為120米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的

位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉f分鐘，當，=15時，游客隨艙旋轉至距離地面最遠處.以

下關于摩天輪的說法中，正確的為()

A.摩天輪離地面最近的距離為4米

B.若旋轉/分鐘后，游客距離地面的高度為力米，則/?=-60cos（看1+68

C.若在4，J時刻，游客距離地面的高度相等，則4+J的最小值為30

D.Z2e［0,20］,使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米

BC

【分析】易知摩天輪離地面最近的距離，從而可判斷A；求出f分鐘后，轉過的角度，即可求

出力關于，的表達式，即可判斷B；由余弦型函數(shù)的性質可求出％+弓的最小值即可判斷C；求

出力在re［0,20］上的單調性，結合當「=20時，力=98>90即可判斷D.

【詳解】解：由題意知，摩天輪離地面最近的距離為128—120=8米，故A不正確；

。分鐘后，轉過的角度為石r,貝i"?=60—60cos百，+8=—60cos百r+68,B正確；

2萬_on

〃=-60cos￡f+68周期為7t~,由余弦型函數(shù)的性質可知，若外+右取最小值，

1515

則4/2€［°，30］，又高度相等，則關于f=15對稱，則號^=15,貝|北+/2=30；

7TTT

令0W話rw萬，解得0W/W15,令乃《百r<2萬，解得15W1W3O,

則人在fw［（）,15］上單調遞增，在fe［15,20］上單調遞減，當.=15時，%*=128,

當f=20時，/z=-60cos—x20+68=98>90,所以/z=9（）在，W（）,20］只有一個解；

故選:BC.

關鍵點睛:

本題的關鍵是求出"關于f的表達式，結合三角函數(shù)的性質進行判斷.

12.一個籠子里關著10只貓，其中有4只黑貓、6只白貓，把籠子打開一個小口，使得每次只

能鉆出1只貓，貓爭先恐后地往外鉆，如果io只貓都鉆出了籠子，事件人表示“第女只出籠

貓是黑貓”，々=1,2「一,10,則()

A.尸(A4)=:B.P(A+4)=：

c.P(”)=gD.P(4°I4)=；

BCD

【分析】10只貓先后出籠的順序為A；；,第4只出籠的貓是黑貓，即可先從4只黑貓中選出已

知，而其余9個位置的貓們可任意排列，即可得到P(A)，對A,事件44表示“第1,2

只出籠的貓都是黑貓”，即可求解判斷；對B,事件A+4表示“第1只或第2只出籠的貓是

黑貓”，則根據(jù)P(A+4)=P(A)+P(&)-P(A4)即可求解判斷；對c，D,結合條件

概率公式即可求解判斷.

A*xA99

【詳解】由題，p(a)=4表=一，

A］。5

A2xA82

事件44表示“第i,2只出籠的貓都是黑貓”，則P(A4)=，「=一，故A錯誤；

A；o15

事件4+4表示“第1只或第2只出籠的貓是黑貓”，則

2222

P(A+4)=P(A)+P(4)一尸(A4)=g+g一行=§,故B正確；

2

則0(4,)=號鋁=號=；，故c正確；

5

A2A8?

事件A2A0表示“第2,10只出籠的貓是黑貓”，則P(A2A。)=x

2

則P（4,|4）=：M）吟斗故D正確，

5

故選：BCD

三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/（x）=sin2x+cosx的圖像在點（0,1）處的切線方程為.

y=2x+l

【分析】求導，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，從而求出切線方程.

【詳解】f'M=2cos2%-sinx,r（0）=2,

則切線方程為：y-l=2x,整理得：y=2x+l

故答案為：y=2x+l

14.寫出一個數(shù)列｛為｝的通項公式，使得這個數(shù)列的前“項和在〃=5時取最大值，

冊=.

5-n（答案不唯一）

【分析】可以利用等差數(shù)列的前〃項和公式和二次函數(shù)的性質求解即可.

【詳解】對于等差數(shù)列其前〃項g="（%+4）/（4+5一嘰吐1

n222

由二次函數(shù)的性質可知，數(shù)列前〃項和在〃=5或〃=4時取到最大值，

故答案為：5—〃（答案不唯一）

2刀+x-3%<1

15.已知函數(shù)〃x）=一'，若/（。2+1）="-6"）一〃3）,則實數(shù)。=

人,4_1

-1

【分析】由對數(shù)的運算得出/（一60=唾2（3。2+3）>0,再由“X）在（Y,1）上單調遞增,

-6a..1

得出，/2,x\?進而解出。.

log2(3o+3)=log2(-6a)

2

【詳解】因為/(。2+1)=嚏2(/+1),/(3)=嚷23,m^/(-6?)=log2(3a+3)>0

因為/(x)在(F,1)上單調遞增，所以當x<l時，/(%)</(1)=0

—6a.i

④-6,解得a=T

故心23）=log2（—6a）'即

log,I+

3a2+6a+3=0

故答案為：-I

16.已知橢圓￡；：工+匕=1,若存在以點TQ,O)為圓心，r(r>0)為半徑的eT,該圓與橢

43

圓E恰有兩個公共點，且圓上其余各點均在橢圓內部，則f的取值范圍是.

22

【分析】設圓方程為(x-f)2+y2=r2,與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y后，關于x的方程有

兩個相等實根，△=()，求得相等實根，由根在(-2,2)上得，的范圍.

(x7)2+y2=產

【詳解】設圓方程為(工一62+產=/，由1%22得/_8a+4產一4尸+12=0

—+—=1

[43

(*),

因為圓與橢圓恰有兩個公共點，所以△=64/一4(4戶一4/+12)=0,f2=-1r2+l,

此時方程(*)的解是％2=今，由一2<41<2得一」<f<」.

22

故答案為d.

結論點睛：本題考查圓與橢圓的公共點問題，解題方法利用方程組的解的情況確定公共點的

個數(shù)，圓心在工軸上的圓與橢圓只有兩個公共點，則兩方程聯(lián)立消去y得關于％的方程，此方

程有兩個相等實根，且實根在區(qū)間(-凡。)上.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛%｝公差不為零，4+%+為=為，?2-?3=?8>數(shù)列｛〃｝各項均為正數(shù)，

4=1,3%+2b”也-E=0.

（1）求數(shù)列｛q｝、｛〃｝的通項公式；

2-

（2）若「+62%恒成立，求實數(shù)2的最小值.

%

⑴%=2〃一1，〃=（￡）

【分析】（1）設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)題意可得出關于外、d的方程組，解出這兩

個量的值，即可得出數(shù)列｛4｝的通項公式，分析可知數(shù)列也“｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首

項和公比，可求得數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）分析可知42號—恒成立，設&==—，分析數(shù)列｛c/的單調性，可求得出數(shù)列

｛%｝的最大項的值，可得出實數(shù)丸的取值范圍，即可得解.

【小問1詳解】

解：設等差數(shù)列｛4｝的公差為

（13q+3d=q+4d

因為《1235,即＜（q+d）（q+2d）=q+7d,解得《,

4=0[d=2

所以，。“=1+2（〃-1）=2〃-1,

因為3痣+2她=0,所以，（%+優(yōu)）（地+「包）=0,

11

因為2〉o,所以，4+]=鼻2，又4=1。。，所以，2工0,所以，71=4，

所以，｛2｝是以1為首項，g為公比的等比數(shù)列，故2=（;）.

【小問2詳解】

、〃一1

2〃一7

解：因為a，an=2n-l,所以，--+6>an,即;12恒成立,

%

"1373"

、n_2n-5〃()

C2n-72-7-4n-4

設n=y,，則C,用一Cn

3"+13"

當〃43時，%+|>e；當〃=4時，c向=c〃；當〃25時，cn+[<cn.

所以，〃=4或5時，。4=%=為｛?！ǎ淖畲箜?

O1

所以，2>^-,故實數(shù)4的最小值為上.

8181

18.在AABC中，2ccosA=2Z?—a,tanA+tanC+l=tanAtanC.

(1)求5的大小;

(2)在下列三個條件中選擇一個作為己知，使AABC存在且唯一確定，并求出的長.

①瓜：=6b;②A3截得角C的角平分線的線段CO長為1；③面積為品/=^^

(1)嗯

(2)若選②，AB=--,若選③，AB=&

2

【分析】(1)先由正弦定理得到2sinCcosA=2sin3—sinA,再借助正弦和角公式求出

37r

再由正切和角公式求出A+C=—,即可求得角3；

4

(2)若選①，由2=里推出矛盾；若選②，由角平分線求得AC=CD=1,再由2=噂求

cV3cV3

解;

6+31T1b也

若選③，由S&BC=—AB,AC?sin4及一=求解即可.

22cV3

【小問1詳解】

由正弦定理得2sinCeosA=2sin5—sinA,又sinB=sin[乃一(A+C)]=sin(A+C),

可得2sinCcosA=2sinAcosC+2sinCcosA-sinA,即2sinAcosC=sinA,

1jr

又sinAw0，故cosC=/,又Ce(0,?),故C=§.

由34+1311。+1=13041311?？傻?2114+1211。=一(1-121141211(7),

tanA+tanC故A+C4,

即=tan(A4-C)=—1,

1-tanAtanC

【小問2詳解】

bsinBsin一J2

若選①，由（1）知一='.八=...-=—f=,和后c=>/為矛盾，AABC不存在;

csmCsin至陋

3

若選②，

由CO為角C的角平分線可知：ZACD^-,又NA=上，故

612

Z.ADC=n--—7r——=-7t,

12612

.71

sin--

即AC=S=1'又*=4i,故AB普

si.n—71

3

此時AABC存在且唯一確定;

.n

若選③，S^=^^-=^AB-AC-smA,ACsinBsin7V2

BC乂___=__________L_=___

ABsinCsin￡73

3

sinA-sin(B+C)=sincosy+sinycos~,解得AC=2,AB=#；

此時AABC存在且唯一確定.

19.如圖1,矩形ABC。，點E,F分別是線段AB,CD的中點，AB=4,AD=2,將矩形ABC。

沿E尸翻折.

（1）若所成二面角的大小為工（如圖2）,求證：直線CE，面O3F；

2

冗

（2）若所成二面角的大小為一（如圖3）,點例在線段AO上，當直線BE與面EMC所成角

3

1T

為一時，求二面角?！闙—C的余弦值.

4

（1）證明見解析；

⑵見

4

【分析】（1）由題設易知班'J.EC,再由面面垂直的性質可得?？冢鍮E/V,根據(jù)線面

垂直的性質有DF1EC,最后由線面垂直的判定即可證結論.

（2）過E作&_L面AEFD，構建空間直角坐標系并設M（2,m,0）且0＜加＜2,求出面

EMC法向量、直線8E的方向向量，根據(jù)線面角的大小，結合空間向量夾角的坐標表示列方

程求出參數(shù)，外再確定面即仍的法向量，應用向量法求二面角的余弦值即可.

【小問1詳解】

由題設易知：BEFC是邊長為2的正方形，BEEC是5EFC的對角線，

所以

又面8EEC_L面AEFD,面BEFCC面AEFD=EF,DF人EF，DFu面AEFD,

所以。F_L面龐戶C,又ECu面BEFC，則OELEC,

又DFcBF=F，則ECJ■面8DF.

【小問2詳解】

過E作&，面AEFD,而AE.E/u面AEED，則&_LAE，EzA.EF，而AEJ_EE,

冗

可構建如下圖示的空間直角坐標系，由題設知：ZBEA=ZCFD=-

3

所以E(0,0,0),8(1,0,6)，C(l,2,百)，”(2,九0)且

則麗=(1,0,6)，EC=(1,2,73).EM=(2,m,0),

_[EC-n-x+2y+y/3z=0

若〃二(x,y,z)是面EMC的一個法向量，則《_，令人=機，則

[EMn-2x+my=0

_/_4一機、

〃=(m,—2,,

.-yr-EB,〃?11

|EB\\n\/m2—2m+7V2?可得加=1,則〃=(1,-2,6),

又1=(0,0,1)是面￡M￡)的一個法向量，

所以|cos<7,1〉|=|上3|=￡=逅，則銳二面角?！狤W—C的余弦值為亞.

|Z||H|2V244

20.“紅五月”將至，學校文學社擬舉辦“品詩詞雅韻，看俊采星馳”的古詩詞挑戰(zhàn)賽，挑戰(zhàn)

賽分為個人晉級賽和決賽兩個階段.個人晉級賽的試題有2道“是非判斷”題和4道“信息連

線”題，其中4道“信息連線”題是由電腦隨機給出錯亂排列的四句古詩詞和四條相關的詩詞

背景(如詩詞題名、詩詞作者等)，要求參賽者將它們一一配對，每位參賽選手只有一次挑戰(zhàn)

機會.比賽規(guī)則為：電腦隨機同時給出2道“是非判斷"和4道'‘信息連線”題，要求參賽者

全都作答，若有四道或四道以上答對，則該選手晉級成功.

(1)設甲同學參加個人晉級賽，他對電腦給出的2道“是非判斷”題和4道“信息連線”題

都有且只有一道題能夠答對，其余的4題只能隨機作答，求甲同學晉級成功的概率；

（2）已知該校高三（1）班共有47位同學，每位同學都參加個人晉級賽，且彼此相互獨立.

若將（1）中甲同學晉級的概率當作該班級每位同學晉級的概率，設該班晉級的學生人數(shù)為X.

①問該班級成功晉級的學生人數(shù)最有可能是多少？說明理由；

②求隨機變量X的方差.

（1）—

12

（2）①19或20,理由見解析；②”上

144

【分析】（1）分甲同學答對四道、五道、六道題，分析出是非判斷題和信息連線題答對的題

的數(shù)量，結合獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率：

⑵①分析可知”外47名｝設「（XT最大，可得出=

解出攵的取值范圍，即可得解；

②利用二項分布的方差公式可求得o（x）的值.

【小問1詳解】

解：記事件4:甲同學晉級成功，則事件A包含以下幾種情況：

①事件3="共答對四道”，即答對余下的是非判斷題，答錯兩道信息連線題，則

P（5）=k*l=』.

''2A；12

②事件C="共答對五道”，即答錯余下是非判斷題，答對余下的三道信息連線題，則

P（C）=—x-^-=—

V'2A；12,

③事件。="共答對六道”，即答對余下的四道問題，P（O）=〈xV=',

所以尸（A）=P（B）+P（C）+P（O）=（.

【小問2詳解】

解：①由題意可知x~447,27V

,設尸（X=Z）=C：7-最大,

運

P（X=k）NP（X=k-l）

P（X=k）＞P（X=k+i）瀉啕飛r

A工

k-48一

,解得194攵W20,即X最有可能取的值為19或20；

工〉工

〔47-%k+\

571645

②由二項分布的方差公式可得￡＞（%）=47X—X一

1212~14T

21.已知點A（l,l）在拋物線丁=2內（〃＞0）上，點P（〃?,0）（其中徵＞1）.如圖過點P且斜

率為2的直線與拋物線交于3,C兩點（點3在點。的上方），直線”與拋物線交于另一點

⑴記|叫|叫=2陷困,當加=3時,求以的值;

（2）若△ACO面積大于27,求加的取值范圍.

（1）4

（2）m＞5

【分析】（1）首先求出拋物線方程，即可求出直線3C,AO的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方

程，求出交點坐標，再根據(jù)兩點的距離公式求出歸即，|PC|,|PA|,歸。|,即可得解；

（2）設為＜0,即可得到的方程，從而得到。點坐標，即可得到直線AD的

方程，聯(lián)立直線AO與拋物線方程，利用弦長公式求出|A￡）|,再由點到直線的距離公式求出C

到直線AD的距離d，即可得到再利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可求

出＞'o的取值范圍，從而得到團的取值范圍；

【小問1詳解】

解：由題可知：l=2p,所以p=；,所以拋物線方程為丁=》.

]

當根=3時P（3,0）,kAP=-^-=--,所以BC:y=2x-6,AD:y=--x+-,聯(lián)立

1—3222

y=2x-6,

「2，消去工得2y2一y一6二0,

y=x

解得X=2或％=-之所以8（4,2）,C件-11所以|PB|=J（4—3）2+22=也,

叫|PC|=?，

13

y=--x~\--

又22,消去工整理得：/+2)—3=0,解得％=1,了2=一3，所以。(9,—3),

y2=x

所以|PA|=J(l_3y+/=下,|PD\=^/(9-3)2+(-3)2=375.

二眼卜囪=15.

所以六明二4.

【小問2詳解】

解：設。（云,%），%＜。，則BUy-%=2（x-y；）.

令y=0,則一%=2（/〃一乂），即=—

所以AD:%=（1-㈤y+"z.

聯(lián)立〈2'“，消元整理得y—。一機）y—m=0,解得y=i、必=一根，

|A￡＞|=小（T-m）~+1?-，n）2+4加=J（1-+1?（1+m）.

a—，〃)％—利|

=

而a-/7，

-畸+1

???5A4CD=1|陋|.d=.|工_(1一加)為一加|

y0--+1/、

=---------->；-%+(%T)>0-9

因為加=乂一義>1且No<0,所以先<一；.

所以q-4.￡+4y：-3寸+)-(；+2兒.

^△AC。

8

令/(%)=-4y0+4B-3乂+y；+2為,