PAGE./條件概率與統(tǒng)計獨立性1、字母M,A,X,A,M分別寫在一張卡片上,充分混合后重新排列,問正好得到順序MAAM的概率是多少？2、有三個孩子的家庭中,已知有一個是女孩,求至少有一個男孩的概率.3、若M件產(chǎn)品中包含m件廢品,今在其中任取兩件,求：〔1已知取出的兩件中有一件是廢品的條件下,另一件也是廢品的條件概率；〔2已知兩件中有一件不是廢品的條件下,另一件是廢品的條件概率；〔3取出的兩件中至少有一件是廢品的概率.4、袋中有a只黑球,b吸白球,甲乙丙三人依次從袋中取出一球〔取后來放回,試分別求出三人各自取得白球的概率〔.5、從{0,1,2,…,9}中隨機地取出兩個數(shù)字,求其和大于10的概率.6、甲袋中有a只白球,b只黑球,乙袋中有吸白球,吸黑球,某人從甲袋中任出兩球投入乙袋,然后在乙袋中任取兩球,問最后取出的兩球全為白球的概率是多少？7、設(shè)的N個袋子,每個袋子中將有a只黑球,b只白球,從第一袋中取出一球放入第二袋中,然后從第二袋中取出一球放入第三袋中,如此下去,問從最后一個袋子中取出黑球的概率是多少？8、投硬幣n回,第一回出正面的概率為c,第二回后每次出現(xiàn)與前一次相同表面的概率為p,求第n回時出正面的概率,并討論當(dāng)時的情況.9、甲乙兩袋各將一只白球一只黑球,從兩袋中各取出一球相交換放入另一袋中,這樣進行了若干次.以pn,qn,rn分別記在第n次交換后甲袋中將包含兩只白球,一只白球一只黑球,兩只黑球的概率.試導(dǎo)出pn+1,qn+1,rn+1用pn,qn,rn表出的關(guān)系式,利用它們求pn+1,qn+1,rn+1,并討論當(dāng)時的情況.10、設(shè)一個家庭中有n個小孩的概率為這里.若認(rèn)為生一個小孩為男孩可女孩是等可能的,求證一個家庭有個男孩的概率為.11、在上題假設(shè)下：〔1已知家庭中至少有一個男孩,求此家庭至少有兩個男孩的概率；〔2已知家庭中沒有女孩,求正好有一個男孩的概率.12、已知產(chǎn)品中96%是合格品,現(xiàn)有一種簡化的檢查方法,它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05,求在簡化方法檢查下,合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率.13、設(shè)A,B,C三事件相互獨立,求證皆與C獨立.14、若A,B,C相互獨立,則亦相互獨立.15、證明：事件相互獨立的充要條件是下列2n個等式成立：,其中取或.16、若A與B獨立,證明中任何一個事件與中任何一個事件是相互獨立的.17、對同一目標(biāo)進行三次獨立射擊,第一,二,三次射擊的命中概率分別為0.4,0.5,0.7,試求〔1在這三次射擊中,恰好有一次擊中目標(biāo)的概率；〔2至少有一次命中目標(biāo)的概率.18、設(shè)相互獨立,而,試求：〔1所有事件全不發(fā)生的概率；〔2諸事件中至少發(fā)生其一的概率；〔3恰好發(fā)生其一的概率.19、當(dāng)元件k或元件或都發(fā)生故障時電路斷開,元件k發(fā)生故障的概率等于0.3,而元件k1,k2發(fā)生故障的概率各為.2,求電路斷開的概率.20、說明"重復(fù)獨立試驗中,小概率事件必然發(fā)生"的確切意思.21、在第一臺車床上制造一級品零件的概率等于0.7,而在第二臺車床上制造此種零件的概率等于0.8,第一臺車床制造了兩個零件,第二臺制造了三個零件,求所有零件均為一級品的概率.22、擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為p,擲了n次,求下列概率：〔1至少出現(xiàn)一次正面；〔2至少出現(xiàn)兩次正面.23、甲,乙,丙三人進行某項比賽,設(shè)三個勝每局的概率相等,比賽規(guī)定先勝三局者為整場比賽的優(yōu)勝者,若甲勝了第一,三局,乙勝了第二局,問丙成為整場比賽優(yōu)勝者的概率是多少？24、甲,乙均有n個硬幣,全部擲完后分別計算擲出的正面數(shù)相等的概率.25、在貝努里試驗中,事件A出現(xiàn)的概率為p,求在n次獨立試驗中事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.26、在貝努里試驗中,若A出現(xiàn)的概率為p,求在出現(xiàn)m次A之前出現(xiàn)k次A的概率.27、甲袋中有只白球和一只黑球,乙袋中有N只白球,每次從甲,乙兩袋中分別取出一只球并交換放入另一袋中去,這樣經(jīng)過了n次,問黑球出現(xiàn)在甲袋中的概率是多少？并討論時的情況.28、某交往式計算機有20個終端,這些終端被各單位獨立操作,使用率各為0.7,求有10個或更多個終端同時操作的概率.29、設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率等于0.001,如果射擊5000次,試求打中兩彈或兩彈以上的概率.30、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一樣的,在50個人的單位中有兩面三刀個以上的人生于元旦的概率是多少？31、一本500頁的書,共有500個錯字,每個字等可能地出現(xiàn)在每一頁上,試求在給定的一頁上至少有三個錯字的概率.32、某疫苗中所含細(xì)菌數(shù)服從普阿松分布,每1毫升中平均含有一個細(xì)菌,把這種疫苗放入5只試管中,每試管放2毫升,試求：〔15只試管中都有細(xì)菌的概率；〔2至少有3只試管中有細(xì)菌的概率.33、通過某交叉路口的汽車可看作普阿松過程,若在一分鐘內(nèi)沒有車的概率為0.2,求在2分鐘內(nèi)有多于一車的概率.34、若每蠶產(chǎn)n個卵的概率服從普阿松分布,參數(shù)為,而每個卵變?yōu)槌上x的概率為p,且各卵是否變?yōu)槌上x彼此間沒有關(guān)系,求每蠶養(yǎng)出k只小蠶的概率.35、某車間宣稱自己產(chǎn)品的合格率超過99%,檢驗售貨員從該車間的10000件產(chǎn)品中抽查了100件,發(fā)現(xiàn)有兩件次品,能否據(jù)此斷定該車間謊報合格率？36、在人群中男人患色盲的占5%,女人患色盲的占0.25%,今任取一人后檢查發(fā)現(xiàn)是一個色盲患者,問它是男人的概率有多大?37、四種種子混在一起,所占的比例是甲：乙：丙：丁=15：20：30：35,各種種子不同的發(fā)芽率是：2%,3%,4%,5%,已從這批種子中任送一粒觀察,結(jié)果未發(fā)芽,問它是甲類種子的概率是多少?38、對同一目標(biāo)由3名射手獨立射擊的命中率是0.4、0.5,和0.7,求三人同時各射一以子彈而沒有一發(fā)中靶的概率?39、有兩個袋子,每個袋子裝有a只黑球,b只白球,從第一個中任取一球放入第二個袋中,然后從第二個袋中取出一黑球的概率是多少？40、已知產(chǎn)品中96%是合格的,現(xiàn)有一種簡單的檢查方法,它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05,求此簡化法檢查下為合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率.41、某射手用三支槍各向靶射一發(fā)子彈,假設(shè)三支槍中靶的概率分別為,結(jié)果恰有兩彈中靶,問槍射中的概率為多少?42、已知產(chǎn)品中96%是合格的,現(xiàn)有一種簡化的檢查方法,它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0.98,而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0.05,求此簡化法檢查下為合格品的一個產(chǎn)品確實是合格品的概率.43、設(shè)第一個盒子中有兩個白球和一個黑球,第二個盒中有三個白球和一個黑球,第三個盒子中有兩個白球和兩個黑球.此三個盒子外形相同,某人任取一個盒子,再從中任取一個球,求他取得白球的概率.44、用血清蛋白的方法診斷肝癌,令"被檢查者患有肝癌","判斷被檢查者患有肝癌".設(shè)現(xiàn)有一個人診斷患有肝癌,求他確有肝癌的概率.45、一批零件共100個,次品有10個.每次從其中任取1個零件,菜取3次,取出后不放回.示第3次才取得合格品的概率.46、10個零件中有3個次品,7個合格品,每次從其中任取1個零件,共取3次,取后不放回.求：〔1這3次都抽不到合格品的概率；〔2這3次至少有1次抽到合格品的概率.47、一批產(chǎn)品中有15%的次品.進行獨立重復(fù)抽樣檢查,問取出的20個樣品中最大可能的次品數(shù)是多少？并求其概率.48、一電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布.求〔1每分鐘恰有6次呼喚的概率；〔2每分鐘呼喚次數(shù)不超過10的概率.49、有一汽車站有大量汽車通過,設(shè)每輛汽車在一天某段時間出事故的概率為0.0001.在某天該段時間內(nèi)有1000輛汽車通過,求事故次數(shù)不少于的概率.50、某商店出售某種貴重物品,根據(jù)以往的經(jīng)驗,每月銷售量服從參數(shù)的泊松分布.問在月初進貨時,要庫存多少件才能以99.2%的概率充分滿足顧客的需要？51、從某廠產(chǎn)品中任取200件,檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有4件廢品.我們能否認(rèn)為該產(chǎn)品的廢品率不超過0.005？52、若是三個獨立的事件,則亦是獨立的.53、設(shè)P<A>>0,若A與B相互獨立,則P<B|=P<B>.54、若相互獨立,則和及與亦獨立.55、設(shè)P<A>>0,P<B>>0,證明A和B相互獨立與A和B互不相容不能同時成立.56、求證：如果,則.57、證明：若事件與事件相互獨立,則事件與事件相互獨立.58、設(shè)A,B,C三事件相互獨立,求證皆與C獨立.59、若A,B,C相互獨立,則亦相互獨立.60、若A與B獨立,證明中任何一個事件與中任何一個事件是相互獨立的.第二章解答1、解：自左往右數(shù),排第i個字母的事件為Ai,則,.所以題中欲求的概率為2、解：總場合數(shù)為23=8.設(shè)A={三個孩子中有一女},B={三個孩子中至少有一男},A的有利場合數(shù)為7,AB的有利場合為6,所以題中欲求的概率P〔B|A為.3、解：〔1M件產(chǎn)品中有m件廢品,件正品.設(shè)A={兩件有一件是廢品},B={兩件都是廢品},顯然,則,題中欲求的概率為.〔2設(shè)A={兩件中有一件不是廢品},B={兩件中恰有一件廢品},顯然,則.題中欲求的概率為.〔3P{取出的兩件中至少有一件廢品}=.4、解：A={甲取出一球為白球},B={甲取出一球后,乙取出一球為白球},C={甲,乙各取出一球后,丙取出一球為白球}.則甲取出的球可為白球或黑球,利用全概率公式得乙取球的情況共有四種,由全概率公式得.5、解：設(shè)B={兩數(shù)之和大于10},Ai={第一個數(shù)取到i},.則,;.由全概率公式得欲求的概率為.6、解：設(shè)A1={從甲袋中取出2只白球},A2={從甲袋中取出一只白球一只黑球},A3={從甲袋中取出2只黑球},B={從乙袋中取出2只白球}.則由全概率公式得.7、解：A1={從第一袋中取出一球是黑球},……,Ai={從第一袋中取一球放入第二袋中,…,再從第袋中取一球放入第i袋中,最后從第i袋中取一球是黑球},.則.一般設(shè),則,得.由數(shù)學(xué)歸納法得.8、解：設(shè)Ai={第i回出正面},記,則由題意利用全概率公式得.已知,依次令可得遞推關(guān)系式解得當(dāng)時利用等比數(shù)列求和公式得〔*〔1若,則；〔2若,則當(dāng)時,；當(dāng)時,.若,則若,則不存在.〔3若,則由〔*式可得9、解：令分別表示第i次交換后,甲袋中有兩只白球,一白一黑,兩黑球的事件,則由全概率公式得,,.這里有,又,所以,同理有,再由得.所以可得遞推關(guān)系式為,初始條件是甲袋一白一黑,乙袋一白一黑,即,由遞推關(guān)系式得,.10、解：設(shè)An={家庭中有n個孩子},n=0,1,2,…,B={家庭中有k個男孩}.注意到生男孩與生女孩是等可能的,由二項分布得由全概率公式得〔其中11、解：〔1設(shè)A={至少有一男孩},B={至少有2個男孩}.,由得,.〔2C={家中無女孩}={家中無小孩,或家中有n個小孩且都是男孩,n是任意正整數(shù)},則A1={家中正好有一個男孩}={家中只有一個小孩且是男孩},則,且,所以在家中沒有女孩的條件下,正好有一個男孩的條件概率為.12、解：設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品},B={檢查后判為合格品}.已知,,求.由貝葉斯公式得.13、證：〔1,∴與C獨立.〔2∴AB與C獨立.〔3,∴與C獨立.14、證：,同理可證,.又有,所以相互獨立.15、證：必要性.事件相互獨立,用歸納法證.不失為一般性,假設(shè)總是前連續(xù)m個集取的形式.當(dāng)時,.設(shè)當(dāng)時有,則當(dāng)時從而有下列2n式成立：,其中取或.充分性.設(shè)題中條件成立,則,<1>.<2>∵,∴.<1>+<2>得.<3>同理有,兩式相加得.〔4<3>+<4>得.同類似方法可證得獨立性定義中個式子,∴相互獨立.16、證：,同理可得.證畢.17、解：P{三次射擊恰擊中目標(biāo)一次}P{至少有一次命中}=1-P{未擊中一次}18、解：〔1P{所有的事件全不發(fā)生}.〔2P{至少發(fā)生其一}.〔3P{恰好發(fā)生其一}.19、解：本題中認(rèn)為各元件發(fā)生故障是相互獨立的.記={元件發(fā)生故障},={元件發(fā)生故障},={元件發(fā)生故障}.則P{電路斷開}.20、解：以表事件"A于第k次試驗中出現(xiàn)",,由試驗的獨立性得,前n次試驗中A都不出現(xiàn)的概率為.于是前n次試驗中,A至少發(fā)生一次的概率為.這說明當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)無限增加時,小概率事件A至少發(fā)生一次的概率可以無限地向1靠近,從而可看成是必然要發(fā)生的.21、解：我們認(rèn)為各車床或同一車床制造的各個零件的好壞是相互獨立的,由此可得.22、解：利用二項分布得..23、解：〔1設(shè)A,B,C分別表示每局比賽中甲,乙丙獲勝的事件,這是一個的多項分布.欲丙成為整場比賽的優(yōu)勝者,則需在未來的三次中,丙獲勝三次；或在前三次中,丙獲勝兩次乙勝一次,而第四次為丙獲勝.故本題欲求的概率為.24、解：利用兩個的二項分布,得欲副省長的概率為.25、解：事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率記為b,出現(xiàn)偶數(shù)次的概率記為a,則,.利用,可解得事件A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率為.順便得到,事件A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率為.26、解：事件"在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A",相當(dāng)于事件"在前次試驗中出現(xiàn)k次A,次,而第次出現(xiàn)",故所求的概率為注：對事件"在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A",若允許在出現(xiàn)m次之前也可以出現(xiàn)次A,次A等,這就說不通.所以,事件"在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A"的等價事件,是"在出現(xiàn)m次之前恰出現(xiàn)k次A".而對事件"在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)k次A之前"〔記為B就不一樣,即使在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)了次A,次A等,也可以說事件B發(fā)生,所以事件B是如下諸事件的并事件："在出現(xiàn)m次之前恰出現(xiàn)i次A",.27、解：設(shè){經(jīng)n次試驗后,黑球出現(xiàn)在甲袋中},{經(jīng)n次試驗后,黑球出現(xiàn)在乙袋中},{第n次從黑球所在的袋中取出一個白球}.記.當(dāng)時,由全概率公式可得遞推關(guān)系式：,即.初始條件,由遞推關(guān)系式并利用等比級數(shù)求和公式得.若,則時,當(dāng)時.若,則對任何n有.若,則〔N越大,收斂速度越慢.28、解：P={有10個或更多個終端同時操作}=P{有10個或不足10個終端不在操作}.29、解：利用普阿松逼近定理計算,則打中兩彈或兩終以上的概率為30、解：事件"有兩個以上的人生于元旦"的對立事件是"生于元旦的人不多于兩個"利用的二項分布得欲求的概率為.31、解：每個錯字出現(xiàn)在每頁上的概率為,500個錯字可看成做500次努里試驗,利用普阿松逼近定理計算,,得P{某頁上至少有三個錯字}=1-P{某頁上至多有兩個錯字}.32、解：每一毫升平均含一個細(xì)菌,每2毫升含2個,所以每只試管中含有細(xì)菌數(shù)服從的普阿松分布.由此可得P{5個試管中都有細(xì)菌}；P{至少有三個試管中有細(xì)菌}.計算時利用了的二項分布.33、解：設(shè)一分鐘內(nèi)通過某交叉路口的汽車數(shù)服從的普阿松分布,則P{1分鐘內(nèi)無車}由此得,2分鐘內(nèi)通過的汽車數(shù)服從的普阿松分布,從而2分鐘內(nèi)多于一車的概率為.34、解：若蠶產(chǎn)i個卵,則這i個卵變?yōu)槌上x數(shù)服從概率為的二項分布,所以P{蠶養(yǎng)出n只小蠶}35、解：假設(shè)產(chǎn)品合格率,不妨設(shè).現(xiàn)從10000件中抽100件,可視為放回抽樣.而100件產(chǎn)品中次品件數(shù)服從二項分布,利用普阿松逼近定理得,次品件數(shù)不小于兩件的概率為此非小概率事件,所以不能據(jù)此斷定該車間謊報合格率.〔注意,這并不代表可據(jù)此斷定,該車間沒有謊報合格率.36、解:設(shè){任取一人是男性}{任取一人是女性}{任取一人檢查患色盲}則故所求概率為由bayes公式可得37、解：設(shè)分別表示任取一粒種子屬于甲、已、丙、丁的事件.而表示任取一粒種子,它不發(fā)芽的事件,則又由Bayes公式,所求概率38、解：記={第i名射手射中目標(biāo)},則相互獨立.所求概率39、解：設(shè)從第一個袋子摸出黑球A,從第二個袋中摸出黑球為B,則由全概公式知:40、