【解答題搶分專題】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）

專題05解三角形之三角形中線和角平分線問題

目錄一覽

一、梳理必備知識

二、基礎(chǔ)知識過關(guān)

三、典型例題講解

四、解題技巧實戰(zhàn)

五、跟蹤訓(xùn)練達標(biāo)

、梳理必備知識

1.正弦定理

（其中R為A46C外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

<=>a=27?sinJ,6=2RsinB,c=27?sinC;（邊化角）

./a.門b,

=sin4=——,sinB=——,sinC=—；（角化邊）

2R2R2R

2.余弦定理：

,h2^c2-a2

cosA=----------,

2bca2=b2+c2-2bccosA,

□a2+c2-b2

<cos5=----------,=>Sb2=a24-c2-laccos5,

2ac

「a2+b2-c2Ic2=a2+b2-2abcosC.

lab

3.三角形面積公式：

SMBC-^absinC=；bcsinA=:acsinB=1（a+b+c）r（r為三角形ABC的內(nèi)切圓半徑）

22

4.三角形內(nèi)角和定理:

jrA1R

在△/8C中，有4+8+。=萬0。=萬一（N+6）=02C=2/一2（1+8）.

5.三角形中線問題

如圖在A/J8C中，。為C8的中點，2而=%+方，然后再兩邊平方，轉(zhuǎn)

化成數(shù)量關(guān)系求解?。ǔＳ茫?/p>

6.角平分線

如圖，在A48C中，Z0平分NB4C,角2,8,。所對的邊分別為%b,c/

①等面積法

SttABC=StulBD+S/UDC=B

11A1A

—ABxACxsinA=—ABxADxsin-b—ACxADxsin—（常用）

22222

②內(nèi)角平分線定理：

_A_B_—_A__C口小v__A_B_—_B__D_

BD~DCAC~DC

4BS

③邊與面積的比值：丁;―

力cJ"。。

【常用結(jié)論】

①在\ABC中，Q>b=sin/>sin5o/>5;

jr

②sin2/=sinIB,則N=B^A+B=《

③在二用函數(shù)中，sinZ>sin6oZ>8不成立。但在二角形中，sin/>sin6o/>6成立

二、基礎(chǔ)知識過關(guān)

1.是“8C的邊8c上的中線，若AD=6,BC=4,4BDA=%,則“8C的面積為（）

6

A.V3B.2C.2幣D.4

【答案】A

【分析】根據(jù)S△皿=2S△,加以及三角形面積公式即可求出.

【詳解】S.ABC=2S“BD=DB.DA.sinNBDA=2義;x2x6x；=6.

故選：A.

2.若AJ8C的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，且8c邊上的中線力。=近，又AB=2,則%叱=

A.6B.3月C.2也D.3

【答案】B

【分析】三角形內(nèi)角成等差數(shù)列，可求得8=60,利用余弦定理列方程可求得8。的長，由此得到5c的長,

利用三角形的面積公式可求得三角形面積.

【詳解】因為ZU8C的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則8=60。，在A48c中，由余弦定理得:

AD2=AB2+BD2-2AB-BD-cos5?即7=4+-28。，所以8。=3或-1（舍去），

可得8c=6,所以又而=!NB-8C-sinB='x2x6x3=3百.故選B.

ZI/IDC222

【點睛】本小題主要考查等差中項的性質(zhì)，考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于基

礎(chǔ)題.

3.在A48c中，8c邊上的中線/。長為3,且cos8=X電，cos^ADC=-\,則ZC邊長為

84

A.4B.16C.V10D.76

【答案】A

［詳解］試題分析：；cosB=sinB=vcosZ.ADC=-■-sinZ.ADB=,

8844

BD=2CD=2

A43c中，由余弦定理的x=4

考點：1.三角函數(shù)基本公式；2.正余弦定理

4.在A48C中，5=120°,AB=6,角A的角平分線貝巾4。=（）

A.五B.述C.石D.76

3

【答案】D

【分析】本題首先可根據(jù)正弦定理以及8=120。、AB=g、/￡>=6計算出408=45。，然后根據(jù)/。是

角A的角平分線計算得出ABAC=30=以及ZC=30。，最后利用正弦定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

如圖所示，因為8=120。，AB=C，AD=6,

所以孤=解得sin/4O8=gN4DB=45°,

2

因為/。是角A的角平分線，￡）845=180'T20-45°=15°,

所以N84C=30°,DC=7t-120°-3O=3(r,

所以古=一3，解得4C=灰,故選D.

sinBsinDC

【點睛】本題考查正弦定理解三角形，考查正弦定理公式的靈活使用，正弦定理公式為

=\=2R,考查計算能力，是簡單題.

sinC

5.已知A/8C中，48=6,“。=2,工。為/胡。的角平分線，AD=&,則A/8C的面積為（）

A.2夜B.472C.3應(yīng)D.3萬

【答案】B

【分析】根據(jù)5““=邑，g+5“8利用三角形面積公式、倍角公式化簡整理可得cos。=巫，再求sin，，代

3

入面積公式運算求解.

【詳解】設(shè)NB4D=NCAD=9

'：S=S+S.,貝（jL/18/C-sinN8/C=L/B/Z）?sinN8/O+L/o/c-sinNC/。

a/>ADIIVCanDkJA/iVCi-D/rx"?22

即;x6x2xsin26=gx6xVJxsine+；x2xVJxsin6,^3sin20=2sin=2^"sin^cos0

sin。工0,則cos0=

3

2

***sin0=^1-cos0=^~,貝IIS/”=SAAHD+SACn=—x6x-\/3x^-+—x2x-x/3x^-=4A/2

3aABD2323

故選：B.

6.在△NBC中，AB=4,AC=3,BC=5,則//的角平分線/。的長為（）

A.34B.2C.D.—

74

【答案】C

【分析】由已知判斷出“8C是直角三角形，求出cos8,再利用余弦定理計算可得答案.

【詳解】因為Z8=4,4C=3,8C=5,所以4出+NC?=8C?,所以N8/C=90。，

ARA4RAC

由已知得cos8=Wg=W，因為/。是//的角平分線，所以黑=痣，

DC5DDDC

即/-=二，所以‘-=」一，8。="，

BDDCBD5-BD7

在△/8￡（中，由余弦定理得

AD2^AB2+BD2-2ABXBDCOSZB^16+--2X4X—X-=—,

497549

所以/。=竺也.

7

故選：C.

二、填空題

7.在A48C中，已知C8=7,AC=S,AB=9,則NC邊上的中線長為

【答案】7

【分析】先利用余弦定理求得cos/的值，再設(shè)中線，利用余弦定理求出中線的值.

,AB2+AC2-BC292+82-722

【詳解】由條件知:

2ABAC~2x9x8-3

（吟）+AB--2-^-ABcosA

設(shè)中線長為x,由余弦定理知:

=42+92-2X4X9X-=49

3

所以x=7.所以/C邊上的中線長為7.

故答案為：7.

【點睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

8.已知A48c的三個內(nèi)角48C滿足28=Z+C,且48=1,8。=4,則8c邊上的中線2。的長為.

【答案】下

【解析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得8=60",在A/18。中根據(jù)余弦定理可得答案.

【詳解】"：2B=A+C,：.J+5+C=35=180°,/.fi=60°.

VBC=4,：.BD=2.

...在ZUBD中,=y/AB2+BD2-2AB-BDcos600=712+22-2x1x2cos60°=6?

故答案為:石

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，考查了余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.

9.已知△ABC中，AC=2,AB=3,ZBAC=60°,AD是△ABC的角平分線，則AD=

【答案】空

5

【分析】由叉.=$卻《＞+5加8,利用三角形面積公式可得關(guān)于工。的方程，從而可得結(jié)果.

如圖，S&tBC=SaABD+S^CD，

/.—x3x25m60°=—y.3ADsin30+—x2ADx5ZH30°,

222

AD=^-,故答案為述.

55

【點睛】本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及特殊角的三角函數(shù)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答

問題的能力，屬于簡答題.

10.在“8C中，4=60°,NZ的角平分線與5。邊相交于D.AD=--,8C=J7，則Z8邊的長度為

【答案】2或3

【分析】分別求得和春8c的面積，利用等面積法可得+=利用余弦定

理，可得N8x/C=6,聯(lián)立即可得答案.

【詳解】由題意得=:/8x/Oxsin30'=_L/8x述=殛48,

24510

S.ACD=~ACXADXsm30°=-ACx^-=^-AC,

24510

S.c=-ABxACxsmW=—ABAC>

Alj24

由S4Be=S^BD+S?ACD,可得——■(AB+AC]=ABxAC,

AA10x74

所以48+IC=』/8xAC,

6

又由余弦定理，有AB2+AC-ABxAC=7,可得(/B+/C)2-3”X/C=7,

所以"(Z8X/C)2-3Z8X/C=7,解得H8X4C=6,

36

又由如"=5,可,得[A%B=32叫^[AB=3

故答案為：2或3

四、解題技巧實戰(zhàn)

1.J8C的內(nèi)角4&C的對邊分別為a,6,c,A/8C的面積S=taM,8c邊上的中線長為6.

⑴求“；

(2)求外接圓面積的最小值.

4

【答案】⑴。=2；⑵丁.

【分析】(1)利用三角形面積結(jié)合已知求出bccos/,再借助向量數(shù)量積運算律、余弦定理求解作答.

(2)利用正弦定理及(1)中信息，結(jié)合均值不等式求出A/8C外接圓半徑最小值即可計算作答.

I|cir?A

【詳解】（1）的面積S=—bcsin4,X5*=tanJ,于是得一bcsinN=-------,而0<4<4，即siM>0,

22cosJ

因此bccosZ=2,

—1——

令邊5C的中點為。，則線段是“fBC的中線，有AD=yB+AC),

因此4石2+2彳瓦就+衣2，即有12=〃+°2+2bccos力，解得〃+°2=8,

由余弦定理得/=〃+，一》0cos力，即/=8-4=4,解得。=2,

所以。=2.

(2)設(shè)“8C外接圓半徑為R,由正弦定理得三=2R,即有R=」，

SUMsinJ

241

由(1)知cos/=「2不~=當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2時取等號，

beb2+c22

而0<4<］，于是得。有0<sin/4且，

32

112^~廠

因此而一京=h，當(dāng)且僅當(dāng)sirvl=業(yè)，即時取等號，

----23

2

所以A8C外接圓面積最小值為"x(手)2=+r,

2.△/8C中,角4,B,C所對的邊分別是a也c,2acos8=2c+6,b=l.

(1)求角A；

(2)若8C邊的中線ZD="，求△N8C面積.

2

【答案】⑴介華(2)在

32

【分析】(D用正弦定理進行邊化角得2siMcos8=2sinC+sinS,再用三角恒等變換處理;

(2)利用向量質(zhì)=；(而+就)，兩邊平方展開即可得出結(jié)果.

(1)由題意2〃cosB=2c+h與正弦定理可得2sirL4cos5=2sinC+sin8,

由4+8+C=兀,可得sinC=sin［兀-(4+8)］=sin(A+B)=sia4cosB+coSsinB.

代入整理得：2cosJsinfi+sintf=0.

故cos4=-；,可得/=?.

（2）V^O=1（AB+JC）,貝！|而2=；（方+祝『=：92+c2+2,cC0SA）

可得：c2-c-2=0,故c=2或c=-l（舍去）

則^ABC面積S=—Z>csiny4=.

22

3.在三角形48C中，NA,NB,NC的對邊分別為。，b,c.已知a=歷，b=3,N/=120。.

（1）求“8C的面積；

（2）/力的角平分線交邊8c于點。，求力。的長.

17

【答案】⑴3技⑵y.

【分析】（1）利用面積公式進行計算即可得解；

（2）將A/8c由/。分成兩個三角形，分別計算即可，或者利用三角形角平分線性質(zhì)，再結(jié)合余弦定理即

可得解.

【詳解】（1）a2=b2+c2-2bccos^）A,37=9+c?+3c,

c2+3c-28=0,c=4（負值舍），S"&c=；bcsin/=3>/J.

oo

（2）法1：S^ABC=1x3x4sinl20°=^-x3x/lZ）sin60+U<4x^Z）sin60

得4D若12.

法2：由三角形內(nèi)角平分線定理，能RD=喂AR=34，8。=4:歷）—，

CDAC37

在三角形/B。中，根據(jù)余弦定理得［生臂）=AD2+42-2XADX4COS60°,

必-44）+學(xué)=0,解得力。=?或雪（舍去）.

4977

4.在448c中，』8=3,8C=4,線段8。是N8的角平分線，且5“切=6.

（1）求S&BCD?

(2)若NBAC=JN4BD=a(a<3,求sin(2a+令的值.

【答案】(1)8；(2)上也.

16

sAB

【分析】（1）根據(jù)面積公式得到1=后，即可得解;

*3△BCD

（2）過點A作交8。于點E,并延長/E交3c于點尸，即可求出CF,在中，由正弦定理

得.求出sin(2a+g1,再根據(jù)三角恒等變換求出sin(2a+二；

sinZ.FACsinCv3JI6J

【詳解】解(1)QBD平分N4BC

Z.ABD=/DBC

—AB-BDsinZABD

,ScAABD=2=必=03

S，DLBDBCsin"BCBC4

2

Q——4Q—2-

,QfBCD_33ABD-0

(2)如圖，過點A作/交8。于點E,并延長ZE交8c于點尸,

冗

在△Z8E'中，Z.BAE=----a,AE=3sina

2

7t7t

;.NEAD=——NBAE=a——/F=2AE=6sina

36

CFAF

???在中,由正弦定理得

sin/.FACsinC

1_6sina

即./c兀、,所以sin(2a+工)=6sinasin(a-工)

sin(a--)sin(2a+-)36

63

乃

所以sin(2a+—)=6sincrsinacos--cosasin—

33\66

"3sinacosa=也-述cos2”%n2a

所以sin(2a+—)=3也sin2

3222

逑一3si/2a+2

所以sin(2a+$7t

23

..J、3百

..sin(2aH—)—-----

38

T77cA7t7t/仁

CL<—,2aH—<—,cos(2a

1232

sin(2a+今)=sin(2a+~~令=sin(2?+,cos7-cos(2a+,sin兀1°

五、跟蹤訓(xùn)練達標(biāo)

1.(2023春?四川成都?高三校聯(lián)考期末)在斜三角形/8C中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且滿

足asiivl+4/?sinCcos2J=bsinB+csinC.

(1)求角A的大小；

(2)若a=2,且8c上的中線NO長為行，求斜三角形48c的面積.

【答案】⑴力=5

⑵6

【分析】(1)根據(jù)正弦定理將已知式子進行化簡，再利用余弦定理即可求出角A的大小；

(2)根據(jù)為力。為8C上的中線得而=；(方+%),結(jié)合余弦定理求出加=4,進而求出面積.

【詳解】(1)因為asinJ+46sinCcos2/=6sin8+csinC,

所以由正弦定理可得：a2+4bccos2A=h2+c2>

2222

即4bccosA=b+c-af

所以2cos%J+i-Jcos/,又/=所以COS/=!，所以｛=:

2bc223

(2)因為49為8c上的中線，所以而=；(1萬+萬)，

即力。=；("'+")，所以4通丁而°+2而?就+%2，即12=C2+26CCOS/+〃，

222

所以12=〃+尻+/①，由余弦定理可得：a=b+c-TbccosA,

所以4=〃+/-從②

①-②得：be=4,所以=；6csin/=6.

2.(2022春?河南周口?高一扶溝縣第二高中?？茧A段練習(xí))設(shè)A8c的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

且cos8=&=邁

63

⑴若“8c的面積為與，求a；

(2)若ZC邊上的中線8。=石，求sin4的值.

【答案】(1)有

⑵叵

14

【分析】(1)由三角形的面積公式可求解；

——?1—?—?

(2)由8。為4c邊上的中線，則有胡+8C),可得。=2,再根據(jù)余弦定理及正弦定理可求解.

(1)因為cosB=,3￡(0,%)所以sin8=,

66

因為S“8C=￥，所以Lcsin8=W,c=生尼，所以。=不.

3233

—1__.

⑵因為為4C邊上的中線，所以BD=3(BA+BC),

則而2=；面+麗2=；國+2前屈+犯2)

因此|而F=：(c2+2cacos8+a2),gp5=-ly+-a+a2I

化簡得3/+84-28=0,（4-2）（3。+14）=0,。＞0,所以a=2,

由余弦定理/=/+c?-2cacosB,解得b?=空,b=冬旦^,

33

2而_

由」4=告，即-7=亮-，解得sin/=畫.

sm/sin5sinAV3014

6

3.(2023春?廣東廣州?廣東番禺中學(xué)校考階段練習(xí))JBC的內(nèi)角4,B,3的對邊分別為a,b,c,已知

百asinC-ccos/=c-

⑴求Z;

⑵若6=2c,點。為邊8c的中點，且力。=0,求/8C的面積.

【答案】⑴:

⑵2石

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再由三角恒等變換化簡求出A；

(2)因為為“8C的中線，所以2石=在+刀，兩邊平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解，再代

入6=2c可解得。=2,6=4,再代入面積公式求解即可.

【詳解】(1)由正弦定理，原式可化為?\/JsinZsinC-sinCcos/=sinC,

因為0<(7<兀，所以sinC^O,

化簡得GsinN-cosN=1,即2sin(4-r=l,，sin(4-g)=!

662

又???/￡((),兀)，.?「烏<4_色<如.?./=￡.

''6663

(2)由點D為邊BC的中點可知，AD^AB+AC],

：.AD2=^Aff2+^C2+2ZB-^C),即7=?c2+〃+2bc-os/).

由題及(1)知，b=2c,A=^,解得6=4,c=2.

，,BC的面積S=—xXCxsinA=-x2x4x^-=2-73?

222

4.(2023春?福建三明?三明一中校考階段練習(xí))在A/8C中，角4B,C所對的邊分別是a,b,c,且

(Z>-c)(sin5+sinC)=(b-a)sinJ.

⑴求C；

—2—

(2)若a=l,b=2,。在線段上，且滿足求線段CD的長.

【答案】(1)。=；;

⑵平.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即得；

(2)利用余弦定理可得48=石，進而可得NZ8C=；,然后根據(jù)勾股定理結(jié)合條件即得；或由題可得

CD^CA+^CB,然后利用向量的模長公式結(jié)合數(shù)量積的運算律即得.

【詳解】(1)因為伍-c)(sinB+sinC)=。一。)sin4,

由正弦定理得，(b—c)e+c)=e—即〃2+/_。2=/，

又由余弦定理得cosC="'"'-c2=L且Ce(0,7r),所以C=f；

2ab23

(2)解法一結(jié)合(1)由余弦定理得力6?=/=/+人?—2〃bcosC=3,BPAB=VJ,

則〃=。2+02,所以N/BC=],

又而=2次，即/￡)=2/8=氈，則8。=?,

5555

則在RtZiCB。中，CD?="+?=F+[竽]=崇所以

解法二：因為40="8,所以CZ)=CZ+|<8,

12---------4一2

—CACB+—CB

2525

9，12.71436+12+452

=——x4H----x2x1xcos—+——x1

25253252525

所以加卜平即3迎

5

5.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在“8。中，a,b,。分別是“8。的內(nèi)角4B,。所對的邊，且

b_a-c

sin4+sinCsin8-sinC

(1)求角4的大?。?/p>

（2）記。8c的面積為S,若兩=:就，求包L的最小值.

2S

【答案】⑴/4（2）173

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理先將邊角化統(tǒng)一，然后由余弦定理即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意可得，AM=^AC+^AB,然后得到|而「，再由三角形的面積公式可得S,最后結(jié)合基本

不等式即可得到結(jié)果.

bsin5-sinCa-c

【詳解】（1）因為即

sin4+sinCsin6—sinCsin4+sinC~~b~

由正弦定理可得，"￡=:￡,化簡可得/=/+/-加,

a+cb

*222

且由余弦定理可得，a=b+c-2bccOsA,所以cos/=；,且/€（0,兀），所以［=*

(2)

-----1——?-----?1—.2—

因為則可得4"=§/。+3力5,

所以網(wǎng)『=（1—2—

-AC+-AB

3314阿+浜眄M評1小+/+/

22

\AM?-b+—c4--be^-bc+^-bcQ

且S='bcsinZ=^-bc即學(xué)=29999_=裝

24S73,瓦9

——be——be

44

2

i9f7A7

當(dāng)且僅當(dāng)"=，，即b=2c時，等號成立.所以不-

33|3

6.（2023春?全國?專題練習(xí)）銳角力8c中，角/、B、C所對的邊分別為。、b、c,且」^=tanB+tanC.

ccosB

（1）求角C的大小;

（2）若邊c=2,邊48的中點為。，求中線CD長的取值范圍.

【答案】（1）￡

4

（2）（75.1+72],

【分析】（D結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系以及正弦定理化簡求解tanC=l,因為Ce（0,乃），所以。=（；

（2）由余弦定理與正弦定理函2=；（4+2缶6）=1+與b,然后結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求解其取值范圍即可.

■、乂&力■/八E、L。-sirUsirtSsinC

【詳解】（1）因為-----=tan5+tanC,所以＜:~-=——-+----?

ccosBsinccosncosBcosC

即siMsinficosC4-sinCcosS_sin（5+C）sinJ

sinCcosBcosBcosCcosBcosCcosBcosC

又因4Bw（0,萬），所以sirUwO,

又由題意可知cos3w0,

所以tanC=l,因為Ce(0,旬，所以C=(.

(2)由余弦定理可得,?=a2+b2-2abcosC=a2+b2-y[2ab=4>

又無=g（0+而）,

222

則無z=1(C4+C5)=L^C4+cg+2C4.CS)

=；(/+b2+y/2abj='(4+2yf2al^=1ab.

ah

由正弦定理可得-2c，所以"=2asiM，

siMsinBsinC

34

b=2V2sin^=2-^sinA=2cosJ+2sirt4,

4

所以ab=4>/5sin2/+4>^iMcoS=4?l-cos2^2宓m2/

2

0<A<-

=4sin(2x4--+26,由題意得?a2，解得

。上，〈三42

42

則Li2e,"-彳九七（九，73九

所以sin（2N-?）e，所以卜逝,4+2"],

所以U（5,3+2應(yīng)]，所以中線CD長的取值范圍為（再1+0].

7.（2023?山東淄博?統(tǒng)考一模）在“8C中，角A,B,C的對邊分別是。，6,c,滿足（4+6+。乂0+6-0）=而

（1）求角C;

（2）若角C的平分線交N8于點。，且。=2,求2a+b的最小值.

【答案】⑴午

⑵6+4近

【分析】（1）結(jié)合已知條件，利用余弦定理即可求解；

（2）利用正弦定理得到a=2（l+駕],6=2（當(dāng)+1],然后利用基本不等式即可求解.

Isin\sinJ

222

【詳解】（1）由（a+b+c）（a+b-c）=ab可得：a+b-c=-ab,

由余弦定理知，cosC=、+」--=-包又C?0,兀）因此C==.

2ab2ab23

CDAD

得4D=^-,

(2)在4CD中，由sin/.兀，

sin—

3

CDBD

在△8C。中，由萬=—7可得物品所以c=/D+8D=

sin—AB

3sinsin

06

在"8C中，由號二號二*；,得，4=七=sin"sin」,

sin力sin8smCsin力sin8J3

T

解5z得="2(-A1,+硒sinJ，b.=2J(砌sinB八所以2〃+b=2(3+32sin力+初sinB)J,

因為sin%>0,sin5>0,

所以2"通卜+2東子鬻川3+20）34日當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,

因此24+6的最小值為6+4收.

8.（2023春?福建三明?三明一中?？茧A段練習(xí)）已知的內(nèi)角/,B,C的對邊為a,b,c,且

3(sinA-sinB)_3c-2b

sinCa+b

(1)求sinA；

（2）若“8c的面積為g應(yīng)，求內(nèi)角力的角平分線/O長的最大值.

【答案】（1）手

（2）城

3

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到COSZ=；,進而求出sin/；

ADDr\ADRD

（2）由面積公式求出小4,由正弦定理得到前=灰，不妨設(shè)就=安”我=“，得至出2=4.

延長/。至點E,使得籌=七連接筑，構(gòu)造相似三角形，在中，由余弦定理得到NO?,由基本不

DE

Q

等式求出4）2得到角平分線長的最大值.

【詳解】（1）由正弦定理，得如?=生二號，^c2+b2-a2=hc,

ca+b3

故cos』=c2+h2-a1]_

2bc3

因為cosZ>0,所以

所以sin4=Vl-cos2A=J1-"=；

(2)由(1)知sinZ=述，

3

因為△ZBC的面積為3后，所以;bcsin4=g五,解得6c=4,

ABBD

在△46。中，由正弦定理，得

sinZ.ADBsin/.BAD'

ACCD

在中，由正弦定理，得

sin/.ADCsin/CW'

因為AD為角A的角平分線，所以sin44）=sinNC4）,

ADDF)

又ZADB+ZADC=兀，所以sinZADB=sin/.ADC,所以=

ACDC

4BBD

不妨設(shè)二=二=4，AC=m則/8=%加，故而2=4,

ACDC9

延長/。至點E,使得F=連接CE,

DE

則亞=處=%，又ZADB=AEDC,

DECD

AR

所以AABDs^ECD,故NB4D=NE,——=k,

CE

則/8//CE,CE=m,

貝!14CE+ABAC=7c,cosNACE=-cosZBAC=--,

3

2加2(1+jAD2

在△/國中，由余弦定理，得AC2+CE2-AE2J_，

cosZACE=

2ACCE2ni~~3

28陽2

AD=2

即3H

等號成立,

所以NO長的最大值為友.

3

【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，

或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制,

通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.

9.(2022?福建莆田?莆田華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測)在“8C中，AB=2,AC=4,角力為鈍角，/8C的面

積為26.

(1)若。是5c的中點，求4。的長度；

(2)若ZE為-8C的角平分線，求/E的長度.

【答案】⑴40=6；

4

(2)AE=~.

【分析】(1)求出乙=27r利用4T。=51(，/T8+/TCj、求解；

(2)求出N84E=NC/￡=3N8/C=1,再利用ZMC=S&i&f+Sjc￡求解.

(1)解：；48=2,AC=4,的面積為2TL

.\S,=-ABACsinZBAC=-x2x4xsinZBAC=2V3,

4A/IDsK.r22

；.sin/BAC力,又N8/C為鈍角，.?./B/CMV，

23

YD是BC的中點，AD=^AB^AC\9：.AD=-AAB+AC\,

4+l6+BAC

又AB=2,AC=4,ZBAC=W，A\AD^=^=3,：.AD=^-

(2)解：；AE為-8C的角平分線，

1幾

：.Z.BAE=ZCAE=一/BAC=-,

23

I-rr1jrr~

因為S”BC=S“BE+S&C￡，所以4外出百+54。4外出］=26,

即,x2NEx正■+,x4/￡'x^^=2有，所以/E=j.

22223

10.(2022秋?江西九江?統(tǒng)考期末)“8C中，三內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為。，b,c,已知。cos8+?=c.

⑴求角4;

(2)若c=2,角力的角平分線交2c于