嚴(yán)格地說，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以實(shí)際的自動(dòng)控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。本章主要介紹分析非線性系統(tǒng)的兩種常用方法：相平面法和描述函數(shù)法。第7章非線性系統(tǒng)分析內(nèi)容提要7.1非線性系統(tǒng)概述控制系統(tǒng)包含一個(gè)或一個(gè)以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié)時(shí)，此系統(tǒng)則為非線性系統(tǒng)。7.1.1非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1.非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

4.系統(tǒng)的自持振蕩（自激振蕩）5.多值響應(yīng)和跳躍諧振

7.1.2非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法非線性系統(tǒng)采用非線性微分方程描述，至今尚沒有統(tǒng)一的求解方法，其理論也還不完善。分析非線性系統(tǒng)工程上常采用的方法有：1．線性化近似法對(duì)于某些非線性特性不嚴(yán)重的系統(tǒng)，或系統(tǒng)僅僅只研究平衡點(diǎn)附近特性時(shí)，可以用小偏差線性化方法，將非線性系統(tǒng)近似線性化。2．分段線性近似法將非線性系統(tǒng)近似為幾個(gè)線性區(qū)域，每個(gè)區(qū)域有對(duì)應(yīng)的線性化微分方程描述。3．相平面法相平面法是非線性系統(tǒng)的圖解分析法，采用在相平面上繪制相軌跡曲線，確定非線性系統(tǒng)在不同初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式。該方法只適用最高為二階的系統(tǒng)。4．描述函數(shù)法描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率特性法的推廣，采用諧波線性化將非線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，應(yīng)用頻率法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。該方法適用于非線性系統(tǒng)中線性部分具有良好的低通濾波特性的系統(tǒng)。5．李雅普諾夫法李雅普諾夫法是根據(jù)廣義能量函數(shù)概念分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性。原則上適用所以非線性系統(tǒng)，但對(duì)大多數(shù)非線性系統(tǒng)，尋找李雅普諾夫函數(shù)相當(dāng)困難，關(guān)于李雅普諾夫法在現(xiàn)代控制理論中作祥解。6．計(jì)算機(jī)輔助分析利用計(jì)算機(jī)模擬非線性系統(tǒng)，特別上采用MATLAB軟件工具中的Simulink來模擬非線性系統(tǒng)方便且直觀，為非線性系統(tǒng)的分析提供了有效工具。7.2典型非線性特性

按非線性環(huán)節(jié)特性的形狀可以將非線性環(huán)節(jié)劃分為：死區(qū)特性飽和特性繼電特性間隙特性等。死區(qū)特性（不靈敏區(qū)）死區(qū)特性的的數(shù)學(xué)描述為：

死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）由于死去的存在，增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了系統(tǒng)的控制精度；（2）若干擾信號(hào)落在死區(qū)段，可大大提高系統(tǒng)的抗干擾能力。2．飽和特性飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）將使系統(tǒng)的開環(huán)增益有所降低，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性有利；（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降。有時(shí)從系統(tǒng)安全性的考慮，常常加入各種限幅裝置，其特性也屬飽和特性。

3．間隙特性（回環(huán)特性）間隙特性對(duì)系統(tǒng)的影響：一般來說，間隙使系統(tǒng)輸出相位滯后，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量，控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變壞，甚至使系統(tǒng)振蕩；間隙的存在使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差擴(kuò)大，穩(wěn)態(tài)特性變差。4．繼電器特性繼電器特性可包含理想繼電器特性、死區(qū)繼電器特性、回環(huán)繼電器特性和死區(qū)加回環(huán)繼電器特性如圖所示。（1）理想繼電器特性（2）死區(qū)繼電器特性（3）回環(huán)繼電器特性

（4）死區(qū)加回環(huán)繼電器特性5.非線性增益特性7.3相平面分析法相平面法是龐加萊（Poincare）提出的，它是一種求解二階非線性微分方程組的圖解法，它比較直觀、準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)的特性、不同初始狀態(tài)和輸入信號(hào)下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形式。相平面僅法適用對(duì)一階、二階非線性控制系統(tǒng)的分析。7.3.1相平面的基本概念設(shè)二階非線性系統(tǒng)的微分方程為：若令則二階系統(tǒng)可寫成兩個(gè)一階微分方程，即第7章非線性系統(tǒng)分析1.相平面，相點(diǎn)和相軌跡

以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)的平面稱為相平面，相應(yīng)的分析法稱為相平面法；相平面上的點(diǎn)稱為相點(diǎn)；由某一初始條件出發(fā)在相平面上繪出的曲線稱為相平面軌跡，簡(jiǎn)稱相軌跡；不同初始條件下構(gòu)成的相軌跡，稱為相軌跡族，由相軌跡族構(gòu)成的圖稱為相平面圖，簡(jiǎn)稱相圖。第7章非線性系統(tǒng)分析2.相軌跡方程和平衡點(diǎn)考察二階非線性時(shí)不變微分方程:引入相平面的概念，將二階微分方程改寫成二元一階微分方程組:第7章非線性系統(tǒng)分析一般形式為消去時(shí)間變量t，得到相軌跡的斜率方程求解可得相軌跡方程，即表示相平面上的一條曲線，即相軌跡。第7章非線性系統(tǒng)分析相軌跡的性質(zhì)：1.一般情況下，相軌跡不相交。相點(diǎn)處的斜率由唯一確定，不同條件下的相軌跡是不會(huì)相交。2.當(dāng)某一相點(diǎn)滿足第7章非線性系統(tǒng)分析

此時(shí)兩個(gè)狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的變化率都為零，系統(tǒng)的狀態(tài)不再發(fā)生變化，即系統(tǒng)到達(dá)了平衡狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)點(diǎn)（相點(diǎn)）稱為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)處的斜率第7章非線性系統(tǒng)分析則上式不能唯一確定其斜率，相軌跡上斜率不確定的點(diǎn)在數(shù)學(xué)上也稱為奇點(diǎn)，故平衡點(diǎn)即為奇點(diǎn)。

奇點(diǎn)處，由于相軌跡的斜率dx2／dx1為不定值，可理解為：

有多條相軌跡在此交匯或由此出發(fā)，即相軌跡可以在奇點(diǎn)處相交。7.3.2線性系統(tǒng)的相軌跡線性二階系統(tǒng)微分方程為:相軌跡的斜率方程為:系統(tǒng)的奇點(diǎn)(平衡點(diǎn))滿足解得為系統(tǒng)的奇點(diǎn)。系統(tǒng)的特征根為對(duì)于不同的阻尼比二階系統(tǒng)的特征根不同，系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)由特征根決定，而時(shí)域響應(yīng)和響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)決定系統(tǒng)的相軌跡。

第7章非線性系統(tǒng)分析1、無阻尼運(yùn)動(dòng)（

=0）

此時(shí)系統(tǒng)特征根為一對(duì)共軛虛根，相軌跡方程變?yōu)?/p>

對(duì)上式分離變量并積分，得式中，A為由初始條件決定的積分常數(shù)。初始條件不同時(shí),上式表示的系統(tǒng)相軌跡是一族同心橢圓，每一個(gè)橢圓對(duì)應(yīng)一個(gè)等幅振蕩。在原點(diǎn)處有一個(gè)平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))，該奇點(diǎn)附近的相軌跡是一族封閉橢圓曲線，這類奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。無阻尼二階線性系統(tǒng)的相軌跡第7章非線性系統(tǒng)分析2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)（0

1）

系統(tǒng)特征方程的根為一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,系統(tǒng)的零輸入解為

式中,A、B、

為由初始條件確定的常數(shù)。時(shí)域響應(yīng)過程是衰減振蕩的。

第7章非線性系統(tǒng)分析可求出系統(tǒng)有一個(gè)位于相平面原點(diǎn)的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)），不同初始條件出發(fā)的相軌跡呈對(duì)數(shù)螺旋線收斂于該平衡點(diǎn)，這樣的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。欠阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡第7章非線性系統(tǒng)分析

3、過阻尼運(yùn)動(dòng)（

＞1）系統(tǒng)特征根為兩負(fù)實(shí)根,已知系統(tǒng)零輸入解的表達(dá)式為

式中,A1,A2——初始條件決定的常數(shù)；

1,

2——特征根第7章非線性系統(tǒng)分析不同初始條件下系統(tǒng)的響應(yīng)曲線如圖所示。相軌跡是一族匯聚到原點(diǎn)的拋物線，單調(diào)地趨于平衡點(diǎn)(奇點(diǎn))—坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示。這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

過阻尼二階線性系統(tǒng)的響應(yīng)和相軌跡第7章非線性系統(tǒng)分析4、負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)(

<0)（系統(tǒng)不穩(wěn)定，根據(jù)極點(diǎn)位置分三種情況分別討論）

(l)-1＜

＜0時(shí),特征根為S右半平面的共軛復(fù)根,響應(yīng)為振蕩發(fā)散,相軌跡是一族從原點(diǎn)向外卷的對(duì)數(shù)螺旋線,如圖所示。奇點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

-1＜

＜0時(shí)的相軌跡第7章非線性系統(tǒng)分析(2)

＜-1時(shí)，特征根是兩個(gè)正實(shí)根，響應(yīng)為單調(diào)發(fā)散，相軌跡是一族從原點(diǎn)出發(fā)向外單調(diào)發(fā)散的拋物線，如圖所示。奇點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

＜-1時(shí)的相軌跡第7章非線性系統(tǒng)分析(3)對(duì)圖所示的正反饋二階系統(tǒng)

方框圖其特征方程式為特征根為第7章非線性系統(tǒng)分析特征根為一對(duì)符號(hào)相反的實(shí)根，響應(yīng)依然單調(diào)發(fā)散的，相軌跡是一族雙曲線，如圖所示。這時(shí)的奇點(diǎn)也是坐標(biāo)原點(diǎn)，稱為鞍點(diǎn)。相軌跡第7章非線性系統(tǒng)分析以上分析表明：二階線性系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上位置不同時(shí)，時(shí)域響應(yīng)的形式不同，相軌跡的形狀也完全不同?？梢娤嘬壽E的形狀與系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的位置密切相關(guān)，與奇點(diǎn)類型也密切相關(guān)。第7章非線性系統(tǒng)分析第7章非線性系統(tǒng)分析第7章非線性系統(tǒng)分析7.3.3二階非線性系統(tǒng)的線性化對(duì)于非線性系統(tǒng)，描述二階非線性系統(tǒng)的微分方程為表示非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)（奇點(diǎn)），它往往不止一個(gè)。第7章非線性系統(tǒng)分析對(duì)于非線性系統(tǒng)，奇點(diǎn)類型與相軌跡的類型僅適用于奇點(diǎn)附近的區(qū)域。整個(gè)系統(tǒng)的相圖就可能由幾個(gè)不同類型的相軌跡組成。對(duì)于非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)性質(zhì)分析，采用小范圍線性化的方法。假設(shè)奇點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，將在奇點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)，并取一次近似，第7章非線性系統(tǒng)分析假若平衡點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)得：第7章非線性系統(tǒng)分析令：方程組可改寫為特征方程線性化方程組第7章非線性系統(tǒng)分析在一般情況下，線性化方程在平衡點(diǎn)附近的相軌跡與非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的相軌跡具有同樣的形狀特征。但是，若線性化方程求解至少有一個(gè)根為零，根據(jù)李雅普諾夫小偏差理論，不能根據(jù)一階線性化方程確定非線性系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的特性，此時(shí)，平衡點(diǎn)附近的相軌跡要考慮高階項(xiàng)。第7章非線性系統(tǒng)分析例：確定非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)及附近的相軌跡。解：令求得奇點(diǎn)（0，0），（-2，0）。第7章非線性系統(tǒng)分析（1）奇點(diǎn)（0，0）線性化方程為特征根（0,0)奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，其附近的相軌跡為收斂的對(duì)數(shù)螺旋線。（2）奇點(diǎn)（-2，0）奇點(diǎn)不在坐標(biāo)原點(diǎn)，令，則原方程變?yōu)榈?章非線性系統(tǒng)分析線性化方程：特征根S1=-1.69，S2=1.19（-2，0）奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)，相軌跡為雙曲線。系統(tǒng)的相平面圖第7章非線性系統(tǒng)分析對(duì)于非線性系統(tǒng)還有一種與線性系統(tǒng)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)---自持振蕩，它在相平面圖上表現(xiàn)為一條孤立封閉曲線，稱之為極限環(huán)或奇線。極限環(huán)將相平面分成內(nèi)部平面和外部平面，極限環(huán)內(nèi)部（外部）的相軌跡，不能穿過極限環(huán)進(jìn)入它的外部（內(nèi)部）。2.極限環(huán)（奇線）第7章非線性系統(tǒng)分析可將極限環(huán)分成：（1）穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均收斂于該極限環(huán)，穩(wěn)定極限環(huán)對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的自持振蕩。（2）不穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡均從該極限環(huán)發(fā)散出去，不穩(wěn)定極限環(huán)對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的自持振蕩。第7章非線性系統(tǒng)分析（3）半穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡有一側(cè)收斂于該極限環(huán)，而另一側(cè)的相軌跡從極限環(huán)發(fā)散出去，半穩(wěn)定極限環(huán)。穩(wěn)定的極限環(huán)可通過實(shí)驗(yàn)觀察到。7.3.4相軌跡圖的繪制繪制相軌跡圖可采用解析法、圖解法、實(shí)驗(yàn)法和計(jì)算機(jī)輔助法。1．解析法解析法一般用于系統(tǒng)的微分方程比較簡(jiǎn)單或可以用分段線性化的方程。例7-3試?yán)L制圖7-15所示系統(tǒng)在三種情況下的

第7章非線性系統(tǒng)分析分別對(duì)應(yīng)平面上為開口向右，向左頂點(diǎn)在c軸上的兩條拋物線。位置與初始條件或另一個(gè)區(qū)域的相軌跡與開關(guān)線的交點(diǎn)有關(guān)。開關(guān)線是過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，斜率與值有關(guān)。第7章非線性系統(tǒng)分析1。當(dāng)時(shí)，開關(guān)線為軸，相軌跡由兩個(gè)拋物線封閉組成，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第7章非線性系統(tǒng)分析2。當(dāng)時(shí)，開關(guān)線向右傾斜，位于1，3象限，相軌跡仍由兩個(gè)拋物線組成，但每次切換時(shí)，均增大，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是振蕩發(fā)散運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第7章非線性系統(tǒng)分析3。當(dāng)時(shí)，開關(guān)線向左傾斜，位于2，4象限，相軌跡仍由兩個(gè)拋物線組成，但每次切換時(shí)，均減小，對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)是振蕩收斂運(yùn)動(dòng)，如圖所示。第7章非線性系統(tǒng)分析2、等傾線法當(dāng)系統(tǒng)相軌跡方程不易用解析法求解時(shí),可使用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。將上式表示為：對(duì)非線性系統(tǒng)：第7章非線性系統(tǒng)分析令為一常數(shù)，則有上式稱為等傾線方程，在相平面上表現(xiàn)為一條曲線：第7章非線性系統(tǒng)分析該等傾線曲線的意義在于：在相平面上，各條相軌跡與該等傾線曲線交點(diǎn)處的切線斜率都相等，且等于

。第7章非線性系統(tǒng)分析注意：比較相平面上的兩條曲線交點(diǎn)處的相軌跡的切線斜率為

第7章非線性系統(tǒng)分析相軌跡的特點(diǎn)：相軌跡在時(shí)，隨時(shí)間增大而增大，此時(shí)相軌跡在相平面圖上的方向是從左到右；相軌跡在時(shí)，隨時(shí)間的增大而減小，此時(shí)相軌跡在相平面圖上的方向是從右到左；（整體呈現(xiàn)：順時(shí)針方向）相軌跡與軸的交點(diǎn)處的斜率為。

因?yàn)榇藭r(shí)相當(dāng)于，從而有第7章非線性系統(tǒng)分析繪制思路：對(duì)于給定斜率

，求解等傾線方程，得到一條等傾曲線；給定不同的

值，在相平面上繪制不同的等傾曲線；由給定的初始條件出發(fā)，沿各條等傾曲線所決定相軌跡的切線方向，依次畫出系統(tǒng)相軌跡。

第7章非線性系統(tǒng)分析試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：系統(tǒng)的微分方程可以化

令得等傾線方程取不同的值，分別繪制等傾線，等傾線為直線【例】線性二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為第7章非線性系統(tǒng)分析圖中作出了

取不同值時(shí)的等傾線及等傾線上表示斜率值的小線段。若給定的初始條件為A點(diǎn),從A點(diǎn)出發(fā)順時(shí)針將各小線段光滑地聯(lián)接起來,就得到了從A點(diǎn)出發(fā)的一條相軌跡。系統(tǒng)相軌跡圖7.3.5由相軌跡圖求時(shí)間相軌跡圖是系統(tǒng)的輸出響應(yīng)或誤差響應(yīng)在相平面上的映象，它雖然可以反映系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的主要特征，但不能直接顯示時(shí)間信息。如需要求出系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，就必須確定相軌跡上各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間，可以采用以下兩種方法近似求取。1．根據(jù)相軌跡的平均斜率求時(shí)間t設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示，設(shè)相軌跡由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)所需的時(shí)間為故在此期間的平均值為：據(jù)此可求得相軌跡由A點(diǎn)轉(zhuǎn)移到B點(diǎn)所需的時(shí)間為用同樣的方法可求出相軌跡由B點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C點(diǎn)的時(shí)間，以次類推可得的曲線。

2．面積法求時(shí)間設(shè)系統(tǒng)的相軌跡如圖所示

7.3.6非線性系統(tǒng)的相平面分析[例]圖為帶死區(qū)的繼電器的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)在靜止?fàn)顟B(tài)下施加階躍信號(hào)r(t)=R·1(t)，試分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性。解：線性部分的微分方程為非線性部分的特性為相平面取

，則有非線性方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)線性微分方程，它們分別對(duì)應(yīng)于相平面上I，II，III區(qū)。I區(qū)：對(duì)相平面的區(qū)域

I區(qū)相軌跡的等傾線方程為I區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于軸的直線。II區(qū)：對(duì)相平面的區(qū)域II區(qū)相軌跡的等傾線方程為II區(qū)內(nèi)相軌跡是斜率的直線或者是的直線。III區(qū)：對(duì)相平面的區(qū)域III區(qū)相軌跡的等傾線方程為III區(qū)內(nèi)相軌跡的等傾線為一系列平行于軸的直線

假設(shè)T=1，K=5，a=0.2，M=0.2分別作出三個(gè)區(qū)域的等傾線如圖所示，由不同初始條出發(fā)作出系統(tǒng)的相軌跡如圖所示7.4描述函數(shù)法7.4.1描述函數(shù)的定義設(shè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示。在此假定：①非線性環(huán)節(jié)不是時(shí)間的函數(shù)；②非線性環(huán)節(jié)特性是斜對(duì)稱的：圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；③系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性為

當(dāng)非線性環(huán)節(jié)的輸入為正弦信號(hào)

非線性環(huán)節(jié)的輸出一般不是正弦信號(hào)，但仍是一個(gè)周期信號(hào)，其傅立葉級(jí)數(shù)展開式為非線性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)y(t)中含有基波及各高次諧波。通常諧波的次數(shù)越高，其相應(yīng)的傅立葉系數(shù)越小，即相應(yīng)的諧波分量幅值就越小。如果系統(tǒng)線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性，則高次諧波分量通過線性部分后將被衰減到忽略不計(jì)，可以近似認(rèn)為當(dāng)輸入為正弦信號(hào)x(t)時(shí)，只有y(t)的基波分量沿閉環(huán)反饋回路送至比較點(diǎn)，其高次諧波分量可忽略不計(jì)，即只考慮一次諧波，非線性環(huán)節(jié)相當(dāng)于一個(gè)對(duì)正弦輸入信號(hào)的幅值及相位進(jìn)行變換的環(huán)節(jié)，可以仿照線性系統(tǒng)頻率特性的概念建立非線性環(huán)節(jié)的等效幅相特性。對(duì)照：式5-2、5-7、5-8，5-9

定義：正弦信號(hào)作用下非線性環(huán)節(jié)輸出量的基波分量與其輸入正弦量的復(fù)數(shù)比（幅值比、相角差）稱為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)（即非線性環(huán)節(jié)的頻率特性），記為N(A)。幅值比為：相角差為：故描述函數(shù)為:

關(guān)于A的復(fù)函數(shù)7.4.2典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)特性的描述函數(shù)輸出波形是單值奇對(duì)稱的，所以，并且第7章非線性系統(tǒng)分析2.理想繼電器特性的描述函數(shù)傅氏展開斜對(duì)稱、奇函數(shù)

A0=An=0(偶次對(duì)稱性)第7章非線性系統(tǒng)分析3.一般非線性函數(shù)

描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個(gè)例子:因?yàn)樗菃沃怠⑵鎸?duì)稱的，，先求出：

第7章非線性系統(tǒng)分析所以

第7章非線性系統(tǒng)分析飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性常見非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)：P250表7-17.4.4描述函數(shù)分析法

假設(shè)非線性系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)部分具有良好的低通特性，那么非線性特性可以用描述函數(shù)表示，典型閉環(huán)控制系統(tǒng)可由下圖所示：下面探討兩個(gè)問題：1.非線性閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2.非線性閉環(huán)系統(tǒng)的自持振蕩。1.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性根據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率特性分析法，將頻率特性推廣到非線性系統(tǒng)，則其閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：

系統(tǒng)的特征方程為：

假設(shè)G(s)是最小相位環(huán)節(jié)，與線性系統(tǒng)的Nyquist判據(jù)比較，非線性系統(tǒng)中的相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的臨界穩(wěn)定點(diǎn)（-1,j0)。

由此可得非線性系統(tǒng)中的穩(wěn)定性奈奎斯特判據(jù)如下：(1)如果在復(fù)平面上，-1／N(A)曲線不被G(j

)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

注：箭頭方向?yàn)锳增大方向，即(2)如果在復(fù)平面上，-1／N(A)曲線被G(j

)曲線所包圍，則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第7章非線性系統(tǒng)分析(3)如果在復(fù)平面上-1／N(A)曲線與G(j

)曲線相交，非線性系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩（穩(wěn)定或不穩(wěn)定），穩(wěn)定自持振蕩的振幅由-1／N(A)曲線交點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的A值決定，振蕩的頻率由G(j

)曲線交點(diǎn)處的

值決定。2.