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--內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小--統(tǒng)計概率與數(shù)列綜合經(jīng)典題(含詳解答案)(總14頁)高考數(shù)學(xué)熱點難點：統(tǒng)計概率與數(shù)列綜合經(jīng)典題1．隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活，網(wǎng)購作為一種新的消費方式，因其具有快捷、商品種類齊全、性價比高等優(yōu)勢而深受廣大消費者認可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù)，得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年，“x=2”表示2016年，依次類推；y表示人數(shù))：x12345y(萬人)2050100150180（1）試根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人；（2）該公司為了吸引網(wǎng)購者，特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲，送免費購物券”活動，網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進.若遙控車最終停在“勝利大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券500元；若遙控車最終停在“失敗大本營”，則網(wǎng)購者可獲得免費購物券200元.已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，網(wǎng)購者每拋擲一次骰子，遙控車向前移動一次.若擲出奇數(shù)，遙控車向前移動一格（從到）若擲出偶數(shù)遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費購物券金額的期望值.附：在線性回歸方程中，.2．冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴重急性呼吸綜合征等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導(dǎo)致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（1）若，試求p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式；（2）若p與干擾素計量相關(guān)，其中（）是不同的正實數(shù)，滿足且（）都有成立.（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值3．在讀書活動中，某市圖書館的科技類圖書和時政類圖書是市民借閱的熱門圖書.為了豐富圖書資源，現(xiàn)對已借閱了科技類圖書的市民（以下簡稱為“問卷市民”）進行隨機問卷調(diào)查，若不借閱時政類圖書記1分，若借閱時政類圖書記2分，每位市民選擇是否借閱時政類圖書的概率均為，市民之間選擇意愿相互獨立.（1）從問卷市民中隨機抽取4人，記總得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）（i）若從問卷市民中隨機抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項和；（ⅱ）在對所有問卷市民進行隨機問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為（比如：表示累計得分為1分的概率，表示累計得分為2分的概率，），試探求與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項公式.4．如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù).市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機調(diào)查了人，并將這人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額不超過元）：消費金額（單位：百元）頻數(shù)由頻數(shù)分布表可以認為，該市大學(xué)生網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值，）.現(xiàn)從該市任取名大學(xué)生，記其中網(wǎng)絡(luò)外賣消費金額恰在元至元之間的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望；市某大學(xué)后勤部為鼓勵大學(xué)生在食堂消費，特地給參與本次問卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價值元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎”的活動.規(guī)則是：在某張方格圖上標有第格、第格、第格、…、第格共個方格.棋子開始在第格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中），若擲出正面，將棋子向前移動一格（從到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從到）.重復(fù)多次，若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)成功”，并贈送元充值飯卡；若這枚棋子最終停在第格，則認為“闖關(guān)失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結(jié)束.①設(shè)棋子移到第格的概率為，求證：當(dāng)時，是等比數(shù)列；②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.5．在某次世界新能源汽車大會上著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應(yīng)時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程）的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如下的頻率分布直方圖：（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.（2）根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車車向前移動一次，若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到），若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結(jié)束，設(shè)遙控車移到第n格的概率為，試說明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否成功吸引顧客購買該款新能源汽車.6．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．7．一種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第1站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（失?。┗蛘叩?00站（獲勝）時，游戲結(jié)束.（1）求；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率.8．某市不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著許多旅游景點.每年來該市參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù).其中，名人園與夢島被稱為該市的兩張名片，為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽名人園景點的游客進行隨機問卷調(diào)查.若不去夢島記1分，若繼續(xù)去夢島記2分.每位游客去夢島的概率均為，且游客之間的選擇意愿相互獨立.（1）從游客中隨機抽取3人，記總得分為隨機變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若從游客中隨機抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前6項和；（3）在對所有游客進行隨機問卷調(diào)查的過程中，記已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項公式.參考答案1．解：（1）故從而所以所求線性回歸方程為，令，解得.故預(yù)計到2022年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人（2）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)，遙控車移到第一格，其概率為,即.遙控車移到第（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種.①遙控車先到第格，又擲出奇數(shù)，其概率為②遙控車先到第格，又擲出偶數(shù)，其概率為所以，當(dāng)時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列以上各式相加，得（），獲勝的概率失敗的概率設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為元，或X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約400元.2．（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值為1，，∴，.∴.若，則，，∴，∴.∴p關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式為，（，且）.（2）（i）∵證明：當(dāng)時，，∴，令，則，∵，∴下面證明對任意的正整數(shù)n，.①當(dāng)，2時，顯然成立；②假設(shè)對任意的時，，下面證明時，；由題意，得，∴，∴，，∴，.∴或（負值舍去）.∴成立.∴由①②可知，為等比數(shù)列，.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.設(shè)（），，∴當(dāng)時，，即在上單調(diào)減.又，，∴；，.∴.∴k的最大值為4.3．解（1）的可能取值為4，5，6，7，8，，所有的分布列為45678所以數(shù)學(xué)期望.（2）（i）總分恰為分的概率為，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，前10項和.（ii）已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2分，概率為.因為，即，所以，則是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.4．解：，因為服從正態(tài)分布，所以.所以，所以的數(shù)學(xué)期望為.①棋子開始在第格為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第格，其概率為，即.棋子移到第格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：棋子先到第格，又擲出反面，其概率為；棋子先到第格，又擲出正面，其概率為，所以，即，且，所以當(dāng)時，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列.②由①知，，，，，以上各式相加，得，所以.所以闖關(guān)成功的概率為，闖關(guān)失敗的概率為.，所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率.5．解：（1）（千米）．（2）由，．．（3）遙控車開始在第0格為必然事件，．第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為，即．遙控車移到第格的情況是下面兩種，而且只有兩種：①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為．②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為．．．時，數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為的等比數(shù)列．，，，，．，1，，．獲勝的概率，失敗的概率．．獲勝的概率大．此方案能成功吸引顧客購買該款新能源汽車．6．解（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：是以為首項，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為，乙藥治愈率為時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實驗方案合理.7．（1）棋子開始在第1站是必然事件，；棋子跳到第2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為