微積分學(xué)p.p.t標(biāo)準(zhǔn)課件12-第12講函數(shù)的連續(xù)性目錄contents引言函數(shù)連續(xù)性的定義與性質(zhì)函數(shù)連續(xù)性的判定函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用習(xí)題與解答01引言微積分學(xué)是研究函數(shù)、極限、連續(xù)性、可微性和積分等概念的數(shù)學(xué)分支。在微積分學(xué)中，函數(shù)的連續(xù)性是一個(gè)重要的概念，它涉及到函數(shù)在某一點(diǎn)或某一范圍內(nèi)的變化情況。函數(shù)的連續(xù)性是微積分學(xué)中的基礎(chǔ)概念，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)、積分等知識(shí)具有重要意義。課程背景連續(xù)性的重要性函數(shù)的連續(xù)性是數(shù)學(xué)分析的基本要求，是研究函數(shù)性質(zhì)和函數(shù)圖像的基礎(chǔ)。在實(shí)際應(yīng)用中，連續(xù)性概念廣泛應(yīng)用于物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域，如物理學(xué)中的速度、加速度，工程中的材料強(qiáng)度，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的供需關(guān)系等。連續(xù)性的應(yīng)用場(chǎng)景連續(xù)復(fù)利計(jì)算、股票價(jià)格連續(xù)變動(dòng)等。材料力學(xué)中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、電路中的電流電壓關(guān)系等。速度、加速度、位移等物理量的連續(xù)變化。數(shù)值分析、計(jì)算物理、計(jì)算化學(xué)等領(lǐng)域中，連續(xù)性概念的應(yīng)用也是必不可少的。金融領(lǐng)域工程領(lǐng)域物理領(lǐng)域科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域02函數(shù)連續(xù)性的定義與性質(zhì)如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù)如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間連續(xù)。如果函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)左連續(xù)或右連續(xù)。030201函數(shù)連續(xù)性的定義010204連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍為連續(xù)函數(shù)。復(fù)合函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)，則其復(fù)合函數(shù)也連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的極限值等于該函數(shù)的極限值。連續(xù)函數(shù)的定積分存在。03連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)的任意兩點(diǎn)之間都可以畫出一條線段，該線段位于曲線上或者與曲線相切。連續(xù)函數(shù)的圖像在定義域內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)間斷點(diǎn)或垂直漸近線。連續(xù)函數(shù)的圖像可以無限地逼近坐標(biāo)軸，但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。01020304連續(xù)函數(shù)的圖像特征03函數(shù)連續(xù)性的判定

函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的判定函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義如果函數(shù)在某點(diǎn)的左右極限相等且等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。極限的運(yùn)算法則利用極限的四則運(yùn)算法則，可以判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性。常見函數(shù)的連續(xù)性例如常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見函數(shù)的連續(xù)性可以通過其定義和性質(zhì)來判斷。區(qū)間上連續(xù)的定義01如果函數(shù)在區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)都連續(xù)，并且在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)02閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)具有一致連續(xù)性、可積性、可微性等重要性質(zhì)。一致連續(xù)性的判定03如果對(duì)于任意小的正數(shù)ε，存在一個(gè)正數(shù)δ，使得對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1和x2，只要|x1-x2|<δ，就有|f(x1)-f(x2)|<ε，則函數(shù)在該區(qū)間上一致連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的判定一次函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。一次函數(shù)的連續(xù)性二次函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，但在其拐點(diǎn)處可能不連續(xù)。二次函數(shù)的連續(xù)性分段函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，但需要注意在分段點(diǎn)處的連續(xù)性。分段函數(shù)的連續(xù)性常見函數(shù)的連續(xù)性判定04函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用連續(xù)函數(shù)在某點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值如果函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，那么該點(diǎn)的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的值。這一性質(zhì)在求極限時(shí)非常有用，特別是對(duì)于一些難以直接計(jì)算的極限問題。利用連續(xù)性求不定積分不定積分是微分學(xué)的逆運(yùn)算，可以通過不定積分來求得原函數(shù)。在不定積分的過程中，連續(xù)性可以幫助我們簡(jiǎn)化積分過程，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和效率。利用連續(xù)性求極限通過函數(shù)的連續(xù)性，可以證明一些不等式。例如，如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)且單調(diào)遞增，那么在該區(qū)間上任意取兩個(gè)數(shù)x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，從而證明了函數(shù)的單調(diào)性。利用連續(xù)性證明不等式的性質(zhì)有些不等式可以通過函數(shù)的連續(xù)性來求解。例如，對(duì)于一些難以直接求解的不等式，可以通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的連續(xù)性來求解。利用連續(xù)性證明不等式的解法利用連續(xù)性證明不等式利用連續(xù)性研究函數(shù)的可導(dǎo)性函數(shù)的可導(dǎo)性與函數(shù)的連續(xù)性密切相關(guān)。如果函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，那么在該點(diǎn)可能可導(dǎo)；反之，如果函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)，那么在該點(diǎn)一定不連續(xù)。因此，利用連續(xù)性可以研究函數(shù)的可導(dǎo)性。利用連續(xù)性研究函數(shù)的極值函數(shù)的極值是函數(shù)值變化的一種表現(xiàn)形式。如果函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，那么在該點(diǎn)可能存在極值。利用連續(xù)性可以研究函數(shù)的極值，從而更好地了解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。利用連續(xù)性研究函數(shù)的性質(zhì)05習(xí)題與解答判斷下列函數(shù)在給定點(diǎn)是否連續(xù)$f(x)=x^2$在$x=2$$g(x)=frac{1}{x}$在$x=0$習(xí)題部分$h(x)=\sqrt{x}$在$x=-1$習(xí)題部分計(jì)算下列極限$lim_{{xto2}}(x^2-4)$$lim_{{xto0}}frac{1}{x}$$lim_{{xto-infty}}x^3$習(xí)題部分對(duì)于$f(x)=x^2$，在$x=2$處，有$f(2)=4$，因此函數(shù)在$x=2$處是連續(xù)的。對(duì)于$g(x)=frac{1}{x}$，在$x=0$處，由于分母不能為零，函數(shù)在$x=0$處是不連續(xù)的。對(duì)于$h(x)=sqrt{x}$，在$x=-1$處，函數(shù)沒有定義，因此函數(shù)在$x=-1$處是不連續(xù)的。對(duì)于$lim_{{xto0}}frac{1}{x}$，由于當(dāng)$x$趨近于零時(shí)，$frac{1}{x}$會(huì)趨近于無窮大，因此極限不存在。對(duì)于$lim_{{xto2}}(x^2-4)$