2/136專題24與二次函數(shù)相關(guān)的壓軸題一、選填題1．（2021·湖北黃石市·中考真題）二次函數(shù)（、、是常數(shù)，且）的自變量與函數(shù)值的部分對(duì)應(yīng)值如下表：…012……22…且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．有以下結(jié)論：①；②；③關(guān)于的方程的負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間；④和在該二次函數(shù)的圖象上，則當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【分析】①將點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，2）代入解析式可得到a、b互為相反數(shù)，c=2，即可判斷；②將x=-1與x=2代入解析式得到m和n的表達(dá)式，再結(jié)合當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即可表示出m+n的取值范圍；③根據(jù)點(diǎn)（1，2）與當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值可知方程的正實(shí)數(shù)根在1和2之間，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性即可求出方程的負(fù)實(shí)數(shù)根的取值范圍；④分類討論，當(dāng)在拋物線的右側(cè)時(shí)，的橫坐標(biāo)恒大于等于對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的x的值時(shí)必有，求出對(duì)應(yīng)的t即可；當(dāng)與在拋物線的異側(cè)時(shí)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離時(shí)滿足，求出對(duì)應(yīng)的t即可.【詳解】①將點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，2）代入解析式得：，則a、b互為相反數(shù)，∴，故①錯(cuò)誤；②∵a、b互為相反數(shù)，∴將x=-1與x=2代入解析式得：，則：，∵當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴得：，即：，∴.故②正確；③∵函數(shù)過點(diǎn)（1，2）且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴方程的正實(shí)數(shù)根在1和之間，∵拋物線過點(diǎn)（0，2）與點(diǎn)（1，2），∴結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可得關(guān)于的方程的負(fù)實(shí)數(shù)根在和0之間.故③正確；④∵函數(shù)過點(diǎn)（1，2）且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，∴可以判斷拋物線開口向下，∵在拋物線的右側(cè)時(shí)，恒在拋物線的右側(cè)，此時(shí)恒成立，∴的橫坐標(biāo)大于等于對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)的x，即，解得時(shí)；∵當(dāng)與在拋物線的異側(cè)時(shí)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)到對(duì)稱軸的距離小于到對(duì)稱軸的距離時(shí)滿足，即當(dāng)時(shí)，滿足，∴當(dāng)時(shí)，解得，即與在拋物線的異側(cè)時(shí)滿足，，∴綜上當(dāng)時(shí)，.故④錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能通過圖表所給的點(diǎn)以及題目的信息來判斷拋物線的開口方向以及對(duì)稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)來解決對(duì)應(yīng)的問題.2．（2021·黑龍江大慶市·中考真題）已知函數(shù)，則下列說法不正確的個(gè)數(shù)是（）①若該函數(shù)圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則②方程至少有一個(gè)整數(shù)根③若，則的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)④不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對(duì)于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；對(duì)于②：分情況討論a＝0和a≠0時(shí)方程的根即可；對(duì)于③：已知條件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情況討論a＞1或a＜0時(shí)的函數(shù)值即可；對(duì)于④：分情況討論a＝0和a≠0時(shí)函數(shù)的最大值是否小于等于0即可．【詳解】解：對(duì)于①：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)變?yōu)?，與只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≠0時(shí)，，∴，故圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或，①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)a＝0時(shí)，方程變?yōu)?，有一個(gè)整數(shù)根為，當(dāng)a≠0時(shí)，方程因式分解得到：，其中有一個(gè)根為，故此時(shí)方程至少有一個(gè)整數(shù)根，故②正確；對(duì)于③：由已知條件得到a≠0，且a＞1或a＜0當(dāng)a＞1時(shí)，開口向上，對(duì)稱軸為，自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∵，∴離對(duì)稱軸的距離一樣，將代入得到，此時(shí)函數(shù)最大值小于0；當(dāng)a＜0時(shí)，開口向下，自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∴時(shí)，函數(shù)取得最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：a＝0時(shí)，原不等式變形為：對(duì)任意實(shí)數(shù)不一定成立，故a＝0不符合；a≠0時(shí)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)開口向上，總有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，此時(shí)不存在a對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)a＜0時(shí)開口向下，此時(shí)函數(shù)的最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，此時(shí)不存在a對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立；故④正確；綜上所述，②④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系，分類討論的思想，本題難度較大，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵．3．（2021·湖北隨州市·中考真題）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，在軸下方的拋物線上一定存在關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)左邊），使得．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】依拋物線的圖像和性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，逐條分析結(jié)論進(jìn)行判斷即可【詳解】①從圖像觀察，開口朝上，所以，對(duì)稱軸在軸右側(cè)，所以，圖像與軸交點(diǎn)在x軸下方，所以，所以①不正確；②點(diǎn)和點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，且設(shè)代入,得：，所以②正確；③，設(shè)拋物線解析式為：過，所以③正確；④如圖：設(shè)交點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為Q，頂點(diǎn)為D，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，是等腰直角三角形，，，又對(duì)稱軸由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可知由題意，解得或者由①知，所以④不正確．綜上所述：②③正確共2個(gè)故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，二次函數(shù)（a≠0），a的符號(hào)由拋物線的開口決定；b的符號(hào)由a及對(duì)稱軸的位置確定；c的符號(hào)由拋物線與y軸交點(diǎn)的位置確定，此外還有注意利用特殊點(diǎn)1，-1及2對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)來解決是解題的關(guān)鍵．4．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）已知二次項(xiàng)系數(shù)等于1的一個(gè)二次函數(shù)，其圖象與x軸交于兩點(diǎn)，，且過，兩點(diǎn)（b，a是實(shí)數(shù)），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)的解析式，求出二次函數(shù)的最值，利用基本不等式，求出的范圍．【詳解】由題意，二次函數(shù)與x軸交于兩點(diǎn)，，且二次項(xiàng)系數(shù)為1，則：過，兩點(diǎn)，，二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為1，對(duì)稱軸為二次函數(shù)圖像開口朝上，且點(diǎn)，在對(duì)稱軸的右側(cè)．又．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)的配方法求最值，以及基本不等式的運(yùn)用，（僅當(dāng)時(shí)，等于號(hào)成立）能靈活的應(yīng)用基本不等式是解題的關(guān)鍵．5．（2021·湖南岳陽市·中考真題）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形中，點(diǎn)，點(diǎn)，則互異二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn)時(shí)的最大值和最小值分別是（）A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1【答案】D【分析】分別討論當(dāng)對(duì)稱軸位于y軸左側(cè)、位于y軸與正方形對(duì)稱軸x=1之間、位于直線x=1和x=2之間、位于直線x=2右側(cè)共四種情況，列出它們有交點(diǎn)時(shí)滿足的條件，得到關(guān)于m的不等式組，求解即可．【詳解】解：由正方形的性質(zhì)可知：B（2,2）；若二次函數(shù)與正方形有交點(diǎn),則共有以下四種情況:當(dāng)時(shí)，則當(dāng)A點(diǎn)在拋物線上或上方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)C點(diǎn)在拋物線上或下方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)O點(diǎn)位于拋物線上或下方時(shí)，它們有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；當(dāng)時(shí)，則當(dāng)O點(diǎn)在拋物線上或下方且B點(diǎn)在拋物線上或上方時(shí)，它們才有交點(diǎn)，此時(shí)有，解得：；綜上可得：的最大值和最小值分別是，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與正方形的交點(diǎn)問題，涉及到列一元一次不等式組等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)圖像分析交點(diǎn)情況，并進(jìn)行分類討論，本題綜合性較強(qiáng)，需要一定的分析能力與圖形感知力，因此對(duì)學(xué)生的思維要求較高，本題蘊(yùn)含了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法等．6．（2021·四川廣元市·中考真題）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】由二次函數(shù)解析式，可求與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，直線表示的圖像可看做是直線的圖像平移b個(gè)單位長度得到，再結(jié)合所給函數(shù)圖像可知，當(dāng)平移直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，恰與所給圖像有三個(gè)交點(diǎn)，故將B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；當(dāng)平移直線經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，恰與所給圖像有三個(gè)交點(diǎn)，即直線與函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)圖像只有一個(gè)交點(diǎn)，即聯(lián)立解析式得到的方程的判別式等于0，即可求解．【詳解】解：由知，當(dāng)時(shí)，即解得：作函數(shù)的圖像并平移至過點(diǎn)B時(shí)，恰與所給圖像有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)有：平移圖像至過點(diǎn)C時(shí)，恰與所給圖像有三個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖像由的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱得到當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式為即，整理得：綜上所述或故答案是：A．

【點(diǎn)睛】本題主要考察二次函數(shù)翻折變化、交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題、函數(shù)圖像平移的性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系等知識(shí)，屬于函數(shù)綜合題，中等難度．解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，從而找到滿足題意的條件．7．（2021·遼寧本溪市·中考真題）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)在矩形邊上的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)P，Q在矩形對(duì)角線上的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，的面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分段討論：當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BD上時(shí)，，，過點(diǎn)P作，通過解直角三角形求出PE，表示出面積的函數(shù)表達(dá)式；當(dāng)點(diǎn)P在BD上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，，，過點(diǎn)P作，通過解直角三角形求出PE，表示出面積的函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在AD上，點(diǎn)Q在BD上時(shí)，，，則，過點(diǎn)P作，∵，∴，，∴，，，∴，∴的面積，為開口向上的二次函數(shù)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，此時(shí)的面積；當(dāng)點(diǎn)P在BD上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，，，過點(diǎn)P作，則，即，∴的面積，為開口向下的二次函數(shù)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)態(tài)問題的函數(shù)圖象，根據(jù)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)寫出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．8．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿A→D→C的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x，為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B．

C．D．【答案】C【分析】分0≤x≤3，3＜x≤4，4＜x≤7三種情況，分別畫出圖形，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可求解．【詳解】解：如圖1，當(dāng)0≤x≤3時(shí)，，∴A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；如圖2，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，作QE⊥AB于E，，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；如圖3，當(dāng)4＜x≤7時(shí)，，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題為根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)確定函數(shù)圖象，考查了分類討論、列函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象、勾股定理等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意分類討論，列出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．9．（2021·山東威海市·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以1cm/s的速度沿A﹣C﹣D的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），的面積為y（cm2），則下列圖象中能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先證明∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°，再分0≤x≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三種情況畫出圖形，求出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，ACD都是等邊三角形，∴∠CAB=∠ACB=∠ACD=60°．如圖1，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，AQ=2x，AP=x，作PE⊥AB于E，∴，∴，故D選項(xiàng)不正確；如圖2，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，CP=2-x，CQ=4-2x，BQ=2x-2，作PF⊥BC與F，作QH⊥AB于H，∴，，∴，故B選項(xiàng)不正確；當(dāng)2＜x≤3時(shí)，CP=x-2，CQ=2x-4，∴PQ=x-2，作AG⊥CD于G，∴，∴，故C不正確．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了菱形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，二次函數(shù)、一次函數(shù)圖象與性質(zhì)，利用三角函數(shù)解三角形等知識(shí)，根據(jù)題意分類討論列出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．10．（2021·黑龍江齊齊哈爾市·中考真題）如圖，拋物線的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接：過A1作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、：過作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、；過作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、…：按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是_________．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法分別求出直線、、、……的解析式，即可求得、P2、P3……的坐標(biāo)，得出規(guī)律，從而求得點(diǎn)Pn的坐標(biāo)．【詳解】解：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴直線的解析式為，∵，∴，∴，設(shè)的解析式為，∴，解得，所以直線的解析式為，解，求得，∵，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，解求得，設(shè)的解析式為，∴，∴，∴，．．．∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，根據(jù)一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．（2021·廣西來賓市·中考真題）如圖，已知點(diǎn)，，兩點(diǎn)，在拋物線上，向左或向右平移拋物線后，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)四邊形的周長最小時(shí)，拋物線的解析式為__________．【答案】．【分析】先通過平移和軸對(duì)稱得到當(dāng)B、E、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，再通過設(shè)直線的解析式并將三點(diǎn)坐標(biāo)代入，當(dāng)時(shí)，求出a的值，最后將四邊形周長與時(shí)的周長進(jìn)行比較，確定a的最終取值，即可得到平移后的拋物線的解析式．【詳解】解：∵，，，，∴，，由平移的性質(zhì)可知：,∴四邊形的周長為；要使其周長最小，則應(yīng)使的值最?。辉O(shè)拋物線平移了a個(gè)單位，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向右平移，當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向左平移；∴，，將向左平移2個(gè)單位得到，則由平移的性質(zhì)可知：，將關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)記為點(diǎn)E，則，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，,∴，當(dāng)B、E、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，

設(shè)直線的解析式為：，∴，當(dāng)時(shí)，∴∴，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得：，解得：，此時(shí)，此時(shí)四邊形的周長為；當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)四邊形的周長為：；∵，∴當(dāng)時(shí)，其周長最小，所以拋物線向右平移了個(gè)單位，所以其解析式為：；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平移、軸對(duì)稱、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、拋物線的解析式等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是理解并確定什么情況下該四邊形的周長最短，本題所需綜合性思維較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合分析和計(jì)算能力要求都較高，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法等．二、解答題1．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【分析】（1）由題意易得，進(jìn)而可得，則有，然后把點(diǎn)B、D代入求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，然后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可進(jìn)行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進(jìn)而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當(dāng)點(diǎn)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點(diǎn)B、D坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴由兩點(diǎn)距離公式可得，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴由兩點(diǎn)距離公式可得，即，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴由兩點(diǎn)距離公式可得，即，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，，∴，DM=EM，∵過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，此時(shí)OD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設(shè)線段OD的解析式為，代入點(diǎn)D的坐標(biāo)得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北十堰市·中考真題）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上且位于x軸下方，連交拋物線于M，連、．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（3）如圖2，過點(diǎn)P作x軸的平行線l，過M作于D，若，求N點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入解析式，即可求解；（2）由想到將放到直角三角形中，即過點(diǎn)A作交CM的延長線于點(diǎn)E，即可知，再由想到過點(diǎn)E作軸，即可得到，故點(diǎn)E的坐標(biāo)可求，結(jié)合點(diǎn)C坐標(biāo)可求直線CE解析式，點(diǎn)M是直線CE與拋物線交點(diǎn)，聯(lián)立解析式即可求解；（3）過點(diǎn)M作L的垂線交于點(diǎn)D，故設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)可表示，且MD的長度也可表示，由可得即可結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式表示出MN，最后由即可求解【詳解】解：（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入得，解得：（2）點(diǎn)A作交CM的延長線于點(diǎn)E，過作軸于如下圖軸，又即當(dāng)時(shí)，即即設(shè)直線CE的解析式為，并將C、E兩點(diǎn)代入得解得點(diǎn)M是直線CE與拋物線交點(diǎn)解得（不合題意，舍去）點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為（3）設(shè)過點(diǎn)M垂直于L的直線交x軸于點(diǎn)H，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，M的橫坐標(biāo)為m則對(duì)稱軸P、Q、N的橫坐標(biāo)為，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為4即，即，不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，解得，由題意知【點(diǎn)睛】本題考察二次函數(shù)的綜合運(yùn)用、相似三角形、銳角三角函數(shù)的運(yùn)用、交點(diǎn)坐標(biāo)的求法和兩點(diǎn)間的距離公式，屬于綜合運(yùn)用題，難度偏大．解題的關(guān)鍵是由銳角三角函數(shù)做出輔助線和設(shè)坐標(biāo)的方程思想．3．（2021·湖北黃岡市·中考真題）已知拋物線與x軸相交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若，過點(diǎn)N作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P，交直線于點(diǎn)G．過點(diǎn)P作于點(diǎn)D，當(dāng)n為何值時(shí)，；（3）如圖2，將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使它恰好經(jīng)過線段的中點(diǎn)，然后將它向上平移個(gè)單位長度，得到直線．①______；②當(dāng)點(diǎn)N關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；（2）先根據(jù)拋物線的解析式可得點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線的解析式，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分別求出的長，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，由此建立方程求解即可得；（3）①先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得直線的解析式，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)正切三角函數(shù)的定義即可得；②先求出直線的解析式，再與直線的解析式聯(lián)立求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式求解即可得．【詳解】解：（1）將點(diǎn)，代入得：，解得，則拋物線的解析式為；（2）由題意得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為，，，，，，即，解得或（與不符，舍去），故當(dāng)時(shí)，；（3）①如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)，代入得：，解得，則直線的解析式為，由平移的性質(zhì)得：直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，，，故答案為：；②由題意得：，則設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，聯(lián)立，解得，即直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，即，將點(diǎn)代入得：，整理得：，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、全等三角形的性質(zhì)、正切三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2021·四川瀘州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于A，B，C三點(diǎn)（1）求證：∠ACB=90°（2）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+BF的最大值；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）①9；②或．【分析】（1）分別計(jì)算A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的長，最后利用勾股定理逆定理解題；（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)，接著解出，利用二次函數(shù)的配方法求最值；②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明，再分兩種情況討論以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，結(jié)合相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）令x=0，得令得，（2）①設(shè)直線BC的解析式為：，代入，得設(shè)即DE+BF的最大值為9；②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，在中，即為等腰三角形，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與AOG相似，則①又，或經(jīng)檢驗(yàn)：不符合題意，舍去，②，又整理得，，或，同理：不合題意，舍去，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．5．（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，已知．（1）求m的值和直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為拋物線上一點(diǎn)，若，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）Q為拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計(jì)算即可；（2）做點(diǎn)A關(guān)于BC的平行線，聯(lián)立直線與拋物線的表達(dá)式可求出的坐標(biāo)，設(shè)出直線與y軸的交點(diǎn)為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線，聯(lián)立方程組即可求出P；（3）取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，得直線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為，即可求出結(jié)果；【詳解】（1）將代入，化簡得，則（舍）或∴，得：，則．設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將、代入可得，解得，則直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，過點(diǎn)A作∥BC，設(shè)直線與y軸的交點(diǎn)為G，將直線BC向下平移GC個(gè)單位，得到直線，由（1）得直線BC的解析式為，，∴直線AG的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：（舍），或，∴，由直線AG的表達(dá)式可得，∴，，∴直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如圖，取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，則，．設(shè)，∵，，∴．由，則，即，解之得，．所以，又，可得直線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為，設(shè)，代入，得，，，又，則．所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，結(jié)合一元二次方程求解是解題的關(guān)鍵．6．（2020·四川中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A，B．與y軸交于點(diǎn)C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點(diǎn)．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N（2，0）．點(diǎn)D是拋物線上A，M之間的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D不與A，M重合，連接DB交MN于點(diǎn)E．連接AD并延長交MN于點(diǎn)F．在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF為定值4【分析】（1）先將拋物線解析式變形，可得A和B的坐標(biāo)，從而得AB=1+3=4，根據(jù)三角形ABC的面積為2可得OC的長，確定點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得G和H的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；（3）設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），利用待定系數(shù)法求直線AD和BD的解析式，表示FN和OK的長，直接代入計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面積為2，即，∴OC=1，∴C（0，1），將C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴該二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+1；（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)y=m時(shí)，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1﹣，m），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1+，m），∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1﹣，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1+，0），∵矩形PGHQ為正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴當(dāng)四邊形PGHQ為正方形時(shí)，邊長為6+2或2﹣6；（3）如圖3，設(shè)點(diǎn)D（n，﹣n2+n+1），延長BD交y軸于K，∵A（﹣1，0），設(shè)AD的解析式為：y=kx+b，則，解得：，∴AD的解析式為：y=（﹣）x﹣，當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直線BD的解析式為：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過程中，3NE+NF為定值4．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式確定FN和OK的長，可解決問題．7．（2021·遼寧中考真題）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，直線過點(diǎn)B交y軸于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)D，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C、D，連接、．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）E為直線上方的拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（4）N為線段上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N，再以每秒個(gè)單位長度的速度沿線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，又以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O后停止，請直接寫出上述運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，理由見解析；（3）E（，）；（4）運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為，此時(shí)N坐標(biāo)為（﹣6，）【分析】（1）由點(diǎn)B坐標(biāo)求出m值，進(jìn)而求得點(diǎn)C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式即可；（2）由兩點(diǎn)間距離公式求得AC2、AB2、BC2，利用勾股定理的逆定理即可做出判斷；（3）由（2）中數(shù)據(jù)可知∠BCA=∠ECA，延長BA至F，使AF=AB，連接CF，則點(diǎn)E為直線CF與拋物線的交點(diǎn)，求出直線CF的解析式，與拋物線聯(lián)立方程組，解之即可求得點(diǎn)E坐標(biāo)；（4）過N作MN⊥AC于M，過F作⊥BC交AC于，連接FN，則FN=BN，求得MN=，由點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t===，當(dāng)F、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，t最小，進(jìn)一步求解即可解答．【詳解】解：（1）∵直線過點(diǎn)B交y軸于點(diǎn)C，∴將代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，解得：m=6，則C（0，6），將A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，理由為：由題意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°；（3）由（2）知AB=5，AC=10，∴tan∠BCA==tan∠ECA，∴∠BCA=∠ECA，延長BA至F，使AF=AB，連接CF，則點(diǎn)B、F關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，∴F（﹣11，4），∵∠BAC=∠FAC=90°，AF=AB，AC=AC，∴△FAC≌△BAC，∴∠BCA=∠FCA，∴點(diǎn)E為直線CF與拋物線的交點(diǎn)，設(shè)直線CF的解析式為y=kx+b，則，解得：，∴直線CF的解析式為，聯(lián)立方程組，解得：或（舍去），故點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）；（4）過N作MN⊥BC于M，過F作⊥BC交AC于，連接FN，則FN=BN，∵AB=5，BC=，∴sin∠BCA=，∴MN=，又CO=6，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t===≥+6，當(dāng)F、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，t最小，∵AC=10，BC=，∴sin∠ABC=，∴=，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為，由直線BC的表達(dá)式y(tǒng)=2x+6得點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣3，0），∵FD=，∴點(diǎn)D與點(diǎn)重合，則點(diǎn)N（即）為直線FD與直線AC的交點(diǎn)，由點(diǎn)A（﹣8，0）和C（0，6）得直線AC的表達(dá)式為，由點(diǎn)F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直線FD的表達(dá)式為，聯(lián)立方程組，解得：，∴此時(shí)N坐標(biāo)為（﹣6，），【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理的逆定理、銳角的三角函數(shù)、垂線段最短、軸對(duì)稱性質(zhì)、解二元二次方程組、解一元一次方程組、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較難，解答的關(guān)鍵是弄懂題意，找尋相關(guān)知識(shí)間的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行探究、推理和計(jì)算．8．（2021·上海中考真題）已知拋物線過點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）①1；②點(diǎn)C的坐標(biāo)是【分析】(1)將兩點(diǎn)分別代入，得,解方程組即可;（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標(biāo)為1,計(jì)算點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點(diǎn)A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可.【詳解】解：（1）將兩點(diǎn)分別代入，得解得．所以拋物線的解析式是．（2）①如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，作于H．∵是等腰直角三角形，∴和也是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1．②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得解得∴直線的解析式為，設(shè)，∴，所以．所以．將點(diǎn)代入，得．整理，得．因式分解，得．解得，或（與點(diǎn)P重合，舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．9．（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）如圖，直線與拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)分別為H，K（點(diǎn)H在點(diǎn)K的左側(cè)）．點(diǎn)F在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)F作直線軸于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接，是否存在點(diǎn)F，使是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）如圖2，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，過點(diǎn)F作任意直線l，把沿直線l翻折，翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)Q，求出當(dāng)?shù)闹荛L最大時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并直接寫出翻折過程中線段的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）存在或，理由見解析；（3）最大值為，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意，將代入直線解析式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先證明為等腰直角三角形，分情況討論①當(dāng)為斜邊時(shí)，設(shè)，則，根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)；②為斜邊時(shí):，根據(jù)軸求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是等腰直角三角形，當(dāng)最大時(shí)，的周長最大，求得點(diǎn)的坐標(biāo)；過點(diǎn)F作任意直線l，把沿直線l翻折，翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)Q根據(jù)題意點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，根據(jù)求得最值【詳解】（1）由題意過點(diǎn)則：將，代入，得：解得：（2）存在，理由如下設(shè)直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)過點(diǎn)，令,令，是等腰直角三角形是直角三角形設(shè)，則軸軸不可能為斜邊是等腰直角三角形①當(dāng)為斜邊時(shí)：FC即，解得：（與點(diǎn)重合）②當(dāng)為斜邊時(shí):軸軸解得：（與點(diǎn)重合）（3）如圖：由（2）可知是等腰直角三角形的周長等于當(dāng)最大時(shí)，的周長最大設(shè)()，則，則當(dāng)時(shí)，取得最大值過點(diǎn)F作任意直線l，把沿直線l翻折翻折后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)Q根據(jù)題意點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，令解得：根據(jù)題意，點(diǎn)H在點(diǎn)K的左側(cè)，==【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，勾股定理，圖形的旋轉(zhuǎn)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，圓的性質(zhì)，二次函數(shù)最值問題，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）連接，求直線的解析式；（3）請?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最小，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值；（4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時(shí)的最小值為；（4）存在，或．【分析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)直線的解析式為，然后把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入求解即可；（3）由題意易得點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，即為BC的長，然后問題可求解；（4）由題意可設(shè)點(diǎn)，然后可分①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，③當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得拋物線的解析式為，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，∴，設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線的解析式為；（3）由拋物線可得對(duì)稱軸為直線，由題意可得如圖所示：連接BP、BC，∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，要使的值為最小，則需滿足點(diǎn)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，即為BC的長，此時(shí)BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)，∵，∴，∴的最小值為，∵點(diǎn)P在直線BC上，∴把代入得：，∴；（4）存在，理由如下：由題意可設(shè)點(diǎn)，，當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可分：①當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖所示：連接MN，交AC于點(diǎn)D，∵四邊形ANCM是平行四邊形，∴點(diǎn)D為AC、MN的中點(diǎn)，∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，即，解得：，∴；②當(dāng)AM為對(duì)角線時(shí)，同理可得：，即，解得：，∴；③當(dāng)AN為對(duì)角線時(shí)，同理可得：，即，解得：，∴；∴綜上所述：當(dāng)以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關(guān)鍵．11．（2021·遼寧大連市·中考真題）已知函數(shù)，記該函數(shù)圖像為G．（1）當(dāng)時(shí)，①已知在該函數(shù)圖像上，求n的值；②當(dāng)時(shí)，求函數(shù)G的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，作直線與x軸交于點(diǎn)P，與函數(shù)G交于點(diǎn)Q，若時(shí)，求m的值；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交與點(diǎn)B，過B做交直線與點(diǎn)C，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為c，若，求m的值．【答案】（1）①，②函數(shù)G的最大值為；（2）；（3）或【分析】（1）由題意易得，①把點(diǎn)代入求解即可；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（2）由題意可得如圖所示，然后可得，是等腰直角三角形，則有，進(jìn)而代入求解即可；（3）由題意可得如圖所示，則有，然后可得，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，進(jìn)而易證，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，①∵在該函數(shù)圖像上，∴；②由題意得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)G的解析式為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)G的解析式為，∵，當(dāng)時(shí)，則，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)G有最大值，即為；當(dāng)時(shí)，則有函數(shù)G的最大值為，∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)G的最大值為；（2）由當(dāng)時(shí)，作直線與x軸交于點(diǎn)P，與函數(shù)G交于點(diǎn)Q，可得點(diǎn)Q必定落在的函數(shù)圖象上，如圖所示：∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，化簡得：，解得：，∵，∴；（3）①當(dāng)時(shí)，由題意可得如圖所示，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，∴，令y=0，則有，解得：，∵，∴，由題意得：，四邊形DOEC是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，化簡得：，解得：（不符合題意，舍去），∴；②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為E，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，如圖所示：∴令y=0，則有，解得：，∴，同理可得，∴，化簡得：，解得：（舍去）；綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C（0，－3），拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q在軸上，若以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)M是軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作的垂線交拋物線于點(diǎn)G，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、M、G為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似，若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)或、點(diǎn)或點(diǎn)；（3）存在，M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式和已知坐標(biāo)點(diǎn)代入計(jì)算即可，（2）以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形為平行四邊形，分為兩種情況：或，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等且平行求解即可，（3）先根據(jù)題意求出A點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)B，C，D坐標(biāo)點(diǎn)得知△BDC是直角三角形，且∠BCD＝，設(shè)點(diǎn)M得坐標(biāo)（），則點(diǎn)G得坐標(biāo)為，根據(jù)相似的性質(zhì)分情況求解即可．【詳解】解：（1）將點(diǎn)B（3，0），C（0，－3）分別代入中，得：，解得，∴拋物線得函數(shù)關(guān)系為（2）點(diǎn)或、點(diǎn)或點(diǎn)．如圖：∵以點(diǎn)P、Q、B、C為頂點(diǎn)，BC為邊的四邊形為平行四邊形，∴或，∵點(diǎn)B（3，0），C（0，－3），當(dāng)時(shí)，則，設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M，∴，，∴；同理時(shí)，；故答案為：；．（3）當(dāng)時(shí)，，解得：，∴A（－1，0）又，∴拋物線得頂點(diǎn)D得坐標(biāo)為（1，－4）∵C（0，－3）、B（3，0）、D（1，－4）∴，∴∴△BDC是直角三角形，且∠BCD＝設(shè)點(diǎn)M得坐標(biāo)（），則點(diǎn)G得坐標(biāo)為，根據(jù)題意知：∠AMG＝∠BCD＝∴要使以A、M、G為頂點(diǎn)得三角形與△BCD相似，需要滿足條件：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)有：或解得：或＝0，，都不符合，所以時(shí)無解．②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有：或解得：（不符合要求，舍去）或＝0，（不符合要求，舍去），所以M（）或M（0，0）③當(dāng)m＞3時(shí)，此時(shí)有：或解得：（不符合要求，舍去）或（不符要求，舍去）所以點(diǎn)M（6，0）或M（，0）答：存在點(diǎn)M，使得A、M、G為頂點(diǎn)得三角形與△BCD相似，點(diǎn)M得坐標(biāo)為：M（0，0）或M（，0）或M（6，0）或M（，0）．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，涵蓋平行四邊形性質(zhì)和三角形相似及勾股定理，有一定難度．13．（2021·吉林中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值和最小值；（3）點(diǎn)為此函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．已知點(diǎn)與點(diǎn)不重合，且線段的長度隨的增大而減?。偾蟮娜≈捣秶?；②當(dāng)時(shí)，直接寫出線段與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的的取值范圍．【答案】（1）；（2）最大值為；最小值為－2；（3）①；②或時(shí)，與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，時(shí)，與圖象有2個(gè)交點(diǎn)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解．（2）將函數(shù)代數(shù)式配方，由拋物線開口方向和對(duì)稱軸直線方程求解．（3）①由求出取值范圍，②通過數(shù)形結(jié)合求解．【詳解】解：（1）將，點(diǎn)代入得：，解得，∴．（2）∵，∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線．∴當(dāng)時(shí)，取最小值為－2，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值．（3）①，當(dāng)時(shí)，，的長度隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，，的長度隨增大而增大，∴滿足題意，解得．②∵，∴，解得，如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在最低點(diǎn)，與圖象有1交點(diǎn)，增大過程中，，點(diǎn)與點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，與圖象只有1個(gè)交點(diǎn)，直線關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線對(duì)稱后直線為，∴時(shí)，與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與圖象有1個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，或時(shí)，與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，時(shí)，與圖象有2個(gè)交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，將函數(shù)解析式配方，通過數(shù)形結(jié)合的方法求解．14．（2021·山東淄博市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）若，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，點(diǎn)位于直線上方的拋物線上，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，問是否存在點(diǎn)（在拋物線上）．點(diǎn)（在拋物線的對(duì)稱軸上），使得以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時(shí)，點(diǎn)，．【分析】（1）由題意易得，則有，然后把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；（2）由（1）可得，，然后可求出線段BC的解析式為，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，設(shè)，則有，進(jìn)而可根據(jù)鉛垂法進(jìn)行求解點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由題意易得，拋物線的對(duì)稱軸為，則可得，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，①當(dāng)以GB為矩形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而可得，，然后根據(jù)相似三角形可求解；②當(dāng)以GB為矩形的對(duì)邊時(shí)，最后分類求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線解析式為；（2）由（1）可得拋物線解析式為，，，設(shè)線段BC的解析式為，把點(diǎn)B、C代入得：，解得：，∴線段BC的解析式為，過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E，如圖所示：設(shè)，則有，∴，設(shè)的面積為S，由鉛垂法可得△PCB的面積可以點(diǎn)B、C的水平距離為水平寬，PE為鉛垂高，則有：，∴當(dāng)a=2時(shí)，S有最大值，∴點(diǎn)；（3）存在，理由如下：由題意可把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線得：，∴，聯(lián)立拋物線與直線BG的解析式得：，解得：，∴，由拋物線可得對(duì)稱軸為，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，當(dāng)以GB為矩形的對(duì)角線時(shí)，如圖所示：∴根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，即為，∴，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，即，∴，∴，∵，且四邊形是矩形，∴點(diǎn)E、F分別落在x軸的兩側(cè)才能構(gòu)成矩形，即，分別作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)G、B作過點(diǎn)F與x軸平行的直線的垂線，分別交于點(diǎn)M、N，如圖，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，解得：（負(fù)根舍去），∴，；②當(dāng)以GB為矩形的邊時(shí)，不存在以點(diǎn)E、F、G、B頂點(diǎn)的四邊形為矩形；綜上所述：當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形時(shí)，點(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，直線與該拋物線交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)D，連接．當(dāng)時(shí)，求線段的長；（3）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線上，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、【分析】（1）分別令x=0、y=0即可求出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐標(biāo)，最后根據(jù)求出m的值即可；（3）考慮到CM都在y軸上，根據(jù)CM為菱形的邊和CM為菱形的對(duì)角線分兩種情況討論即可．【詳解】（1）令x=0得，∴C點(diǎn)坐標(biāo)（0，-8）令y=0得：解得：∴A（-4,0），B（2,0）（2）設(shè)DE交x軸于F，設(shè)AC解析式為，代入AC坐標(biāo)得：，解得∴AC解析式為∵直線與該拋物線交于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)D∴∴∵∴∴∴∴解得∴（3）拋物線對(duì)稱軸為∵點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線上，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)∴設(shè)當(dāng)CM菱形的邊時(shí)，則CM∥PN，CM=CN∴N在對(duì)稱軸上，即∴∴解得此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)CM為菱形的對(duì)角線時(shí)，此時(shí)NP關(guān)于CM對(duì)稱，即NP關(guān)于y軸對(duì)稱∴∴∵菱形對(duì)角線互相垂直平分∴NP中點(diǎn)與CM中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)∴解得此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為綜上所述，存在M、使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)；會(huì)利用相似三角形處理垂直．16．（2021·天津中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)，點(diǎn)B在第一象限，矩形的頂點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，點(diǎn)D在第二象限，射線經(jīng)過點(diǎn)B．（Ⅰ）如圖①，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（Ⅱ）將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)O，C，D，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，，設(shè)，矩形與重疊部分的面積為S．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)在x軸正半軸上，且矩形與重疊部分為四邊形時(shí)，與相交于點(diǎn)F，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【答案】（Ⅰ）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（Ⅱ）①，t的取值范圍是；②．【分析】(I)過點(diǎn)B作，垂足為H，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)得到，再由∠BOH=45°得到△OBH為等腰直角三角形，進(jìn)而，由此求得B點(diǎn)坐標(biāo)；(II)①由平移知，四邊形是矩形，得，進(jìn)而得到，再由重疊部分面積即可求解；②畫出不同情況下重疊部分的圖形，分和兩種情況，將重疊部分的面積表示成關(guān)于t的二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)的最值問題求解．【詳解】解：(I)如圖，過點(diǎn)B作，垂足為H．由點(diǎn)，得．∵，∴．又∠BOH=45°，∴△OBH為等腰直角三角形，∴．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．(II)①由點(diǎn)，得．由平移知，四邊形是矩形，得．∴，．∵，，∴．∴∴．∴．∴．∴．整理后得到：．當(dāng)與A重合時(shí)，矩形與重疊部分剛開始為四邊形，如下圖(1)所示：此時(shí)，當(dāng)與B重合時(shí)，矩形與重疊部分為三角形，接下來往右平移時(shí)重疊部分一直為三角形直到與A點(diǎn)重合，如下圖(2)所示：此時(shí)，∴t的取值范圍是，故答案為：，其中：；②當(dāng)時(shí)，矩形與重疊部分的面積如下圖3所示：此時(shí)，∠BAO=45°，為等腰直角三角形，∴，∴，∴重疊部分面積，∴是關(guān)于的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，且開口向下，故自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，故將代入，得到最大值，將代入，得到最小值，當(dāng)時(shí)，矩形與重疊部分的面積如下圖4所示：此時(shí)，和均為等腰直角三角形，∴，，∴重疊部分面積，∴是關(guān)于的二次函數(shù)，且對(duì)稱軸為，且開口向下，故自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，故將代入，得到最大值，將代入，得到最小值，∵，，∴的最小值為，最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平移的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值等問題，屬于綜合題，需要畫出動(dòng)點(diǎn)不同狀態(tài)下的圖形求解，本題難度較大，需要分類討論．17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)F，直線mAC，過點(diǎn)E作EH⊥m，垂足為H，連接AE、EC、CH、AH．（1）拋物線的解析式為；（2）當(dāng)四邊形AHCE面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接EF，點(diǎn)P在x軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得以F、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，符合題意的點(diǎn)坐標(biāo)為或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）先求拋物線與y軸交點(diǎn)，利用勾股定理求，利用待定系數(shù)法求直線的解析式，由，交于點(diǎn)，可得為定值，由，把，記為定值，再求；再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方拋物線上時(shí)，因?yàn)镻F在x軸上，，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與E的縱坐標(biāo)相同，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方拋物線上時(shí)，又四邊形為平行四邊形，Q與E的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)即可．【詳解】解：（1）∵拋物線與x軸交于、兩點(diǎn)，∴，解得，∴；故答案為；（2）將代得，∴，設(shè)直線的解析式為將，，得，解得，，∴，∵，交于點(diǎn)，∴為定值，∵，把，記為定值，過點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，，∴，∵，∴有最大值，此時(shí)，將代入中，得；（3）存在，符合題意的點(diǎn)坐標(biāo)為或或；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上方拋物線上時(shí)，因?yàn)镻F在x軸上，又∵，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與E的縱坐標(biāo)相同，∴y=，∴，∴解得，∵x=時(shí)為E點(diǎn)，∴，Q1()，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸下方拋物線上時(shí)，∵PF在x軸上，又∵四邊形為平行四邊形，∴Q與E的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，所以yQ=，∴，整理得，△=，解得，∴Q2（），Q3（），符合題意的點(diǎn)坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式與直線解析，平行四邊形面積，二次函數(shù)最值，與平行四邊形性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式與直線解析，平行四邊形面積，二次函數(shù)最值，與平行四邊形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2021·四川成都市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為．點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B的直線與拋物線交于另一點(diǎn)C．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，，且點(diǎn)C位于x軸上方，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，，請用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，并求出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為或；（3）；【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)O(0，0)代入即可求解；（2）求得B(0，0)或B(8，8)，分兩種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，0)時(shí)，過點(diǎn)B作BC∥AP交拋物線于點(diǎn)C，利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為，解方程組即可求解；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，8)時(shí)，作出如圖的輔助線，利用三角形函數(shù)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)求得M(，)，同①可求解；（3）作出如圖的輔助線，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t，)，得到AH=，BH=，OH=MN，由AH=，BH=，OH=MN，△ABH△BMN得到M(0，)，求得BC的解析式為：，解方程組求得點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，即可求解．【詳解】（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(2，-1)，∴設(shè)拋物線的解析式為，∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，即經(jīng)過點(diǎn)O(0，0)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）在中，令，得：，解得或，∴B(0，0)或B(8，8)，①當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，0)時(shí)，過點(diǎn)B作BC∥AP交拋物線于點(diǎn)C，此時(shí)∠ABC=∠OAP，如圖：

在中，令，得：，解得：或，∴A(4，0)，設(shè)直線AP的解析式為，將A(4，0)，P(2，-1)代入得，解得：，∴直線AP的解析式為，∵BC∥AP，∴設(shè)直線BC的解析式為，將B(0，0)代入得，∴直線BC的解析式為，由，得：(此點(diǎn)為點(diǎn)O，舍去)或，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，3)；②點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，8)時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作BH⊥軸于點(diǎn)H，作H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，作直線BM交拋物線于C，連接AM，如圖：

∵A(4，0)，P(2，-1)，∴PQ=1，AQ=2，在Rt△APQ中，，∵A(4，0)，B(8，8)，∴AH=4，BH=8，在Rt△ABH中，，∴∠OAP=∠ABH，∵H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴∠ABM=∠ABH，∴∠ABC=∠OAP，即C為滿足條件的點(diǎn)，設(shè)M(x，y)，∵H關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為M，∴AM=AH=4，BM=BH=8，∴兩式相減得：，代入即可解得：(此點(diǎn)為點(diǎn)H，舍去)或，∴M(，)，同理求得BM的解析式為：，解得：(此點(diǎn)為點(diǎn)B，舍去)或，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1，)；綜上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，3)或(-1，)；（3）設(shè)BC交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BH⊥軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)M作MN⊥于點(diǎn)N，如圖：

∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(t，)，又A(4，0)，∴AH=，BH=，OH=MN，∵∠ABC=90°，∴∠MBN=90°-∠ABH=∠BAH，且∠N=∠AHB=90°，∴△ABH△BMN，∴，即，∴BN=，∴HN=，∴M(0，)，同理求得BC的解析式為：，由，得，解得(點(diǎn)B的橫坐標(biāo))，或，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，的最小值是12，此時(shí)；∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合知識(shí)，涉及解析式、銳角三角函數(shù)、對(duì)稱變換、兩條直線平行、兩條直線互相垂直、解含參數(shù)的方程等，綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握、應(yīng)用各種綜合知識(shí)，用含字母的式子表示線段長度及函數(shù)解析式．19．（2021·廣西貴港市·中考真題）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸相交于A(－3，0)，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0，2)，對(duì)稱軸是直線x＝－1，連接AC．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若過點(diǎn)B的直線l與拋物線相交于另一點(diǎn)D，當(dāng)∠ABD＝∠BAC時(shí)，求直線l的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，連接AD，此時(shí)在y軸左側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)P，使，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）或或【分析】（1）先根據(jù)對(duì)稱軸得出，再由點(diǎn)的坐標(biāo)求出，最后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解，即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況，Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，先判斷出，進(jìn)而得出點(diǎn)在直線上，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出直線的解析式；Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的面積，得出的面積，設(shè)，，過作軸的平行線交直線于，得出，進(jìn)而表示出，最后用面積建立方程求解，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）拋物線的對(duì)稱軸為，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，拋物線的解析式為，點(diǎn)在拋物線上，，，，拋物線的解析式為；（2）Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖1，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，，，直線垂直平分，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，，直線的解析式為，即直線的解析式為；Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，如圖2，，，由Ⅰ知，直線的解析式為，直線的解析式為，即直線的解析式為；綜上，直線的解析式為或；（3）由（2）知，直線的解析式為①，拋物線的解析式為②，或，，，，，點(diǎn)在軸左側(cè)的拋物線上，設(shè)，，過作軸的平行線交直線于，，，，或（舍）或或，或或．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，垂直平分線的性質(zhì)，坐標(biāo)系中求三角形面積的方法，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．20．（2021·四川雅安市·中考真題）已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）在(1)的條件下，二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，與y軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)在線段AB上以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直到其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，求△BPQ面積的最大值;（3）若對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)x，都使得成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）-3≤b≤1．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸，可得MQ=t，從而得到△BPQ的面積的表達(dá)式，進(jìn)而即可求解；（3）設(shè)，結(jié)合函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，開口方向，分兩種情況：或，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）把代入，得：，解得：b=1，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）令y=0代入，得：，解得：或，令x=0代入得：y=-3，∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=2t，BQ=t，∴BP=4-2t，過點(diǎn)M作MQ⊥x軸，∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°，∴是等腰直角三角形，∴MQ=BQ=t，∴△BPQ的面積==，∴當(dāng)t=1時(shí)，△BPQ面積的最大值=；（3）拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=-b，開口向上，設(shè)，∵對(duì)的任意實(shí)數(shù)x，都使得成立，∴或，∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，∴-3≤b≤1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)綜合，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根據(jù)圖像對(duì)稱軸位置，列出不等式組，是解題的關(guān)鍵．21．（2021·遼寧營口市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，，點(diǎn)C為第二象限拋物線上一點(diǎn)，連接，，，其中與x軸交于點(diǎn)E，且．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B，E重合），過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l與的邊分別交于M，N兩點(diǎn)，將沿直線翻折得到，設(shè)四邊形的面積為S，在點(diǎn)P移動(dòng)過程中，求S與m的函數(shù)關(guān)系式；（3）在（2）的條件下，若，請直接寫出所有滿足條件的m值．【答案】（1）C(-1，6)；（2）；（3）m=1或【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得：，直線BC的解析式為：y=-2x+4，聯(lián)立即可求解；（2）先求出直線AC的解析式為：y=-8x-2，直線AB的解析式為：y=x-2，然后分兩種情況：①當(dāng)0≤m＜2時(shí)，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，m-2)，②當(dāng)＜m＜0時(shí)，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，-8m-2)，分別求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，即可；（3）先求出(2m-2，0)，從而得，然后分3種情況：①當(dāng)≤m＜2時(shí)，，；②當(dāng)0≤m＜時(shí)，，；③當(dāng)＜m＜0時(shí)，，，分別求解，即可．【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，，∴，解得：，∴，設(shè)BC交y軸于點(diǎn)F，∵，，∴，即：OF=4，∴F(0，4)，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+n，則，解得：，∴直線BC的解析式為：y=-2x+4，聯(lián)立，解得：或，∴C(-1，6)；（2）∵C(-1，6)，，∴直線AC的解析式為：y=-8x-2，令y=0，代入y=-8x-2得：-8x-2=0，解得：，∴E(，0)，∵，，∴直線AB的解析式為：y=x-2，①當(dāng)0≤m＜2時(shí)，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，m-2)，∴=，∴；②當(dāng)＜m＜0時(shí)，不妨設(shè)M(m，-2m+4)，N(m，-8m-2)，∴=，∴，綜上所述：；（3）由題意得：點(diǎn)P是B的中點(diǎn)，，，∴(2m-2，0)，∴=，①當(dāng)≤m＜2時(shí)，，，∵，∴=，解得：或（舍去），②當(dāng)0≤m＜時(shí)，，，∵，∴=，解得：或（舍去），③當(dāng)＜m＜0時(shí)，，，∵，∴=，解得：（舍去）或（舍去），綜上所述：m=1或時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)、一次函數(shù)與平面幾何綜合，用函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相關(guān)線段長，掌握分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．22．（2021·江蘇常州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像都經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)B，過點(diǎn)A作的垂線交x軸于點(diǎn)C．D是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A、O、B不重合），E是射線上一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)D作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，以、為鄰邊作．

（1）填空：________，________；（2）設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，連接．若，求t的值；（3）過點(diǎn)F作的垂線交線段于點(diǎn)P．若，求的長．【答案】（1），1；（2）；（3）【分析】（1）把分別代入一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，即可求解；（2）先證明EF=ED，結(jié)合D(t，)，F(xiàn)(t，)，可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：，過點(diǎn)A作AM⊥EG，延長GE交x軸于點(diǎn)N，由，從而得，進(jìn)而即可求解；（3）先推出，由FP∥AC，得，結(jié)合，可得DA==，結(jié)合DA+OD=5，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）把代入得：，解得：，把代入得：，解得：b=1，故答案是：，1；（2）∵在中，，∵，∴=，∴EF=ED，∵設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是，則D(t，)，F(xiàn)(t，)，∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為：（）÷2=，聯(lián)立，解得：或，∴A(4，3)，∴過點(diǎn)A作AM⊥EG，延長GE交x軸于點(diǎn)N，則∠AEM=∠NEC=∠AOC，∴，又∵=，∴，解得：（舍去）或，∴；

（3）當(dāng)時(shí)，則，∵⊥FP，AB⊥AC，∴FP∥AC，∴，∵∠FDQ=∠ODH，∴，又∵DF=-=，∴DQ=，∴DA==，∵DA+OD=5，∴+=5，解得：或（舍去），∴OD==．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與平面幾何的綜合，根據(jù)題意畫出圖形，添加合適的輔助線，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．23．（2021·山東東營市·中考真題）如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，直線過B、C兩點(diǎn)，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；（2）求證：；（3）點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交直線BC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段DE的長度最大時(shí)，求的最小值．【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）先利用直線得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解；（2）根據(jù)解析式求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出兩個(gè)三角形的邊長，根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等求證；（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，將線段DE的長用函數(shù)關(guān)系式表示為頂點(diǎn)式形式，利用函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，線段DE的長度最大，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用軸對(duì)稱及勾股定理求出答案即可．【詳解】（1）解：∵直線分別與軸和軸交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），把，分別代入，得，解得，∴拋物線的解析式為．（2）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，∴，解得，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，，在中，，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴．（3）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為則點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴=∵，∴當(dāng)時(shí)，線段DE的長度最大．此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∵，∴點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接CD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，此時(shí)最?。B接CM交直線DE于點(diǎn)F，則，點(diǎn)F的坐標(biāo)為，∴，∵∴的最小值．．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合知識(shí)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，函數(shù)的最值問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，證明兩個(gè)三角形相似，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．24．（2021·遼寧本溪市·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，連接，，點(diǎn)P是拋物線第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，作于點(diǎn)P，使，以，為鄰邊作矩形．當(dāng)矩形的面積是面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q在直線上，若以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，請直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍．【答案】（1）（2）（1，）或（3，3）；（3）-＜n＜或＜n＜5．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出直線AB的解析式，表示出P，E的坐標(biāo)，故可表示出PE的長，再根據(jù)矩形是面積的3倍，得到方程，故可求解；（3）當(dāng)∠ABQ為直角時(shí)，求出直線BQ的解析式，得到n的值，當(dāng)∠BQA為直角時(shí)，利用解直角三角形的方法求出此時(shí)n的值，同理求出當(dāng)∠BAQ為直角時(shí)n的值，故可求解．【詳解】（1）把，代入解析式得解得∴拋物線的解析式為（2）對(duì)于，令y=0解得x=4或-1∴A（4,0），則=2設(shè)直線AB的解析式為y=px+q把A（4，0），代入得，解得∴直線AB的解析式為設(shè)P（x，），則E（x，）∴矩形的面積==3解得x=1或3∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）或（3，3）；（3）由可得其對(duì)稱軸為x=，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，n）①當(dāng)∠ABQ為直角時(shí)，如圖2-1設(shè)BQ交x軸于點(diǎn)H，在Rt△ABO中，tan∠ABO=，∵∠ABO+∠BAO=∠BAO+∠BHO=90°∴∠BHO=∠ABO∴tan∠BHO=tan∠ABO=可設(shè)直線BQ的解析式為y=x+t，代入可得t=3∴直線BQ的解析式為y=x+3當(dāng)x=時(shí)，y=x+3=5故n=5；②當(dāng)∠BQA為直角時(shí)，如圖2-2，過點(diǎn)Q作直線MN∥y軸于點(diǎn)N，交過點(diǎn)A與y軸的平行線于點(diǎn)M，∵∠BQN+∠MQA=90°，∠MQA+∠MAQ=90°，∴∠BQN=∠MAQ∴tan∠BQN=tan∠MAQ即，則解得n=③當(dāng)∠BAQ為直角時(shí)，同理可設(shè)直線AQ的解析式為y=x+h代入A（4，0）得h=-∴直線AQ的解析式為y=x-當(dāng)x=時(shí)，y=x-=-故n=-；綜上，以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形，則△ABQ不為直角三角形，故點(diǎn)Q縱坐標(biāo)n的取值范圍為-＜n＜或＜n＜5．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法、矩形的特點(diǎn)及面積公式、解直角三角形的方法及數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)．25．（2021·海南中考真題）已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為、點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，若該拋物線的頂點(diǎn)為P，求的面積；（3）如圖2，有兩動(dòng)點(diǎn)在的邊上運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長度，它們分別從點(diǎn)C和點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)D沿折線按方向向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E沿線段按方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請解答下列問題：①當(dāng)t為何值時(shí)，的面積等于；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，該拋物線上存在點(diǎn)F，使得依次連接得到的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．