專題05整式的加減壓軸題真題分類（解析版）專題簡介：本份資料包含《整式的加減》這一章中壓軸題?？嫉闹髁黝}型，所選題目源自各名校月考試題、期中試題中的典型考題，具體分成兩類題型：找規(guī)律（等差數(shù)列型、等比數(shù)列型、累加數(shù)列型）、定義新運(yùn)算類壓軸題。適合于培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的老師給優(yōu)等生作壓軸題專題培訓(xùn)時(shí)使用或者想沖擊滿分的尖子生考前刷題時(shí)使用。題型一找規(guī)律①等差數(shù)列型1．（青竹湖）為慶?！傲?一”兒童節(jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽．如圖所示：按照上面的規(guī)律，擺第（n）圖，需用火柴棒的根數(shù)為．【解答】方法一：解：第1個(gè)圖形有8根火柴棒，第2個(gè)圖形有14根火柴棒，第3個(gè)圖形有20根火柴棒，…，第n個(gè)圖形有6n+2根火柴棒．故答案為：6n+2．2．（雅禮）用棋子擺成的圖案如圖所示．按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是．【解答】解：根據(jù)題意可得，第1個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是：3×1+2，第2個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是：3×2+2，第3個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是：3×3+2，……第n個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是：3×n+2＝3n+2，故答案為：3n+2．3．（雅禮）按如下方式擺放的桌子和椅子桌子數(shù)1234…n可坐人數(shù)6810…上表中所缺的數(shù)分別是和．【解答】解：由圖可得1張桌子時(shí)，有4+2＝6把椅子；2張桌子時(shí)，有4+2×2＝8把椅子；3張桌子時(shí)，有4+3×2＝10把椅子；4張桌子時(shí)，有4+4×2＝12把椅子；…，則n張桌子時(shí)，有（4+2n）把椅子．故答案為：12，2n+4．4.（麓山國際）用正三角形、正四邊形和正六邊形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，即從第二個(gè)圖案開始，每個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)都比上一個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)多4個(gè)，則第n個(gè)圖案中正三角形的個(gè)數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）．【解答】解：第一個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為6＝2+4；第二個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為2+4+4＝2+2×4；第三個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為2+2×4+4＝2+3×4；…；第n個(gè)圖案正三角形個(gè)數(shù)為2+（n﹣1）×4+4＝2+4n＝4n+2．故答案為：4n+2．②等比數(shù)列型5．（雨花區(qū)）觀察一列數(shù)：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，……，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第8個(gè)數(shù)是．【解答】解：∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…；∴21＝2，﹣4＝﹣22，8＝23，﹣16＝﹣24，…∴第8個(gè)數(shù)為：﹣28＝﹣256，故答案為：﹣256．6．觀察下列單項(xiàng)式：，，，，，，按此規(guī)律第個(gè)單項(xiàng)式是．（為正整數(shù)）【詳解】解：，，，，，，奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為1，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為，次數(shù)為從1開始的正整數(shù)，∴第個(gè)單項(xiàng)式是，故答案為：．7．觀察下列單項(xiàng)式：，，，，，…，按此規(guī)律，則第個(gè)單項(xiàng)式是（是正整數(shù)）．【詳解】解：設(shè)單項(xiàng)式的通項(xiàng)公式是，則：，，，，，，故答案為：．③累加數(shù)列型8．（2020秋?天心區(qū)校級月考）如圖圖形都是由同樣大小的“○”按一定的規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形中一共有5個(gè)“○”，第2個(gè)圖形中一共有12個(gè)“○”，第3個(gè)圖形中一共有21個(gè)“○”，…，則第7個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)是（）A．60 B．66 C．77 D．96【解答】解：第1個(gè)圖形中一共有5個(gè)，即1×（4+1），第2個(gè)圖形中一共有12個(gè)，即2×（4+2），第3個(gè)圖形中一共有21個(gè)，即3×（4+3），∴第7個(gè)圖形中“○”的個(gè)數(shù)是7×（4+7）＝77，故選：C．9．（2019秋?岳麓區(qū)校級月考）用棋子按下列方式擺圖形，第一個(gè)圖形有1個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有5個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有12個(gè)棋子，依次規(guī)律，第六個(gè)有（）枚棋子．A．49 B．50 C．51 D．52【解答】解：∵第一個(gè)圖形有1個(gè)棋子，第二個(gè)圖形有1+4＝5個(gè)棋子，第三個(gè)圖形有1+4+7＝12個(gè)棋子，…∴第n個(gè)圖形有1+4+7+…+（3n﹣2）＝n（3n﹣1）個(gè)棋子，∴第六個(gè)有×6×（3×6﹣1）＝51枚棋子．故選：C．10．（明德）觀察下列單項(xiàng)式：0，3a2，﹣8a3，15a4，﹣24a5，35a6，…按此規(guī)律，第n個(gè)單項(xiàng)式是．【解答】解：∵一列單項(xiàng)式為：0，3a2，﹣8a3，15a4，﹣24a5，35a6，…，∴這列單項(xiàng)式的第n個(gè)單項(xiàng)式為：（﹣1）n?（n2﹣1）an，故答案為：（﹣1）n?（n2﹣1）an．11．（二十一中）觀察如圖所示圖形構(gòu)成的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第10個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．【解答】解：∵當(dāng)n＝1時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：0+12＝1，當(dāng)n＝2時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+22＝5，當(dāng)n＝3時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：2+32＝11，當(dāng)n＝4時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：3+42＝19，...，∴第n個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：n﹣1+n2．∴第10個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：10﹣1+102＝109．故答案為：109．12．（明德）觀察如圖所示圖形構(gòu)成的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第15個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為．【解答】解：∵當(dāng)n＝1時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：0+12＝1，當(dāng)n＝2時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：1+22＝5，當(dāng)n＝3時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：2+32＝11，當(dāng)n＝4時(shí)，圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：3+42＝19，???，∴第n個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：n﹣1+n2．∴第15個(gè)圖中小圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：14+152＝239．故答案為：239．13．（立信）將一些大小相同的棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，第n個(gè)圖形含有枚棋子（用含n的代數(shù)式表示）．【解答】解：根據(jù)第1個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為3；第2個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為7；第3個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為13；第4個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)為21，∵3＝1+1+12，7＝2+1+22，13＝3+1+33，21＝4+1+42…，∴第n個(gè)圖形有：n+1+n2＝（n2+n+1）個(gè)棋子，故答案為：（n2+n+1）．題型二定義新運(yùn)算類壓軸題14．（明德）對于一個(gè)數(shù)x，我們用＜x＞表示小于x的最大整數(shù)，例如：＜2.3＞＝2，＜﹣6＞＝﹣7；（1）填空：?12?＝，?﹣2009?＝，＝．（2）若2＜x＞+＜x﹣3＞＝6，求＜x＞的值；（3）若a，b都是整數(shù)，且＜a＞與＜b＞互為相反數(shù)，求代數(shù)式2（a﹣2b）﹣（a﹣5b）的值．【解答】解：（1）?12?＝11，?﹣2009?＝﹣2010，＝0；故答案為：11，﹣2010，0；（2）已知等式整理得：2＜x＞+＜x＞﹣3＝6，整理得：3＜x＞＝9，解得：＜x＞＝3；（3）∵a，b都是整數(shù)，且＜a＞與＜b＞互為相反數(shù)，∴a+b＝2，則原式＝2a﹣4b﹣a+5b＝a+b＝2．15．（雅禮）定義：對于一個(gè)數(shù)，我們把稱作的相伴數(shù)，若，則；若，則，例如：．（1）求和的值；（2）當(dāng)，時(shí)，有，試求代數(shù)式的值；（3）解方程：.解：(1)有新定乂可知：，，(2)∵，∴，∵，∴，∵，∴，則，∴，∴原式；(3)當(dāng)時(shí)，，解得：(舍)，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴原方程的解為。16.（師大）對于一個(gè)數(shù)，我們用表示小于的最大整數(shù)，例如：，；（1）填空：________，__________，___________.（2）若，都為整數(shù)，且與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值；（3）若，求得取值范圍.解：（1）,,;（2）都是整數(shù)，，，又與互為相反數(shù)，，即，，原式；（3）由題意可知：，，，不妨設(shè)，，即表示數(shù)y的點(diǎn)與表示數(shù)0，數(shù)2的距離之和為6，或即或，或。17．（長郡）閱讀型綜合題對于實(shí)數(shù)、我們定義一種新運(yùn)算,（其中、均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運(yùn)算，由這種運(yùn)算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，記為，其中、叫做線性數(shù)的一個(gè)數(shù)對，若實(shí)數(shù)、都取正整數(shù)，我們稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時(shí)的、叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對．（1）若，則，（2）已知，，若正格線性數(shù)，（其中k為整數(shù)），問是否有滿足這樣條件的正格數(shù)對？若有，請找出，若沒有，請說明理由．解：(1)5，3；(2)有正格數(shù)對，∵，，∴，則，∴，∵x，kx為正整數(shù)且k為整數(shù)，∴，，正格數(shù)對為：2，6.18.(周南)對于有理數(shù)，定義一種新運(yùn)算“”，請仔細(xì)觀察下列各式中的運(yùn)算規(guī)律：，，回答下列問題：(1)計(jì)算：________，________；(2)若，則________(填入“”或“”)(3)若有理數(shù)，的取值范圍在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，且，求的值.解：（1），，故答案為：19，；（2），，，，，故答案為：；（3）由數(shù)軸可得，，，則，，，，，，．19．（青竹湖）理解與思考：整體代換是數(shù)學(xué)的一種思想方法．例如：若x2+x＝0，則x2+x+1186＝；我們將x2+x作為一個(gè)整體代入，則原式＝0+1186＝1186．仿照上面的解題方法，完成下面的問題：（1）若x2+x﹣1＝0，則x2+x+2021＝；（2）如果a+b＝3，求2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值；（3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，求a2+2b2+6ab的值．【解答】解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴原式＝1+2021＝2022，故答案為：2022；（2）原式＝2（a+b）﹣4（a+b）+21＝﹣2（a+b）+21，∵a+b＝3，∴原式＝﹣2×3+21＝﹣6+21＝15，∴2（a+b）﹣4a﹣4b+21的值為15；（3）原式＝a2+2ab+（2b2+4ab）＝a2+2ab+2（b2+2ab），∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，∴原式＝20+2×8＝20+16＝36，∴a2+2b2+6ab的值為36．20．（青竹湖）已知整式A＝m2+m﹣1，B＝m2﹣m+1，C＝﹣m2+m+1．若某個(gè)整式可以表示為aA+bB+cC（其中a，b，c為常數(shù)），我們約定如下分類：①若a≠0，b＝c＝0，則稱該整式為A型整式；②若a≠0，b≠0，c＝0，則稱該整式為AB型整式；③若a≠0，b≠0，c≠0，則稱該整式為ABC型整式．…（1）依上面的分類方式，請給出B型整式和AC型整式的定義．若，則稱該整式為B型整式；若，則稱該整式為AC型整式．（2）例如：整式m2﹣5m+5可稱為“AB型整式”，證明如下：∵﹣2A+3B＝﹣2（m2+m﹣1）+3（m2﹣m+1）＝﹣2m2﹣2m+2+3m2﹣3m+3＝m2﹣5m+5．即m2﹣5m+5＝﹣2A+3B，∴m2﹣5m+5是“AB型整式”．問題：（3）﹣3m2﹣m+3是什么型整式？請回答問題并仿照上述例子進(jìn)行證明．（4）若整式4m2+km+k是關(guān)于m的“ABC型整式”，請求出相應(yīng)的a，b，c（用含k的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）若b≠0，a＝c＝0，則稱該整式為B型整式；若a≠0，c≠0，b＝0，則稱該整式為AC型整式，故答案為：b≠0，a＝c＝0；a≠0，c≠0，b＝0；（3）﹣3m2﹣m+3＝﹣2（m2+m﹣1）+（﹣m2+m﹣1）＝﹣2A+C，∴﹣3m2﹣m+3為AC型整式；（4）∵4m2+km+k是關(guān)于m的“ABC型整式”，∴4m2+km+k＝（m2+m﹣1）+（m2﹣m+1）+k（﹣m2+m﹣1）＝A+B+kC，∴a＝，b＝，c＝k．21．（雅禮）閱讀下列兩則材料，解決問題：材料一：已知任意一個(gè)四位數(shù)m，若個(gè)位與百位上的數(shù)字之和為8，千位與十位上的數(shù)字之和也為8，則稱m為“雙雅數(shù)”．如：1276；材料二：若一個(gè)正整數(shù)a是另一個(gè)正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)，如：9＝32，則9為完全平方數(shù)．（1）判斷下列四位數(shù)是不是“雙雅數(shù)”，請?jiān)跈M線上填“是”或“不是”：①3454“雙雅數(shù)”；②2635“雙雅數(shù)”；③7612“雙雅數(shù)”．（2）一個(gè)“雙雅數(shù)”，它的千位上的數(shù)是a，百位上的數(shù)是b，十位上的數(shù)是c，個(gè)位上的數(shù)是d，請證明它是為11的倍數(shù)；（3）若四位數(shù)m為“雙雅數(shù)”，記F（m）＝，當(dāng)F（m）是完全平方數(shù)時(shí)，求出所有滿足條件的數(shù)m．【解答】解：（1）①3454，∵4+4＝8，5+3＝8，∴3454是“雙雅數(shù)”；②2635，∵5+6≠8，2+3≠8，∴2635不是“雙雅數(shù)”；③7612，∵2+6＝8，1+7＝8，∴7612是“雙雅數(shù)”；故答案為：①是；②不是；③是；（2）證明：記該數(shù)為n，則n＝1000a+100b+10c+d，其中a+c＝b+d＝8，∴n＝1000a+100b+10（8﹣a）+（8﹣b）＝990a+99b+88＝11（90a+9b+8），∵a，b都為整數(shù)，∴11（90a+9b+8）能被11整除，∴一個(gè)“雙雅數(shù)”是11的倍數(shù)；（3）設(shè)m的千位數(shù)上的數(shù)字為a，百位上的數(shù)字為b，由（2）知，m＝990a+99b+88，∴＝＝5（10a+b），∵F（m）是完全平方數(shù)，∴（10a+b）為完全平方數(shù)的5倍，∴10a+b＝20或45或80，①a＝2，b＝0，m＝2068，②a＝4，b＝5，m＝4543，③a＝8，b＝0，m＝8008，綜上，滿足條件的數(shù)m有2068，4543，8008．22．（望城一中）定義新運(yùn)算a?b＝|a﹣b|﹣b，如4?2＝|4﹣2|﹣2＝2﹣2＝0；若a?b＝0，則稱a與b互為“望一”數(shù)；若a?b＝﹣a，則稱a與b互為“望外”數(shù)；（1）計(jì)算：（﹣4）?（﹣2）＝．（2）下列互為“望一”數(shù)的是．互為“望外”數(shù)的是．①：6?3；②：5?2；③：3?4；④：2.8?1.4；⑤：1?3；（3）若（x?1）+[x?（﹣1）]＝2，則x可以取哪些整數(shù)？（4）若（x?1）﹣[x?（﹣1）]＝﹣2，則x的值為多少？【解答】解：（1）（﹣4）?（﹣2）＝|﹣4+2|﹣（﹣2）＝2+2＝4，故答案為：4；（2）①∵6?3＝|6﹣3|﹣3＝0，∴6?3是“望一數(shù)”，②∵5?2＝|5﹣2|﹣2＝1，∴5?2既不是“望一數(shù)：，也不是”望外數(shù)“；③∵3?4＝|3﹣4|﹣4＝﹣3，∴3?4是”望外數(shù)“；④∵2.8?1.4＝|2.8﹣1.4|﹣1.4