第一章直線與圓章末知識梳理要點專項突破知識體系構建知識體系構建直線與圓直線與圓直線與圓要點專項突破1．直線的傾斜角與斜率問題直線的傾斜角和斜率是直線方程中最基本的兩個概念，它們從“形”與“數(shù)”兩個方面刻畫了直線的傾斜程度．傾斜角α與斜率k的對應關系和單調性是解題的易錯點，應引起高度重視．(1)對應關系：①當α≠90°時，k＝tanα；②當α＝90°時，斜率不存在．要點一直線與方程的常見問題及求解策略典例12．直線方程的六種形式及應用直線方程的六種形式在使用時要根據(jù)題目的條件靈活選擇，尤其在選用四種特殊形式的方程時，注意其適用條件，必要時要對特殊情況進行討論．求直線方程的方法一般是待定系數(shù)法，在使用待定系數(shù)法求直線方程時，要注意直線方程形式的選擇及適用范圍．典例23．兩條直線的位置關系及應用直線方程l1：y＝k1x＋b1；l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0；(A1B1≠0，A2B2≠0)l1與l2組成的方程組平行k1＝k2，且b1≠b2A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1(或B1C2≠B2C1)無解重合k1＝k2，且b1＝b2A1B2＝A2B1，且A1C2＝A2C1(或B1C2＝B2C1)有無數(shù)多個解相交k1≠k2A1B2≠A2B1有唯一解垂直k1k2＝－1A1A2＋B1B2＝0有唯一解

已知四邊形ABCD的頂點A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．典例3①AB∥CD，AB⊥AD，由圖可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1.要點二對稱問題2．點關于直線的對稱(1)如圖所示，已知點P(x，y)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，若直線l的斜率存在，求點P關于直線l的對稱點P′(x′，y′)可以分兩步來進行．(2)常見的點與其關于直線對稱的點的坐標之間的關系總結如下：①點A(a，b)關于x軸的對稱點為A′(a，－b)；②點B(a，b)關于y軸的對稱點為B′(－a，b)；③點C(a，b)關于直線y＝x的對稱點為C′(b，a)；④點D(a，b)關于直線y＝－x的對稱點為D′(－b，－a)；⑤點P(a，b)關于直線x＝m的對稱點為P′(2m－a，b)；⑥點Q(a，b)關于直線y＝n的對稱點為Q′(a,2n－b)．3．直線關于直線的對稱(1)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，求直線l1關于直線l2的對稱直線的方程．如果l1∥l2，則設所求直線方程為A1x＋B1y＋m＝0(m≠C1)，然后在l1上找一點P，求出點P關于直線l2的對稱點P′(x′，y′)，再代入A1x＋B1y＋m＝0即可解出m.如果l1不平行于l2，則先找出l1與l2的交點P，然后在l1上確定一點(不同于交點)，找出這一點關于l2的對稱點P′，由直線的兩點式方程確定所求直線方程．(2)常見的直線的對稱有以下幾種情況：對于直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，關于x軸的對稱直線為Ax＋B(－y)＋C＝0；關于y軸的對稱直線為A(－x)＋By＋C＝0；關于直線y＝x的對稱直線為Bx＋Ay＋C＝0；關于直線y＝－x的對稱直線為A(－y)＋B(－x)＋C＝0.

自點A(－3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光線l所在的直線方程．[解析]

將圓C的方程化為標準方程，可得圓C：(x－2)2＋(y－2)2＝1，它關于x軸對稱的圓C′方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圓心為C′(2，－2)，如圖所示，則l與圓C′相切．典例4直線與圓、圓與圓的位置關系是本章的重點內容，在處理直線與圓、圓與圓的位置關系時，常用的方法有幾何法與代數(shù)法．處理此類問題時，要注意圓的幾何性質的應用，以達到簡化解題過程的目的．要點三直線與圓、圓與圓的位置關系典例5ABC

1．利用圓的幾何性質求最值的問題求圓上點到直線的最大、最小值，需過圓心向直線作垂線．設r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離．(1)如圖①，當直線l與圓C相交時，最小距離為0，最大距離為AD＝r＋d；(2)如圖②，當直線l與圓C相切時，最小距離為0，最大距離為AD＝2r；(3)如圖③，當直線l與圓C相離時，最小距離為BD＝d－r，最大距離為AD＝d＋r.要點四與圓有關的最值問題2．利用直線與圓的位置關系解決最值(取值范圍)問題解析幾何中的最值問題一般是根據(jù)條件列出所求目標——函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應用不等式求出其最值(取值范圍)．對于圓的最值問題，要利用圓的特殊幾何性質，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡化運算的最佳途徑．3．經過圓內一點的最長弦就是經過這點的直徑，過這點和最長弦垂直的弦就是最短弦．

已知圓x2＋y2－6x＝0，過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為

(

)A．1

B．2

C．3

D．4典例6B

已知P是圓C：(x－5)2＋(y－5)2＝r2(r>0)上的一個動點，它關于點A(9,0)的對稱點為Q，O為原點，線段OP繞原點O逆時針方向旋轉90°后，所得線段為OR，求|QR|的最小值與最大值．典例7用坐標法解決問題的一般步驟：1．建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?．設出已知點的坐標，表示出未知點的坐標；3．利用已學的坐標公式列出方程或方程組，通過計算得出代數(shù)結論；